高等数学教案-无穷级数

高等数学教学教案第7章无穷级数授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第7章 第1节 常数项级数的概念与性质 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数的收敛与发散的条件教学难点 几何级数的收敛与发散的条件参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件. 2．掌握几何级数的收敛与发散的条件.教 学 基 本 内 容一．常数项级数的基本概念1.常数项级数的定义（1）两个具体问题（一个收敛，一个发散的例子）．（2）无穷级数定义：如果给定一个数列 则表达式 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作，即，其中叫做级数的项，叫做级数的首项，级数的第项叫做级数的通项或一般项．2．常数项级数的敛散性（1）部分和：级数的前项和叫做级数的部分和，记为．即．,,,,,,321 n u u u u +++++n u u u u 321∑∞=1n nu∑∞=1n nu+++++=n u u u u 321 ,,,,,321n u u u u 1u n n u ∑∞=1n nun n s ∑==++++=ni i n n u u u u u s 1321（2）级数收敛与发散：若级数的部分和数列收敛于，即，则称级数收敛，其和为，也称级数收敛于，记为．若级数的部分和数列极限不存在，则称级数发散．（3）余项：级数和与部分和的差称为级数的余项，记为．即=．用部分和替代级数和所产生的误差就是这个余项的绝对值，即误差是．由级数定义可知，研究级数的敛散性就是研究其部分和数列是否有极限，因此，级数的敛散性问题是一种特殊的数列极限问题． 二．收敛级数的基本性质1．收敛级数的性质性质1 若级数收敛于和，则级数也收敛，其和为（为常数）．即级数的每一项同乘一个常数后，它的收敛性不变．推论1 如果级数发散，当时，级数也发散．性质2 如果级数、收敛于和，则级数也收敛，且其和为．即两个收敛级数可以逐项相加或相减，其敛散性不变．推论2 如果级数收敛，发散，则级数发散．性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性． 性质4 如果级数收敛，则在不改变其各项次序的情况下，对该级数的项任意添加括号后所形成的级数仍收敛，且其和不变．推论3 如果加括号后所形成的级数发散，则原级数也发散．注 收敛级数去掉括号后可能发散，发散的级数加括号后可能收敛．例如级数是收敛的，但去掉括号后得到的级数是发散的．∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu}{n s s s s n n =∞→lim ∑∞=1n nus ∑∞=1n nus ∑∞==1n ns u}{n s ∑∞=1n nu s n s ∑∞=1n nun r n r s n s - ++=++21n n u u n s s n r ||n r ∑∞=1n nus ∑∞=1n nkuks k ∑∞=1n nu0≠k ∑∞=1n nku∑∞=1n nu∑∞=1n nvσ、s ∑∞=±1)(n n nv uσ±s ∑∞=1n nv∑∞=±1)(n n nv u+-++-+-+-)11()11()11()11( +-++-+-+-111111112．级数收敛的必要条件定理1 如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即．注 定理1中是级数收敛的必要条件，但非充分条件． 如果级数收敛，则；若，级数可能发散，如调和级数是发散的，然而；但若，则级数一定发散． 因此，判别级数敛散性时，首先考察级数是否满足，如果这个条件不满足，则级数发散；如果这个条件满足，再用其它方法判定其敛散性． 三．例题讲解例1．判定级数的敛散性． 例2．无穷级数叫做几何级数（又称为等比级数）．其中，首项称为级数的公比，试讨论几何级数的敛散性．例3．证明：调和级数发散． 例4．甲、乙两个人进行比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果一个选手连赢两局，那么该选手就成为整个比赛的胜者，比赛终止；否则，比赛继续进行．分析甲获得整场比赛胜利的所有可能进程，并求甲最后成为胜利者的概率．例5．判断级数是否收敛，若收敛，求其和． 例6．判断级数的敛散性． 例7．患有某种心脏病的病人经常要服用洋地黄毒苷.洋地黄毒苷在体内的清除速率正比于体内洋地黄毒苷的药量.一天（24小时）大约有的药物被清除.假设每天给某病人的维持剂量，试估算长期如此服用该药物，该病人体内的洋地黄毒苷的总量.0lim =∞→n n u ∑∞=11n n ∑∞=1n nu0lim =∞→n n u ∑∞=1n nun u 0lim =∞→n n u ∑∞=1n nu∑∞=1n nu0lim =∞→n n u 0lim =∞→n n u ∑∞=1n n u 01lim lim ==∞→∞→n u n n n 0lim ≠∞→n n u ∑∞=+1)1(1n n n +++++=-∞=-∑1211n n n aq aq aq a aqq a ,0≠11111123n n n ∞==+++++∑ )10(<<p p )1(=+q p q ∑∞=--+113)1(2n nn n 212121213++++ %10mg 05.0授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题 第7章 第2节 常数项级数审敛法 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、莱布尼茨判别法、绝对收敛与条件收敛教学难点 比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、莱布尼茨判别法的灵活运用参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求1．掌握-级数的收敛与发散的条件.2．掌握正项级数收敛性的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法. 3．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.4．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系.教 学 基 本 内 容一．正项级数及其审敛法1.正项级数定义1 若级数的每一项都是非负的，即，则称级数为正项级数．定理1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界．注：如果正项级数的部分和数列无界，则级数一定发散，且，即．2．正项级数的审敛法定理2（比较审敛法）设有两个正项级数及，而且.p ∑∞=1n nu0≥n u ),2,1( =n ∑∞=1n nu∑∞=1n nu}{n s }{n s ∑∞=1n nu)(∞→+∞→n s n ∑∞=+∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nvn n v u ≤),2,1( =n（1）如果级数收敛，则级数也收敛;（2）如果级数发散，则级数也发散．推论1 设和都是正项级数，且存在，使当时有成立．如果级数收敛，则级数收敛；如果级数发散，则级数发散．定理3（比较审敛法的极限形式）设和都是正项级数，且．（1）如果，则级数和同时收敛或同时发散;（2）如果，若收敛，则收敛；若发散，则发散;（3）如果，若收敛，则收敛；若发散，则发散．定理4（比值审敛法,达郎贝尔判别法）设是正项级数，,则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散．定理5（根值审敛法, 柯西判别法）设是正项级数，如果，则∑∞=1n nv∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nv∑∞=1n nu∑∞=1n nvN N n ≥)0(>≤k kv u n n ∑∞=1n nv∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nv∑∞=1n n u ∑∞=1n n v l v u nnn =∞→lim+∞<<l 0∑∞=1n nu∑∞=1n nv0=l ∑∞=1n nv∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nv+∞=l ∑∞=1n nu∑∞=1n nv∑∞=1n nv∑∞=1n nu∑∞=1n n u ρ=+∞→nn n u u 1lim1<ρ∑∞=1n nu1>ρ∑∞=1n nu1=ρ∑∞=1n nu∑∞=1n nuρ=∞→n n n u lim（1）当时，级数收敛； （2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散．注 判别一个正项级数的收敛性，一般而言，可按以下程序进行考虑：（1）检查一般项，若，可判定级数发散；若，先试用比值审敛法．如果比值审敛法失效，则用比较审敛法或根值审敛法．（2）用比值（根值）审敛法判定，若比值（根值）极限为1时，改用其它的判定法． （3）检查正项级数的部分和是否有界或判别部分和是否有极限．二．交错级数及其审敛法1．定义：数项级数或，其中，称为交错级数．2．判别方法定理6（莱布尼兹定理） 如果交错级数满足条件：（1）； （2），则交错级数收敛，且其和，余项．注 （1）莱布尼兹定理中要求单调递减的条件不是多余的．例如，级数是发散的，虽然它的一般项，但是的单调递减性当每一项由变到时都被破坏了．（2）另一方面，单调递减的条件也不是必要的．例如，级数是收敛的，但其一般项趋于零时并不具有单调递减性．由上说明了莱布尼兹定理是判别交错级数的充分非必要条件．1<ρ1>ρ1=ρ0lim ≠+∞→n n u 0lim =+∞→n n u 11(1)n n n u ∞-=-∑1(1)n n n u ∞=-∑),2,1(0 =>n u n ∑∞=--11)1(n n n u ),2,1(01 =>≥+n u u n n 0lim =∞→n n u 1u s ≤1||+≤n n u r n u +-++-+-n n 511512151120511→-=n n n u n u n 51-11+n n u +--++-+-23232)2(1)12(14131211n n n u三．绝对收敛和条件收敛1．定义：如果级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛．2．判别方法 定理7 若级数绝对收敛，则级数一定收敛．注 （1）对于任意项级数，如果我们用正项级数审敛法判定级数收敛，那么此级数一定收敛，这就使得一大类级数的敛散性判定问题，转化成正项级数的敛散性判定问题．（2）如果级数发散，我们不能断定级数也发散．但是，如果我们用比值审敛法(或根值审敛法)判定级数发散，那么我们可以断定级数必定发散．这是因为从可以推知，从而，因此级数发散．由此可以得到下面的推论．推论：设是任意项级数，如果（或），则 （1）当时，级数绝对收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散．四．例题讲解例1．级数称为级数，试讨论其敛散性，其中常数． ∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu1>ρ0||lim ≠∞→n n u 0lim ≠∞→n n u ∑∞=1n nu∑∞=1n n u ρ=+∞→||lim 1nn n u u ρ=∞→n n n u ||lim 1<ρ∑∞=1n nu1>ρ∑∞=1n nu1=ρ∑∞=1n nu+++++=∑∞=pp p n p n n13121111-p 0>p例2．利用比较审敛法判别级数的敛散性． 例3．判别级数的敛散性．例4．判别级数的敛散性． 例5．判断下列级数的敛散性．（1）；（2）．例6．判断级数的敛散性． 例7．判断级数的敛散性． 例8．判别级数的敛散性． 例9．判别级数的敛散性． 例10．证明：当时，级数绝对收敛． 例11．判别级数的敛散性．∑∞=+1)1(1n n n ∑∞=11sin n n ∑∞=+12)11ln(n n∑∞=-112n n n∑∞=1!n nn n ∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1∑∞=-+12)1(2n nn∑∞=--+-++-+-=-1111)1(41312111)1(n n n n n ∑∞=--+-++-+-=-1143212)1(242322212)1(n n n n n n n 1>λ∑∞=1sin n n nxλ∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题 第7章 第3节 幂级数课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 幂级数的收敛半径以及幂级数和函数的求法 教学难点 幂级数和函数的求法 参考教材 同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.2．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法. 3．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和.教 学 基 本 内 容一．函数项级数1.定义: 给定一个定义在某区间上的函数列,则表达式叫做函数项无穷级数，简称函数项级数，记作, 其中第项叫做函数项级数的通项或一般项.2．收敛域与发散域如果在定义域上取定，使得常数项级数收敛，那么称点为函数项级数的收敛点；否则称为函数项级数的发散点.函数项级数的所有收敛点组成的集合，称为函数项级数的收敛域；所有发散点组成的集合称为发散域.3．和函数对于收敛域内的任意一个实数，函数项级数就变成了一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和，并与对应.这样在函数项级数收敛域上，就确定了函数项级数的和是一个关于的函数，通常称此函数∑∞=1)(n nx uI ),(,),(),(21x u x u x u n ++++)()()(21x u x u x u n n )(x u n I 0x x =∑∞=10)(n nx u0x ∑∞=1)(n n x u ∑∞=1)(n nx u∑∞=1)(n n x u x s x x )(x s为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是该级数的收敛域.即.4．余项：函数项级数的前项的部分和记为，则在收敛域上有，记，称为函数项级数的余项（当然，只有在收敛域上，才有意义），并且在收敛域上.二．幂级数及其收敛性1．幂级数的概念定义2 函数项级数，称为的幂级数，记作.其中为常数，称为幂级数的系数.特别地，当时，上式变为，称为的幂级数，记作. 2．幂级数的收敛性（1）幂级数，收敛域为.（2）幂级数，收敛域为.定理1（阿贝尔定理）如果幂级数在处收敛，则对所有满足不等式的，幂级数绝对收敛；如果幂级数在处发散，则对所有满足不等式的，幂级数发散.推论1 如果幂级数不是仅在一点处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么一定存在一)(x s ∑∞==1)()(n n x u x s ++++=)()()(21x u x u x u n n )(x s n )()(lim x s x s n n =∞→)()()(x s x s x r n n -=)(x r n ∑∞=1)(n n x u x )(x r n 0)(lim =∞→x r n n +-++-+-+nn x x a x x a x x a a )()()(02020100x x -∑∞=-00)(n n nx x a,,,,,210n a a a a 00=x +++++nn x a x a x a a 2210x ∑∞=0n nn x a ∑∞=1n nn x )1,1[-∑∞=-11n n x(1,1)-∑∞=0n nn xa )0(00≠=x x x ||||0x x <x ∑∞=0n nn xa ∑∞=0n nnxa 0x x =||||0x x >x ∑∞=0n nn xa ∑∞=0n nn x a 00=x个完全确定的正数，当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当和时，幂级数可能收敛，也可能发散.注：（1）正数叫做幂级数的收敛半径.（2）开区间叫做幂级数的收敛区间.（3）若幂级数只在收敛， 则规定收敛半径.（4）若幂级数对一切都收敛, 则规定收敛半径， 这时收敛域为.定理2 设、是幂级数的相邻两项系数，如果，则幂级数的收敛半径为三．幂级数的运算与和函数1．幂级数的代数运算 设幂级数和的收敛区间分别为与，这里，.（1）加法：两个收敛的幂级数相加（减）仍为收敛的幂级数，等于它们对应项的系数相加（减）作为系数的幂级数，其收敛半径为这两个收敛幂级数收敛半径的最小值.即，.（2）乘法：两个收敛的幂级数之积仍收敛，其收敛半径为这两个收敛幂级数收敛半径的最小值.即，，（其中）.R R x <||R x >||R x =R x -=R ∑∞=0n nn xa ),(R R -∑∞=0n nn xa ∑∞=0n nn xa 0=x 0=R ∑∞=0n nn xa x +∞=R ),(+∞-∞n a 1+n a ∑∞=0n n n x a ρ=+∞→nn n a a 1lim⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∞+≠+∞==.0,,0,1,,0ρρρρR ∑∞=0n nn xa ∑∞=0n nn xb ),(11R R -),(22R R -01>R 02>R )(0n n n n n n nn n nnx b x a x b x a±=±∑∑∑∞=∞=∞=),min(21R R R =)()(0∑∑∞=∞=⋅n nn n nn x b x a ∑∞==0n n n x c ),min(21R R R =01100nn n n n k n kk c a b a b a b a b--==+++=∑（3）除法：（收敛域内），其中系数可通过比较等式两边的系数来决定.2．幂级数的分析运算及和函数的性质 性质1 幂级数的和函数在其收敛域上一定连续.性质2 幂级数的和函数在其收敛区间内可积，并有逐项积分公式.逐项积分后所得的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数的和函数在其收敛区间内可导，并有逐项求导公式 .逐项求导后所得的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.注 幂级数与其逐项求导、逐项求积分后得到的幂级数和尽管具有相同的收敛半径，但在收敛区间的端点的收敛性未必相同，因此，它们的收敛域未必相同.例如，的收敛域为，逐项积分后幂级数的收敛域为.四．例题讲解例1．求级数的收敛域.例2．求幂级数的收敛区间和收敛域. 例3．求幂级数的收敛区间.∑∑∑∞=∞===00n nn n nnn nnx c xb x a00≠∑∞=n n n x b n c )()(0∑∑∞=∞=⋅n nn n nn x c x b ∑∞==0n n n x a ∑∞=0n nn xa )(x s ∑∞=0n n nx a)(x s ),(R R -)|(|1d ]d [d )(01R x x n a t t a t t a t t s n n n n xnn x n nn x<+===∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=∑∞=0n nnx a)(x s ),(R R -)|(|)()()(010R x x na x a x ax s n n n n nn n nn<='='='∑∑∑∞=-∞=∞=∑∞=0n nn x a ∑∞=-01n n n xna ∑∞=++011n n n x n a ∑∞=0n nx )1,1(-∑∞=++011n n n x )1,1[-nn n x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-111)1( +⋅+++⋅+⋅+nnn x x x 5)1(5352122∑∞=1!n nn x例4．求幂级数的收敛区间.例5．求幂级数的收敛半径. 例6．求幂级数的收敛域. 例7．求幂级数的和函数.例8．求幂级数的和函数.例9．求幂级数的和函数. 例10．求幂级数的和函数.例11．假设银行的年存款利率为，且以年复利计息，某人一次性将一笔资金存入银行，若要保证自存入之后起，（此人或其他人）第年年末都能从银行提取万元，则其存入的资金至少是多少？∑=1n n nx n∑∞=022)!()!2(n nx n n ∑∞=-12)1(n nnn x +++++nx x x 21∑∞=1n nnx ∑∞=-11n n nx ∑∞=++11414n n n x %5),3,2,1( =n n n授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题 第7章 第4节 函数的幂级数展开式 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 、、、、的麦克劳林展开式，会将简单函数间接展开成幂级数教学难点 函数的幂级数展开式的求法 参考教材 同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.2．掌握、、、、的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.教 学 基 本 内 容一．泰勒级数1．若函数在的某邻域内具有阶导数，由泰勒公式可知，对任一，函数可以表示为泰勒多项式与拉格朗日型余项之和，即（1） 其中，是介于与之间的某个值.2．定义：如果函数在点的某邻域内有定义，且具有任意阶导数，则幂级数e x x sin x cos ()x +1ln ()αx +1e x x sin x cos ()x +1ln ()αx +1)(x f 0x )(0x U 1+n )(0x U x ∈)(x f +-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f ，)()(!)(00)(x r x x n x f n n n +-+10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x r ξξ0x x )(x f 0x )(0x U +-++-''+-'+nn x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000,)(!)(000)(∑∞=-=n n n x x n x f称为函数在点处的泰勒级数，展开式叫做函数在点处的泰勒展开式.注 如果函数在内能展开成幂级数，则这个幂级数展开式是唯一的.3．定理（泰勒收敛定理）如果函数在点的某邻域内有任意阶导数，则函数的泰勒级数在内收敛于的充分必要条件是泰勒公式(1)中余项的极限.特别地，当时，称为函数的麦克劳林级数. 即函数在处的泰勒级数称为麦克劳林级数.同理，若函数能在的某邻域内展开成的幂级数，即当拉格朗日型余项趋于零时，称， 为函数的麦克劳林展开式. 二．函数的幂级数展开1．直接展开法把函数展开成的幂级数，可以按照以下步骤进行： 第一步 求出函数的各阶导数.如果在处某阶导数不存在，则停止运算，这时函数不能展开成的幂级数；第二步 求出函数及各阶导数在处的值；第三步 写出的麦克劳林级数，并求出收敛半径； 第四步 在内考察，当时，余项(介于与之间）是否趋于零.若)(x f 0x ()0000()()(),()!n n n f x f x x x x U x n ∞==-∈∑)(x f 0x )(x f )(0x U )(x f 0x )(0x U )(x f ∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f )(0x U )(x f )(,0)(lim 0x U x x r n n ∈=∞→00=x ∑∞==+++''+'+0)()(2!)0(!)0(!2)0()0()0(n nn n n x n f x n f x f x f f )(x f )(x f 00=x )(x f 00=x ),(r r -x ),(,!)0()(0)(r r x x n f x f n nn -∈=∑∞=)(x f )(x f x )(x f ),(,),(),()(x f x f x f n '''0=x )(x f x )(x f 0=x ),0(,),0(),0(),0()(n ff f f ''')(x f +++''+'+nn x n f x f x f f !)0(!2)0()0()0()(2R ),(R R -∞→n 1)1()!1()()(+++=n n n x n f x r ξξ0x是，则函数的麦克劳林级数收敛于，麦克劳林级数即为函数的幂级数展开式，即.2．间接展开法（1） ，， （2），， （3） （4），.；（5）； （6） ，；（7），； （8）. 三．函数幂级数展开式的应用1．求根式的近似值 2．求对数的近似值 3．求三角函数的近似值 4．求积分的近似值四．例题讲解例1．将函数展开成的幂级数. 例2．将函数展开成的幂级数.)(x f )(x f )(x f )(!)0(!2)0()0()0()()(2R x R x n f x f x f f x f nn <<-+++''+'+= 01e !xnn x n ∞==∑),(+∞-∞∈x ∑∞=++-=012)!12()1(sin n n n xn x ),(+∞-∞∈x 20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑∑∞=-=+0)1(11n n n x x )1,1(-∈x 1101(1)(1)ln(1),(1,1]1n n n nn n x x x x n n -∞∞+==--+==∈-+∑∑ln 0(ln )e!n x x an n a a x n ∞===∑),(+∞-∞∈x ∑∞=-=+022)1(11n n n x x )1,1(-∈x 211(1)arctan ,[1,1]21n n n x x x n ∞+=-=∈-+∑xe xf =)(x x x f sin )(=x例3．将函数展开成的幂级数. 例4．将函数展开成的幂级数.例5．计算的近似值，要求误差不超过. 例6．计算的近似值，要求误差不超过. 例7．计算的近似值，要求误差不超过. 例8．计算的近似值，要求误差不超过. 例9．距离地球表面高处质量为的物体受到的重力为，式中为地球半径，为重力加速度.(1) 将表示为的幂级数； (2) 观察当远远小于地球半径时，我们可以使用级数的第一项近似，即我们经常使用的表达式.使用交错级数估计当近似式的精确度在0.01以内时，的取值范围（选用）.x xx f -+=11ln)(x xx f -=41)(2+x 5240410-2ln 410-10sin 610-⎰10d sin x xx 410-h m 22)(h R mgR F +=R g F Rhh R F mg F ≈mg F ≈h km 6400=R授课序号05教 学 基 本 指 标教学课题 第7章 第5节 傅里叶级数 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 函数的傅里叶级数展开以及定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数教学难点 函数的傅里叶级数展开以及上的函数展开为正弦级数与余弦级数参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数和的表达式.教 学 基 本 内 容一．三角级数与三角函数系的正交性1．三角级数：级数，称为三角级数，其中,,都是常数.2．三角函数系的正交性函数系 (1)称为三角函数系.性质1 在三角函数系(1)中，任意两个不同函数的乘积在区间上的定积分为零，即， ，，，.[]l ,0[]l ,0[]l l ,-[]l ,0∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a 0a n a n b ),2,1( =n ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x [π,π]-0d cos =⎰-ππx nx ),2,1( =n 0d sin =⎰-ππx nx ),2,1( =n 0d cos sin =⋅⎰-ππx nx kx ),2,1,( =n k 0d sin sin =⋅⎰-ππx nx kx ),,2,1,(n k n k ≠= 0d cos cos =⋅⎰-ππx nx kx ),,2,1,(n k n k ≠=这个性质叫做三角函数系在区间上的正交性.性质2 在三角函数系(1)中，任意一个函数（常数1除外）的平方在区间上的积分都等于，即, .二．周期为的函数展开成傅里叶级数1．傅里叶系数与傅里叶级数定理1 设三角级数的和函数为，即, (1)且等式右端级数可以逐项积分，则有(2)(1)式称为傅里叶公式.由(2)式所得的系数，及称为函数的傅里叶系数，将所得系数代入三角级数后所得的级数称为函数的傅里叶级数.2．傅里叶级数的收敛性定理2（收敛定理，狄利克雷充分条件） 设是周期为的周期函数.如果满足条件： (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， (2)在一个周期内至多只有有限个极值点，那么函数的傅里叶级数收敛，并且当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于.三．函数展开成正弦级数或余弦级数若是以为周期的奇函数，那么是奇函数，是偶函数，则],[ππ-],[ππ-π=⎰-ππx nx d sin 2πππ=⎰-x nx d cos 2),2,1( =n π2∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a )(x f ∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰--ππππππ.,2,1d sin )(1,2,1,0d cos )(1 n x nx x f b n x nx x f a n n ，，，0a n a n b ),2,1( =n )(x f ∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a )(x f )(x f π2)(x f )(x f x )(x f )(x f x )(x f 2)0()0(++-x f x f )(x f π2nx x f cos )(nx x f sin )((4) 因此，奇函数展为傅里叶级数时，只含有正弦项，此时的傅里叶级数称为正弦级数. 即正弦级数为. (5)若是以为周期的偶函数，那么是奇函数，偶函数，则(6) 因此，偶函数展为傅里叶级数时，只含有余弦项，此时的傅里叶级数称为余弦级数. 即余弦级数为. (7)四．周期为的函数展开成傅里叶级数定理3 设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为， (8)其中(9).这就是周期为的周期函数在连续点处的傅里叶级数及其傅里叶级数系数的计算公式. 当是以为周期的奇函数时，它的傅里叶级数是正弦级数， (10) 其中， . (11) ⎪⎭⎪⎬⎫====⎰ππ).,2,1(d sin )(2),,2,1,0(0 n xnx x f b n a n n )(x f ∑∞=1sin n nnx b)(x f π2nx x f sin )(nx x f cos )(⎪⎭⎪⎬⎫====⎰).,2,1(0),,2,1,0(d cos )(2n b n x nx x f a n n ππ)(x f ∑∞=+10cos 2n n nx a a l 2l 2)(x f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(n n n l x n b l x n a a x f ππ)(C x ∈⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰--l l n l ln n x l x n x f l b n x lx n x f l a ),,3,2,1(,d sin )(1),2,1,0(,d cos )(1 ππ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-==2)0()0()(x f x f x f x C l 2)(x f )(x f l 2∑∞==1sin)(n n lxn bx f π)(C x ∈0=n a ),2,1,0( =n ⎰=l n x lxn x f l b 0d sin )(2π),3,2,1( =n21当是以为周期的偶函数时，它的傅里叶级数是余弦级数， (12) 其中 ， . (13) 另外，若是函数的间断点，那么的傅里叶级数收敛于. 四．例题讲解例1．设是周期为的周期函数，它在上的表达式为将展为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例2．(脉冲矩形波) 矩形波用来表示电闸重复地断开和接通时的电流模型.设脉冲矩形波的信号函数是以为周期的周期函数(如图7.2所示)，它的表达式为求此函数的傅里叶级数展开式.图7.2例3．设是周期为的周期函数，试将函数展开为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例4．将函数 分别展开为正弦级数和余弦级数.例5．设是以4为周期的函数，在上的表达式为其中常数. 将函数展开为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例6．将函数展开为以4为周期的余弦级数. )(x f l 2∑∞=+=10cos 2)(n n lx n a a x f π)(C x ∈0=n b ),2,1( =n ⎰=l n x lx n x f l a 0d cos )(2π),2,1,0( =n x )(x f )(x f 2)0()0(-++x f x f )(x f π2),[ππ-⎩⎨⎧<≤<≤-=.000)(ππx x x x f ，，，)(x f )(x f π2⎩⎨⎧<≤<≤--=.0101)(ππx x x f ，，，)(x f π2⎩⎨⎧<≤<≤--=,0,,0,)(ππx x x x x f x x f +=1)()0(π≤≤x )(x f )2,2[-020,()02,x f x h x -≤<⎧=⎨≤<⎩，，0≠h )(x f ]2,0[1)(∈-=x x x f ，。