1 概率论基本知识点s

P ( Bi A) P ( Bi ) P ( A Bi )
P(B )P( A源自文库B )
j 1 j j
n
, i 1, 2, , n.
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设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB ) P ( A ) P ( B ) 则称事件 A, B 相互独立 , 简称 A, B 独立 .
i 1
i 1
n
n
A2 A1 A7 A6 A5 A3 A4

A与A为特殊的完备事件组。
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例
设A,B,C为三个随机事件，则
1）“A与B发生，而C不发生”表示为 2）“三个事件都发生”表示为
AB C 或 ABC
ABC
A B C
3）“三个事件至少有一个发生”表示 4）“三个事件至多有两个发生”表示
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即任一分布函数处处右连续.
0, x 0, 1 p , 0 x x , 1 1 p2 F ( x) p2 , x1 x x2 , p 1 1 , x x . 2
F ( x)
o
P ( AB ) 1.条件概率 P ( B A) P ( A)
乘法定理
P ( AB ) P ( A) P ( B A)
全概率公式
P ( A) P ( B1 ) P ( A B1 ) P ( B2 ) P ( A B2 ) P ( Bn ) P ( A Bn )
贝叶斯公式
X x
3.2 随机变量分布函数的定义
设X 为一个随机变量, 记
F ( x ) P { X x }, x R
则称F ( x )为X 的分布函数. 分布函数F ( x )的性质
(1)单调不减 x1 x2 F ( x1 ) F ( x2 )； (2)规范性 F ( )=0, F ( ) 1； (3)右连续性 F ( x 0)=F ( x ), x R.
A
B
A( B C ) B( B C )
AB AC BB BC AB AC BC
AB AB C ? A ? BC BC
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C

AB BC
ABC ABC A( B B )C AC AC
i 1
(4) 德摩根律
Ai Ai
i 1
n
n
无消去律 A C B C
AC B C AC BC
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i 1
Ai Ai
i 1
n
n
A B A B A B
2.A, B , C 为三随机事件, 则( A B ) ( B C )等于( )
黎雅莲
1
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1.1 随机现象
★ 必然现象(确定现象) ★ 随机现象(偶然现象)
随机试验(E) (1) 在相同条件下可重复地进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，但所有可能 出现的结果试验前可以确定； (3) 试验之前不能准确预言哪一个结果会出现。
F ( ) A 1 . 由分布函数的右连续性 F (0) A B 0 于是有 A 1 , B 1 .
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例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x 0时, P { X x }是不可能事件 ,
n
n
性质5. (单调性)若A B , 则P ( A) P ( B ). 性质6. (有界性)A, 有0 P ( A) 1. 性质7. (加法公式 ) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
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★古典概型试验：
即 {1 , 2 , ..., n }; (2)等可能性 每个基本事件 { i }发生的可能性相同。 (1)有限性
★定义1.2.1(古典概率)
P ( A)
A中的样本点数 Ω中的样本点数
r n
1.6 事件域
一个样本空间中某些子集及其运算结果组成的集合。
定义 F为样本空间Ω的某些子集所组成的集合，
如果F 满足：
(1) F (2) 若A F , 则A F； + (3) 若An F , n 1, 2, ..., 则 An F；
n=1
则称F 为一个事件域(σ域，或σ代数)。
(3)可列可加性 P ( Ai )= P ( Ai )；
i 1

则称P ( A)为A 的概率,称( , F , P )为概率空间。
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性质1. P ( )=0.
性质2. (有限可加性) P ( Ai )= P ( Ai ).
x1

x2

x
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是 某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴 别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.
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例1 已知随机变量 X在整个实轴上取值 , 其分布 函数为 x A Be , x 0 F ( x) { 0, x0 其中 0为常数 , 求常数 A, B的值 . 解 由分布函数的性质知
★古典概率的性质
(1)非负性 P ( A) 0 (2)规范性 P ( ) 1 n n P (3)有限可加性 Ai P ( Ai ) i 1 i 1 重庆大学数学与统计学院 黎雅莲学数学与统计学院 刘德强 2013
★定义(几何概率)
样本空间Ω可以看成一个几何图形， 事件A是Ω的子图形， A的发生与几何测度有关而与位置形状无关。 A的几何测度 Ω中几何测度
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1.3 随机事件
★随机事件(A,B,C,…)
某些样本点组成的集合。(样本空间的子集)
★例
(⑴)掷骰子： {1, 2, ..., 6}
A {1, 3, 5} (2) 电视机的寿命： {t t 0} A " 十年以上 " {t t 10}
性质3. P ( A)=1 P ( A). 性质4. 若A B，则P ( B A)=P ( B ) P ( A). P ( B A)=P ( B AB )=P ( B ) P ( AB ). (减法公式 ). P ( BA)=P ( B ) P ( AB ).
i 1 i 1
★特殊随机事件
最大子集Ω 最小子集φ
(必然事件) (不可能事件)
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1.4 事件之间的关系
(1)子事件 A B A发生必有B 发生。 (2)和事件 A B A,B至少有一个发生。 (3)积事件 A B
A,B同时发生。
(4)互斥事件 AB A,B不能同时发生。
A B A B且AB 对立事件 AB 且A B = 记B =A
A, B有且只有一个发生。
AB
(5)差事件 A B
A发生但B 不发生。
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A B A AB AB
(6)完备事件组
A1 , ..., An两两互斥且 Ai 或 Ai
X ( w)
3.1 随机变量的定义
P { w : X ( w ) x , x R} P{ X x } F ( x)
定义上的单值函数X ( ), x R, { X ( ) x , } F , 则称X ( )为上的一个随机变量.
{ X ( ) x , }简记为{ X x }
k k k k n k Pn (k ) C n p q p (1 p ) n k C n
( k 0,1, 2, , n; q 1 p )
且
k 0
Pn (k ) 1.
20
n
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0} P {红,黄} P {1， P { w : X ( w ) 0}
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1.分布函数的定义
设 X 是一个 r.v，称
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x). 如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布 函数F(x)的值就表示X落在区间[-, x]的概率.
———|——>
x
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P ( A)
★几何概率的性质
(1)非负性 (2)规范性 (3)可列可加性
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定义1.2.4 E , , F ; A F 实值函数P ( A)满足： (1)非负性 P ( A) 0； (2)规范性 P ( )=1；
i 1
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★ 必然事件 ★ 随机事件
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事件A在随机试验E中可以重复观察 若在n次重复试验中A发生了r 次，则称r/n为A在n次 重复试验中出现的频率，记为f ( A) r . n n 随n的增加，A发生的频率逼近某个常数p，则定义 A的概率为p， 记为P ( A) p. 估算P(A). 如：大型足球赛中事件A =“点球射 观察重大赛事中15382个点球，中11172个 中”, P ( A) f ( A) 11172 / 15382 0.726. ★频率的性质 (1)非负性 (2)规范性 (3)有限可加性
A. A C B . A ( B C ) A BC D. ( A B ) BC
C . ( A B) C AC BC 解： ( A B ) ( B C ) AB BC
( A B ) BC ( A B ) BC A BC BBC
ABC
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1.5 事件的运算规则和性质
(1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律
对偶律
A B B A AB BA ( A B) C A ( B C ) ( AB )C A( BC ) ( A B )C ( AC ) ( BC ) ( AB ) C ( A C )( B C )
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1.2 样本空间
★样本点(ω)
随机试验E中可能出现的结果。
★样本空间(Ω)
所有样本点组成的集合。如 (1) 掷硬币： {1 , 2 } (2) 某天加你QQ好友的人数： {0,1, 2, 3, ...} (3) 电视机的寿命： {t t 0}
注. 1º 若 P ( A) 0, 则
P ( B A) P ( B )
说明

P ( AB) P ( A) P ( B )
事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
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定理 如果在n重贝努利试验中，事件A每次出现 的概率为p (0<p<1), 则在n次试验中，A恰好 出现 k 次的概率为：