算法复习题

1．什么是算法？算法必须满足的五个特性是什么？

算法：一组有穷的规则，规定了解决某一特定类型问题的一系列运算。（有限指令的集合，遵循它可以完成一个特定的任务）.

必须满足的五个特性是(遵循以下五条准则)：

1．有穷（限）性

2．确定性

3．可（能）行性

4．输入（n≥0）

5．输出（n≥1）

2．对算法进行分析分哪两个阶段？各自完成什么任务（分别得到什么结果）？

对一个算法要作出全面的分析可分成两个阶段进行，即：事前分析和事后测试。

事前分析求出该算法的一个时间界限函数；

事后测试搜集此算法的执行时间和实际占用空间的统计资料。

3．证明：若f1(n)=O(g1(n))并且f2(n)= O(g2(n))，那么f1(n) +f2(n)=

O(max{g1(n), g2(n)}

证明：

根据f1(n)=O(g1(n))可知，存在正常数C1，当n≥n0时，使得|f1(n)|≤

C1|g1(n)|；

同理，根据f2(n)= O(g2(n))可知，存在正常数C2，当n≥n0时，使得|f2(n)|≤C2|g2(n)|

当n≥n0时，|f1(n)+f2(n)|≤|f1(n)|+|f2(n)|≤C1|g1(n)|+C2|g2(n)|≤

C1|g k(n)|+C2|g k(n)|

≤（C1+C2）|g k(n)|，其中g k(n)=max{g1(n),g2(n)}，k={1,2}

当n≥n0时，取C=（C1+C2），据定义命题得证。

4．如果f

1(n)= Θ(g

1

(n))并且f

2

(n)= Θ(g

2

(n))，下列说法是否正确？试说明

之。

（a） f1(n) +f2(n)= Θ(g1(n)+ g2(n))

（b） f1(n) +f2(n)= Θ(min{g1(n), g2(n)})

（c） f1(n) +f2(n)= Θ(max{g1(n), g2(n)})

答：（a）和（c）均正确，（b）错误。

（a）正确可以根据定义直接证得。

（b）错误可举反例。例：f1(n)= 2n，f2(n)=2 n2

下面证明（c）正确性.

根据上题已经证明f1(n)+f2(n)= O(max{g1(n),g2(n)})，下面只需证明

f 1(n)+f

2

(n)= Ω(max{g

1

(n), g

2

(n)})，即存在正常数C，使得|f

1

(n)+f

2

(n)|≥

C(max{g

1(n), g

2

(n)})

根据f1(n)= Θ(g1(n))并且f2(n)= Θ(g2(n)) 得到，当n≥n0时，存在正常数C1、C2、C3、C4

C 1|g

1

(n)|≤|f

1

(n)|≤C

3

|g

1

(n)|

C

2|g

2

(n)|≤|f

2

(n)|≤C

4

|g

2

(n)|

不妨设max{g1(n), g2(n)}= g1(n)

由于|f1(n)+f2(n)|≥||f1(n)|-|f2(n)||≥|C1|g1(n)|-C3|g2(n)||

=C|max{g

1(n), g

2

(n)}|

取C≥|C1-C3|的正常数，由定义得

f 1(n)+f

2

(n) = Ω(max{g

1

(n), g

2

(n)})

命题得证。

5．证明 |「log

2

n」|= O(n) 证明：对于任意的正整数n，

|「log

2n」|≤|log

2

（n+1）|≤|n+1|≤2|n|

取n0=1，C=2，根据定义知命题成立。

6．证明 3n「log

2

n」= O(n2)

证明：对于任意的正整数n，|3n「log2n」|≤|3n「log2n」|≤3|n2| 取n0=1，C=3，根据定义知命题成立。

7．用数学归纳法证明：当n≥1时，∑

=

+ =

n

i

n

n

i

1

2/)1

(.

证明：当n=1时，∑

==

n

i

i

1

1，n(n+1)/2=1，命题成立；

假设n=k-1时，∑

=

+ =

n

i

n

n

i

1

2/)1

(成立;（k≥2）

当n=k时，∑

=

+ =

n

i

n

n

i

1

2/)1

(=k

k

k

i

n

i

+

-

=

∑

=1

2/)1

(=k(k+1)/2

综上可知，命题成立。

8．在下列情况下求解递归关系式

T(n)=

()

2(/2)()

g n

T n f n

⎧

⎨

+

⎩否则

足够小

n

当①n=2k g(n)= O(1)和f(n)= O(n)；

②n=2k g(n)= O(1)和f(n)= O(1)。

解: T(n)=T(2k)=2 T(2k-1)+f(2k)=2(2 T(2k-2)+f(2k-1)) +f(2k)

=22T(2k-2)+21 f(2k-1)+ f(2k)