三角函数的诱导公式一

三角函数的诱导公式（一）

[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．

知识点一 诱导公式一～四

(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，

tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z .

(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，

tan(π＋α)＝tan α.

(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，

tan(－α)＝－tan α.

(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，

tan(π－α)＝－tan α.

思考1 任意角α与π＋α，－α，π－α的终边之间有怎样的对称关系？

思考2 设任意角α的终边与单位圆交于点P (x 0，y 0)，分别写出π＋α，－α，π－α的终边与单位圆的交点坐标．

知识点二 诱导公式的记忆

2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．

思考 你能用简洁的语言概括一下诱导公式一～四的作用吗？

题型一 给角求值

例1 求下列各三角函数值．

(1)sin(－83π)； (2)cos 196π； (3)sin[(2n ＋1)π－23

π]． 解 (1)sin(－83π)＝－sin 83π＝－sin(2π＋23

π) ＝－sin 23π＝－sin(π－π3

) ＝－sin π3＝－32

.

(2)cos 196π＝cos(2π＋76

π) ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32

. (3)sin[(2n ＋1)π－23π]＝sin[2n π＋(π－23

π)] ＝sin π3＝32

. 跟踪训练1 求下列三角函数值．

（1）sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－436π； (2)cos 296π； (3)tan(－855°)． 解 (1)sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭

⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos 296π＝cos(4π＋56

π) ＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭

⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32

； (3)tan(－855°)＝－tan 855°

＝－tan(2×360°＋135°)

＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.

题型二 给值求值问题

例2 已知cos(α－75°)＝－13

，且α为第四象限角， 求sin(105°＋α)的值．

解 ∵cos(α－75°)＝－13

<0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角．

∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)

＝－ 1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin []180°

＋(α－75°) ＝－sin(α－75°)＝223

.

跟踪训练2 已知cos(π＋α)＝－35

，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35

， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45

. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)

＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α

＝－(sin α＋cos α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝15

.

题型三 三角函数式的化简

例3 化简下列各式．

（1）tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)cos(α－π)sin(5π－α)

；

（2）1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°

. 解 (1)原式＝sin(2π－α)cos(2π－α)·sin(－α)cos(－α)cos(π－α)sin(π－α)

＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α

＝－tan α. (2)原式＝1＋2sin(360°－70°)cos(360°＋70°)sin(180°＋70°)＋cos(720°＋70°)

＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°

＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°

＝－1.

跟踪训练3 化简：(1)sin(540°＋α)·cos(－α)tan(α－180°)

； （2）cos(θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin(θ－4π)sin(5π＋θ)cos 2(－π＋θ)

.

解 (1)原式＝错误!

＝sin(180°＋α)cos αtan α

＝－sin αcos αsin α

cos α

＝－cos 2α. (2)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·(－sin θ)·cos 2θ

＝－cos θ.

分类讨论思想在三角函数中的应用

例4 证明：2sin(α＋n π)cos(α－n π)sin(α＋n π)＋sin(α－n π)

＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，

左边＝2sin(α＋2k π)cos(α－2k π)sin(α＋2k π)＋sin(α－2k π)

＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α

＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，

∴左边＝右边．

当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，

左边＝2sin(α＋2k π－π)cos(α－2k π＋π)sin(α＋2k π－π)＋sin(α－2k π＋π)

＝2sin(α－π)cos(α＋π)sin(α－π)＋sin(α＋π)

＝2(－sin α)(－cos α)(－sin α)＋(－sin α)

＝2sin αcos α－2sin α

＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，

∴左边＝右边．

综上所述，2sin(α＋n π)cos(α－n π)sin(α＋n π)＋sin(α－n π)

＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．