高数下册_第七章_微分方程习题课_(一)(二).

系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
2
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
3
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f ( x) g( x), g( x) f ( x), 且 f (0) 0, f ( x) g( x) 2e x .
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式 .
2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量
代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
4
例1. 求下列方程的通解
(1)
y
1 y2
e y3x
0;
(3)
y
2x
1
y2
;
(2) x y x2 y2 y ;
(4)
y
6x3 3x2
3x y2 y 2y3
xu 1 u2
x 0 时，y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
(3)
y
2x
1
y2
调换自变量与因变量的地位 , 化为 dx 2x y2, dy
用线性方程通解公式求解 .
6
(4)
y
6x3 3x2
3x y2 y 2y3
方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y x
方法 2 化为微分形式
(10)
(题3只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以
为通解的微分方程.
提示:
( x C )2 2( x C )
y2 2y
y
1
0
消去
C
得
P327 题3 求下列微分方程的通解:
提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :
wenku.baidu.com提示: 这是一阶线性方程 , 其中
13
(3) d y
y
dx 2( ln y x)
(2003考研)
解: (1) F( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x)
g2(x) f 2(x)
[g( x) f ( x)]2 2 f ( x)g( x)
(2e x )2 2F ( x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
11
F( x) 2F ( x) 4e2x
2xy 2y (4) y2( x 3 y )dx (1 3 x y2 )d y 0
提示: (1) 原方程化为 令 u = x y , 得 d u u ln u (分离变量方程) dx x
(2) 将方程改写为 d y 1 y y3 (贝努里方程) 令 z y 2 d x 2x ln x 2x
14
(10) y x x2 y
提示: 令 u x2 y x , 即 y 2 x u u2, 则
dy 2u 2x du 2udu
dx
dx dx
原方程化为
x
e
2 u
du
2
e
2 u
du
du
C
1 u2
2 u2
du
C
故原方程通解
15
二、解微分方程应用问题
关键问题是正确建立数学模型, 要点:
提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程
(4) d y x y x3 y3 0 dx 提示: 为贝努里方程 , 令 z y2
(5)
xdx
yd y
ydy x2
xdy y2
0
微分倒推公式
提示: 为全微分方程 , 通解
(9) ( y4 3x2 )d y x ydx 0
提示: 可化为贝努里方程 令 z x2
习题课 (一)
第七章
一阶微分方程的
解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
1
一、主要内容
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
7.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
9
(4) y2( x 3 y )dx (1 3 x y2 )d y 0 变方程为 y2 x dx d y 3 y2( ydx xd y) 0
两边乘积分因子 y2
x dx y2 d y 3( ydx xd y) 0 用凑微分法得通解:
1 x2 y13 x y C
2
10
利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.
例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸
为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点
8
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
化方程为 d y 3( x 1)2 y2 d x 2y ( x 1) 令 t = x – 1 , 则 dy dy dt dy dx dt dx dt d y 3 t 2 y2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut
可分离变量方程求解
.
提示: (1) 因e y3 x e y3 e x , 故为分离变量方程: y2e y3 d y e x dx
通解
1e y3 ex C 3
5
(2) x y x2 y2 y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y 1 y 2 y
xx
(6x3 3xy2)dx (3x2 y 2y3)dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
7
例2. 求下列方程的通解: (1) x y y y(ln x ln y )
(2) 2 x ln x d y y ( y2 ln x 1)dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C e2x 4e4x d x C
e2 x Ce2 x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
于是
F(x) e2x e2x
12
练习题: P326 题1，2(1)，3(1), (2), (3), (4), (5), (9),