单元质量评估(一)

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单元质量评估(一)
第一章 数 列 (120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.如果数列{a n }的前n 项和为S n ＝n
12
(3n －2n )，那么这个数列( )
(A)是等差数列而不是等比数列 (B)是等比数列而不是等差数列 (C)既是等差数列又是等比数列 (D)既不是等差数列又不是等比数列
2.在等比数列{a n }中，已知a 1=9
8
，a n =1
3
,q=2
3
,则n 为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
3.等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，若n n
S T ＝
2n 3n 1
＋，则
100100
a b =( )
(A)1 (B)2
3 (C)
199299
(D)
200
301
4.(2011·衢州高二检测)设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，则a 3+a 6+a 9+…+a 99等于( )
(A)82 (B)－82 (C)132 (D)－132
5.若a、b、c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的个数为( )
(A)0 (B)1
(C)2 (D)不能确定
6.在3和9之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是( )
（A）45
4（B）27
4
（C）9
2
（D）9
7.(2011·温州高二检测)在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，S n为前n项的和，则( )
(A)S1，S2，S3，…，S10都小于零，S11，S12，S13，…都大于零
(B)S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
(C)S1，S2，…，S5都大于零，S6，S7，…都小于零
(D)S1，S2，…，S20都大于零，S21，S22，…都小于零
8.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a17=10，则S19=( )
(A)190 (B)95 (C)170 (D)85
9.在等差数列{a n}中，满足3a4＝7a7，a1>0，S n是其前n项和，若S n取最大值，则n等于( )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
10.数列{a n}中，a n
，若前n项和S n=9，则项数n等于( )
(A)96 (B)97 (C)98 (D)99
11.某厂原来总产值为a，以后连续两年每年平均以10%递增.若连续两年中第二年的生产总值为b，则a是b的( )
(A)80% (B)90.9% (C)82.6% (D)81%
12.(2011·青岛高二检测)设函数f(x)满足f(n ＋1)＝()2f n n
2
+(n ∈N +)，且f(1)
＝2，则f(20)为( )
(A)95 (B)97 (C)105 (D)192
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
13.已知数列前4项为4,6,8,10，则它的其中一个通项公式为________. 14.(2011·济宁高二检测)一个等比数列，它与一个首项为零，公差不为零的等差数列相应项相加以后得到新的数列1,1,2，…，则相加以后的新数列的前10项的和为________.
15.已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足log 2(S n +1)=n,则a n =________. 16.已知数列{a n }中，a n ＋1＝
n n 2a a 2
＋，a 7＝1
2
，则a 5＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（10分）已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2=-1，a 5=5. (1)求{a n }的通项a n ；
(2)求{a n }前n 项和S n 的最小值.
18.（12分）三个数成递增的等比数列，其和为78，若将其中最小数减去10，最大数减去14，则构成等差数列，求原来的三个数. 19.（12分）在等差数列{a n }中，a 10=23,a 25=-22， （1）数列{a n }的前多少项和最大？ （2）求{|a n |}的前n 项和.
20.（12分）等差数列{a n }的各项均为正数，a 1=3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1=1且b 2S 2=64，b 3S 3=960. （1）求a n 与b n ； （2）求和：
1
2
n
111S S S ++⋯+
.
21.（12分）(2011·临沂高二检测)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意的n ∈N +，有S n =3
2
a n -3
2.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =
3n 3n +1
1
log a log a g ，求数列{b n }的前n 项和T n .
22.（12分）某养鱼场据统计测算，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率均为前一年的一半.
(1)饲养五年后，鱼的质量预计是原来的多少倍？
(2)因死亡等原因，每年约损失预计质量的10%，那么经过几年后，鱼的总质量开始下降？
答案解析
1.【解析】选B.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n
12
(3n －2n )－
n-1
12
(3n －1－2n －1)
＝n n
32－1－n
n
2
33
2
⨯＋1
＝
n n
32
×1
3
＝1
3×(32
)n ，
a 1＝S 1＝1
2
，
∴数列{a n }是等比数列而不是等差数列，故选B. 2.【解析】选C.在等比数列{a n }中， a 1=9
8
,a n =1
3
,q=23.
∵a n =a 1q n-1=98
(2
3)n-1=1
3
,
∴(23
)n-1=1
3
〃8
9
=(2
3
)3,
∴n-1=3,n=4.
3.【解析】选C.∵
1001199100
1199
2a a a 2b b b ＋＝
＝
＋()
1199199199
1199199
(a a )
S 21991992.199T 31991
299
b b 2
+⨯=
⨯+＝
＝
＋故选C.
4.【解析】选B.∵{a n }是公差为－2的等差数列， ∴a 3+a 6+a 9+…+a 99
=(a 1+2d)+(a 4+2d)+(a 7+2d)+…+(a 97+2d) =a 1+a 4+a 7+…+a 97+33×2d=50-132=-82.
5.【解析】选A.∵a 、b 、c 成等比数列，a 、b 、c 均不为0， ∴ac ＝b 2，又Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4b 2＝－3b 2<0， ∴交点个数为0，故选A.
6.【解析】选A.设中间两数依次为x ，y ， 则x 2=3y,2y=x+9；
解得9x 2
27y 4
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，所以x+y=454
.
7.【解析】选B.∵a 10<0，∴a 1＋9d<0. ∵a 11>0，∴a 1＋10d>0.
又a 11>|a 10|，∴a 1＋10d>－a 1－9d ， ∴2a 1＋19d>0， ∴S 19＝19a 1＋19182
⨯d ＝19(a 1＋9d)<0，排除A 和D.
S 20＝20a 1＋
20192
⨯d ＝10(2a 1＋19d)>0，排除C.故选B.
8.独具【解题提示】解决本题的关键是能够想到等差数列的性质，然后写出等差数列的求和公式利用性质替换即可.
【解析】选B.根据等差数列的求和公式和等差数列的性质可知： S 19=
11919(a a )
2
⨯+=
31719(a a )
2
⨯+=95.
9.【解析】选C.由3a 4＝7a 7，∴3(a 1＋3d)＝7(a 1＋6d)， ∴a 1＝－
334
d.
又a 1>0，公差d<0，∴该数列为单调递减数列，要使S n 取最大值
则n n 1a 0a 0.≥⎧⎨≤⎩＋，即33d (n 1)d 0433d nd 0.
4
⎧≥⎪⎪
⎨⎪≤⎪⎩－＋－，－＋
解得
334
≤n ≤
374
，故n ＝9，故选C.
10.【解析】选D.a n
=
,得
S n -1=9⇒n=99.
11.【解析】选C.由b ＝a(1＋10%)2＝1.21a ， ∴
a a
b 1.21a
＝
≈82.6%，故选C.
12.【解析】选B.f(n ＋1)＝()2f n n
2
+⇒f(n ＋1)－f(n)＝n
2
，
∴f(20)－f(19)＝
192
，
f(19)－f(18)＝9， f(18)－f(17)＝172
，
…
f(2)－f(1)＝12，以上式子相加得
f(20)－f(1)＝192
＋9＋
172
＋…＋1
2
＝1
2×
19(191)
2
＋＝95.
∴f(20)＝97，故选B.
13.独具【解题提示】观察数列的前4项的数之间的规律，找到一个统一的形式，根据数列的要求写出这个形式即是通项公式. 【解析】该数列的前4项分别可写成： 2×(1+1),2×(2+1),2×(3+1),2×(4+1)， 所以数列的通项公式可为a n =2(n+1). 答案：a n =2(n+1)
14.【解析】设等比数列首项为a 1，公比为q ，等差数列首项为b 1＝0，公差为d.
由题得1121
a 1a q d 1a q 2d 2⎧⎪
⎨⎪⎩＝，＋＝，＋＝⇒1a 1q 2d 1.⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝－
∴S 10＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋…＋b 10) ＝
10
1(12)12
⨯－－＋10×0＋
1092
⨯×(－1)
＝210－1－45＝978. 答案:978
15.独具【解题提示】首先根据对数的运算性质，找到数列的前n 项和公式的表达形式，然后通过已知前n 项和求通项公式的方法求解.
【解析】由log 2(S n +1)=n 得S n +1=2n ，∴S n =2n -1，所以可得a 1=S 1=2-1=1，根据数列的性质：
n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n -1)-(2n-1-1)=2n -2n-1=2n-1； n=1时满足a n =2n-1 ∴a n =2n-1. 答案：2n-1
16.【解析】a 7＝
565556552a 22a a 2a 12a a 2
a 1
2
2
a 2
⨯＋＝
＝
＝＋＋＋＋，∴a 5＝1.
答案：1
17.【解析】(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，
11
a d 1
a 4d 5+=-⎧⎨
+=⎩，解出a 1=-3，d=2.
所以a n =a 1+(n-1)d=2n-5.
(2)S n =n a 1+
()n n 12
-d=n 2-4n=(n-2)2-4.
所以n=2时，S n 取到最小值-4. 18.【解析】设三个数分别是a 、aq 、aq 2
，则依题意得2
2
a aq aq 782aq (a 10)(aq 14),
⎧⎪⎨⎪⎩＋＋＝，
＝－＋－解得a ＝6，q ＝3.
故原来的三个数为6,18,54.
19.【解析】(1)由11
a 9d 23a 24d 22+=⎧⎨+=-⎩得1a 50
d 3=⎧⎨=-⎩,
∴a n =a 1+(n-1)d=-3n+53, 令a n >0，得：n<
533
,
∴当n ≤17,n ∈N +时，a n >0；当n ≥18，n ∈N +时，a n <0 ∴{a n }的前17项和最大. （2）当n ≤17,n ∈N +时
|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =n a 1+()n n 12
- d
=-3
2n 2+
1032
n
当n ≥18,n ∈N +时
|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 17-a 18-a 19-…-a n =2（a 1+a 2+…+a 17）-(a 1+a 2+…+a n ) =3
2n 2-1032
n +884,
∴当n ≤17，n ∈N +时，{|a n |}前n 项和为-3
2
n 2+1032
n,
当n ≥18,n ∈N +时,{|a n |}前n 项和为3
2n 2-1032
n +884.
即{|a n |}前n 项和
T n =223103n n ,n 1722.3103n n 884,n 1822
⎧-+≤⎪⎪⎨
⎪-+≥⎪⎩ 20.【解析】(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n =3+(n-1)d,b n =q n-1
依题意有()()2
3322S b 93d q 960
S b 6d q 64
⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ ①
解得d 2q 8=⎧⎨=⎩，或6d 5
40
q 3⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（舍去）
故a n =3+2(n-1)=2n+1,b n =8n-1. （2）S n =3+5+…+(2n+1)=n(n+2) ∴
1
2n 111S S S +
+⋯+=
111113
24
35
n (n 2)
+
+
+⋯+
⨯⨯⨯+
=1
1111111
12
32
4
3
5
n
n 2
-
+
-+-
+⋯+-
+（）
=
111132n 3(1)2
2
n 1
n 2
4
2(n 1)(n 2)
++
-
-
=
-
++++.
21.独具【解题提示】首先在解决第一问时考虑利用已知数列的前n 项和与通项之间的关系求得通项公式，注意考虑当n=1时.在解决第二问时对通项公式进行变形裂项求和.
【解析】(1)由已知S n =3
2
a n -3
2,
∴当n ≥2时，S n -1=32
a n -1-3
2
；
∴S n -S n -1=32
a n -3
2
a n -1，
即a n =32
a n -3
2
a n -1，
∴当n ≥2时，a n =3a n -1；
∴数列{a n }为等比数列，且公比q=3；
又当n=1时，S 1=32
a 1-3
2
，
即a 1=32
a 1-3
2
，
∴a 1=3；∴a n =3n .
(2)由题可知：log 3a n =log 33n =n ， ∴b n =
3n 3n 1
1
log a log a +g =
111n (n 1)
n
n 1
=
-
++；
∴{b n }的前n 项和
T n =(1-1
2
)+(1
2
-1
3
)+(1
3
-1
4
)+…+(
11n n 1
-
+)
=1-
1n 1
+=
n n 1
+.
独具【方法技巧】解决数列问题的几种方法
1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解.
2.数列求通项的常见类型与方法:公式法、由递推公式求通项,由S n 求通项,累加法,累乘法等.
3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等.
4.解综合题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. 22.【解析】(1)设鱼的原质量为a ，增长率为x ＝200%＝2，以后每年的鱼的质量依次组成数列{a n }. 则a 1＝a(1＋x)，
a 2＝a(1＋x)(1＋x
2)， a 3＝a(1＋x)(1＋x
2)(1＋2
x 2)， a 4＝a(1＋x)(1＋x 2)(1＋2
x 2)(1＋3
x 2)， a 5＝a(1＋x)(1＋x 2)(1＋
2x 2
)(1＋
3
x 2
)(1＋
4
x 2
)，
将x ＝2代入得：a 5＝a(1＋2)(1＋1)〃(1＋1
2
)(1＋1
4
)(1＋18
)＝40532
a ≈12.7a.
故饲养五年后，鱼的质量预计是原来的12.7倍.
(2)设从第n 年开始，鱼的总质量开始下降，所以可以得出a n ＝a n －1(1＋
n 1
x 2
－)〃9
10
.
由n n 1n n 1
a a a a ≥⎧⎨
≥⎩－＋⇒n 1n 1n 1n n n x 9a (1)a 210x 9a a (1)210⎧
⨯≥⎪⎪⎨
⎪≥⨯⎪⎩
－－－＋＋ ⇒n 2n 11
129
11.2
9⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩－－， 所以
n
11136
2
18
≤
≤
，
故18≤2n ≤36，∴4<n<6，∴n ＝5. 故经过五年后，鱼的总质量开始下降.。