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专升本高等数学(文史财经类)复习课件
第二节.函数的性质 一带而过
1. 函数的奇偶性 注意：定义域关于原点对称
奇函数：f (x) f (x) 图像关于原点对称
偶函数：f (x) f (x) 图像关于y轴对称
2. 函数的单调性
已知 y 当 x1 x2 当 x1 x2
f (x), xa,b， 若有
时，若有f x1 f x2
运算顺序：1 x2 3 2正弦函数sin 3指数运算e 分解顺序：1 y e 2 sin 3 x2 3
(反过来)
方法：从最后一层运算开始分解，每分解一步去掉一 层运算，分解到基本初等函数的和差积商为止。
例2 将下列复合函数分解为简单函数
1.y cos2 x
2.y x2 2x
3 y cos 2x 1 4 y ln sin x3
lim ex , 即当x 时，ex为正无穷大
x
lim 1 , 即当x 0时，1 为无穷大
x0 x
x
关于无穷大的说明
1、f (x) ，即f (x) 或
2、函数f (x)无穷大，不仅与函数有关，还与
变化趋势有关。如lim 1 ，而lim 1 1
x0 x
x3 x 3
3、无穷大实际上极限是不存在
1、只有0是可以作为无穷小的唯一的常数
2、无穷小与自变量的变化趋势有关,
例如：
lim
1
1
x1 x
例2：自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小
（1）y 3x 1 无穷小的性质
(2) y 2x
(3) y (1)x 3
性质1 有限个无穷小的代数和为无穷小
性质2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小
性质3 有限个无穷小的乘积为无穷小
例3
第一章函数、极限、连续(专升本专用PPT)-文档资料
2
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
专升本高数多元函数微分PPT课件
开 域 :不 包 括 边 界 在 内 的 区 域 称 为 开 域 .
无 界 区 域 有 界 区 域 :如 果 区 域 延 伸 到 无 穷 远 处 ， 则称为无界区域，否则称为有界区域.
邻 域 :把 满 足 不 等 式 (x x0)2 ( y y0)2 ( 0) 的 点 P (x, y ) 的 全 体 称 为 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 邻 域 . 它 是 以 点 P0 为 中 心 ， 为 半 径 的 圆 形 开 区 域 ， 称 不 包 含 点 P0 的 邻 域 为 无 心 邻 域 .
数的极限 lim f (x, y) A存在．反过来,如果当 P(x, y) 沿 xx0
y y 0
两条不同路径趋近于点 P0 (x0, y0 )时,函数 f (x, y) 趋近于不 同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在．
y
Байду номын сангаас
P0
p o
x
2 . 多元函数的连续性
定义 设二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )的某个 邻域内有定义，若
点M (x, y,z)．所有这样确定的点的集 x
合就是二元函数 z f (x, y)的图形，由 上一章知，通常是一张空间曲面（如 图 11.1-3 所示）．
z zf(x,y) M(x,y,z)
o y
P(x,y) 图11.1-3
11.1.2 二元函数的极限与连续
1. 二 元 函 数 的 极 限
定 义 设 二 元 函 数 z f (x, y) ， 如 果 当 点(x, y) 以 任 何
lim f (x, y) f (x0 , y0 )
(1)
xx0
y y0
则称二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )处连续．若函数
专转本高数知识点 讲义课件 第一讲：极限、洛比塔法则
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
2.唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0; x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0;
左极限
0, 0, 使当x0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
A
o
x0
x0
x0
x
显然, 找到一个后, 越小越好.
x 1 2. 例4 证明 lim x 1 x 1
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,只要取 ,0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
满足不等式 f ( x ) A ,那末常数 A 就叫函数
专升本高数定积分的应用PPT课件
d
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
2
2
2
因此
V
R
A(x)dx
R 1 (R2 x2 ) tandx
R
R 2
1 2
tan
R2
x
1 3
x3
R R
=
2 3
R3
tan
.
注意，此题也可以用过 y轴上的点 y作垂直于 y轴的平面截
立体所得的截面来计算.
6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 yf(x )在 [a ,b ]上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f'(x )， 我 们 来 计 算 从 x a 到 x b 的 一 段 弧 的 长 s 度 ( 如 图 8 . 1 . 1 0所 示 ) .
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
仍采用微元法，取 x为积分变 量 ， x [a,b] ， 在 微 小 区 间 [x, x dx]内，用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
2
2
2
因此
V
R
A(x)dx
R 1 (R2 x2 ) tandx
R
R 2
1 2
tan
R2
x
1 3
x3
R R
=
2 3
R3
tan
.
注意，此题也可以用过 y轴上的点 y作垂直于 y轴的平面截
立体所得的截面来计算.
6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 yf(x )在 [a ,b ]上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f'(x )， 我 们 来 计 算 从 x a 到 x b 的 一 段 弧 的 长 s 度 ( 如 图 8 . 1 . 1 0所 示 ) .
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
仍采用微元法，取 x为积分变 量 ， x [a,b] ， 在 微 小 区 间 [x, x dx]内，用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
专升本高数多元函数微分ppt
z f (x, y) 在区域 D 上每一点都连续，则称函数 f (x, y) 在
区域 D 上连续.
若令 x x0 x ， y y0 y ，则上述定义中的（ 1）式 可写成
lim [ f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )] 0 x0 y0
d f ( x, y0 ) x x0 即 dx
f x ( x0 ,y0 ) ,就是这条曲线 Cx 在点 M0 处的切线 M 0 Tx 对 x 轴的
斜率（如图 11.2-1），即
f x ( x0 , y0 ) tan ．
f 同理， y ( x0 ,y0 ) 是曲面 z f (x, y) 与平面 x x0 的交线 C y
2011年
2010年
x z 25．设函数 z ln(x y ) ，则 y y
A．
x y( x y)
B．
xln( x y ) y2
ln( x y) x C． y y( x y)
xln( x y ) x D． 2 y y( x y)
x 37．函数 z (1 y) 在点 (1, 1) 处的全微分 dz ________．
z f , , z y , f y ( x, y ) . y y
显然，偏导数的概念可推广到三元和三元以上的函数．
求多元函数的偏导数的方法:因为这里只有一个自变量在 变化，可以把其它自变量被看成是固定的常数，所以仍然是 一元函数的导数．
例
z z x 求 z xy 的偏导数 ， . x y y
即பைடு நூலகம்
lim z 0 . x0 y0
这里 z 为函数 f (x, y) 点 ( x0 , y0 ) 处的全增量，即 z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) .
区域 D 上连续.
若令 x x0 x ， y y0 y ，则上述定义中的（ 1）式 可写成
lim [ f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )] 0 x0 y0
d f ( x, y0 ) x x0 即 dx
f x ( x0 ,y0 ) ,就是这条曲线 Cx 在点 M0 处的切线 M 0 Tx 对 x 轴的
斜率（如图 11.2-1），即
f x ( x0 , y0 ) tan ．
f 同理， y ( x0 ,y0 ) 是曲面 z f (x, y) 与平面 x x0 的交线 C y
2011年
2010年
x z 25．设函数 z ln(x y ) ，则 y y
A．
x y( x y)
B．
xln( x y ) y2
ln( x y) x C． y y( x y)
xln( x y ) x D． 2 y y( x y)
x 37．函数 z (1 y) 在点 (1, 1) 处的全微分 dz ________．
z f , , z y , f y ( x, y ) . y y
显然，偏导数的概念可推广到三元和三元以上的函数．
求多元函数的偏导数的方法:因为这里只有一个自变量在 变化，可以把其它自变量被看成是固定的常数，所以仍然是 一元函数的导数．
例
z z x 求 z xy 的偏导数 ， . x y y
即பைடு நூலகம்
lim z 0 . x0 y0
这里 z 为函数 f (x, y) 点 ( x0 , y0 ) 处的全增量，即 z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) .
专升本高等数学课件 第一章
称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量.
[说明] 通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
• 隐函数：函数 y 与自变量 x 的对应法则用一个方程 F(x, y) 0
表示的函数，如x2 y2 1 0 .
二、函数的性质
1．函数的单调性
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当x1 x2时, (1) 若恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
o
例如，x2 y2 a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
3、函数的表示法
解析法：用解析表达式表示函数关系
表格法：用列表的方法来表示函数关系
图示法：用平面直角坐标系上的曲线来 表示函数关系
几个特殊的函数举例
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
专升本-高数一-PPT课件
例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
n t, x o t cy （1 ） ． y a x
）
1 x , 1 y ( ) 1 - x （2） ．y2 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
故
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
二、 极限
1．概念回顾
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． x2 9
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． 解： lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x 知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
数。
: D g ( D ) D f: D f( D ) g 1 1 1
f g : D f [ g ( D ) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1 ； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
则 lim
am x x b x n n
m
m a bn a1 x a0 0 b1 x b0
mn mn mn
专升本高等数学课件 第三章
满足 F(x) f (x) 或 dF(x) f (x) dx,则称 F (x) 为f (x) (或 f (x)dx)在区间 I 上的一个原函数 .
[例] sin x cos x sin x 是cos x 的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x 是 1 在区间(0,)内的原函数.
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) exdx ex C
(13)
axdx
ax C ln a
[例5]求积分
dx x3
.
[解]
dx x3
x3dx x31 C 31
1 2x2 C.
[例6]求积分 x2 xdx.
5
[解]
x2 xdx x2dx
x
1 2
d(1 2ln x)
1 2ln x
du u
ln
|
u
|
C
[例10] 求
e3
x
dx .
x
[解] 原式 = 2 e3 x d x
凑
2 e3 x d(3 x ) 3
2e3 x C 3
eudu eu C
[例11] 求 sin3 xdx . [解] 原式 = sin2 x sin x dx (1 cos2 x) dcos x
第三章 一元函数积分学
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、小结
一、原函数与不定积分的概念
1.[定义1] 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
(
x
a)
[例] sin x cos x sin x 是cos x 的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x 是 1 在区间(0,)内的原函数.
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) exdx ex C
(13)
axdx
ax C ln a
[例5]求积分
dx x3
.
[解]
dx x3
x3dx x31 C 31
1 2x2 C.
[例6]求积分 x2 xdx.
5
[解]
x2 xdx x2dx
x
1 2
d(1 2ln x)
1 2ln x
du u
ln
|
u
|
C
[例10] 求
e3
x
dx .
x
[解] 原式 = 2 e3 x d x
凑
2 e3 x d(3 x ) 3
2e3 x C 3
eudu eu C
[例11] 求 sin3 xdx . [解] 原式 = sin2 x sin x dx (1 cos2 x) dcos x
第三章 一元函数积分学
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、小结
一、原函数与不定积分的概念
1.[定义1] 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
(
x
a)
高升专 数学课件
2
a 2 2ab b 2
(a b)(a ab b ) a b
2 2 3
3
第一章
基础知识
，
(3)因式分解(整式乘法的逆运算) 因式分解的含义 将一个多项式转化成单项式或几个整式相乘的 形式，叫因式分解。如 a 2 b 2 (a b)( a b) 因式分解的原则: 1.从加减形式化简为乘除形式； 2.结果是否使最简形式（不能再约分）。 因式分解的方法: 主要有公式法、十字相乘法、分组分解法等。
，
当n>3时，使用分组分解法，分组后，再按 照n=2、n=3的方法继续分解。 第三步：检查因式分解是否完成，结果是否是最简 形式。 注意：并不是所有的多项式都能够在实数范围内分解。
高升专《 数学》 第一讲 （上）
第一章 基础知识
讲师：张国强
第一章 基础知识
例1-1：对下列式子迚行因式分解：
①
， ，
，
，
第一章
基础知识
，
因式分解的步骤 第一步：提取公因式，将共同的部分提取出来。 第二步：按照项数的多少使用不同的方法； 当n=2时，使用公式法为主，主要运用平方差、 立方差立方和公式； 当n=3时，使用完全平方公式与十字相乘法为主。 如果这两种方法无法使用，在求助于求根公式法， 其结果带有根号。
，
第一章
基础知识
（2）整式乘法：用乘法法则和乘法公式进行运算。 乘法法则：(a b)( m n)
a ( m n) b( m n) am an bm bn
平方差公式： (a b)( a b) a 2
b
2
( 完全平方公式： a b)
立方和（差）公式：
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二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
Hale Waihona Puke 第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
5. 初等函数 六种基本初等函数：
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
专升本高数第二章导数-PPT课件
f( x )f( x ) 0 导数的一个等价定义： f ( x )lim 0 x x 0 x x 0
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
专升本高等数学课件 第四章
当n 2时，n元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量 等概念.
【例1】求 f ( x, y) arcsin(3的定x义2 域y2．) x y2
【解】 3 x2 y2 1 x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
偏导数 , 记为
z , y
f , y
zy ,
f y ( x, y) , f2( x, y)
(2)【多元函数的偏导数】
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
[例如] 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
x
fy(x, y, z) ? fz(x, y, z) ?
f (x x, y) f (x, y) A x o(| x |),
lim f (x x, y) f (x, y) A z ,
x0
x
x
同理可得
B z . y
故
dz z x z y
x y
由此可见：可微 连续；可微 可偏导
⑵可导与可微的关系: ①一元函数：在某点 可导
可微．
②多元函数：各偏导数存在
2. 【混合偏导数相等的条件】
(1)【问题】 混合偏导数都相等吗？ 答: 不一定相等
【补例】设
f
( x,
y)
x3 y x2 y2
0
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
求 f ( x, y)在点(0,0)的二阶混合偏导数.
[注意]分段函数
在分界点的偏导 数要用定义求得.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量 等概念.
【例1】求 f ( x, y) arcsin(3的定x义2 域y2．) x y2
【解】 3 x2 y2 1 x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
偏导数 , 记为
z , y
f , y
zy ,
f y ( x, y) , f2( x, y)
(2)【多元函数的偏导数】
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
[例如] 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
x
fy(x, y, z) ? fz(x, y, z) ?
f (x x, y) f (x, y) A x o(| x |),
lim f (x x, y) f (x, y) A z ,
x0
x
x
同理可得
B z . y
故
dz z x z y
x y
由此可见：可微 连续；可微 可偏导
⑵可导与可微的关系: ①一元函数：在某点 可导
可微．
②多元函数：各偏导数存在
2. 【混合偏导数相等的条件】
(1)【问题】 混合偏导数都相等吗？ 答: 不一定相等
【补例】设
f
( x,
y)
x3 y x2 y2
0
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
求 f ( x, y)在点(0,0)的二阶混合偏导数.
[注意]分段函数
在分界点的偏导 数要用定义求得.
专升本 高等数学 第三章 PPT
M 0 M 的极限位置 M 0T 就定义为曲
L M0
y
y f (x) M N B T
o
线 L 在点 M 0 处的切线 . 设函数 y f ( x) 的图像为曲线 L（如上图） ， M 0 ( x0 , f ( x0 )) 和 M ( x, f ( x)) 为曲线 L 上的两点，它们到 x 轴的垂足分别为 A 和 B,作 M 0 N 垂直 BM 并交 BM 于 N， 则 M 0 N Δx x x0 ,
也记为
f ( x0 Δx) f ( x0 ) Δy lim 即 f ( x0 ) lim x0 Δx x0 Δx
df ( x) dy y ' x x0 ， 或 ， dx xx0 dx xx
0
.
如果极限不存在，我们说函数 y f ( x) 在点 x0 处不可导. 如果固定 x0 ，令 x0 Δx = x ，则当 Δx 0 时， 有 x x0 ，故函数在 x0 处的导数 f ( x0 ) 也可表为
（3）取极限： y lim
y . x 0 x
例 7 求函数 y C （C 是常数）的导数. 解 (1)求增量：因为 y C ，即不论 x 取什么值， y 的值总等于 C ，所以 y 0 ；
y (2) 算比值： 0 ； x y lim 0 0 . x 0 x x 0
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，当自 变量 x 在 x0 处有增量 Δx (Δx 0, x0 Δx 仍在该邻域内)时， 相应地函数有增量 Δy f ( x0 Δx ) f ( x0 ) ，如果 Δ y 与 Δy Δ x 之比 当 Δ x 0 时，极限 Δx f ( x0 Δx) f ( x0 ) Δy lim lim Δx0 Δx Δx0 Δx 存在，那么这个极限值称为函数 y f ( x) 在点 x0 的导数. 并且说，函数 y f ( x) 在点 x0 处可导，记作 f ( x0 ) ，
L M0
y
y f (x) M N B T
o
线 L 在点 M 0 处的切线 . 设函数 y f ( x) 的图像为曲线 L（如上图） ， M 0 ( x0 , f ( x0 )) 和 M ( x, f ( x)) 为曲线 L 上的两点，它们到 x 轴的垂足分别为 A 和 B,作 M 0 N 垂直 BM 并交 BM 于 N， 则 M 0 N Δx x x0 ,
也记为
f ( x0 Δx) f ( x0 ) Δy lim 即 f ( x0 ) lim x0 Δx x0 Δx
df ( x) dy y ' x x0 ， 或 ， dx xx0 dx xx
0
.
如果极限不存在，我们说函数 y f ( x) 在点 x0 处不可导. 如果固定 x0 ，令 x0 Δx = x ，则当 Δx 0 时， 有 x x0 ，故函数在 x0 处的导数 f ( x0 ) 也可表为
（3）取极限： y lim
y . x 0 x
例 7 求函数 y C （C 是常数）的导数. 解 (1)求增量：因为 y C ，即不论 x 取什么值， y 的值总等于 C ，所以 y 0 ；
y (2) 算比值： 0 ； x y lim 0 0 . x 0 x x 0
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，当自 变量 x 在 x0 处有增量 Δx (Δx 0, x0 Δx 仍在该邻域内)时， 相应地函数有增量 Δy f ( x0 Δx ) f ( x0 ) ，如果 Δ y 与 Δy Δ x 之比 当 Δ x 0 时，极限 Δx f ( x0 Δx) f ( x0 ) Δy lim lim Δx0 Δx Δx0 Δx 存在，那么这个极限值称为函数 y f ( x) 在点 x0 的导数. 并且说，函数 y f ( x) 在点 x0 处可导，记作 f ( x0 ) ，
专升本高数讲义课件PPT第十一讲和第十二讲__向量代数和空间解析几何
b
b
c
a
b
c
a
(b )
ab
三、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0,
a
与a
同向，|
a
|
|
a
|
(2) 0,
a
0
(3) 0,
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
例 1 求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和 C (0,2,3)的平面方程.
解 AB {3, 4,6}
AC {B AC
{14, 9,1},
所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14x 9 y z 15 0.
1 空间平面及方程 2 空间直线及方程 3 空间曲面及方程 4 空间曲线方程
1.1、平面的点法式方程z
如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知
n {A, B, C},
M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
,
ay,
az },
b {bx , by , bz },
a b {ax bx ,ay by , az bz }
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A,
收敛数列，发散数列
A lim f (x) A lim f (x)
x
x
A lim f (x) A lim f (x)
xa
xa
唯一性：limf (x) A, limf (x) B A B
性质保号性：flim( xf)
(x) A 0 f (x) 0 0且limf (x) limf
2.函数的简单性质 （1）函数的奇偶性
偶 偶 偶，偶 偶 偶，偶 偶 偶 奇偶性奇奇函偶数关奇于，原奇点对偶称 奇，偶函数关于y轴对称
（2）函数的有界性 上界、下界
（3）函数的周期性
可导奇函数的导函数是偶函数 可导偶函数的导函数是奇函数 奇函数的原函数是偶函数 偶函数的原函数不一定是奇函数
可导周期函数的导数是周期函数
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
(
x)
0
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 3.四则运算
注意：(1）有限次运算 （2） 若limf (x) A, limg (x)不存在,
则lim[f (x) g(x)]不存在
又若A 0,则lim[f (x)g(x)]不存在， lim[g (x) / f (x)]不存在
若limf (x),limg(x)都不存在, 则lim[f (x) g(x)]，lim[f (x)g(x)], lim[f (x) / g(x)]不确定
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
奇 奇 奇，奇 奇 奇，奇 奇 奇
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
初等函数
函数
性质
复合函数
反函数
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
无穷小 无穷大
性质
极限
重要极限
四则运算
存在准则
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
闭区间 连续函数
性质
连续性
运算性质
间断点 及分类
第一章 函数、极限与连续 பைடு நூலகம்识梳理
一、函数 1.概念 （1）定义：y f (x), x D
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
积化和差公式、和差化积公式
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限
21.极.极限限的的性概质概念念函数数列极极限限：：nlillxxmiimmaxffn((xx))
周期函数的原函数不一定是周期函数
（4）函数的单调性
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 3.反函数 定义域 值域 互换
y f (x), x D 与 y f 1(x), x M 关于 y x 对称
4.复合函数 外函数、内函数、中间变量 外函数的定义域与内函数的值域交集非空
5. 初等函数 六种基本初等函数：