高数无穷级数复习(课堂PPT)

n0
它 在 满 足 不 等 式xx0的 一 切 x处 绝 对 收 敛 ;
如 果 级 数 anxn在xx0处 发 散 ,则 它 在 满 足
n0
不 等 式xx0的 一 切 x处 发 散 .
14
推论
如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R 时 , 幂 级 数 绝 对 收 敛 ; 当 xR 时 ,幂 级 数 发 散 ; 当 xR与 xR时 ,幂 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
(3) 唯一性
定理 如果函数f (x)在U (x0)内能展开成(xx0)
的幂级数, 即 f (x) an(xx0)n,
n0
则其系数
an
1 n!
f
(n)(x0)
(n0,1,2,)
且展开式是唯一的.
20
(3) 展开方法
a.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1)求anf(nn)(!x0); (2 )讨 l n iR 论 n m 0 或 f(n )(x ) M , 则级数在收敛区敛 间于 内f(收 x).
(3)
lnn(2) n1 (a1)n
(a0).
n
解
nl im n un
nl im n lann(12)
1lim n lnn(2), an
n
n 2 时 ,n 2 e n ,
1nln n (2)nn ,
由l于 im nn1, n
lim nln n (2)1,
n
limn
n
un
1. a
15
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
定理2 如果幂级数 anxn的所有系数an 0,
n0
设lim an1 n an
(或 ln i m nan)
(1) 则当0时,R1; (2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 ,R 0 .
16
(2)幂级数的运算
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
x( , )
co x s 11x 21x 4 ( 1 )n x 2n
2 ! 4 !
(2 n )!
x(, )
22
ln1(x)x1x 21x 3 ( 1 )n 1x n
23
n
x(1,1]
(1x )
1 x ( 1 )x 2 ( 1 ) (n 1 )x n
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
3
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
幂 级 数 a n x n的 和 函 数 s(x )在 收 敛 区 间 n 0
( R ,R )内 可 积 ,且 对 x ( R ,R )可 逐 项 积 分 .
幂级数 anxn的和函数s(x)在收敛区间 n0
(R,R)内可导, 并可逐项求导任意次.
18
3、幂级数展开式
(1) 定义
如 果f(x)在 点 x0处 任 意 阶 可 导 ,则 幂 级 数
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
21
(4) 常见函数展开式
e x 1 x 1 x 2 1 x n x ( , )
2 !
n !
six n x1x 31x 5 ( 1 )n x 2 n 1
2 !
n !
x(1,1)
23
二、例题 n1
例1
判
断
级:数 (1)敛
散 n n
性 ;
解
1
1
nn nn
nn
un (n 1 )n
(1
1
, )n
n1(n1)n n
n
n2
ln i (1 m n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
1
又 lim nn 1 n
ln im un10,
一、主要内容
un为常数
常数项级数
un
un为函un数 (x)
n1
取xx0
函数项级数
正 项 级 数
任 意 项 级 数
在收敛 条件下
数
级数与数 相互转化
收
幂级数
敛
半 泰勒展开式
径 R
Rn(x)0
泰勒级数
数或函数
函数
1
1、常数项级数
常 数 项 级 数 收 敛 ( 发 散 ) n l is n m 存 在 ( 不 存 在 ) .
当a0时, 原级数收敛；当0a1时,原级数发散；
nl iml(n1n( 1)2n)当 a ,1时 原,级原 数也级 发散数．n为 1 l(n1n( n1)2n),
n
27
例２ 判断级数(1)n 是否敛 收？如果收敛 n1nlnn 是条件收敛还敛 是？ 绝对收
根据级数收敛的必要条件，原级数发散．
25
nco2sn
(2)
n1
2n 3;
解
un
ncos2 2n
n 3
n 2n
,Fra Baidu bibliotek
令
n vn 2n ,
lim vn1 v n
n
n l im n2 n112nn
n1 lim n 2n
1 1, 2
n 收敛, 根据比较判别法， 原级数收敛． 2n n1
26
n 0f(nn )(!x0)(xx0)n称 为 f(x)在 点 x0的 泰 勒 级 数 . f(n)(0)xn称 为f(x)在 点 x0的 麦 克 劳 林 级 数 .
n0 n!
19
(2) 充要条件
定 理f(x )在 点 x 0的 泰 勒 级 数 , 在 U (x 0)内 收 敛 于 f(x ) 在 U (x 0)内 n l i R m n (x )0.
a.代数运算性质:
设anxn和bnxn的收敛半 R1和 R 径 2, 各
n0
n0
R m R 1 ,iR 2 n
加减法
anxn bnxn cn xn .
n0
n0
n0
x R ,R
(其中 cnanbn)
17
b.和函数的分析运算性质:
幂级数 anxn的和函数s(x)在收敛区间 n0
(R,R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
任意项级数
1. 若SnS,则级数;收敛 2. 当 n,un0,则级数 ; 发散 3.按基本性质;
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
4
2、幂级数
(1) 收敛性
定理1 (Abel定理)
如 果 级 数 anxn在 xx0(x00)处 收 敛 ,则