高等数学之无穷级数

,
从而
发散 , 与已知矛盾，因此 Sn 有上界 .
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有上界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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二、正项级数的比较判别法
定理2 (比较判别法) 设
是两个正项级数,
且 un vn ( n 1, 2, )
则有
(1) 若级数
收敛 ,
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则级数
例2.
讨论
p
级数
1
1 2p
1 3p
1 np
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
n1
1 n
发散
,
由比较判别法可知
p
级数
发散 .
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2) 若 p 1,因为当
1
np
n n1
1 np
d
x
时,
1 np
1 xp
,
故
n1 n1 x p
d
x
1 p 1
作业
P183: 1；2；4；5；8；9.
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例9. 讨论级数
的敛散性 .
解:
lim un1 n un
lim
n
3n1 5n1 4n1
3n 5n 4n
lim
3n1
n 5n1[1 (45)n1]
3n 5n[1 (45)n ]
lim 3 1 (45)n n 5 1 (45)n1
3 1, 5
根据比值判别法可知，原级数收敛 .
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例5. 讨论级数
的敛散性 .
解: lim un1 lim 3n1 3n lim 3 0 1, n un n (n 1)! n! n n 1
根据比值判别法可知，原级数收敛 .
例6. 讨论级数
的敛散性 .
解:
lim
n
un1 un
lim
n
(n 1)2 3n1
n2 lim (n 1)2 1 1,
第二节 正项级数
第十章
一、正项级数收敛的充要条件 二、正项级数的比较判别法 三、正项级数的比值判别法
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一、正项级数收敛的充要条件
若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和数列
有上界 .
证: “
”
若 Sn 无上界， 则
lim
n
Sn
(a 0, a e) 的敛散性 .
解:
lim
n
un1 un
lim
n
(n 1)n1 an1(n 1)!
nn
(n 1)n
ann!
lim n
ann
1 a
lim
n
1
1 n
n
e ,
a
根据比值判别法可知，当 a e 时，原级数收敛 ;
当 0 a e 时，原级数发散.
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u n n
(1) 当 r 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 r 1或 r 时, 级数发散 .
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
例如, p – 级数
1
lim un1 n un
lim
n
(n1)
1 np
p
1
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
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1 (n 1) p1
n
1
p1
考1虑强2 p1级1数 n22
p1(n1113)
1
pp11
np11
n的p1部1分 (和n
1 1)
p1
n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
(n
1 1) p1
n 1
由比较判别法知 p 级数收敛 .
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几何级数、调和级数与 p 级数是三个常用的比较级数.
解:
令 un
sin 2n
,
且
un
0 (n 1, 2,
), 因而
sin
n1
2n
为正项级数，当
x0
时，有
sin x x,
因此
un
sin
2n
2n .
若取 vn 2n ,
则
vn
n1
n1
2n
是公比为 。
q
1 2
的收敛的几何级数
根据比较判别法知， sin 收敛.
n1
2n
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例4. 判定级数
的收敛性 .
证: 因为
un
1 1 n3
1 n3 2
vn
,
而级数
收敛.
根据比较判别法可知, 所给级数收敛.
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三、正项级数的比值判别法
定理3 . 比值判别法 ( D’Alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 r ,则
也收敛 ;
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
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推论：(比较判别法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若级数
收敛 , 则级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若级数
发散 , 则级数
也发散 .
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例1. 判别级数 n1 sin 2n 的敛散性 .
3n n 3n2
3
根据比值判别法可知，原级数收敛 .
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例7.
讨论级数
n! n1 10n
的敛散性
.
解:
lim
n
un1 un
lim
n
(n 1) 10n1
!
n! 10n
lim n 1 ,
n 10
根据比值判别法可知，原级数发散 .
例8.
讨论级数
n 1
nn ann!
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数判别法
必要条件
lim
n
un
0
满足
比值判别法 nlimuunn1
1
1
收敛
发散
不满足 发 散
1不定
比较判别法
用其它法判别
部分和极限
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3. 判定正项级数的收敛性应注意以下几点： 见P182
几何级数
a qn (a 0) 为
n1
收敛， q 1,
发散，
q
1.
调和级数
1
发散，
n1 n
p-级数
1
收敛， p 1,
np
n1
为
发散，
0 p 1.
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例3. 证明级数
发散 .
证: 因为
11 n (n 1) (n 1)2
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较判别法可知, 所给级数发散 .