高等数学(下)无穷级数.
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
高等数学下无穷级数习题课
(1, 5] .
例 2（2003A）设 x 2 = å an cos nx (-p £ x £ p) ，则 a2 =
¥ ¥
。= 1。 。
(-2, å an x n 的收敛半径为 3，则 å nan (x - 1)n +1 的收敛区间为
n =1 n =1
n =1
¥
2n -1
+ a2n ) 收敛 å an 收敛
n =1
¥
åa
n =1
¥
n
u (4) lim n = l ¹ 0 则 å un 和 å vn 有相同的敛散性 n ¥ v n
åa , åb
2
例 11（2006A）将函数 f (x ) = 例 10（2006C）求幂级数 å 收敛域为 [-1,1] 。
¥ ¥
x 展成 x 的幂级数。 2 + x - x2
n -1
1 ¥ æ 1ö n ç (-1)n +1 + n ÷ ÷ å ç ÷ x , x Î (-1,1) 。 è 3 n =0 2 ø
¥
例 5（2003C）求幂级数 1 + å (-1)n
n =1
x 2n （ x < 1 ）的和函数 f (x ) 及其极值。 2n
1 f (x ) = 1 - ln(1 + x 2 ) ， x < 1 , f (x ) 在 x = 0 处取得极大值，且极大值为 f (0) = 1 。 2
1+x 2 ì ¥ ï (-1)n ï x arctan x , x ¹ 0 试将 f (x ) 展开成 x 的幂级数，并求 å 的和。 例 4（2001A）设 f (x ) = í 2 ï 1, x =0 n =1 1 - 4n ï ï î
高等数学-无穷级数ppt
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
高等数学下册第十二章 无穷级数
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
DMU
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称为无穷级数， 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和.
xx0
f
(x)
A
xnk
x0
(xnk
x0 )
(k )
f (xnk ) A
例如 lim n2 ((1 1)2n e2 )
n
n
(1 lim
x0
1
)
2 x
x
x2
e2
2 ln(1 1 )
ex x
lim
x0
x2
e2
e (e 2
2 ln(1 1 )2 xx
1)
lim
x0
x2
DMU
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
n1
莱布尼茨定理： 如果交错级数 （-1）n-1un满足条件 ：
n1
（1）un un1(n 1, 2,3, );
（2）lim n
un
0,
则级数收敛，且其和s u1 ,
其余项rn的绝对值 rn un1.
DMU
第三节 一般常数项级数的收敛判别法
用莱布尼茨 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
DMU
级数发散 ;
高数无穷级数知识点总结
高数无穷级数知识点总结一、引言无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学和其他学科的研究中有着广泛的应用。
在高等数学中，无穷级数是一个重要的知识点。
本文将从无穷级数的基本概念、收敛性与发散性、常见的收敛判别法和应用等方面，对高数无穷级数进行总结。
二、无穷级数的基本概念无穷级数是指由一个数列的项求和而得到的数值。
具体地说，对于一个实数数列{an}，其无穷级数可以表示为∑an。
其中，an表示数列的第n项，∑表示对数列的所有项进行求和。
三、收敛性与发散性1. 收敛性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时存在有限极限L，即lim (n→∞) Sn = L时，称该无穷级数收敛，L称为该无穷级数的和。
2. 发散性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时不存在有限极限，即lim (n→∞) Sn不存在或为无穷大时，称该无穷级数发散。
四、常见的收敛判别法1. 正项级数判别法对于无穷级数∑an，若该级数的每一项an都是非负数，并且该级数的部分和Sn有上界，则该级数收敛；若Sn没有上界，则该级数发散。
2. 比值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an+1/an| = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
3. 根值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an|^1/n = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
4. 整项判别法对于无穷级数∑an，若存在另一个级数∑bn，使得|an|≤bn，且∑bn 收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
五、应用无穷级数在数学和其他学科中有广泛的应用，下面举几个例子进行说明。
1. 泰勒级数泰勒级数是一种用无穷级数表示函数的方法。
根据泰勒级数，我们可以将一个函数在某个点的邻域内展开为无穷级数的形式，从而可以近似计算函数的值。
2. 统计学中的无穷级数在统计学中，无穷级数经常用于描述随机变量的分布。
高等数学第11章 无穷级数
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11.4 幂级数
幂级数是函数项级数的一种重要情形，我们首先介 绍函数项级数的几个基本概念。 11.4.1 函数项级数的一些基本概念设｛un（x）｝ 是定义在区间I上的一个函数列，则由这函数列所构成的 表达式
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11.4.2 幂级数的基本概念
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11.6 函数幂级数展开式的应用
11.6.1 近似计算 例11.28 计算ln2的近似值，误差不超过0.0001. 解 若用展开式
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பைடு நூலகம்
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11.7 傅立叶级数
11.7.1 三角级数 我们常会碰到周期运动，如描述简谐振动的正弦函 数
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11.5 函数展开成幂级数
前面已讨论了幂级数的性质以及求一个收敛的幂级 数的和函数.若给定一个函数，能否找一个幂级数来表示 此函数？如果能找到，函数的幂级数表示式是否唯一？ 11.5.1 泰勒级数 高等数学上册讲过泰勒公式，若f（x）在点x0的某 邻域内存在n+1阶的连续导数，则
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11.3 一般项级数
上节我们讨论了正项级数的敛散性，一般级数的敛 散性问题要比正项级数复杂，本节我们只讨论特殊类型 级数的敛散性问题。 11.3.1 交错级数
北京邮电大学国际学院高等数学(下)幻灯片讲义(无穷级数)-Lecture 1
is called the partial sum of the series. The partial sum of the series form a sequence
s1 = a1 , s2 = a1 + a2 ,
, sn = ∑ ak ,
k =1 n
n approaching infinite, we say that the series converges to the sum S, and we write
1+ 1 1 1 1 + + + + 2 4 8 16
Infinite Series
∑a
n =1
∞
n
=1 +
1 1 1 1 + + + + 2 4 8 16
Partial Sum First: Second: Third:
…
Value
s1 = 1
1 s2 = 1 + 2
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2 2 1 2 1 4
The way to do so is not to try to add all the terms at once (we cannot) but rather to add the terms one at a time from the beginning and look for a pattern in how these "partial sum" grow.
k =1 n
Convergence and Divergence
Definition (Convergence and Divergence of a series) If the sequence of partial sums of a series
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(下册)复习笔记及课后习题和考研真题详解(无穷级数)【圣才出品】
设 un 和 vn 都是正项级数，且 un≤vn（n＝1，2，…）。若级数 vn 收敛，则级
n1
n 1
n 1
数 un 收敛；反之，若级数 un 发散，则级数 vn 发散。
n1
n1
n 1
推论：设 un 和 vn 都是正项级数，如果级数 vn 收敛，且存在正整数 N，使当
n1
n 1
n 1
x
s
0
t dt
x 0
n0
ant n
dt
n0
x 0
ant ndt
n0
an n 1
xn1
xI
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
（3）幂级数 an xn 的和函数 s（x）在其收敛区间（－R，R）内可导，且有逐项求导 n0
公式
s x
n0
an xn
n≥N 时有 un≤kvn（k＞0）
成立，则级数 un 收敛；如果级数 vn 发散，且当 n≥N 时有 un≥kvn（k＞0）成立，则
n1
n 1
级数 un 发散。 n1
②比较审敛法的极限形式
设 un 和 vn 都是正项级数，则：
n1
n 1
a．如果
lim
n
un vn
l
0 l
，且级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
n 1
n1
b．如果
lim
n
un vn
l
0
或
lim
n
un vn
，且级数 vn
n 1
发散，则级数 un
n1
发散。
③比值审敛法（达朗贝尔判别法）
设
un
n1
考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第十二章
第十二章无穷级数【本章网络构造图】第一节常数项级数概念与性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。
假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。
当级数收敛时, 称差值为级数余项。
显然。
【例1】〔93三〕级数与为 .【答案】结论：等比〔几何〕级数：收敛当时发散当时二、收敛级数与假设收敛，那么其与定义为。
三、无穷级数根本性质学习笔记：〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其与为。
注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。
注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。
〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。
【例】取，，而。
〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。
〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。
推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。
注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。
【例】，但发散。
【例2】判断级数敛散性：【解析与答案】学习笔记：不存在故原级数发散四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。
逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。
【例】，其一般项为，当时，不趋于0，因此这个级数发散。
注：并非级数收敛充分条件【例】调与级数，虽然，但是此级数发散。
事实上，假设调与级数收敛于，那么，但，矛盾！所以假设不真。
【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与：〔1〕〔2〕【答案】〔1〕发散；〔2〕发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性学习笔记：〔1〕几何级数：，当时收敛；当时发散.〔2〕级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。
【重点小结】1、常数项级数收敛与发散定义2、常数项级数敛散性质3、常数项级数收敛必要条件4、常用两个常数项级数第二节常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：假设，那么称为正项级数。
大一下高数知识点无穷级数
大一下高数知识点无穷级数大一下高数知识点：无穷级数在大一下的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点。
无穷级数是由无穷多个数相加（或相减）所得的结果，它在数学和其它科学领域中都有广泛的应用。
本文将着重介绍无穷级数的定义、性质和一些重要的收敛准则。
一、无穷级数的定义无穷级数可以写作以下形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁、a₂、a₃等为级数的各项。
二、常见的无穷级数1. 等差级数等差级数是最常见的一类无穷级数。
它的通项公式一般为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁为首项，d为公差。
例如，等差级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a₁ + 3d) + (a₁ + 4d)2. 等比级数等比级数的通项公式一般为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比。
例如，等比级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + a₁r + a₁r² + a₁r³ + a₁r⁴三、无穷级数的性质1. 部分和在无穷级数中，我们通常用部分和来近似计算级数的和。
部分和Sn定义为：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ其中，n为正整数。
2. 收敛和发散对于无穷级数，如果其部分和Sn在n趋向于无穷大时有极限S，则称该级数收敛，否则称该级数发散。
如果收敛，其收敛值S即为无穷级数的和。
3. 收敛性质无穷级数有以下重要的收敛性质：（1）若级数Sn收敛，则其任意子级数也收敛。
（2）若级数Sn发散，则其任意超级数也发散。
（3）若级数Sn和级数Tn都是收敛的，则它们的和级数Sn + Tn也是收敛的。
4. 绝对收敛和条件收敛若级数的所有项的绝对值构成的级数收敛，则称原级数绝对收敛。
否则，若级数本身收敛但其对应的绝对值级数发散，则称原级数条件收敛。
四、无穷级数的收敛准则在判断无穷级数的收敛性时，有一些常用的收敛准则：1. 正项级数判别法如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，则该级数收敛。
无穷级数高等数学下册国家级课程教案
无穷级数——高等数学下册国家级精品课程教案第一章：无穷级数的概念与性质1.1 无穷级数的定义1.2 无穷级数的收敛性与发散性1.3 无穷级数的分类1.4 无穷级数的运算性质第二章：幂级数2.1 幂级数的定义与收敛半径2.2 幂级数的运算2.3 幂级数在函数逼近中的应用第三章：泰勒级数与泰勒公式3.1 泰勒级数的定义3.2 泰勒公式的推导与意义3.3 泰勒级数在函数逼近中的应用第四章：傅里叶级数4.1 傅里叶级数的定义与收敛性4.2 傅里叶级数的运算4.3 傅里叶级数在信号处理中的应用第五章：斯特林级数与级数的热传导问题5.1 斯特林级数的概念与性质5.2 级数的热传导问题及其求解方法5.3 斯特林级数在概率论与数学物理中的运用第六章：级数的一致收敛性与绝对收敛性6.1 一致收敛性与绝对收敛性的定义6.2 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法6.3 级数的一致收敛性与绝对收敛性的性质与应用第七章：交错级数7.1 交错级数的定义与性质7.2 交错级数的收敛性判定7.3 交错级数在数学分析中的应用第八章：多重级数8.1 多重级数的定义与性质8.2 多重级数的收敛性判定8.3 多重级数在数学分析中的应用第九章：级数逼近与数值计算9.1 级数逼近的基本概念与方法9.2 数值计算中常用的级数逼近方法9.3 级数逼近在科学计算中的应用第十章：特殊级数10.1 常用特殊级数的概念与性质10.2 特殊级数的求和方法10.3 特殊级数在数学分析中的应用第十一章：级数展开与积分11.1 级数展开的基本方法11.2 常用积分公式与级数展开11.3 级数展开在微分方程求解中的应用第十二章：级数解微分方程12.1 级数解的一阶微分方程12.2 级数解的二阶线性微分方程12.3 级数解微分方程在物理学和工程学中的应用第十三章：级数在常微分方程中的应用13.1 级数方法在常微分方程定性分析中的应用13.2 级数方法在常微分方程数值解中的应用13.3 级数方法在常微分方程几何解释中的应用第十四章：级数在偏微分方程中的应用14.1 级数方法在偏微分方程求解中的应用14.2 级数方法在偏微分方程数值解中的应用14.3 级数方法在偏微分方程稳定性分析中的应用第十五章：级数方法在其他数学领域的应用15.1 级数方法在概率论与数理统计中的应用15.2 级数方法在数值分析中的应用15.3 级数方法在其他数学分支学科中的应用重点和难点解析重点：1. 无穷级数的基本概念、性质及其分类；2. 幂级数、泰勒级数、傅里叶级数和斯特林级数的基本概念、性质与应用；3. 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法及其性质；4. 交错级数、多重级数的收敛性判定及其在数学分析中的应用；5. 级数逼近与数值计算的基本方法及其在科学计算中的应用；6. 特殊级数的概念、性质与求解方法；7. 级数展开与积分在微分方程求解中的应用；8. 级数解微分方程、常微分方程定性分析、数值解及几何解释中的应用；9. 级数方法在偏微分方程求解、数值解及稳定性分析中的应用；10. 级数方法在概率论与数理统计、数值分析及其他数学分支学科中的应用。
无穷级数 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1nnn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()nn n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n nnC ．∑∞=-1321)1(n n nD ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）+++++321161814121（C ） +++3001.0001.0001.0（D ）()()()+-+-5353535343217．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ）（A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n nnB ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n nn19．幂级数∑∞=++11)21(n nnx 的收敛区间是（ C ）A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n nn n(B)()n n n111∑-∞=(C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23(B) 35(C) 52(D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=n a [D]A. 1)1(2+-n nB.nn)1(2- C.1)1(1+-n nD. 023. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=nb [A]A. 0B.nn)1(4- C.1)1(2+-n nD. 1)1(4+-n n二、填空题1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x 的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。
高等数学下册级数部分的知识点
=0
∈ −∞, +∞
−1
2+1
，
2+1 !
−1
2
，
2 !
∞
（5）cos =
=0
∞
（6）ln 1 + =
=0
−1
∈ −∞, +∞
∈ −∞, +∞
+1
，
+1
∈ −1,1
发散，则
n=1
=1 发散
2、比例判别法
+1
→∞
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
=
3、根值判别法
σ∞
=1 是正项级数，如果 lim =
1、 < 1时收敛
2、 > 1时发散
3、 = 1时失效
∞
1
=1
1
2
1
3
1
4
1
= 1 + + + + ⋯ + ⋯是发散的
所以收敛的级数一定趋于零，但是趋于零的级数不一定收敛0时，级数发散
→∞
例4、判断下列级数的收敛性，若收敛求其和
∞
1
（1）
=1 2
+
1
3
∞
2 +2
（2）
=1 2 −+3
，
=
，则
=1
=1
=1 ± 收敛，其和s ±
注意：收敛级数的和差仍收敛，发散级数的和差不一定发散，收敛级数与发散
高等数学(下)无穷级数
01
添加标题
则在收敛域上有
04
添加标题
若用
02
添加标题
表示函数项级数前 n 项的和, 即
05
添加标题
令余项
03
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称它
06
例如, 等比级数
它的收敛域是
添加标题
它的发散域是
添加标题
或写作
添加标题
又如, 级数
添加标题
级数发散 ;
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所以级数的收敛域仅为
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有和函数
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
例7. 讨论级数
的敛散性 .
例8. 讨论级数
的敛散性 .
D
C
A
B
二 、交错级数及其审敛法
01
02
03
04
05
06
07
收敛
收敛
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
发散
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
两个级数同时收敛或发散 ;
特别取
可得如下结论 :
对正项级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
例3. 判别级数
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设
为正项级数, 且
则
(1) 当
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数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数（数一）
第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件
一、常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
1 1 1 1 (2) S n 1 2 2 3 3 4 n (n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1
1 1 ( n ） 1 n 1 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
n
因此级数发散 .
2). 若
则 因此级数发散 ; 级数成为
因此
a, Sn 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
2 4 n 1 3 S n ln ln ln ln 1 3 n 2
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 乘以常数 c 所得级数
收敛于 S , 即 S u n , 则各项
n 1
也收敛 , 其和为 c S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 性质2. 设有两个收敛级数
S
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 则部分和
a ; 因此级数收敛 , 其和为 1 q
a a q n 1 q
从而 lim S n a 1 q n 从而 lim S n ,
矛盾! 所以假设不真 .
第十一章
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如， (1 1) (1 1) 0 , 但
发散.
三、级数收敛的必要条件
性质5、设收敛级数 则必有
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
注意:
n
lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2 n 2
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n
n 1
un ,
n 1
vn
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 .
n 1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1) 2 n , vn (1) 2 n 1 ,
例2. 证明级数 证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1)
2
1 发散 k 2 k
边形,设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A .
即
给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 定义： 次相加, 简记为 u n , 即
n 1
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
则称无穷级数
是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 也收敛 ;
则有 (1) 若强级数 (2) 若弱级数
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也发散 .
1 1 1 例1. 讨论 p 级数1 p p p (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . Nhomakorabean
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N Z , 对一切 n N ,
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p p 1 n 1 x p 1 (n 1) n