大学物理竞赛辅导-机械振动与波动2015

大学物理竞赛辅导 一 机械振动与波动
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机械振动
一、简谐振动的定义
1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角 位移）随时间按余弦（或正弦）函数的规律变化，称这
个物体在作简谐振动或简谐运动。
2、两个特例：“弹簧振子”和“单摆” 。
弹 簧 振
单 摆
子
2
弹簧振子
单摆
动力学特征： f kx
M mg sin l
由振动系统的初始状态决定。
arctan(
v0
x0
)
为方便计，规定： (或0 2 )
注：角频率ω就是相位的变化速率。
7
三、阻尼振动
1. 阻尼振动运动微分方程
有粘滞阻力时弹簧振子：
k
阻力：
fr
v
dx dt
动力学方程：
m
d2 dt
x
2
kx
dx dt
kx
m
m
fr
O
x
运动微分方程：
d2x dt 2
弹性力: k x , 阻尼力: v , 驱动力: H cos t
受迫振动的运动微分方程：
m
d2 dt
x
2
kx
dx dt
H
wk.baidu.com
cos
t
x
d2 x dt 2
2
dx dt
2 0
x
h cos
t
O
t
微分方程的解为
x A0 e t cos (
2 0
2
t
0)
Acos
(
t
)
A
h
(
2 0
2 )2
4
2
2
阻尼振动
*2 两个同方向不同频率简谐运动合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
2 1
拍频（振幅变化的频率）
*3、 相互垂直振向简谐振动的合成
合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单整数比 关系时，是稳定的封闭曲线，称为“李萨如图形 ”。
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相互垂直的同频率谐振动的合成
x2 A12
y2 A2 2
2 xy A1 A2
cos
(
2
1)
sin2 (
2
1)
0
4
2
3 4
5 4
3 2
7 4 18
例7. 两个线振动合成一个圆运动的条件是——— ————————————(1984.二.2) 答案：
同频率；同振幅；两振动互相垂直；位相差为
2k 1 k=0，±1，±2，……
2
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机械波
一 机械波的基本概念
1 机械波产生条件：1）波源；2）弹性介质.
机械振动在弹性介质中的传播形成波，波是运动 状态的传播，介质的质点并不随波传播.
2 描述波的几个物理量
波长 ：一个完整波形的长度.
l
mgl
动力学方程：d2 x
dt 2
2 x
d2
dt 2
2
运动方程：x Acos(t ) Acos(t )
k/m
g/l
注1：弹簧振子水平放置， 注2： 竖直放置或放在固定的光滑
1
1
k串 i ki
斜面上都可以做简谐振动。
k并 ki
i
3
例1. 如图，用六根拉伸的长度均为10cm的弹簧将
简谐振动
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共振 — 驱动力的角频率为某定值时受迫振动的振幅达到
极大值的现象。
共 02 2 2 ,
A共
2
h
02 2
★ 分析：
A
(1) 越小时，ω共 越接近于ω0 ，
A共 越大。
(2) = 0 时，共 0 ,
无阻尼 = 0 弱阻尼 > 0 大阻尼 > 0
A共 尖锐振动。
★ 强迫力的方向永远与物体
解：已知m=1.0kg，ν0=2Hz，
临界阻尼振动条件 β ω0
ω02
K m
K mω02 m(2πv0 )2 1.0 (2π 2)2 158(N m)
γ m 2β 2ω0 2
K m
γ 2 Km 2 16π2 1.0 8π 25.1(kg s)
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四、受迫振动与共振
— 系统在周期性外力持续作用下所发生的振动。
ω＝2(2ν０)，
经平衡位置时速度最大为: V=ωＡ。
撤去策动力后，速度仍为V，做自由振动，其圆频
率ω`＝２ν0，仍有关系V=ω`A`
∴ωA=ω`A`, A`=ω/ω`A=2A
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五 两个同方向同频率简谐运动的合成 1 两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动
x x1 x2 A cos(t ) A A12 A22 2A1A2 cos
2
dx dt
02 x
0
其中：
0 k m , 2m ,
称阻尼因子，由阻力系数 决定。
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2.弱阻尼、临界阻尼和过阻尼
0 ：弱阻尼；x A 0 e t cos( t )
02 2
x
0 ：临界阻尼；
临界阻尼是物体不作
弱阻尼 临界阻尼 过阻尼
往复运动的极限，从周期
振动变为非周期振动。
运动方向相同。
O
0
ω共15
例6.固有频率为ν0的弹簧振子，在阻尼很小的情况 下，受到频率为2ν0的余弦策动力作用，作受迫振
动并达到稳定状态，振幅为A。若在振子经平衡位
置时撤去策动力，则自由振动的振幅A`与A的关系
是____A_`_=_2_A__.
(1996.一.2)
解：稳定振动时振子频率即策动力频率，圆频率为
2、角频率（圆频率）ω : 2秒内质点的振动数。
2 2 由振动系统本身的性质决定。
T
对弹簧振子：
k ,
m
1
2
k, m
T 2 m
k
对单摆：
g/l,
1
2
g l
,
T 2
l g
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3、 相位（位相，周相）： x Acos(t )
( t + )是 t 时刻的相位，反映质点的运动状态。
t =0 时位相值 ，称初相，
O
t
0 ：过阻尼；
振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置，不再做 往复运动，非周期运动。
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例4.一个弹簧振子的质量为1.0kg，自由振动的本
征频率为2Hz ，当存在某个大小与振子速率成正比
的阻尼力时，恰好处于临界阻尼振动状态，则弹簧
的劲度系数K= ————N/m，阻尼力大小与速率
的比例系数 = ————kg/s。 (十七届.一.4)
一质量m为10g的物体悬挂起来。每个弹簧上的拉
力均为5N，如果将物体垂直于图面向外稍微拉动
一下，然后释放，则该物体m振动的频率为___Hz
解：设物体相对图面的垂直位移为x， (1986.二.1)
弹簧相对面的倾角为θ，
物体受弹簧合力(指向图面)为F 则：x=lsinθ， F=6fsinθ≈6fθ
其中l为弹簧长度，f为一根弹簧拉力
由m
d2 x dt 2
F,
得ml
d2
dt 2
6f
0
l
f 阻碍θ的增大，∴f < 0
x
振动频率：v 1
6 f
1
6 5 27.6Hz
2 2 ml 2 0.01 0.1
4
二、简谐振动的特征量 x Acos(t )
1、振幅 A ：质点离开平衡位置的最大距离。
A
x02
v02
2
由振动系统的初始状态决定。