专升本高等数学课件知识归纳大全
完整版)专升本高等数学知识点汇总
完整版)专升本高等数学知识点汇总常用的高等数学知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
2) y=1/x，分式形式的定义域为x≠0.3) y=sqrt(x)，x根式的形式定义域为x≥0.4) y=log_a(x)，对数形式的定义域为x＞0.二、函数的性质1、函数的单调性：当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是增加的。
当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性：定义函数y=f(x)的定义区间D关于坐标原点对称，若x∈D，则有- x∈D：1) 偶函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)。
2) 奇函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)。
三、基本初等函数1、常数函数：y=c，定义域为(-∞,+∞)，图形是一条平行于x轴的直线。
2、幂函数：y=x^u，(u是常数)。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数：定义y=f(x)=a^x，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(0,1)点。
4、对数函数：定义y=f(x)=log_a(x)，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(1,0)点。
5、三角函数：1) 正弦函数：y=sin(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
2) 余弦函数：y=cos(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
3) 正切函数：y=tan(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠(2k+1)π/2，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
4) 余切函数：y=cot(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠kπ，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
四、极限一、求极限的方法：1、代入法：将x的值代入函数中求得对应的y值。
改写后的文章：高等数学中常用的知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
专转本高数知识点整理
专转本高数知识点整理一、函数。
1. 函数的概念。
- 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集。
如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y = f(x)，x∈ D。
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域。
- 函数的两要素：定义域和对应法则。
2. 函数的性质。
- 单调性：设函数y = f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于(a,b)内任意两点x_1和x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间(a,b)内是单调增加（或单调减少）的。
- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈ D，有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。
- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意x∈ D有(x± T)∈ D，且f(x + T)=f(x)恒成立，则称函数y = f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
3. 反函数。
- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。
如果对于W中的每一个y值，在D中有且只有一个x值使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，称为函数y = f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。
习惯上，将y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。
二、极限。
1. 极限的定义。
- 数列极限：设{a_n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式| a_n-a|都成立，那么就称常数a是数列{a_n}的极限，或者称数列{a_n}收敛于a，记作lim_n→∞a_n=a。
- 函数极限（x→ x_0）：设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义。
专升本数学连续ppt课件
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
专升本高等数学课件 第一章
称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量.
[说明] 通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
• 隐函数：函数 y 与自变量 x 的对应法则用一个方程 F(x, y) 0
表示的函数，如x2 y2 1 0 .
二、函数的性质
1．函数的单调性
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当x1 x2时, (1) 若恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
o
例如，x2 y2 a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
3、函数的表示法
解析法：用解析表达式表示函数关系
表格法：用列表的方法来表示函数关系
图示法：用平面直角坐标系上的曲线来 表示函数关系
几个特殊的函数举例
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
专升本-高数一-PPT课件
例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
n t, x o t cy （1 ） ． y a x
）
1 x , 1 y ( ) 1 - x （2） ．y2 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
故
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
二、 极限
1．概念回顾
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． x2 9
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． 解： lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x 知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
数。
: D g ( D ) D f: D f( D ) g 1 1 1
f g : D f [ g ( D ) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1 ； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
则 lim
am x x b x n n
m
m a bn a1 x a0 0 b1 x b0
mn mn mn
专升本高等数学课件知识归纳大全
1 x 2 1 （D）
1 cos x
2
(ex 1)sinx
（09）
x0 当 时，下列四组函数中为等价
无穷小的是 （ B ）
（A）
x2与 2 x
（B）
（C） 1cosx与x2 （D）
sin x与x
tan 2x与x
4.等价无穷小代换定理(教材P27）
定理
当xx0,~,~,lx ixm 0 存在 ,
1e1 x2
（模A） eg
f(x)xx (2 x 2 x1 ),求 f(x)的 间 断 点 并 判 别 其 类 型 。
f (x)tanxx,x[4,54],
求f (x)的间断点并判别其类型。
(三)闭区间上连续函数的性质
定理1 f(x ) C [a ,b ] 存 在 f(x )m a x ,f(x )m in
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0
左连续limf (x) f (x0) xx0
右连续limf (x) f (x0) xx0
(二)间断点分类
第一类（
(1)可去间断点 (2)可去间断点 (3)跳跃间断点
第二类（ (4)无穷间断点 (5)振荡间断点
f(x0都存0在)， 的间f断(点x0 ）0)
至 少 有 一 个 不 超 过 ab的 正 根
（模C）
设 f ( x ) 0, 在 [a , b ]连 续 ,
令 F ( x )
x
f (t)dt
x
1
dt
a
b f (t)
求 证 ：1 .F ( x ) 2
2 .方 程 F ( x ) 0 在 ( a , b )内
有且仅有一个实根。
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二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
Hale Waihona Puke 第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
5. 初等函数 六种基本初等函数：
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
专升本高数必修知识点总结
专升本高数必修知识点总结一、极限和导数1.1 极限极限是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点或在无穷远处的值，是微积分的基础和核心概念。
极限的概念是指：当自变量趋于某个确定的数时，函数的值逐渐地接近于一个确定的常数。
常见的极限有以下几种类型：常数极限、无穷大极限、无穷小极限、复合函数的极限。
常数极限：当x趋于a时，常数函数f(x)=c常数c称为极限。
无穷大极限：当x趋于无穷大时，函数f(x)趋于无穷大。
无穷小极限：当x趋于a时，函数f(x)趋于0。
复合函数的极限：由复合函数的连续性推论而来。
1.2 导数导数是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率，是描述函数变化的一种重要工具。
导数的概念是指：在数学上，对于给定的函数f(x)，如果它在某一点x处有导数f'(x)，那么函数f(x)在这一点x处一定是可导的，而且这一点导数f'(x)就是函数f(x)在这一点的切线的斜率。
导数的性质包括了常数函数的导数、求和函数的导数、乘积函数的导数、商函数的导数、复合函数的导数和反函数的导数等。
那么如何求导数呢？求导数的方法主要有以下几种：利用极限定义、利用基本导数公式、利用导数的四则运算法则、利用导数的公式、利用导数的运算法则、利用导函数或利用微分等。
1.3 高数应用极限和导数的概念在高数中有着广泛的应用，比如在求解极限问题时，常使用洛必达法则、夹逼定理等方法；在求导数中，常使用链式法则、隐函数求导、参数方程求导等方法。
极限和导数也广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理和社会科学等领域，是高数中一个非常重要的知识点。
二、积分2.1 定积分定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间上的总体量，是微积分的另一个核心概念。
定积分的概念是指：它是由无限小矩形面积的极限求和而得到的，用来描述曲线与x轴之间的面积，表示了曲线在某一区间上的总体量。
定积分的性质包括了常数函数的定积分、基本初等函数的定积分、积分中值定理、负积分、定积分的加法性、定积分的乘法性等。
(完整版)专升本高等数学知识点汇总
专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）c bx ax y b kx y ++=+=2一般形式的定义域：x ∈R（2）x k y =分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0（4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0二、函数的性质1、函数的单调性当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。
当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。
2、 函数的奇偶性定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-）(1) 偶函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f =-。
(2) 奇函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f -=-。
三、基本初等函数1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。
2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。
它的定义域随着u 的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。
4、对数函数定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。
图形过（1,0）点。
5、三角函数(1) 正弦函数: x y sin =π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。
(2) 余弦函数: x y cos =.π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。
(3) 正切函数: x y tan =.π=T ， },2)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =.π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .5、反三角函数(1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2,2[)(ππ-=D f 。
完整版专升本高等数学知识点汇总
完整版专升本高等数学知识点汇总高等数学是专升本考试的重点科目之一，其课程内容包括微积分、数学分析、线性代数、概率论、数值计算等多方面的知识。
以下就是完整版的专升本高等数学知识点汇总：一、微积分（一）函数的极限和连续性1. 函数极限的定义和计算方法2. 充分条件和必要条件等述和运用3. 连续函数的概念和性质4. 零点定理、介值定理、最大值最小值定理5. 导数和微分6. 黎曼和与积分（二）微分方程1. 基本概念和解的存在唯一性定理2. 分离变量法、齐次方程、线性方程和二阶线性齐次方程3. 变量分离法、常系数齐次线性微分方程和欧拉公式（三）多元函数微积分1. 偏导数、全微分、隐函数定理和函数极值2. 二元函数定积分和变量替换法3. 重积分、累次积分和极坐标下的重积分（四）级数1. 序列极限、级数部分和的极限和级数收敛的定义2. 正项级数收敛判别法和比较判别法3. 极限比值法、根值法、阿贝尔定理和绝对收敛二、线性代数（一）行列式1. 行列式的定义、性质和元素和运算2. 克拉默法则和余子式、代数余子式的定义3. 行列式的计算和逆阵的求法（二）矩阵1. 矩阵的定义和性质2. 矩阵的运算：加法、数乘、乘法3. 矩阵的逆和伴随矩阵4. 线性方程组的解法：高斯消元法、初等变换法、矩阵法（三）向量空间1. 向量空间的定义和性质2. 线性无关、线性相关、秩和基础矩阵3. 子空间、直和空间、坐标系（四）特征值和特征向量1. 特征值的定义、性质和计算2. 特征向量的定义和寻找3. 对角矩阵和相似变换三、概率论（一）随机事件和随机变量1. 随机事件和概率的定义和性质2. 条件概率和乘法公式3. 随机变量的定义、分布函数和密度函数（二）随机变量的分布1. 常见离散型分布：伯努利分布、二项分布、泊松分布等2. 常见连续型分布：均匀分布、正态分布、指数分布等（三）随机变量的数字特征1. 数理期望和方差2. 协方差和相关系数3. 大数定律和中心极限定理四、数学分析（一）无穷级数1. 函数项级数、幂级数和几何级数2. Abel定理和Dirichlet定理（二）函数的连续性和可导性1. 极限的闭合性和连续函数的性质2. 可导函数的定义、求导公式和求导法则3. 微分中值定理和泰勒公式（三）广义积分1. 广义积分的概念、性质和判别法2. 常见的特殊函数与收敛性讨论五、数值计算（一）插值法1. 拉格朗日插值、牛顿插值与分段线性插值2. 多项式插值误差和插值余项（二）数值微积分1. 求积公式的概念和性质2. Newton-Cotes公式和Gauss-Legendre公式3. 自适应辛普森公式和数值微分公式以上便是专升本高等数学知识点的完整汇总，考生通过此份知识点汇总可做到有的放矢，聚焦重点，帮助他们更好地备战考试。
专升本高等数学课件
链式法则
链式法则用于计算复合函数的导数， 是导数计算中数法则是用于计算分式函数的 导数，即(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点的变化量的近似值，它是 函数值的线性主部。
微分的几何意义
微分在几何上表示函数曲线在某一点附近的小 “斜坡”。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲线在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、 指数函数、三角函数等，它们的导数已
经给出。
乘积法则
乘积法则用于计算两个函数的导数， 即(uv)'=u'v+uv'。
一阶微分方程是包含一个 导数项的方程。
定义
求解方法 形式
二阶微分方程
定义
二阶微分方程是包含两个导 数项的方程。
形式
d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)， 其中f(x, y, z)是关于x、y和z 的函数。
求解方法
通过变量代换、积分等方法 求解。
高阶微分方程
01
定义
高阶微分方程是包含三个或更多 导数项的方程。
专升本高等数学 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习高 等数学的基础。
详细描述
函数是数学中描述两个变量之间关系 的一种方法，它具有对应性、有界性 、单调性、周期性和奇偶性等性质。 理解这些性质有助于更好地理解函数 的图像和变化规律。
专升本高数知识点汇总
第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：，图像关于原点对称。
偶函数：，图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若，则是比高阶的无穷小量。
（2）若（不为0），则与是同阶无穷小量特别地，若，则与是等价无穷小量（3）若，则与是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。
4、两个重要极限（1）使用方法：拼凑，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致（2）使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
)()(x f x f )()(x f x f βα，0βαlim αβc βαlimαβ1βαlimαββαlimαβ1x x xx xxsin limsin limsinlimsinlimex xxx xx1111)(lim lim e101)(lim5、的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。
,以相同的比例趋向于无穷大；，分母以更快的速度趋向于无穷大；，分子以更快的速度趋向于无穷大。
7、左右极限左极限：右极限：注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
8、连续、间断连续的定义：或间断：使得连续定义无法成立的三种情况记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（1）、第二类间断点：、至少有一个不存在（2）、第一类间断点：、都存在注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质mnm nm n b a XQ x P m n x,,,lim000xP n xQ m m n m n m n A x f x x)(lim 0Ax f xx)(lim 0Ax f x f A x f x xx xxx )(lim )(lim )(lim 0充分必要条件是)()(lim lim00x f x x f yx x)()(lim00x f x f x x)()(lim 00x f x f xx )()(lim )(lim )()(0000x f x f x f x f x f xx xx 不存在无意义不存在，)(lim 0x f x x )(lim 0x f xx )(lim 0x f x x)(lim 0x f x x)(lim )(lim )(lim )(lim 0x f x f x f x f xx xx xx xx 跳跃间断点：可去间断点：（1）最值定理：如果在上连续，则在上必有最大值最小值。
专升本高数必修知识点归纳
专升本高数必修知识点归纳专升本高等数学是许多学生在继续深造过程中必须面对的一门课程，其知识点广泛，涉及多个数学领域。
以下是对专升本高等数学必修知识点的归纳总结：一、函数与极限- 函数的概念：定义域、值域、奇偶性、周期性等。
- 极限的定义：数列极限、函数极限、无穷小量和无穷大量的概念。
- 极限的运算法则：四则运算、有理化、夹逼定理等。
二、导数与微分- 导数的定义：导数的几何意义、物理意义。
- 基本导数公式：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
- 高阶导数：二阶导数、三阶导数等。
- 微分的概念：一阶微分、高阶微分。
三、积分学- 不定积分：换元积分法、分部积分法、有理函数积分。
- 定积分：定积分的性质、几何意义、物理意义。
- 广义积分与反常积分：概念、计算方法。
- 积分的应用：面积、体积、平均值等。
四、级数- 级数的概念：收敛、发散、条件收敛。
- 正项级数：比较判别法、比值判别法、根值判别法。
- 幂级数：泰勒级数、麦克劳林级数。
- 函数项级数：傅里叶级数、傅里叶变换。
五、多元函数微分学- 多元函数的极限与连续性。
- 偏导数与全微分。
- 多元函数的极值问题。
六、多元函数积分学- 二重积分与三重积分。
- 曲线积分与曲面积分。
- 格林公式、高斯公式、斯托克斯定理。
七、常微分方程- 一阶微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程、伯努利方程等。
- 高阶微分方程：特征方程、欧拉方程。
- 线性微分方程组。
八、线性代数基础- 向量空间、子空间、基和维数。
- 线性变换、矩阵的运算、行列式。
- 特征值、特征向量、对角化。
九、解析几何- 空间直线与平面的方程。
- 空间曲线与曲面的方程。
- 向量在空间几何中的应用。
结束语：专升本高等数学的学习是一个系统而深入的过程，需要同学们不断积累和实践。
掌握上述知识点，将有助于同学们在专升本考试中取得优异的成绩。
希望这份归纳能够帮助同学们更好地理解和复习高等数学，为未来的学术和职业生涯打下坚实的基础。
专升本高数知识点概述总结
专升本高数知识点概述总结一、数列与级数1. 数列的概念和表示方法2. 数列的分类及常见数列3. 数列的通项公式及性质4. 级数的概念和性质5. 级数的敛散性及判别法6. 级数的常见级数及性质7. 函数极限与无穷小8. 极限的概念和性质9. 极限的求解方法10. 无穷小量与无穷大量11. 函数的连续性12. 函数的连续性及运算13. 函数极值与最值14. 函数求导与微分15. 函数的泰勒展开与应用16. 定积分及其性质17. 定积分的计算方法与应用18. 不定积分及其定义与性质19. 不定积分的计算方法与应用20. 定积分与无穷积分之间的联系二、微分方程1. 微分方程的概念及分类2. 微分方程的解法3. 一阶线性微分方程4. 高阶线性常系数微分方程5. 高阶线性变系数微分方程6. 高阶非齐次线性微分方程7. 常微分方程的应用8. 微分方程的解析解与数值解9. 微分方程在生物和医学领域中的应用10. 微分方程在工程领域中的应用三、多元函数微分学1. 多元函数的定义及表示2. 多元函数的极限与连续性3. 多元函数的偏导数4. 隐函数的偏导数5. 方向导数与梯度6. 多元函数的极值与最值7. 多元函数的泰勒公式及应用8. 多元函数的微分形式9. 多元函数的积分计算10. 重积分的概念及性质11. 重积分的计算方法与应用12. 二重积分与三重积分之间的联系13. 积分中值定理及应用四、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念及运算2. 向量的数量积与向量积3. 空间直线和平面的方程4. 空间曲线和曲面的方程5. 空间向量与向量代数的应用6. 空间几何与向量的几何应用7. 空间几何在物理和工程领域中的应用五、级数求和与数学证明1. 数学归纳法2. 递推数列的通项公式求解与应用3. 数列的数学归纳法证明4. 几何级数与数学证明5. 一元函数的泰勒级数展开与应用6. 麦克劳林级数的应用7. 级数求和的收敛性判别法8. 变步长球壳法与变限积分的应用9. 函数逼近及余项估计10. 数学证明在实际问题中的应用这些是专升本高等数学的主要知识点，通过对这些知识点的深入学习和理解，学生可以掌握高等数学的核心内容，为将来的学习和工作奠定坚实的数学基础。
专升本-高等数学--第三章-PPT
Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见，曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比，当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时，
Q (t0 )
细杆 质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本 总成本 模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如，函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续，
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A（A 为常数），试判断下列命
题是否正确.
（1） f (x)在点 x=a 处可导；
（2） f (x)在点 x=a 处连续；
（3） f (x) f (a) A(x a) o(x a).
【专转本】高数知识点汇总
【专转本】高数知识点汇总
以下是高等数学的一些重要知识点的汇总：
1. 极限：
- 变量趋于无穷时的极限计算
- 函数的左极限和右极限
- 极限的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、夹逼定理等- 无穷小量和无穷大量的概念
2. 偏导数与全微分：
- 多元函数对于一个变量的偏导数
- 多元函数的全微分和偏导数的关系
- 隐函数求导法则
- 高阶偏导数和混合偏导数
3. 微分法：
- 泰勒展开式和麦克劳林展开式的应用
- 最大值和最小值的存在性和求解方法
- 条件极值和拉格朗日乘子法
4. 不定积分：
- 不定积分的定义和性质
- 基本积分公式和常用积分公式
- 函数的换元积分法和分部积分法
- 无穷区间上的积分计算方法
5. 定积分：
- 定积分的定义和性质
- 牛顿-莱布尼茨公式和基本定理的应用
- 用定积分计算曲线的弧长、面积和体积
6. 微分方程：
- 一阶微分方程的解法，如可分离变量法、齐次方程和一阶线
性方程等
- 高阶微分方程的解法，如常系数线性齐次方程和非齐次方程
等
- 二阶线性非齐次方程的特解法和待定系数法
以上是高等数学中一些重要的知识点的汇总，但高等数学的内容非常广泛深入，上述只是其中的一部分，想要在高数考试中取得好的成绩，需要全面掌握这些知识点，并进行大量的练习。
高数专升本知识点目录总结
高数专升本知识点目录总结第一章：集合与函数1.1 集合的基本概念1.2 集合的运算1.3 函数的概念1.4 函数的性质1.5 反函数和复合函数第二章：极限与连续2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 极限的运算法则2.4 无穷大与无穷小2.5 连续的概念2.6 连续函数的运算法则第三章：导数与微分3.1 导数的定义3.2 导数的计算3.3 隐函数和参数方程的导数3.4 高阶导数和导数的应用3.5 微分的概念3.6 微分的近似计算第四章：不定积分4.1 不定积分的性质4.2 不定积分的基本公式4.3 特殊函数的不定积分4.4 不定积分的计算方法4.5 定积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的定义5.2 定积分的计算5.3 特殊函数的定积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 微分方程的解的存在唯一性6.3 一阶微分方程的解法6.4 高阶微分方程的解法6.5 微分方程的应用第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限7.2 偏导数7.3 全微分7.4 多元函数的极值7.5 条件极值第八章：重积分8.1 二重积分的概念8.2 二重积分的计算8.3 三重积分的概念8.4 三重积分的计算8.5 重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 曲线积分的概念9.2 第一型曲线积分9.3 第二型曲线积分9.4 曲面积分的概念9.5 曲面积分的计算第十章：无穷级数10.1 级数的概念10.2 收敛级数的性质10.3 收敛级数的判别法10.4 幂级数的收敛半径10.5 函数展开为幂级数第十一章：向量代数11.1 向量的基本概念11.2 向量的线性运算11.3 空间直角坐标系中的向量11.4 点、线、面的向量方程11.5 向量的数量积和向量积第十二章：空间解析几何12.1 空间直角坐标系中的点、直线、平面12.2 空间中的曲线和曲面12.3 空间中的曲线积分12.4 空间中的曲面积分12.5 空间中的曲率和法线方程以上的知识点目录总结包括了高数专升本课程的所有重要知识点，涵盖了集合与函数、极限与连续、导数与微分、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微分学、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数以及空间解析几何等内容。
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(六）初等函数－－由基本初等函数（１）经 过有限次的和,差,积,商运算，（２）有限次 的复合运算，（３）且可用一个公式表示的 函数.
非初等函数举例:
（1）y x x2 x3 xn ...
(2) y x x x
(3)
y
a
sin(x 1) x 1
,
x
1
ex 1, x 1
二.极限
lim f (x0 ) xx0
f (x) f (x0 ) x x0
3.左右导数
Th.... f (x)在x0可导 f(x0 ) f(x0 )存在
4.可导与连续的关系
Th.... f (x)在x0可导 f (x)在x0连续
（10）f (x) x 在x 0处是( ),
A.可导但不连续;B.不连续且不可导; C.连续且可导;D.连续但不可导
1.定义
2.分解标准-----分解到每一步都是基本初等函 数的和,差,积,商为止.
3.复合函数定义域求法 ① f (x)的定义域为[0,1),求f (1 1 )的定义域
ln x
② f (x)的定义域为[0,2], 求f ( 1 )的定义域
1 x2
注意：并非任何两个函数都可以复合
y u
ln u x2
(2)lim f (x0 )存在 x x0
(3)lim f (x) f (x0 ) x x0
3.左右连续
左连续lim f (x) f (x0 ) x x0
右连续lim f (x) f (x0 ) x x0
(二)间断点分类
第一类（ f (x0 0)，f (x0 0) 都存在的间断点）
(1)可去间断点 f (x0 0) f (x0 0)；f (x0 )不存在
4 y
ln( x 2
4)无意义
（03） f (x 1) x2 ,则f (x) [ 1 ]
x x4 1
x2 2
（07）f (x) 1 x ,则f 1( 1 ) [ x ]
1 x
1 x 2 x
（08）f (1) x ,则f 1(x) [1 x]
x 1 x
x
(五)基本初等函数
常用的有六类14个
周期函数 y sin x cos x ,求周期T 32
y Asin(x ) B
（08） f (x) 2x2 ex2 , 1 x 2 是（ D ）
（A） 偶函数 （B） 奇函数 （C）单调增函数 （D）非单调函数 （07） f (x), g(x),(x) 均为奇函数，
则下列为偶函数的是 （ ） （A） f (x)g(x)(x) （B）f (x) g(x) (x)
③(03)当n
,
sin
n
1
2
是(B)
( A)与 3 等价的无穷小；(B)与 3 同阶但非等价的无穷小;
2n 5
2n 5
(C)比 3 高ห้องสมุดไป่ตู้的无穷小;(D)无穷大 2n 5
（07）当 x 0 时，下列函数中能成为
x2
的等价无穷小的是（ D ）
1 cos x
（A） cos x 1 （B） 2
（C） 1 x2 1 （D） (ex 1) sin x
（08）下列函数中，定义域为 [1,1)
的函数是（ ）
（A） y 1 1 x2 （B） y 1 x2
x
（C） y 1 lg 1 x
2 1 x
（D）
y 1 x 1 x
（模C） f [(x)] 1 cos x,(x) sin x
2 则f (x) (.....)
(二)函数特性 1.单调性 2.奇偶性 f (x) f (x) f (x)为偶函数
（07） f (x)
1
x
,求f (x)的间断点并判别其类型。
1 e1x2
（模A）
f (x)
x2 x
,求f (x)的间断点并判别其类型。
x (x2 1)
eg
f
(x)
x tan
x
,
x
[
4
,5
4
],
求f (x)的间断点并判别其类型。
(三)闭区间上连续函数的性质
定理1 f (x) C[a,b] 存在f (x)max , f (x)min 定理2 f (x) C[a,b] f (x)在[a,b]有界
xx0
xx0
xx0
x x0
结论 当x 0,有sin x ~ x, tan x ~ x,
arcsin x ~ x, arctanx ~ x,
e x 1 ~ x, ln(1 x) ~ x,
1 cosx ~ 1 x2 , n 1 x 1 ~ 1 x
2
n
例题(等价无穷小代换)
lim ex ex 2x
① 当x x0 (x ), (x) 0, (x) 0,
则 (x) (x) 0
② 当x x0 (x ), (x) 0, (x) 0,
则 (x) (x) 0
③
f (x) M ,当x x0 (x ), (x) 0
则 (x) f (x) 0
④ lim f (x) A f (x) A x x0 (当x x0, 0)
①
x0
sin 3 x
lim ln(1 4x2 )
②
x0 sin x 2
lim tan x sin x 1
③
x
sin 3 x
2
四.连续与间断
(一)连续 Def 1...lim y 0
1.
x0
Def 2...lim f (x) f (x0 )
x x0
2.连续三要素 (1) f (x0 )存在
(2)可去间断点 f (x0 0) f (x0 0) f (x0 ) (3)跳跃间断点 f (x0 0) f (x0 0)
第二类（ f (x0 0)，f (x0 0) 至少一个不存在的间断点）
(4)无穷间断点 lim f (x)
(5)振荡间断点
x x0
lim f (x)不定
x x0
)
,
求y
.
(10) f (2x) ln x，求 df (x)
dx
⑤（04）
y x2 a2 a arccos a , (x a 0)]....求dy x
(10)计算题
f (x) ex，g(x)=cosx, y=f( dg ),求 dy
dx dx
5.隐函数求导 显函数----- y f (x) 隐函数----- F(x, y) 0
（模C）
设f (x) 0,在[a,b]连续,
令F(x)
x
f (t)dt
x
1 dt
a
b f (t)
求证：1.F(x) 2
2.方程F (x) 0在(a,b)内
有且仅有一个实根。
第二章导数与微分
一.导数的概念 1.定义
lim f (x0 )
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
2.几何意义
(1) 2
lim ①
x2
sin(x 2) x2 4
(1) 4
lim ② (06)
(1
1 )x4
1
(e 4 )
x
4x
lim ③ (03)
(t b)t e.则b (1)
t t b
2
k
④ (09) lim(1 5x) x e10.则k (2) x0
2.其他
① lim 举例 x
an x n an1x n1 a1x a0 bm x m bm1x m1 b1x b0
, 称当x c 0, 称当x
x0，是较低阶的无穷小 x0，与是同阶无穷小
特别，c 1, 称当x x0 , ~ （等价）
例题(阶比较)
① (05（)当Ax）的x0,高阶 , 都无是穷无小（;穷B小）,则的当同x 阶无x0,穷 小是（A）
（C）的等价无穷小（; D）不是无穷小
② 当x 0, 1 ax2 1 ~ sin2 x,求a
0,,nnmm
an
,n
m
bm
②
lim
sin
x
1
x0 x e x
lim2x 1
③ x 2x 1
lim ④
[(1 1 )(1 1 )(1 1 )]
n
22
32
n2
3.罗必塔法则
" 0"," ", 0
"0 • "," ", "1 " , " 0 " , "00 "
三.无穷小.无穷大
1.定义 2.性质
① xe y ye x y 4 , 求y
② y tan(x y)....求.y..y
③
(06)...xy ln x ln y 1...求 dy dx
④ (07)... ln( x y) xy 2 sin x....求... dy
（C）f (x) g(x)(x) （D）f (x)[g(x) (x)]
（07） f (x)在[1,1]连续，
则
1
[ f (x)
f (x)]dx （.....)
1
eg
f
(x)
1 x
在(0,+)............(有界，无界）
在(0,1]............(有界，无界）
在[1,+)............(有界，无界）
★ 函数定义，极限，连续， 可导，可微的关系
二.求导数归纳
1.基本导数公式
lim f (x0 )
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
lim f (x0 ) xx0