二次函数图像与abc的关系专题训练
二次函数中各项系数abc与图像的关系
二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。
二次函数系数abc与图像的关系
二次函数系数a、b、c与图像的关系1．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的（）A B．C．D．2.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结中，正确的是（）A.a＞0B.b＜0C.c＜0D.a+b+c＞03.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A .1 B.2 C.3 D.44.如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）.下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④5.如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤4a-2b+c＜0，则正确的结论是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2- 4ac＞0；⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二次函数七大综合专题二次函数与三角形的综合题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
二次函数与abc的关系
1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y 2x2 4x 1的图像是哪一
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y x2 2x 1的图像是哪一
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y
779x2
995
8999x 10066， 6
此抛物线的对
称轴在哪里？
二次函数的 二二次形函次状数函与y数=aa、yx=2ba+、xb2xc++的bcx图关+c象系图的象位的置、 图象和性质 位置、形状与a、b、c的关系
徐鑫
1.一次函数的y3x5大致图像是（ ）
二次函数的顶点式是
ya(xh)2k
2.y1(x1)2 4它的图像是（ ） 2
y
4 2
-2 -1
x
A
y 4
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 2
-1
1x
C
c的大小决定抛物线与y轴的交 点位置：
c=0,抛物线过原点； c>0,抛物线与 y轴交于正半轴； c<0,抛物线与 y轴交于负半轴。
二次函数abc的关系测试题及答案
二次函数中a、b、c的作用练习题1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示;它与x轴的两个交点分别为﹣1;0; 3;0．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2、已知二次函数的图象如图所示;有下列5个结论：①；②；③；④；⑤;的实数其中正确的结论有 BA. 2个B. 3个C. 4个D. 53、小明从如图所示的二次函数的图象中;观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤;你认为其中正确信息的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4、已知二次函数的图象如图所示;有下列结论：①；②；③；④．其中;正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 45、已知抛物线y=ax2+bx+ca＞0的对称轴为直线x=-1;与x轴的一个交点为x 1;0;且0＜x1＜1;下列结论：①9a-3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．36、如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象;A、B、C为抛物线与坐标轴的交点;且OA=OC=1;AB＞AO;下列几个结论：1abc＜0；2b＞2a；3a-b=-1；44a-2b+1＜0．其中正确的个数是A．4 B．3 C．2 D．1解：1∵该抛物线的开口向上;∴a＞0；又∵该抛物线的对称轴x=-＜0;∴b＞0；而该抛物线与y轴交于正半轴;故c＞0;∴abc＞0；故本选项错误；2由1知;a＞0;-＜0;∴b＞-2a；故本选项错误；3∵OA=OC=1;∴由图象知：C0;1;A-1;0;把C0;1代入y=ax2+bx+c得：c=1;把A-1;0代入y=ax2+bx+c得：a-b=-1;故本选项正确；4由3知;点A的坐标是-1;0．又∵AB＞AO;∴当x=-2时;y＜0;即4a-2b+1＜0；故本选项正确．综上所述;正确的个数是2个．故选C．7.如图所示;二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象经过点-1;2;且与x轴交点的横坐标为x1、x2;其中-2＜x1＜-1、0＜x2＜1．下列结论：①4a-2b+c＜0;②2a-b＜0;③a＜-1;④b2+8a＞4ac中;正确的结论是解：由图知：抛物线的开口向下;则a＜0；抛物线的对称轴x=- ＞-1;且c＞0；①由图可得：当x=-2时;y＜0;即4a-2b+c＜0;故①正确；②已知x=- ＞-1;且a＜0;所以2a-b＜0;故②正确；③已知抛物线经过-1;2;即a-b+c=21;由图知：当x=1时;y＜0;即a+b+c＜02;由①知：4a-2b+c＜03；联立12;得：a+c＜1；联立13得：2a-c＜-4；故3a＜-3;即a＜-1；所以③正确；④由于抛物线的对称轴大于-1;所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2;即：＞2;由于a＜0;所以4ac-b2＜8a;即b2+8a＞4ac;故④正确；因此正确的结论是①②③④．8已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示;则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是A．①②B．②③C．③④D．②④解：①∵抛物线的开口向上;∴a＞0;∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上;∴c＜0;∵对称轴为x=＜0;∴a、b同号;即b＞0;∴abc＜0;故本选项错误；②当x=1时;函数值为2;∴a+b+c=2；故本选项正确；③∵对称轴x=＞-1;解得：＜a;∵b＞1;∴a＞;故本选项错误；④当x=-1时;函数值＜0;即a-b+c＜0;1又a+b+c=2;将a+c=2-b代入1;2-2b＜0;∴b＞1故本选项正确；综上所述;其中正确的结论是②④；故选D．9、已知：抛物线y=ax2+bx+ca＜0经过点-1;0;且满足4a+2b+c＞0;以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b2-2ac＞5a2;其中正确的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个解：1因为抛物线y=ax2+bx+ca＜0经过点-1;0;所以原式可化为a-b+c=0----①;又因为4a+2b+c＞0----②;所以②-①得：3a+3b＞0;即a+b＞0；2②+①×2得;6a+3c＞0;即2a+c＞0;∴a+c＞-a;∵a＜0;∴-a＞0;故a+c＞0；3因为4a+2b+c＞0;可以看作y=ax2+bx+ca＜0当x=2时的值大于0;草图为：可见c＞0;∵a-b+c=0;∴-a+b-c=0;两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c;整理得-a+b+c=2c＞0;即-a+b+c＞0；4∵过-1;0;代入得a-b+c=0;∴c=b-a;再代入4a+2b+c=3b+3a＞0;即b＞-a∴b＞0;a＜0;c=b-a ＞0;又将c=b-a代入b2-2ac=b2-2ab-a=b2-2ab+2a2;∵b2-2ab=bb-2a;b＞-a;b-2a＞-3a;并且b是正数;∴原式大于3a2．综上可知正确的个数有4个．故选D．10如图;是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分;图象过点A-3;0;对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②b=-2a；③a-b+c=0；④b＞5a．其中正确结论是．解：①∵图象与x轴有交点;对称轴为x==-1;与y轴的交点在y轴的正半轴上;又∵二次函数的图象是抛物线;∴与x轴有两个交点;∴b2-4ac＞0;即b2＞4ac;正确；②∵抛物线的开口向下;∴a＜0;∵与y轴的交点在y轴的正半轴上;∴c＞0;∵对称轴为x==-1;∴2a=b;∴2a+b=4a;a≠0;错误；③∵x=-1时y有最大值;由图象可知y≠0;错误；④把x=1;x=-3代入解析式得a+b+c=0;9a-3b+c=0;两边相加整理得5a-b=-c＜0;即5a＜b．故正确的为①④．1. B2. B3.C．提示：由二次函数的图象知;∴①；②；正确;由x=-1;③正确;由对称轴;得到∴④2a-3b=0是错误．的；x=2;把代入得⑤是正确的;故选C．4. C5.解：∵y=ax2+bx+ca＞0的对称轴为直线x=-1;与x轴的一个交点为x1;0;且0＜x1＜1;∴x=-3时;y=9a-3b+c＞0；∵对称轴是x=-1;则=-1;∴b=2a．∵a＞0;∴b＞a；再取x=1时;y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＞0．∴①、③正确．故选C 6.。
二次函数系数a、b、c与图像的关系填空题专题练习(含答案).doc
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系填空题专题练习1、二次函数y=-x2+bx+c 的图象如图所示，试确定b 、c 的符号；b ____________ 0, c ________ 0.(填不等号)5、已知函数y 二ax"+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中:®abc>0；②b 二2。
；③a+b+c<0；④a-b+c>0.正 确的是 _________ •0； (4) b 2-4ac_ 0.如图，已知抛物线y 二ax'+bx+c(aH0)经过原点和点(-2, 0),则2a -3b0.(填 >、V 或二) 象限.0； (3)c则直线y=abx+c 不过第6、已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（—1, 0）和点B,化简：如夕★如护的结杲为：①c;②b;③b—a;④a —b + 2c.其中正确的有________________ .7、二次函数y=-x2+bx + c的图象如图，则一次函数y=bx+c的图象不经过第_______________ 象限.8、若二次函数x2+bx+c的图象如图，则ac 0 （“V” “>”或“二”）9、已知二次函数y二ax'+bx+c（aH0）的图象如图所示，则在下列代数式：①ac；②a+b+c；③4a-2b+c；④2a+b；⑤圧-4ac中，值大于0的序号为__________________10、如图是二次函数y=ax2 + bx + c（a^0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b + c二0；②b>2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为一3 和1:④a—2b+c>0.其中正确的命题是 ______________ ・（只要求填写正确命题的序号）有以下结论：①abc>0；②a - b+c<0；③2d二b；④4a+2b+c>0；⑤若点（・2, y（）和（・3, y2）在该图象上，则yi>y2.其中正确的结论是 ______________ （填入正确结论的序号）.12、如图是二次函数ypx'+bx+c 的部分图像,在下列四个结论中正确的是 _________________① 不等式 ax 2+bx+c>0 的解集是-l<x<5；②a-b+c>0；③b 2-4ac>0；④4a+b<0.下列结论：①4a+b 二0；②9a+c>3b ；③8a+7b+2c>0；④当x>・1时，y 的值随x 值的增大而增大.其中正确的结论有 ______________________ （填序号）14>二次函数y=ax^+bx+c （aHO ）的图象如图所示，下列结论：①2a+b 二0；②a+c>b ；③抛物线与 x 轴的另一个交点为（3, 0）；④abc>0.其中正确的结论是 _____________________ （填写序号）.15、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图彖的一部分，图彖过点A （ - 3, 0）,对称轴为直线X 二・1,给 出四个结论:①b 2>4ac ；②2a+b 二0；③a+b+c>0；④若点B （ - 2. 5, yj , C （ - 0. 5, y 2）为函数图象上的两 点，则yi<y2.其中正确结论是 __________________ ・图象过点（-1, 0）,对称轴为直线x=2,16、如图，是二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象的一部分，给出下列命题：①abc<0；②b>2a；③a+b+c二0④ax'+bx+c二0的两根分别为・3和1；⑤8a+c>0. 其中正确的命题是____________________________ ・17>二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，下列结论:①2a+b>0；②abc<0；③b2 - 4ac>0；④a+b+c<0；⑤la・2b+c<0,其中正确的个数是______________________ .y八18、如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-l.且过点(0.5, 0),有下列结论：①abc>0；②a-2b+4c=0；③25a・ 10b+4c=0；④3b+2c>0；⑤a - b^m (am - b)；其中所有正确的结论是___________________ .(填写正确结论的序号)19、己知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，纟合出以下结论: ®b2>4ac；②abc>0③2a-b=0；④8a+c<0；⑤9a+3b+c<0.其中结论正确的是___________ .(填正确结论的序号)x=l20、在二次函数y=ax2+bx+c的图彖如图所示，下列说法中：①b‘・4ac<0；②2占>0；③abc>0；®a-b-c>0,说法正确的是(填序号).21>已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，有下列5个结论：①c二0；②该抛物线的对称轴是直线x二・1；③当x=l时，y=2a；④am2+bm+a>0 (mH - 1)；⑤设A (100, yi) , B (・100, y2)在该抛物线上，则yi>y2.其中正确的结论有・(写出所有正确结论的序号)22、已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c<0；②a - b+c<0；③b+2a<0；④abc>0,其屮正确的是_________________ (填编号)23、如图是二次函数y=ax2+bx+c (aHO)图彖的一部分，现有下列结论：①abc<0；②b?・4ac+5> 0；③2a+b<0；④a-b+c<0；⑤抛物线y=ax2+bx+c (a^O)与x轴的另一个点坐标为(・1, 0), 其屮正确的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)y八24、己知实数m, n满足m - n2=l,则代数式n/+2n2+4ni - 1的最小值等于_____________ •25、如图所示，己知二次函数y二ax'+bx+c的图象经过（-1, 0）和（0, -1）两点，则化简代数式_ 乎 + 4 + + 乎 _ 4 二 _______________ .\26如图，抛物线y二ax'+bx+c与x轴交于点A （・1, 0）,顶点坐标为（1, n）,与y轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点），则下列结论：①当x>3时，y<0；②3a+b>0；③_2④3WnW4中，正确的是_______________27、已知二次函数y二ax'+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+cVO；②a - b+c> 1；③abc>0；④4a - 2b+c<0；其中正确的结论是 ______________28、已知二次函数ypx'+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1, 0） , （3, 0）.对于下列命题：①b-2a=0；②abc<0；③a-2b+4c<0；④8a+c>0.其中正确的有___________________________ .29、已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，下列结论:①bV0；②4a+2b+c<0； (3)a・b+c>0；④(a+c) 2<b2.其中正确的是___________________ (把所有正确结论的序号都填在横线上).30^己知二次函数y二ax'+bx + c的图象如图所示，则下列结论：①c二2；②b2—4ac<0；③当x=l时，y的最小值为a+b+c中，正确的有___________________31、已知二次函数y=ax'+bx+c(a^O)的图像如图所示，(1)给出三个结论：①『-4眈>0；②c>0；③b>0,其中正确结论的序号是： ___________ ・(2)给出三个结论：①9a+3b+c〈0：②2c>3b；③8a+c>0，其中正确结论的序号是：________________32、已知抛物线y=ax2+bx+c(a^0)经过点(一1, 0),且顶点在第一象限.有下•列三个结论：①a<0；②a+b+c>0；③一2a >0.其中止确的结论有______________ .丄33>如图，抛物线yi=a (x+2) 2 - 3与2 (x・3) ?+1交于点A(l, 3),过点A作x轴的平行线, 分别交两条抛物线于点B, C.则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②沪1；③当x=0 时，y2 - yi=4④2AB=3AC.34、如图，抛物线"曲"窈-3与卩飞“耳+1交于点八（］,3）,过点A作x轴的平行_2线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x収何值，乃的值总是正数；②■亍；③当x二0时，y2-yi二6；④AB+AC二10；⑤刃时乃°,其中正确结论的个数是： ________________ .35>函数y二x'+bx+c与y二x的图象如图所示，有以下结论：①b'-4c>0；②3b+c+6=0；③当lVx< 3时，x2+ （b - 1） x+c<0；④JQ+C? = 3迥.其屮正确的有 _______________ .36、如图抛物线y=ax2+bx+c与只轴的一个交点A在点（-2, 0）和（-1, 0）之间（包括这两个点）, 定点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，贝9：（1）_____________ abc 0（填或“〉”；（2）___________________________ 8的取值范围是.1、答案为：V >;2、答案为：(1)> (2)< (3)> (4)>；3、答案为：>；4、答案为：四;5、答案为：①③④.6、答案为：①③④;7、答案为：四；8、答案为：<；9、答案为:10、答案为11、答案为12、答案为13、答案为14、答案为15、答案为16、答案为17、答案为18、答案为19、答案为20、答案为21、答案为22、答案为23、答案为24、答案为25、答案为26、答案为27、答案为28、答案为29、答案为30、答案为31、答案为32、答案为33、答案为34、答案为35、答案为①②⑤；①③；②④.①③；①③；①④.①④.①③④⑤.3.①③⑤.①②⑤；②③④.①②④⑤.②③.②、④.2a；①③.①③.©:①③④.①③；①；①③①②③；①④.①②④⑤,②③④；参考答案36、答案为：<。
二次函数的图像与系数a、b、c的关系经典习题
A B CD yOx yO x yO x yO x yO x 一、二次函数图像与系数a 、b 、c 、关系1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫⎪⎝⎭，在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A 、240b ac ->B 、0a >C 、0c >D 、02ba-< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0 B 、bc ＜0 C 、a +b +c ＞0 D 、a -b +c ＜05、 二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数xab y =的图象的两个分支分别在第 象限。
6、已知反比例函数xky =的图象如图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( )7、二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）8、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）9、在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）10、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）11、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）12、已知a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫⎪⎝⎭，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15、已知二次函数2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、⊿的符号的判定例1、下图中⊿0<的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） （图3）练习：不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( )A.a>0,△>0;B.a>0, △<0;C.a<0, △<0;D.a<0, △<0 三、含a 、b 的代数式符号的判定例1、抛物线y=x 2+2x-4的对称轴是直线（ ）.A.x=-2B.x=2C.x=-1D.x=1Oy x Oy x y x O y x O ..C A y xOy–1 3 3O xP1 -1O x =1yxy–1 3 3O xP 1 练习：二次函数)1)(3(2-+-=x x y 的图象的对称轴是直线________________．例2、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图3所示，则①20a b +>②20a b +<③02ba-<④20a b -<⑤20a b ->中正确的有________________________.(请写出序号即可)图4 图5练习：1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（ ） A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02ba-< 例1、如图5，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则cb a +-的值为 （ ）A. 0 B. －1 C. 1 D. 2练习：已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ）第一或第二象限； （B ）第三或第四象限；（C ）第一或第四象限； （D ）第二或第三象限例2已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）(A)abc ＞0 （B ）ac b 42-＞0(C)2a+b ＞0 （D ）c b a +-24＜0练习：1、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图6，OA=OC ，则（ ）（A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是图4 图5 图6图2y 0 1x-1 图1O xy-11作业：1、若二次函数c bx ax y ++=2中，a ＜0，b ＞0，c ＜0，042>-ac b ，则此二次函数图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax 2+bx+c 的是（ ）3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（ ）①0<++c b a ；②0>+-c b a ；③0>abc ；④a b 2= （A ）4（B ）3（C ）2 （D ）14、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，那么下列判断不正确的是（ ） (A)abc ＞0； （B ）ac b 42-＞0；(C)2a+b ＞0； （D ）c b a +-24＜05、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中， 值为正数的有（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A ．ab ＜0 B ．bc ＜0 C ．a +b +c ＞0 D ．a -b +c ＜07、(2008年安徽省)如图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：① ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ② a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。
中考数学复习之二次函数的图像与性质,考点过关与基础练习题
18. 二次函数的应用➢ 知识过关1.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像与系数a 、b 、c 的关系(1) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(2) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴只有1个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(3) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根.3. 二次函数与一次交点一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程nkx y cbx ax y +=++=2{的解的个数确定 (1)方程组有两组不同的解⇔L 与G 有______交点； (2)方程组只有一组解⇔L 与G 只有______交点； (3)方程组无解⇔L 与G_______交点. 4. 二次函数的实际应用建立二次函数模型—求出二次函数解析式—结合函数解析式—解答问题.➢ 考点分类考点1 二次函数图像与系数的关系例1二次函数的图像如图所示，现有下列结论：①042>-ac b ；①a>0;①b>0；①c>0; ①039<++c b a ，则其中结论正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个考点2二次函数的实际应用例2某文具店购进一批纪念册，线本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本.(1)请直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获昨的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？考点3二次函数的综合应用例3如图所示，直线与抛物线相交于点A 和点B ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC①x 轴于点C ，交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)当①PAD 为直角三角形时，求点P 的坐标.➢真题演练1．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac ＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x 的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③7．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有．8．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y=−13x2+43x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是米．9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．10．中国跳水队被称为“梦之队”，跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的抛物线．已知跳板AB长为1米，距水面的高OA为3米，C 为入水点，训练时跳水曲线在离起跳点B水平距离1米时达到距水面最大高度k米，分别以OC、OA所在直线为横轴和纵轴，点O为坐标原点建立平面直角坐标系．若跳水运动员在入水时点C与点O的距离在3.5米至4米（含3.5米和4米）才能达到训练要求，则k的取值范围是．11．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？12．在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一农户用长为25m 的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽为1m ，设花圃的宽AB 为x （m ），面积为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数表达式．（2）如果要围成面积为54m 2的花圃，AB 的长为多少米？（3）若墙的最大长度为10m ，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB 的长．➢ 课后练习1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0； ②2c ﹣3b ＜0； ③5a +b +2c ＝0；④若B （43，y 1）、C （13，y 2）、D （−13，y 3）是抛物线上的三点，则y 1＜y 2＜y 3．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y =12x 2﹣bx +c ，当x ＝1时，y ＜0；当x ＝2时，y ＜0．下列判断：①b 2＞2c ；②若c ＞1，则b ＞32；③已知点A （m 1，n 1），B （m 2，n 2）在抛物线y =12x 2﹣bx +c 上，当m 1＜m 2＜b 时，n 1＞n 2；④若方程12x 2﹣bx +c ＝0的两实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＞3．其中正确的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，①b 2﹣4ac ＞0②4a +c ＜0③当﹣3≤x ≤1时，y ≥0④若B(−52，y 1)，C(−12，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＞y 2，以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （3，0），与y 轴的交点B 在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＜0；②43a +3b +c ＞0；③−43＜a ＜−1；④若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程ax 2+bx +c ＝m （m ＜0）的两个根，则有x 1＜﹣1＜3＜x 2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴交于A （﹣3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，点（m ﹣5，n ）与点（3﹣m ，n ）也在该抛物线上．下列结论：①点B 的坐标为（1，0）；②方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根；③54a +c ＜0；④当x ＝﹣t 2﹣2时，y ≥c ．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线经过点（1，0），下面给出了四个结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③5a+c＜b；④a﹣b=13c．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，物体从点A抛出，物体的高度y（m）与飞行时间t（s）近似满足函数关系式y=−1 5（t﹣3）2+5．（1）OA＝m．（2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是．8．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．9．图1是一个斜坡的横截面，tanα=12，斜坡顶端B与地面的距离为3米，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水柱的竖直高度为y（单位：米）（水柱的竖直高度是指水柱与地面的距离），水柱与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x 的相关数据，则y与x的函数关系式为．10．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，则小球飞出s时，达到最大高度．11.开学季，福山振华量贩超市从厂家购进A、B两种型号的书包，两次购进书包的情况如表：进货批次A型书包（个）B型书包（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的书包进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型书包因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型书包的销售量，超市决定对B型书包进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型书包降价多少元时，每天售出B型书包的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种书包，如果每销售出一个A型书包可获利9元，售出一个B型书包可获利6元，超市决定每售出一个A型书包就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的书包在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？➢冲击A+已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求ADAB+AC的值．。
专题：二次函数系数abc与图象的关系(压轴题)
专题 二次函数的图象与系数a 、b 、c 的关系1．（2019·黑龙江省中考模拟）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；①9a+3b+c ＜0；①c ＞﹣1；①关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1a-，其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解：由图象开口向下，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为x=2，所以02ba->，所以b>0，故①正确； 由图象可知当x=3时，y>0，①9a+3b+c>0，故①错误；由图象可知OA<1，①OA=OC ，①OC<1，即-c<1，c>-1，故①正确： 假设方程的一个根为x=1a -，把x=1a -代入方程可得10bc a a-+= ，整理可得ac-b+1=0， 两边同时乘c 可得ac 2-bc+c=0，即方程有一个根为x=-c ，由①可知-c=OA ，而x=OA 是方程的根， ①x=-c 是方程的根，即假设成立，故①正确；综上可知正确的结论有三个；故答案为C.2．（2019·山东省初三二模）二次函数 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线 x ＝1，下列结论：①ab ＜0；①b 2＞4ac ；①a +b +2c ＜0；①3a +c ＜0． 其中正确的是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①①D ．①①①①【答案】C【解析】①抛物线开口向上，①a>0，①抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，①c<0，①ab<0，所以①正确； ①抛物线与x 轴有2个交点，①①=b 2-4ac>0，所以①正确； ①x=1时，y<0，①a+b+c<0，而c<0，①a+b+2c<0，所以①正确； ①抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，①b=-2a ，而x=-1时，y>0，即a-b+c>0，①a+2a+c>0，所以①错误．3．（2019·合肥市第四十八中学初三月考）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0 ①4a+2b+c ＞0 ①4ac ﹣b 2＜8a ①13＜a ＜23①b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ） A ．①① B ．①①① C ．①①①D ．①①①①【答案】D 【解析】①①函数开口方向向上，①a ＞0；①对称轴在y 轴右侧，①ab 异号，①抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，①c ＜0，①abc ＞0，故①正确；①①图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，①图象与x 轴的另一个交点为（3，0），①当x=2时，y ＜0，①4a+2b+c ＜0，故①错误；①①图象与x 轴交于点A （﹣1，0），①当x=﹣1时，y=()()211a b c -+⨯-+=0，①a ﹣b+c=0，即a=b ﹣c ，c=b ﹣a ，①对称轴为直线x=1，①2ba-=1，即b=﹣2a ，①c=b ﹣a=（﹣2a ）﹣a=﹣3a ，①4ac ﹣2b =4•a•（﹣3a ）﹣()22a -=216a -＜0，①8a ＞0，①4ac ﹣2b ＜8a ，故①正确；①①图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，①﹣2＜c ＜﹣1，①﹣2＜﹣3a ＜﹣1，①23＞a ＞13，故①正确；①①a ＞0，①b ﹣c ＞0，即b ＞c ，故①正确4．（2019·安徽省初三期末）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；①当x ＞﹣1时，y 随x 增大而减小；①a+b+c ＜0；①若方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，则m ＞2； ①3a+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】（1）①抛物线与x 轴有两个交点，①b 2−4ac >0，①结论①不正确．（2）抛物线的对称轴x =−1，①当x >−1时，y 随x 增大而减小，①结论①正确．（3）①抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，①抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，①当x =1时，y <0，①a +b +c <0，①结论①正确． （4）①y =ax 2+bx +c 的最大值是2，①方程ax 2+bx +c −m =0没有实数根，则m >2，①结论①正确． （5）①抛物线的对称轴x =2ba-=−1，①b =2a ， ①a +b +c <0，①a +2a +c <0，①3a +c <0，①结论①正确． 综上，可得正确结论的序号是：①①①①,正确的结论有4个.5．（2019·山东省中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1．有下列4个结论：①abc ＞0；①4a +2b +c ＞0；①2c ＜3b ；①a +b ＞m （am +b ）（m 是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， ①﹣2ba＞0，①b ＞0，①abc ＜0，故①错误； ①由对称知，当x ＝2时，函数值大于0，即y ＝4a+2b+c ＞0，故①正确； ①当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a+3b+c ＜0，且x ＝2ba-＝1， 即a ＝2b -，代入得9（2b-）+3b+c ＜0，得2c ＜3b ，故①正确； ①当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a+b+c ，而当x ＝m 时，y ＝am 2+bm+c ， 所以a+b+c ＞am 2+bm+c ，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），故①正确．6．（2019·山东省中考模拟）如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴为12x =，且经过点（2，0）下列说法：①abc<0；①-2b+c=0；①4a+2b+c<0；①若(-52，y 1)，(52，y 2)是抛物线上的两点，则y 1<y 2；①1142a b +>m(am+b)其中(m≠12)其中说法正确的是A ．①①①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口可知：a ＜0，又抛物线与y 轴的交点可知：c ＞0， 对称轴−2ba>0，①b ＞0，①abc ＜0，故①正确； ①将（2，0）代入y=ax 2+bx+c （a≠0），①4a+2b+c=0， ①−221b a =，①a=-b ，①-4b+2b+c=0，①-2b+c=0，故①正确； ①由①可知：4a+2b+c=0，故①错误； ①由于抛物线的对称轴为x=12，①（−52，y 1）与（72，y 1）关于x=12对称， 由于x ＞12时，y 随着x 的增大而减小， ①72＞52，①y 1＜y 2，故①正确； ①由图象可知：x=12时，y 可取得最大值，且最大值为14a+12b ，①m≠12①14a+12b+c ＞am 2+bm+c ，①14a+12b ＞m(am+b)，故①正确； 7．（2019·山东省中考模拟）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在()3,0-和()2,0-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：()2140b ac ->；()22a b =；()3点17,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、23,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、35,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是该抛物线上的点，则123y y y <<；()4320b c +<；()()5t at b a b +≤-（t 为任意实数）．其中正确结论的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】（1）抛物线与x 轴有两个交点，所以方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个不相等的实数根，所以b 2﹣4ac ＞0，此结论正确；（2）对称轴为x =﹣1=﹣2ba，即b =2a ，此结论正确； （3）由二次函数的对称性可得，x =54与x =﹣134的函数值相等，当x ＜﹣1时，y 随着x 的增大而增大，所以y 1＜y 3＜y 2，此结论错误；（4）由图像得，x =﹣3时，y ＜0，即9a ﹣3b +c ＜0，因为b =2a ，所以2b×9﹣3b +c ＜0，即3b +2c ＜0，此结论正确；（5）要证明t (at +b )≤a ﹣b ，即要证明at 2+bt +c ≤a ﹣b +c ，即要证明抛物线在x =﹣1时取最大值，由图像可得当x =﹣1时，y 最大，此结论正确. 正确结论的个数是4.8．（2018·江苏省中考模拟）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，下列四个结论：①4a+c ＜0；①m （am+b ）+b ＞a （m≠﹣1）；①关于x 的一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0没有实数根；①ak 4+bk 2＜a （k 2+1）2+b （k 2+1）（k 为常数）．其中正确结论的个数是（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D 【解析】①因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1，由图象可得左交点的横坐标大于﹣3，小于﹣2， 所以﹣2ba=﹣1，可得b=2a ，当x=﹣3时，y ＜0，即9a ﹣3b+c ＜0，9a ﹣6a+c ＜0，3a+c ＜0， ①a ＜0，①4a+c ＜0，所以①选项结论正确；①①抛物线的对称轴是直线x=﹣1，①y=a ﹣b+c 的值最大，即把x=m （m≠﹣1）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，①am 2+bm ＜a ﹣b ，m （am+b ）+b ＜a ，所以此选项结论不正确； ①ax 2+（b ﹣1）x+c=0，①=（b ﹣1）2﹣4ac ， ①a ＜0，c ＞0，①ac ＜0，①﹣4ac ＞0，①（b ﹣1）2≥0，①①＞0，①关于x 的一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0有实数根； ①由图象得：当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，①当k 为常数时，0≤k 2≤k 2+1，①当x=k 2的值大于x=k 2+1的函数值，即ak4+bk2+c＞a（k2+1）2+b（k2+1）+c，ak4+bk2＞a（k2+1）2+b（k2+1），所以此选项结论不正确；。
专题训练(二) 二次函数系数a,b,c与图象的关系
专题训练(二)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系知识储备二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c 之间的关系:项目字母字母的符号图象的特征a a>0 开口向上a<0 开口向下bb=0 对称轴为y轴ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧c c=0 经过原点c>0 与y轴正半轴相交c<0 与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有一个交点(顶点)b2-4ac>0 与x轴有两个交点b2-4ac<0 与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c当x=2时,y=4a+2b+c;当x=-2时,y=4a-2b+c若a+b+c>0,则当x=1时,y>0若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0当对称轴为直线x=1时,2a+b=0;当对称轴为直线x=-1时,2a-b=0;判断2a+b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=1的位置关系;判断2a-b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=-1的位置关系▶类型一利用二次函数图象考查以上表格中的问题1.[2020·宁波江北区期末]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,则下列关系式错误的是()A.a<0B.b>0C.b2-4ac>0D.a+b+c<0图 1 图22.[2020·宁波]如图2,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是A.abc<0 B.4ac-b2>0C.c-a>0D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c3.在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是()图 3▶类型二利用二次函数图象考查ma+nc或mb+nc(m,n为非零整数)与0的关系4.如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1.给出下列结论:①ac<0;②b2-4ac>0;③2a-b=0;④a-b+c=0.其中,正确的结论有()图4A.1个B.2个C.3个D.4个5.[2020·遵义改编]抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-2,抛物线与x轴的一个交点在点(-4, 0)和点(-3,0)之间,其部分图象如图5所示,下列结论中正确的有()①4a-b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;④b2+2b>4ac.图5A.1个B.2个C.3个D.4个▶类型三利用二次函数图象考查am2+bm+c(a≠0,a,b,c为常数)与a+b+c的关系6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1,其图象如图6所示,现有下列结论:①abc>0,②b-2a<0,③a-b+c>0,④a+b>n(an+b)(n ≠1),⑤2c<3b.其中正确的是()A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤图6 图77.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分如图7所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=1,有下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根;④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(-2,0);⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c.其中正确的有() A.5个B.4个C.3个D.2个▶类型四利用二次函数图象解一元二次方程或不等式8.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为()A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=59.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图8所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解是()图8A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3▶类型五利用一次函数、二次函数的图象解一元二次方程或不等式10.如图9所示,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解为()图9A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥911.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23x的图象如图10所示,则方程ax2+（32b x+c=0的两根之和()图10A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定专题二教师详解详析1.D[解析] 抛物线开口向下,则a<0,所以A选项的关系式正确;抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b>0,所以B选项的关系式正确;抛物线与x轴有2个交点,则b2-4ac>0,所以C选项的关系式正确;当x=1时,y>0,则a+b+c>0,所以D选项的关系式错误.故选D.2.D[解析] ∵二次函数图象的对称轴为直线x=-1,∴-b2a=-1,∴b=2a.又∵a>0,∴b>0.∵抛物线与y轴正半轴交于点C,∴c>0,∴abc>0,故A错误;∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故B错误;∵b=2a,∴当x=-1时,y=a-b+c=c-a<0,故C 错误;当x=-n2-2(n为实数)时,y=a(-n2-2)2+b(-n2-2)+c=a(-n2-2)2+2a(-n2-2)+c=a( n2+1)2-a+c.∵n为实数,∴n2≥0,(n2+1)2≥1.又∵a>0,∴a(n2+1)2-a≥0,∴y≥c,故D正确,因此本题选D.3.C4.C[解析] ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线交y轴于正半轴,∴c>0,∴ac<0,故①正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,∴-b=2a,∴2a+b=0,故③错误;∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,∴点(3,0)关于直线x=1的对称点为(-1,0),即抛物线经过点(-1,0),∴a-b+c=0,故④正确.综上可知,正确的结论有①②④,共3个.5.C[解析] 由-b2a=-2,得4a-b=0,故①正确;由抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间,当x≤-2时,y随x的增大而增大,可知当x=-3时,y>0,由抛物线的对称性可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0.又4a=b,∴a-4a+c>0,即c>3a.故②错误; 由图象得,关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根正确; 由4ac-b24a=3,得4ac-b2=12a,∴4ac=12a+b2=3b+b2.易知a<0,b<0,c<0,∴4ac<2b+b2 ,故④正确.故选C.6.D[解析] ①由图象可知:a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故此选项错误;②当x=-2时,y=4a-2b+c<0,即b-2a>c2>0,故此选项错误;③当x=-1时,y=a-b+c<0,故此选项错误;④当x=1时,y的值最大,此时,y=a+b+c,而当x=n 时,y=an2+bn+c,所以a+b+c>an2+bn+c(n≠1),故a+b>an2+bn,即a+b>n(an+b)(n≠1),故此选项正确.⑤由抛物线的对称性可知当x=3时函数值小于0,即y=9a+3b+c<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,∴a=-b2,代入9a+3b+c<0,得9-b2 +3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;故④⑤正确.因此本题选D.7.B8.D9.D[解析] 根据图象可知,当y=0时,对应的x的值分别为x1=-1,x2=3.当y>0时,函数的图象在x轴的上方,由左边一段图象可知x<-1,由右边一段图象可知x>3.因此,当函数值y>0时,x的取值范围是x<-1或x>3.故选D.10.A[解析] 由图象可以看出:二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的图象的交点的横坐标分别为-1,9.而当y1≥y2时,对应的图象正好在两交点之间,所以-1≤x≤9.故选A.11.A。
二次函数系数a、b、c与图像的关系----精选练习题
二次函数系数a、b、c与图像的闭系之阳早格格创做知识重心二次函数y=ax2+bx+c系数标记的决定：（1）a由扔物线启心目标决定：启心目标进与，则a＞0；可则a＜0．（2）b由对付称轴战a的标记决定：由对付称轴公式x=推断标记．（3）c由扔物线与y轴的接面决定：接面正在y轴正半轴，则c＞0；可则c＜0．（4）b24ac的标记由扔物线与x轴接面的个数决定：2个接面，b24ac＞0；1个接面，b24ac=0；不接面，b24ac＜0．（5）当x=1时，可决定a+b+c的标记，当x=1时，可决定ab+c的标记．（6）由对付称轴公式x=，可决定2a+b的标记．一．采用题（共9小题）1．（•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列道法：①c=0；②该扔物线的对付称轴是曲线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中精确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 2．（•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下论断：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有精确论断的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（•北阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么闭于此二次函数的下列四个论断：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，精确的论断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（•襄乡区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下论断：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中精确论断的个数为（）A．1B．2C．3D．4 5．（•宜都会模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对付称轴为x=﹣1，且过面（﹣3，0）下列道法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是扔物线上的二面，则y1＞y2．其中道法精确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．（•莆田量检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象接y轴于背半轴，对付称轴正在y轴的左侧，则m的与值范畴是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3 7．（•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过面A（﹣3，0），对付称轴为x=﹣1．给出四个论断：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中精确论断的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（•乐山市中区模拟）如图，扔物线y=ax2+bx+c与x轴接于面A（﹣1，0），顶面坐标为（1，n），与y轴的接面正在（0，2）、（0，3）之间（包罗端面）．有下列论断：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中精确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（•齐齐哈我二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴接于面（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列论断精确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个10、（•沉庆）已知扔物线y=ax2+bx+c（a≠0）正在仄里曲角坐标系中的位子如图所示，则下列论断中，精确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞011、（•俗安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对付称轴x=1，给出下列截止①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤ab+c＜0，则精确的论断是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤12、（•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相接，其顶面坐标为（12，1），下列论断：①ac＜0；②a+b=0；③4acb2=4a；④a+b+c＜0．其中精确论断的个数是（）A、1B、2C、3D、4问案一．采用题（共9小题）1．（•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列道法：①c=0；②该扔物线的对付称轴是曲线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中精确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考面：二次函数图象与系数的闭系．分解：由扔物线与y轴的接面推断c与0的闭系，而后根据对付称轴及扔物线与x轴接面情况举止推理，从而对付所得论断举止推断．解问：解：扔物线与y轴接于本面，c=0，（故①精确）；该扔物线的对付称轴是：，曲线x=﹣1，（故②精确）；当x=1时，y=a+b+c∵对付称轴是曲线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③过失）；x=m对付应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对付应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数博得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④精确）．故选：C．面评：本题考查了二次函数图象与系数的闭系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数标记由扔物线启心目标、对付称轴、扔物线与y轴的接面、扔物线与x轴接面的个数决定．2．（•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下论断：①a+b+c ＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有精确论断的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考面：二次函数图象与系数的闭系．博题：数形分离．分解：由扔物线的启心目标推断a的标记，由扔物线与y轴的接面推断c的标记，而后根据对付称轴及扔物线与x轴接面情况举止推理，从而对付所得论断举止推断．解问：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①过失；②当x=﹣1时，图象与x轴接面背半轴明隐大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②精确；③由扔物线的启心背下知a＜0，∵对付称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③精确；④对付称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b同号，即b＞0，由图知扔物线与y轴接于正半轴，∴c＞0∴abc＜0，故④过失；∴精确论断的序号为②③．故选：B．面评：二次函数y=ax2+bx+c系数标记的决定：（1）a由扔物线启心目标决定：启心目标进与，则a＞0；可则a＜0；（2）b由对付称轴战a的标记决定：由对付称轴公式x=﹣推断标记；（3）c由扔物线与y轴的接面决定：接面正在y轴正半轴，则c＞0；可则c＜0；（4）当x=1时，不妨决定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，不妨决定y=a ﹣b+c的值．3．（•北阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么闭于此二次函数的下列四个论断：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，精确的论断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考面：二次函数图象与系数的闭系．博题：数形分离．分解：由扔物线的启心目标推断a与0的闭系，由扔物线与y轴的接面推断c 与0的闭系，而后根据对付称轴及扔物线与x轴接面情况举止推理，从而对付所得论断举止推断．解问：解：①∵图象启心背下，∴a＜0；故本选项精确；②∵该二次函数的图象与y轴接于正半轴，∴c＞0；故本选项精确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有二个不相共接面，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项精确；④∵对付称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项精确；综上所述，精确的论断有4个．故选D．面评：本题主要考查了二次函数的图象战本量，解问本题闭键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数标记的决定，干题时要注意数形分离思维的使用，共教们加强锻炼即可掌握，属于前提题．4．（•襄乡区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下论断：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中精确论断的个数为（）A．1B．2C．3D．4考面：二次函数图象与系数的闭系．分解：由函数y=x2+bx+c与x轴无接面，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，既而可供得问案．解问：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无接面，∴b2﹣4ac＜0；故①精确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②过失；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③精确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④精确．故选C．面评：主要考查图象与二次函数系数之间的闭系．此题易度适中，注意掌握数形分离思维的应用．5．（•宜都会模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对付称轴为x=﹣1，且过面（﹣3，0）下列道法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是扔物线上的二面，则y1＞y2．其中道法精确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考面：二次函数图象与系数的闭系．分解：根据扔物线启心目标得到a＞0，根据扔物线的对付称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对付②举止推断；根据扔物线与y轴的接面正在x轴下圆得到c＜0，则abc＜0，于是可对付①举止推断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对付③举止推断；通过面（﹣5，y1）战面（2，y2）离对付称轴的近近对付④举止推断．解问：解：∵扔物线启心进与，∴a＞0，∵扔物线对付称轴为曲线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②精确；∵扔物线与y轴的接面正在x轴下圆，∴c＜0，∴abc＜0，所以①精确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③过失；∵面（﹣5，y1）离对付称轴要比面（2，y2）离对付称轴要近，∴y1＞y2，所以④精确．故选D．面评：本题考查了二次函数图象与系数的闭系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决断扔物线的启心目标战大小，当a＞0时，扔物线进与启心；当a＜0时，扔物线背下启心；一次项系数b战二次项系数a共共决断对付称轴的位子：当a与b共号时（即ab＞0），对付称轴正在y轴左；当a与b同号时（即ab＜0），对付称轴正在y轴左．（简称：左共左同）．扔物线与y轴接于（0，c）．扔物线与x轴接面个数：△=b2﹣4ac＞0时，扔物线与x轴有2个接面；△=b2﹣4ac=0时，扔物线与x轴有1个接面；△=b2﹣4ac＜0时，扔物线与x轴不接面．6．（•莆田量检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象接y轴于背半轴，对付称轴正在y轴的左侧，则m的与值范畴是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3考面：二次函数图象与系数的闭系．分解：由于二次函数的对付称轴正在y轴左侧，根据对付称轴的公式即可得到闭于m的不等式，由图象接y轴于背半轴也可得到闭于m的不等式，再供二个不等式的大众部分即可得解．解问：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象接y轴于背半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对付称轴正在y轴的左侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．面评：此题主要考查了二次函数的本量，解题的闭键是利用对付称轴的公式以及图象与y轴的接面办理问题．7．（•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过面A（﹣3，0），对付称轴为x=﹣1．给出四个论断：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中精确论断的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考面：二次函数图象与系数的闭系．分解：由扔物线的启心目标推断a与0的闭系，由扔物线与y轴的接面推断c 与0的闭系，而后根据对付称轴及扔物线与x轴接面情况举止推理，从而对付所得论断举止推断．解问：解：∵扔物线的启心目标背下，∴a＜0；∵扔物线与x轴有二个接面，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①精确；由图象可知：对付称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②过失；∵图象过面A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③精确；∵扔物线与y轴的接面正在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④精确．故选C．面评：考查了二次函数图象与系数的闭系，解问本题闭键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数标记由扔物线启心目标、对付称轴、扔物线与y轴的接面、扔物线与x轴接面的个数决定．8．（•乐山市中区模拟）如图，扔物线y=ax2+bx+c与x轴接于面A（﹣1，0），顶面坐标为（1，n），与y轴的接面正在（0，2）、（0，3）之间（包罗端面）．有下列论断：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中精确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考面：二次函数图象与系数的闭系．分解：①由扔物线的对付称轴为曲线x=1，一个接面A（﹣1，0），得到另一个接面坐标，利用图象即可对付于选项①做出推断；②根据扔物线启心目标判决a的标记，由对付称轴圆程供得b与a的闭系是b=﹣2a，将其代进（3a+b），并判决其标记；③根据二根之积=﹣3，得到a=，而后根据c的与值范畴利用不等式的本量去供a的与值范畴；④把顶面坐标代进函数剖析式得到n=a+b+c=c，利用c的与值范畴不妨供得n的与值范畴．解问：解：①∵扔物线y=ax2+bx+c与x轴接于面A（﹣1，0），对付称轴曲线是x=1，∴该扔物线与x轴的另一个接面的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①精确；②根据图示知，扔物线启心目标背下，则a＜0．∵对付称轴x==1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②过失；③∵扔物线与x轴的二个接面坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=．∵扔物线与y轴的接面正在（0，2）、（0，3）之间（包罗端面），∴2≤c≤3，∴﹣1≤≤，即﹣1≤a ≤．故③精确；④根据题意知，a=，=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④精确．综上所述，精确的道法有①③④．故选D．面评：本题考查了二次函数图象与系数的闭系．二次函数y=ax2+bx+c系数标记由扔物线启心目标、对付称轴、扔物线与y轴的接面扔物线与x轴接面的个数决定．9．（•齐齐哈我二模）已知二次函数y=ax2+bx+c （a＞0）的图象与x轴接于面（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列论断精确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考面：二次函数图象与系数的闭系．分解：由扔物线的启心目标推断a与0的闭系，由扔物线与y轴的接面推断c 与0的闭系，而后根据对付称轴及扔物线与x轴接面情况举止推理，从而对付所得论断举止推断．解问：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴接于面（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，∴对付称轴正在y轴的左侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①精确；②隐然函数图象与y轴接于背半轴，∴c＜0精确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴接于面（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0精确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴接于面（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故④精确，故选D．面评：主要考查图象与二次函数系数之间的闭系，会利用对付称轴的范畴供2a 与b的闭系，以及二次函数与圆程之间的变换，根的判别式的流利使用．。
中考数学考点14二次函数图像与性质及与a、b、c的关系(原卷版)
二次函数图像与性质及与a 、b 、c 的关系【命题趋势】在中考中.二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数a 、b 、c 的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。
【中考考查重点】一、会用描点法画出二次函数的图像.通过图像了解二次函数的性质； 二、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k ax +=-)h (2y 的形式.并能由此得到二次函数图像的顶点坐标.说出图像的开口方向.画出图像的对称轴。
考点一：二次函数的概念及三种解析式概念 形如的函数叫二次函数三种解析式 1. 一般式：；2. 顶点式：（a ≠0）其中（h,k ）为二次函数的顶点坐标3. 交点式：.其中为抛物线与x 轴交点的横坐标图像画法列表、描点、连线1．（2021秋•黔西南州期末）下列各式中.y 是关于x 的二次函数的是（ ） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝3x 2+5﹣4x D ．y ＝考点二：二次函数的图像与性质2．（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5.则该二次函数图象的顶点坐标是（ ） A ．（﹣2.1）B ．（2.1）C ．（2.﹣1）D ．（1.2）3．（2020秋•莫旗期末）对于二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象.下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．当x ＝﹣1时.y 有最大值是2C ．对称轴是直线x ＝﹣1D ．顶点坐标是（1.2）4．（2021秋•越秀区期末）在同一平面直角坐标系xOy 中.一次函数y ＝ax 与二次函数y ＝ax 2﹣a 的图象可能是（ ）解析式对称轴直线（还可以利用.其中为y 值相等的两个点对应的横坐标）求解）顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，增减性当时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧.y 随x 的增大而增大 当a ＜0时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧.y 随x的增大而减少最值当时.y 有最小值当2bx a =-时.y 有最小值244ac ba-． 当a ＜0时.y 有最大值当时.y 有最大值A．B．C．D．5．（2021秋•南召县期末）已知（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m 上的点.则（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＝y2＞y3D．y1＞y2＝y3 6．（2021秋•昭阳区期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h.当x＞2时.y随x的增大而减小.则函数中k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．k＝2D．k≤﹣2考点三：二次函数图像与a、b、c的关系a、b、c的正负数判断二次函数图像二次项系数a 决定抛物线的开口方向及开口大小⑴当0a>时.抛物线开口向上⑵当0a<时.抛物线开口向下一次项系数b 决定对称轴的位置在二次项系数a确定的前提下.b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为对称轴为y轴）常数项系数c 决定抛物线与y轴的交点的位置⑴当0c>时.抛物线与y轴的交点在x轴上方⑵当0c=时.抛物线与y轴的交点为坐标原点⑶当0c<时.抛物线与y轴的交点在x轴下方2.根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系7．（2021秋•新抚区期末）如图.已知点A （﹣1.0）和点B （1.1）.若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点.则c 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤8．（2021秋•肃州区期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示.在下列ac 4b2-决定抛物线与x 轴的交点个数b2－4ac ＞0时.抛物线与x 轴有2个交点;b2－4ac ＝0时.抛物线与x 轴有1个交点; b2－4ac ＜0时.抛物线与x 轴没有交点 决定抛物线与x 轴的交点个数关系式 实质2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与1关系 2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与-1关系 a+b+c 实质是令x=1.看纵坐标正负 a -b+c 实质是令x=-1.看纵坐标正负 4a+2b+c 实质是令x=2.看纵坐标正负 4a -2b+c实质是令x=-2.看纵坐标正负五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1．（2021秋•五常市期末）抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是直线（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝2 2．（2021秋•呼和浩特期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1.下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0.1）B．当x＜1时.y的值随x值的增大而减小C．图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）D．图象的对称轴在y轴的右侧3．（2021春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4.y1）和B （﹣3.3.y2）.那么下列结论一定成立的是（）A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜04．（2021秋•克东县期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N.则点N的坐标为（）A．（1.﹣5）B．（1.5）C．（﹣1.5）D．（﹣1.﹣5）5．（2021秋•龙江县期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数.且a≠0）如图所示.现有结论：①abc＜0.②b2＞4ac.③3a+c＞0.④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4 2．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.则当x＝2时.y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5 3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.则实数a 的取值范围是（）A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1 4．（2021•阜新）如图.二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A.B（﹣1.0）两点.则下列说法正确的是（）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4.0）C．当x＜0时.y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣2 5．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示.下列说法错误的是（）A．a＜0.b＞0B．b2﹣4ac＞0C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜57．（2021•雅安）定义：min{a.b}＝.若函数y＝min{x+1.﹣x2+2x+3}.则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4 8．（2021•烟台）如图.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1.0）.B（3.0）.与y 轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时.y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2021•徐州）如图.点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4.直线AB与y轴交于点C.连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P.使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半.则这样的点P共有个．1．（2021•龙湾区模拟）下列函数中.是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+1 2．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中.A的坐标为（1.﹣2）.B的坐标为（﹣1.﹣5）.若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB 的下方.则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞2C．m＜﹣2或m＞2D．m＜﹣3或m＞2 3．（2021•陕西模拟）如图.若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1.与y 轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1.0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a ﹣2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时.x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（）A．I B．2C．3D．4。
二次函数图像与abc的关系专题训练
二次函数2y ax bx c =++图象的位置与abc 的关系归纳：二次函数2y ax bx c =++的对称轴为________,顶点坐标为______________（1）a 的符号由 决定： ①开口方向向 ⇔ a 0；②开口方向向 ⇔ a 0.（2）b 的符号由 决定；①对称轴在y 轴的左侧 ⇔b a 、 ；②对称轴在y 轴的右侧 ⇔b a 、 ；③对称轴是y 轴 ⇔b 0.④由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．（3）c 的符号由 决定：①抛物线与y 轴交于正半轴 ⇔c 0；②抛物线与y 轴交于负半轴⇔c 0；③抛物线过原点 ⇔c 0. （4）ac b 42-的符号由 决定：①抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0；②抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0；③抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0；（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．【典型例题】已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列4个结论中：①abc>0；②b<a+c ；③4a+2b+c>0；④b 2-4ac>0；⑤b=2a.正确的是 （填序号）【课后作业】1.根据图象填空，：（1）a 0 ，b 0 ，c 0， abc 0.（2）b 2-4ac 0（3）c b a ++ 0；c b a +- 0；（4）当0>x 时，y 的取值范围是 ；当0>y 时，x 的取值范围是 . 2.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 轴的正半轴，与x 轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.A.a ﹥0,bc ﹥0;B.a ﹤0,bc ﹤0;C. a ﹤0, bc ﹥0;D.a ﹥0, bc ﹤0xy y=ax 2+bx+c -1O 1x y x=10-1xy O 21213.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）A 、ac ＜0B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=54、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b 2-4ac ＞0； ②abc ＞0；③8a+c ＞0； ④9a+3b+c ＜0其中，正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45．已知反比例函数xk y =的图象在二、四象限，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）A6、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞07、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（ ）A 、ac ＜0B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=38、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞09、小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0<c ；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有（ ） y O x y Ox y O x yO xB ．C ．D ．A．2个B．3个 C．4个 D．5个10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤11、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小13、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、414、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 15．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A． 1个B．2个C． 3个D．4个16、如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个17．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 418．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④19、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个20、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=—4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=—1，x2=521、已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：0 1 1- 2- 2 x y ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（ ）A 、②③B 、②④C 、①③D 、①④22、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ ）个．A 、1B 、2C 、3D 、423、二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为x=2；②当y ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y=-x （x-4）；④当x ≤0时，y 随x 的增大而增大．其中正确的结论有（ ）A 、①②③④B 、①②③C 、①③④D 、①③24、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个 25、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④≤n ≤4．其中正确的是（ ）A ． ①②B ． ③④C ． ①③D ． ①③④26、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于点（﹣1，0），（x 1，0）， 且1＜x 1＜2，下列结论正确的个数为（ ）①b ＜0；②c ＜0；③a+c ＜0；④4a ﹣2b+c ＞0．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个27、如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(12)-，，且与x 轴交点的横坐标分别为12x x ，，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③2a+b=0；④a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个29、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=1，下列结论：①b ＜0；②（a+c ）2＞b2；③2a+b-c＞0；④3b＜2c．其中正确的结论有________（填上正确结论的序号）．30、已知：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b ＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（）A、①⑤B、①②⑤C、②⑤D、①③④31、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc＜0；④4ac-b2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b＞ax2+bx其中正确的有（填写正确结论的序号）．32、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（x1，0），-3＜x1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③b2＞4ac；④a-b＞m（ma+b）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个33、已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b2-2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个34.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②b=-2a；③a-b+c=0；④b＞5a．其中正确结论是．。
二次函数系数abc和图像的关系精选练习试题整理
点： 分 由函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点 . 可得 b2﹣ 4c＜ 0；当 x=﹣1 时 .y=1 ﹣ b+c 析： ＞ 0；当 x=3 时 .y=9+3b+c=3 ；当 1＜ x＜3 时 . 二次函数值小于一次函数值 .
可得 x2+bx+c ＜x. 继而可求得答案． 解 解：∵函数 y=x 2+bx+c 与 x 轴无交点 . 答： ∴ｂ2﹣4ac ＜ 0；
2
4．（ 2014? 襄城区模拟）函数 y=x +bx+c 与 y=x 的图象如图 . 有以下结论：
2
2
①ｂ﹣ 4c＜0；②c﹣ b+1=0；③3b+c+6=0； ④当 1＜ x＜3 时 .x +（ b﹣ 1）x+c＜ 0．
其中正确结论的个数为（
）
A．1
B．2
考 二次函数图象与系数的关系．
C． 3
D． 4
象与 y 轴正半轴相交 . 其顶点坐标为（ 12.1 ） . 下 列结论： ① ac＜0；② a+b=0；③4ac-b 2=4a；④a+b+c
＜ 0．其中正确结论的个数是（
）
A、 1 B 、 2 C 、 3 D 、4
答案
一．选择题（共 9 小题） 1．（ 2014? 威海）已知二次函数 y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图 . 则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线 x=﹣1；③当 x=1 时 .y=2a ；④am2+bm+a＞0
. 注意掌握数形
评： 结合思想的应用． 5．（ 2014? 宜城市模拟）如图是二次函数
2023年中考数学--- a,b,c和二次函数图像的九种考法例题解析
2023年中考数学--- a ，b ，c 和二次函数图像的九种考法例题解析如图，二次函数的图像关于直线对称，与x 轴交于，两点，若考法解决方法本题结果①a,b,ca:二次函数图像开口向上时，a ＞0；开口向下，则a ＜0；b ：和a 共同决定了函数对称轴的位置，“左同右异”，当对称轴在y 轴左侧时，a ，b 同号，当对称轴在y 轴右侧时，a ，b 异号。
c ：c 为图像和y 轴交点的纵坐标。
a ＞0b ＜0c ＜0②b 2−4ac当图像和x 轴有两个交点时，b 2−4ac ＞0； 当图像和x 轴有一个交点时，b 2−4ac =0； 当图像和x 轴没有交点时，b 2−4ac ＜0。
b 2−4ac ＜0 ③a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c 9a+3b+c 9a-3b+c 用特殊值进行判断：a+b+c 即为当x=1时的函数值； 4a-2b+c 即为当x=-2时的函数值。
a+b+c ＜0 a-b+c ＜0④3a+2b只有a ，b 时，用对称轴代换，消去一个未知数进行判断∵−b2a = 1，∴b=- 2а，∴3a ＋2b= 3a-4a= -a ，∵a ＞0，∴3a+2b<0⑤c+a 只有a ，c 或只有b ，c 时，先用对称轴代换，消去一个未知数，然后利用④中的结果判断结果∵a －b ＋c<0，∴a ＋c<b ，∵a ＞0， ∴b=-2a<0，∴a ＋c<0， ⑥b+2c若c 的系数不是1，可以先化成1再进行上述计算,或这把③中的某个式子中的c 的系数变成题里的形式。
∵−b 2a=1,∴2a =−b , ∵a+b ＋c<0，∴2a+2b ＋2c<0，-b+2b ＋2c<0，b ＋2c<0 ⑦am 2+bm 和a +b 的小小关系同时加上c ，am 2+bm+c ，a +b+c第一个式子是当x=m 时的函数值，第二个am 2+bm ≥a+b式子是当x=1时的函数值；由图可知，x=1时函数取最小值。
二次函数系数abc符号的关系
y
解析：⑴根据题意 得：
,
3
解得
所以抛物线的解析式为
－1 O
x
⑵令
解得
根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是
y
ox
y
o
x
四、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特
例：
y
y=a+b+c
1、当x=1 时，
y=a-b+c
2、当x= -1时， y=4a+2b+c
-2 -1 o 1 2
x
3、当x=2时，
y=4a-2b+c
…………… ……………
练4习、:当二x=次-2函时数， y=ax2+bx+c(a≠0)的图
练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（ B ） y
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 o
x
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（ A ）
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
练习：填空
（1）函数y=ax2 +bx+c（a 0）的函数值恒为正的
条件为：
，恒为负的条件为：
。
（2）已知抛物线y=ax2 +bx+c的图象在x轴的下方，
则方程ax2 +bx+c 0的解的情况为
初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题(含答案)
初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2－4ac等符号问题（含答案）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )A．当a＝1时,函数图象过点(－1,1)B．当a＝－2时,函数图象与x轴没有交点C．若a＞0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D．若a＜0,则当x≤1时,y随x的增大而增大2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示,则下列关系式错误的是( )图2－ZT－1A．a＜0B．b＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＜03．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限,则实数b 的取值范围是( )A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－2所示,则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b－cx在同一坐标系中的大致图象是( )图2－ZT－2图2－ZT－35．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1,则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是( )图2－ZT－46．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－5所示,对称轴是直线x＝1.下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )图2－ZT－5A．①④ B．②④C ．①②③D ．①②③④7．如图2－ZT －6,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2,0)和点B ,交y 轴负半轴于点C ,且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc ＞0,其中正确的结论有( )图2－ZT －6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间,其部分图象如图2－ZT －7所示,则下列结论：①4a －b ＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1,⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点,则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( )图2－ZT －7A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示,则a 的取值范围是________．图2－ZT－810．如图2－ZT－9是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论：2①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1,0)；④当1＜x＜4时,有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b.其中正确的结论是________．(只填写序号)图2－ZT－911．如图2－ZT－10,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x 轴交于点A(－1,0),C(x2,0),且与y轴交于点B(0,－2),小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时,x2＞5－1.以上结论中,正确的结论序号是________．图2－ZT－1012．如图2－ZT－11,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为－1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④当a＝12时,△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．图2－ZT－11三、解答题13．如图2－ZT－12,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B,C两点,交y轴于点A.(1)根据图象确定a,b,c的符号；(2)如果OC＝OA＝13OB,BC＝4,求这个二次函数的表达式．图2－ZT－1214．已知函数y＝ax2＋bx＋c,若a＞0,b＜0,c＜0,则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的？若无交点,请说明理由；若有交点,请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．详解详析二次函数图象与a,b,c,b2－4ac等符号问题1．[答案] D2．[解析] D 抛物线开口向下,则a＜0,所以A选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b＞0,所以B选项的关系式正确；抛物线与x轴有2个交点,则b2－4ac＞0,所以C选项的关系式正确；当x＝1时,y＞0,即a＋b＋c＞0,所以D选项的关系式错误．3．[答案] A4．[答案] C5．[解析] B 由公共点的横坐标为1,且在反比例函数y＝bx的图象上,当x＝1时,y＝b,即公共点的坐标为(1,b)．又点(1,b)在抛物线上,得a＋b＋c＝b,即a＋c＝0.由a≠0知ac＜0,一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上,而反比例函数y＝bx的图象的一支在第一象限,故b＞0,一次函数的图象满足y随x的增大而增大,选项B符合条件．故选B.6．[解析] C ①抛物线的开口向上,所以a>0.抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1,所以b<0,所以ab＜0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点,所以b2－4ac>0,所以b2＞4ac.所以②正确；③由图象知,当x＝1时,y＝a＋b＋c<0.又抛物线与y轴交于负半轴,所以c<0,所以a＋b ＋2c＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x ＝3时,y ＝9a ＋3b ＋c>0.又－b2a＝1,所以b ＝－2a,所以3a ＋c>0.所以④错误．综上可知,正确的是①②③.故选C.7．[解析] C 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中,当x ＝0时y ＝c,∴C(0,c),∴OC ＝－c.∵OB＝OC,∴B(－c,0)．∵A(－2,0),∴－c,－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根,∴－c·(－2)＝c a .∵c≠0,∴a ＝12,②正确；∵－c,－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根,∴－c ＋(－2)＝－b12,即2b －c ＝2,①正确；把B(－c,0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c,得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c,即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c≠0,∴ac －b ＋1＝0,∴ac ＝b －1,③正确；∵抛物线开口向上,∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在x 轴左侧,∴－b2a ＜0,∴b ＞0,∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C,∴c ＜0.∴a ＋bc＜0,④错误．8．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2,∴－b2a＝－2,∴4a －b ＝0,故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间,∴另一个交点位于(－1,0)和(0,0)之间,∴抛物线与y 轴的交点在原点的下方,∴c ＜0.故②正确；∵4a －b ＝0,∴b ＝4a.∵当x ＝－3时,y ＝9a －3b ＋c ＝9a －12a ＋c ＝－3a ＋c>0,故③正确；∵4a －b ＝0,∴b ＝4a,∴at 2＋bt －(4a －2b)＝at 2＋4at －(4a －2×4a)＝at 2＋4at ＋4a ＝a(t 2＋4t ＋4)＝a(t ＋2)2.∵t 为实数,a ＜0,∴a(t ＋2)2≤0,∴at 2＋bt －(4a －2b)≤0,∴at 2＋bt≤4a－2b,即4a －2b≥at 2＋bt,∴④错误；∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1,⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点,∴将它们描在图象上可得由图象可知：y1<y3<y2,故⑤错误．综上所述,正确的有3个．故选B.9．[答案] －1＜a＜0[解析] ∵抛物线开口向下,∴a＜0.∵函数图象过点(0,1),∴c＝1.∵函数图象过点(1,0),∴a＋b＋c＝0,∴b＝－(a＋c)＝－(a＋1)．由题意知,当x＝－1时,应有y＞0,∴a－b＋c＞0,∴a＋(a＋1)＋1＞0,∴a＞－1,∴a的取值范围是－1＜a＜0.10．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知,a＜0,b＞0,c＞0,故abc＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知,方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根,即x1＝x2＝1；③根据抛物线的对称性可知,抛物线与x轴的另一个交点是(－2,0)；④根据函数图象,当1＜x＜4时,有y2＜y1；⑤当x＝1时,y＝a＋b＋c＝3≥x(ax＋b)＋c,∴x(ax＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．[答案] ①④[解析] 由抛物线的开口向上可知,a ＞0,且抛物线经过点A(－1,0),B(0,－2),对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b2a >0，即a －b ＝2,b ＜0,故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2,将其代入0＜a ＜2中,得0＜b ＋2＜2,即－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时,因为a ＞0,b ＜0,故有a ＝－b.又a －b ＝2,可得a ＝1,b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2,当y ＝0时,即有x 2－x －2＝0,解得x 1＝－1,x 2＝2, 此时x 2＝2＞5－1.故答案为：①④. 12．[答案] ③④[解析] ∵抛物线与x 轴的交点A,B 的横坐标分别为－1,3,∴AB ＝4,对称轴为直线x ＝－b2a＝1,∴b ＝－2a,即2a ＋b ＝0.故①错误；根据图象知,当x ＝1时,y ＜0,即a ＋b ＋c ＜0.故②错误；∵点A 的坐标为(－1,0),∴a －b ＋c ＝0,而b ＝－2a,∴a ＋2a ＋c ＝0,即c ＝－3a.故③正确；当a ＝12时,b ＝－1,c ＝－32,抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E,∴把x ＝1代入y ＝12x 2－x －32,得y ＝12－1－32＝－2,∴点D 的坐标为(1,－2),∴AE ＝2,BE ＝2,DE ＝2,∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形,∴△ABD 为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB 为等腰三角形,则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC,当AB ＝BC ＝4时,∵BO ＝3,△BOC 为直角三角形,OC 的长为|c|,∴c 2＝16－9＝7.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,∴c ＝－7,与2a ＋b ＝0,a －b ＋c ＝0联立组成方程组,解得a ＝73； 当AB ＝AC ＝4时,∵AO ＝1,△AOC 为直角三角形,OC 的长为|c|,∴c 2＝16－1＝15. ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,∴c ＝－15,与2a ＋b ＝0,a －b ＋c ＝0联立组成方程组,解得a ＝153； 当AC ＝BC 时,在△AOC 中,AC 2＝1＋c 2,在△BOC 中,BC 2＝c 2＋9.∵AC ＝BC,∴1＋c 2＝c 2＋9,此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述,正确的结论是③④.13．解：(1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴x ＝－b2a<0, ∴a,b 同号,即b>0.∵抛物线与y 轴交于负半轴,∴c<0. 综上所述,a>0,b>0,c<0. (2)∵OC＝OA ＝13OB,BC ＝4,∴点A 的坐标为(0,－1),点B 的坐标为(－3,0),点C 的坐标为(1,0)．把A,B,C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中,可得⎩⎨⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1，∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1.14．[全品导学号：63422210]解：∵a＞0,b ＜0,c ＜0,∴b 2－4ac ＞0, ∴这个函数图象与x 轴有两个交点．设这个函数图象与x 轴的交点坐标为(x 1,0),(x 2,0)． ∵x 1·x 2＝ca ,a ＞0,c ＜0,∴x 1·x 2＜0,∴这个函数图象与x轴有两个交点,一个交点在x轴的正半轴上,另一个交点在x轴的负半轴上．。
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二次函数2y ax bx c =++图象的位置与abc 的关系归纳：二次函数2y ax bx c =++的对称轴为________,顶点坐标为______________ （1）a 的符号由 决定：①开口方向向 ⇔ a 0；②开口方向向 ⇔ a 0. （2）b 的符号由 决定；①对称轴在y 轴的左侧 ⇔b a 、 ； ②对称轴在y 轴的右侧 ⇔b a 、 ；③对称轴是y 轴 ⇔b 0. ④由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．（3）c 的符号由 决定： ①抛物线与y 轴交于正半轴 ⇔c 0； ②抛物线与y 轴交于负半轴⇔c 0； ③抛物线过原点 ⇔c 0.（4）ac b 42-的符号由 决定： ①抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0； ②抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0； ③抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0；（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．【典型例题】已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列4个结论中：①abc>0；②b<a+c ；③4a+2b+c>0；④b 2-4ac>0； ⑤b=2a.正确的是 （填序号）【课后作业】1.根据图象填空，：（1）a 0 ，b 0 ，c 0， abc 0. （2）b 2-4ac 0（3）c b a ++ 0；c b a +- 0；（4）当0>x 时，y 的取值范围是 ；当0>y 时，x 的取值范围是 .2.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 轴的正半轴，与x 轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.A.a ﹥0,bc ﹥0;B.a ﹤0,bc ﹤0;C. a ﹤0, bc ﹥0;D.a ﹥0, bc ﹤0xyy=ax 2+bx+c-1O 1xy x=1-1xyO 21213.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）A 、ac ＜0B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=54、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b 2-4ac ＞0； ②abc ＞0；③8a+c ＞0； ④9a+3b+c ＜0 其中，正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45．已知反比例函数xky =的图象在二、四象限，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）A6、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞07、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（ ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=38、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞09、小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0<c ；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有（ ）yO x yOxyOxyOxB ．C ．D ．A．2个B．3个 C．4个 D．5个10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤11、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小13、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、414、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 15．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A． 1个 B．2个 C． 3个 D．4个16、如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个17．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 418．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④19、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个20、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=—4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=—1，x2=521、已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：0 1 1-2- 2xy①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根． 其中错误的结论有（ ）A 、②③B 、②④C 、①③D 、①④22、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ ）个． A 、1 B 、2 C 、3 D 、423、二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为x=2；②当y ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y=-x （x-4）；④当x ≤0时，y 随x 的增大而增大． 其中正确的结论有（ ）A 、①②③④B 、①②③C 、①③④D 、①③24、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论： ①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ） A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个25、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论： ①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4． 其中正确的是（ ） A ． ①② B ． ③④ C ． ①③ D ． ①③④26、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于点（﹣1，0），（x 1，0）， 且1＜x 1＜2，下列结论正确的个数为（ ） ①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c ＞0． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 27、如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(12)-，，且与x 轴交点的横坐标分别为12x x ，，其中121x -<<-，201x <<，下列结论： ①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③2a+b=0；④a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）． 其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个29、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=1，下列结论：①b ＜0；②（a+c ）2＞b2；③2a+b-c＞0；④3b＜2c．其中正确的结论有 ________（填上正确结论的序号）．30、已知：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b ＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（）A、①⑤ B、①②⑤ C、②⑤ D、①③④31、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc＜0；④4ac-b2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b＞ax2+bx其中正确的有（填写正确结论的序号）．32、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（x1，0），-3＜x1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③b2＞4ac；④a-b＞m（ma+b）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个33、已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b2-2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个34.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②b=-2a；③a-b+c=0；④b＞5a．其中正确结论是．。