高中平面向量强化练习-学生版

题型二 平面向量的坐标运算
例 3 (2015·江苏，6)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)， 则 m－n 的值为________．
例 4 (2013·北京，13)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示．若 c＝λa＋μb(λ，μ λ
∈R)，则μ＝________.
题型一 平面向量的线性运算
例 1 (2015·新课标全国Ⅰ，7)设 D 为△ABC 所在平面内一点，B→C＝3C→D，则( )
A.A→D＝－13A→B＋43A→C C.A→D＝43A→B＋13A→C
B.A→D＝13A→B－43A→C D.A→D＝43A→B－13A→C
例 2 (2015·北京，13)在△ABC 中，点 M，N 满足A→M＝2M→C，B→N＝N→C.若M→N＝xA→B＋yA→C，
A．1
B．2
C．3
D．5
7．（2017 新课标Ⅲ）在矩形 ABCD中，AB 1，AD 2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 AP AB AD ，则 的最大值为
A．3
B． 2 2
C． 5
D．2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8．（2017 新课标Ⅱ）已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则
PA (PB PC) 的最小值是
A． 2
B． 3 2
C． 4 3
D． 1
9．（2015 新课标）设 D 为 ABC 所在平面内一点， BC 3CD ，则
A． AD 1 AB 4 AC 33
C． AD 4 AB 1 AC 33
B． AD 1 AB 4 AC 33
D． AD 4 AB 1 AC 33
10．(2018 全国卷Ⅲ)已知向量 a (1, 2) ， b (2, 2) ， c (1, ) ．若 c ∥(2a b) ，
则 =
．
11. (2017 新课标Ⅰ)已知向量 a ， b 的夹角为 60°，| a | 2 ，| b | 1，则| a 2b | = ．
12. (2016 全国 I)设向量 a (m,1) ， b (1, 2) ，且| a b |2 | a |2 | b |2 ，则 m = .
例 5 (2015 新课标 II 文)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a 等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
1.已知 ΔABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点，连接 DE 并延
长到点 F ，使得 DE 2EF ，则 AF BC 的值为
4
12．平面向量数量积的坐标运算
设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1) a·b＝x1x2＋y1y2
(2) |a|2＝x12＋y12 或|a|＝ x12＋y12.
(3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4) cos θ＝
x1x2＋y1y2 x12＋y12 · x22＋y22
3.(2013·新课标全国Ⅱ，14)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则A→E·B→D＝ ________.
题型三 平行问题
例 6 【2018 湖南省永州市一模】已知 a 1, 1， b 1,0 ， c 1, 2 ，若 a 与 mb c
平行，则 m （ ）
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
13. (2015 新课标Ⅰ)设向量 a, b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数 = ___．
14. （2014 新课标Ⅰ）已知 A ，B ，C 是圆 O 上的三点，若 AO 1 ( AB AC) ，则 AB 与 2
AC 的夹角为
15．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量 a ，b 的夹角为 60 ，c ta (1 t)b ，若 bc 0 ， 则 t _____．
A．4
B．3
C．2
D．0
3．（2016 年全国 II）已知向量 a (1, m) ，b=(3, 2) ，且 (a b) b ，则 m =
A． 8
B． 6
C．6
D．8
4．（2016 年全国 III）已知向量 BA ( 1 , 3 ) , BC ( 3 , 1), 则 ABC =
22
22
A． 30
A. 5
B. 10
C.2 5
D.10
题型五 夹角问题
例 8 (2014·山东，7)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m)，若向量 a，b 的夹角为π6 ，则实数 m＝( )
(3) 运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 3.向量的减法 (1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． (2) 法则：三角形法则．
(3) 运算律：a－b＝a＋(－b) 4.向量的数乘 (1) 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长度与方向规定如下：
3
① |λa|＝|λ||a； ② 当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反； 当 λ＝0 时，λa＝0. (2) 运算律：设 λ、μ∈R，则：① λ(μa)＝(λμ)a；② (λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb． 5. 向量共线的判定定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝λa，则向量 b 与非零向量 a 共线． 6．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一 一对实数 λ1、λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 一个平面向量 a 能用一组基底 e1，e2 表示，即 a＝λ1e1＋λ2e2.则称它为向量的分解。当 e1，e2 互相垂直时，就称为向量的正交分解。 7．平面向量的坐标运算 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)，|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， (3)若 a＝(x，y)，则 λa＝(λx，λy)；|a|＝ x2＋y2. 8．向量平行的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a∥b⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0. 9．平面向量的数量积 已知两个向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，我们把|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记 作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ. 10．平面向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cos θ 的乘积或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向 上的射影|a|cos θ 的乘积． 注意：b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ＝a|a·b| ，而 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝a|b·b| ，投影是 一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为 0. 11．平面向量数量积的重要性质 (1) a⊥b⇔a·b＝0； (2)当 a 和 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 和 b 反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝ a·a； (3)cos θ＝|aa|·|bb|；
1.（广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一））已知向量 a (1, x) , b (x,3) ,若 a ∥ b ， 则 a = ______.
2.（揭阳市 2018 届高三学业水平（期末））若向量 a (1, 2),b (1,log2 x) ，且 a // b ,则 x
的值为
.
3.（深圳市 2018 届高三第二次（4 月）调研）已知向量 m (3, k) ， n (2, 4) ，若 m / /n ，
A． 5 8
B． 1 8
C． 1 4
D． 11 8
6
2..(2018·长春第一次调研)在△ABC 中，点 P 在 BC 上，且B→P＝2P→C，点 Q 是 AC 的中点，若
P→A＝(4，3)，P→Q＝(1，5)，则B→C等于( ) A.(－2，7) C.(2，－7)
B.(－6，21) D.(6，－21)
第一讲 平面向量全国卷高考题
1．(2018 全国卷Ⅰ)在△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB
A． 3 AB 1 AC 44
C． 3 AB 1 AC 44
B． 1 AB 3 AC 44
D． 1 AB 3 AC 44
2．(2018 全国卷Ⅱ)已知向量 a ， b 满足| a | 1 ， a b 1，则 a (2a b)
3
3
B． 5 AB 2 AC 33
D． 2 AC 1 AB
3
3
3.(2015·天津，13)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且B→E＝23B→C，D→F＝16D→C，则A→E·A→F的值为________.
7
1.（江门市 2018 届高三 3 月模拟（一模））已知向量
，则
与 的夹角为
A． B． C．
D．
2.（韶关市 2018 届高三调研）已知向量 _______.
，
，若 ⊥
.若向量
与 垂直，则
3.(2018·晋冀豫三省一调)已知向量 a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c， 则|a＋b|＝( )
B． 45
C． 60
D．120
5．（2014 新课标 1）设 D, E, F 分别为 ABC的三边 BC,CA, AB 的中点，则 EB FC
A． AD
B． 1 AD 2
C． 1 BC 2
D． BC
6．（2014 新课标 2）设向量 a , b 满足|a+b|= 10 ，|a b|= 6 ，则 a b
1．向量的有关概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量A→B的大小叫做向量的长度(或模)，记作 |A→B|. (2) 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量． (4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一 组平行向量都可以移到同一直线上． 规定：0 与任一向量平行． (5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6) 相反向量：与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量．规定零向量的相反 向量仍是零向量． 2.向量的加法 (1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2) 法则：三角形法则；平行四边形法则．
15. （2013 新课标Ⅱ）已知正方形 ABCD的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE BD ．
2
17.（2011 新课标）已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a + b 与向量 k a - b 垂直，则 k =_____________．
第二讲 平面向量概念和基本运算
则mn
．
4.（广州市 2018 届高三 12 月调研测试）已知向量 a x,x 2 ， b 3,4 ，若 a / /b ，
则向量 a 的模为____．
题型四 垂直问题
例 7 (2013·新课标全国Ⅰ，13)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)b.若 b·c ＝0，则 t＝________.
）
2
A. 4 , 2
B. 8 , 3
3
2
C. 2 , 4 3
D. 3 , 4
2
3
[来源:Z,xx,k.Com]
C
B
O
A
5
2【. 2018 届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】在 ABC中,若点 D 满足 BD 2DC ,则 AD
（）
A． 1 AC 2 AB
3
3
C． 2 AC 1 AB
则 x＝________；y＝________．
1.如图,平面内有三个向量 OA , OB , OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为120 , OA 与 OC 的夹角
为 30 ,且 | OA | 2 , | OB | 3 , | OC | 2 3 ,若 OC OA OB ( , R) ,则（