【必考题】数学高考试卷及答案
高考理科数学试题及答案2024
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学试卷及答案解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = 2x - 1，那么f(3)的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C解析：将x=3代入函数f(x) = 2x - 1，得到f(3) = 23 - 1 = 6 - 1 = 5。
2. 若|a| = 3，|b| = 4，则|a + b|的最大值为（）A. 7B. 8C. 11D. 12答案：C解析：由三角不等式可知，|a + b| ≤ |a| + |b|，所以|a + b| ≤ 3 + 4 = 7。
当a和b同号时，|a + b|取最大值，即|a + b| = |a| + |b| = 3 + 4 = 7。
3. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为（）A. 1B. 3C. 2D. 5答案：A解析：这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或使用求根公式来解。
因式分解得(x - 1)(x - 3) = 0，所以x = 1或x = 3。
故选A。
4. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，则a10的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 27答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得到a10 = 3 + (10 - 1)2 = 3 + 18 = 21。
5. 若log2(x + 1) = 3，则x的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：由对数定义可知，2^3 = x + 1，即8 = x + 1，解得x = 7。
6. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 直线D. 双曲线答案：A解析：复数z可以表示为z = x + yi，其中x和y是实数。
由|z - 1| = 2，即|(x - 1) + yi| = 2，表示复数z到点(1, 0)的距离为2，因此z在复平面上的轨迹是以(1, 0)为圆心，2为半径的圆。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（ ）A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．∅【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B＝34．故选：B．4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（ ）【答案】D【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ）A．7B．9C．15D．30【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，设公比为q，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1【答案】A【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P（A）＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝＝0.8．故选：A．7．（5分）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（ ）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，且直线还经过点（，）、（﹣，﹣），0＜＜1，﹣1＜﹣＜0，如图，故y＝f（x）与的交点个数为3．故选：C．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，∴在△PBD中，根据余弦定理可得：＝，又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，∴△PBC的面积为＝＝．解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，∴或，∴或，∴或，∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，∴，∴cosθ＝，再根据最小角定理可得：cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，∴△PBC的面积为＝＝．故选：C．12．（5分）已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，O为原点，P为椭圆上一点，，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，＝（），可得|PO|2＝＝（m2+n2+2mn cos∠F1PF2）＝（m2+n2+mn）＝（21+）＝．可得|PO|＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【必考题】数学高考试卷(含答案)
【必考题】数学高考试卷(含答案)一、选择题1．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．3．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．49B ．29C ．12D ．134．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34B ．16 C ．1112D ．25245．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-26．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-7．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．809．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直10．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<11．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．B ．C ．0D ．4π-12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．43π B ．83π C ．163πD ．203π二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =b=1,则c =_____________14．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．15．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 16．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则ACB =∠______________.17．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.18．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．19．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.20．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．三、解答题21．已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围. 22．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.23．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1231x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值. 24．选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围； （2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围. 25．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．26．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项．由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．2．C解析：C 【解析】 【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．3．C解析：C 【解析】 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C.本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.4．C解析：C 【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 5．B解析：B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()2·20a a b += 即a b =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1， 故选B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果. 【详解】因为()a i i b i +=+， 即1ai b i -+=+，因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-， 故选C. 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.7．D解析：D分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．C解析：C 【解析】分析：写出103152rrr r T C x -+=，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,则r 2= 所以22552240rr C C =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
2023年高考数学全国一卷试卷及解析
2023年高考数学全国一卷试卷及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集{}54321，，，，=U ，集合{}41，=M ，{}52，=N ，则=⋃M C N U （）A .{}5,3,2B .{}431，，C .{}5,4,2,1D .{}5,4,3,22.()()()=-++i i i 22153（）A .1-B .1C .i -1D .i+13.已知向量()1,3=a ，()2,2=b ，则=-+b a b a ,cos （）A .171B .1717C .55D .5524.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A .61B .31C .21D .325.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若1062=+a a ，4584=a a ，则=5S （）A .25B .22C .20D .156.执行右边的程序框图，则输出的=B （）A .21B .34C .55D .897.设21,F F 为椭圆1522=+y x C ：的两个焦点，点P 在C 上，若021=⋅PF PF ，则=⋅21PF PF （）A .1B .2C .4D .58.曲线1+=x e y x 在点⎪⎭⎫⎝⎛21e ，处的切线方程为（）A .x e y 4=B .x ey 2=C .44ex e y +=D .432ex e y +=9.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，C 的一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .55B .552C .553D .55410.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，2==PB P A ，6=PC ，则该棱锥的体积为（）A .1B .3C .2D .311.已知函数()()21--=x ex f .记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22f a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23f b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26f c ，则（）A .a c b >>B .c a b >>C .ab c >>D .b a c >>12.函数()x f y =的图象由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 的图象向左平移6π个单位长度，则()x f y =的图象与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若3678S S =，则{}n a 的公比为.14.若()()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x x f 为偶函数，则=a .15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为.16.在正方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，O 为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【必考题】高考数学试题(及答案)
【必考题】高考数学试题(及答案)一、选择题1．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对2．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23B ．35C ．25D ．154．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30的等腰三角形5．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34B ．16 C ．1112D ．25246．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-27．函数()23x f x x+=的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称8．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）x3 4 5 6 y 2.5t44.5A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．回归直线一定过4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 D ．t 的值是3.1510．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3211．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．已知0x >，0y >，0z >，且36x y z ++=，则323x y z ++的最小值为_________．15．若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．16．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．17．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 18．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．19．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 20．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．三、解答题21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．已知曲线C ：（t 为参数）， C ：（为参数）．（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 上的点P 对应的参数为，Q 为C 上的动点，求中点到直线（t 为参数）距离的最小值．23．设()34f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.24．已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.25．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．26．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，ACBD P =，11A C EF Q =.求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．3．B解析：B 【解析】 【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．4．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==.所以180454590A =--=. 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.5．C解析：C 【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 6．B解析：B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()2·20a a b += 即a b =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1， 故选B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．7．C解析：C 【解析】 【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可． 【详解】解：()f x =0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞，D 关于原点对称.任取x D ∈，都有()()f x f x x-===，()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选：C . 【点睛】本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．解析：A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 由题意，x =34564+++=4.5， ∵ˆy=0.7x+0.35， ∴y =0.7×4.5+0.35=3.5， ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选D ．10．B解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
数学高考真题答案及解析版
数学高考真题答案及解析版一、选择题1. 本题考查函数的性质和应用。
设函数f(x) = 2^x - 3，若f(x) = 5，则x = 2。
因为f(x)在R上是增函数，所以f(x) > 5 当 x > 2。
因此，选项A正确。
2. 根据题目，我们需要求解不等式。
首先，将不等式整理为标准形式：3x - 2 > 7。
解得x > 3，所以选项C是正确答案。
3. 题目涉及三角函数的图像和性质。
正弦函数y = sin(x)在区间[0,2π]内的最大值为1，最小值为-1。
因此，选项B描述正确。
4. 这是一个关于复数的问题。
设复数z = a + bi，其中a和b是实数。
根据题目条件，z的模长为5，即√(a^2 + b^2) = 5。
又因为z的实部为3，即a = 3。
代入模长公式，解得b = 4。
所以，复数z = 3 +4i，选项D正确。
5. 本题要求我们利用概率的基本原理计算事件的概率。
根据古典概型，事件A的概率P(A) = 事件A的基本事件数 / 总的基本事件数。
这里，事件A是抽取到红色球，有3个红色球和5个蓝色球，总共8个球。
所以，P(A) = 3/8。
选项B是正确答案。
二、填空题1. 题目要求求解几何级数的和。
根据等比数列求和公式，S = a(1 -r^n) / (1 - r)，其中a是首项，r是公比，n是项数。
将题目中的数值代入公式，得到S = 1(1 - 2^5) / (1 - 2) = 31/(-1) = -31。
2. 本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系。
设圆心为O(0,0)，半径r = 3。
直线方程为y = x + 1。
圆心到直线的距离d = |0 - 0 + 1|/ √2 = 1/√2。
因为 d < r，所以直线与圆相交。
根据相交弦的性质，弦长l = 2√(r^2 - d^2) = 2√(9 - 1/2) = √34。
三、解答题1. 首先，我们需要证明函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0,3]上是单调递增的。
【必考题】数学高考试题(带答案)
【必考题】数学高考试题(带答案)一、选择题1．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +D ．12i -+2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27B ．11C ．109D ．363．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,32⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．2B ．2C D ．27．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ）A BC D ．48．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ）A ．14B ．12C ．2D10．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1011．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．12．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C 3D 2二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =b=1,则c =_____________15．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．16．函数()23s 34f x in x cosx =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 17．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．18．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．19．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 20．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.三、解答题21．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.23．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.24．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B . 25．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos()124πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】首先根据向量OA 对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB 对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -，所以向量OB 对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由秦九韶算法可得()())((())532231? 02311,f x x x x x x x x x x =++++=+++++ 0ν1∴=1ν=1303⨯+= 2ν33211=⨯+= 3ν113336=⨯+=故答案选D3．C解析：C 【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.4．C解析：C 【解析】 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则＝（ ）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i【答案】B【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，∴z＝＝＝1﹣2i，∴＝1+2i．故选：B．2．（5分）设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（ ）A．∁U（M∪N）B．N∪∁U M C．∁U（M∩N）D．M∪∁U N【答案】A【解答】解：由题意：M∪N＝{x|x＜2}，又U＝R，∴∁U（M∪N）＝{x|x≥2}．故选：A．3．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A．24B．26C．28D．30【答案】D【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4＝30．故选：D．4．（5分）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】D【解答】解：∵f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴，∴，∴ax﹣x＝x，∴a＝2．故选：D．5．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（ ）A．﹣B．﹣C．D．【答案】D【解答】解：根据题意可知＝，∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝＝2，又根据“五点法“可得，k∈Z，∴φ＝，k∈Z，∴f（x）＝sin（2x）＝sin（2x﹣），∴f（﹣）＝sin（﹣）＝sin（﹣）＝sin＝．故选：D．7．（5分）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A．30种B．60种C．120种D．240种【答案】C【解答】解：根据题意可得满足题意的选法种数为：＝120．故选：C．8．（5分）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB ＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）A．πB．πC．3πD．3π【答案】B【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE、OE，由于圆锥PO的底面半径为，即OA＝OB＝，而∠AOB＝120°，故AB＝＝＝3，同时OE＝OA×sin30°＝，△PAB中，PA＝PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB，又由△PAB的面积等于，即PE•AB＝，变形可得PE＝，而PE＝，则有h2+＝，解可得h＝，故该圆锥的体积V＝π×（）2h＝π．故选：B．9．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C﹣AB﹣D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得AB⊥CE，AB⊥DE，∴二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CED＝150°，∵AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABC，∴平面CED⊥平面ABC，∴CD在平面ABC内的射影为CE，∴直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，过D作DH垂直CE所在直线，垂足点为H，设等腰直角三角形ABC的斜边长为2，则可易得CE＝1，DE＝，又∠DEH＝30°，∴DH＝，EH＝，∴CH＝1+＝，∴tan∠DCE＝＝＝．故选：C．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差为，集合S＝{cos a n|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（ ）A．﹣1B．﹣C．0D．【答案】B【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，又公差为，∴，∴，其周期为＝3，又根据题意可知S集合中仅有两个元素，∴可利用对称性，对a n取特值，如a1＝0，，，•，或，，a3＝π，•，代入集合S中计算易得：ab＝．故选：B．11．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）A．（1，1）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，﹣4）【答案】D【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），，①﹣②得k AB＝＝9×＝9×，即﹣3＜9×＜3⇒，即或，故A、B、C错误，D正确．故选：D．12．（5分）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（ ）A．B．C．1+D．2+【答案】A【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，根据题意可得：∠APO＝45°，∴＝＝cos2α﹣sinαcosα＝＝，又，∴当，α＝，cos（）＝1时，取得最大值．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【必考题】高考数学试卷附答案
【必考题】高考数学试卷附答案一、选择题1．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥2．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2） 3．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）A ．A 与BB ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D 4．若满足sin cos cos A B C a b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30的等腰三角形 5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．56 6．在二项式n 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）A ．16B ．14C ．512D ．137．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34B ．16 C ．1112 D ．2524 8．函数()23x f x x +=的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称 D ．直线y x =对称 9．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α，m n ⊥，则n α⊥；②若m α⊥，n α，则m n ⊥；③若,m n 是异面直线，m α⊂，m β，n β⊂，n α，则αβ∥；④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④ 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ）A ．32B ．0.2C ．40D ．0.2511．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( )A ．B ．C ．0D ．4π- 12．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122±C ．1102±D ．3222± 二、填空题13．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于1[0,]2的概率为 ． 14．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.15．()sin 5013tan10+=________________.16．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=______．17．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b a 的取值范围是__________． 18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.19．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .20．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．三、解答题21．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1-（1）求m 的值；（2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 22．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.23．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=．（1）求角C 的大小；（2）求AB 的长．24．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()124πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．25．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )b x x =，函数()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.2．A解析：A【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得PQ =(1,2)-． 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 3．C解析：C【解析】分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可.详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的.综上所述，故选C.点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.4．C解析：C【解析】【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.【详解】 由正弦定理可知sin sin sin A B C a b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==. 所以45B C ==.所以180454590A =--=.所以ABC ∆为等腰直角三角形.故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.5．C解析：C【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. 6．C解析：C【解析】【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果【详解】因为n 前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-=163418118,0,1,2,82r rr r n n T C x r -+>∴=∴=⋅=，当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为636799512A A A =,选C. 【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.7．C解析：C【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 8．C 解析：C【解析】【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可．【详解】解：()f x x= 0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞，D 关于原点对称. 任取x D ∈，都有()()f x f x x-===， ()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选：C .【点睛】本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可.【详解】①若m α，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；②若n α，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥；③当m α⊂，m β，n β⊂，n α时，平面α，β平行；④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题.综上，为真命题的是②③④.故选A【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.10．A解析：A【解析】试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．11．B解析：B【解析】 得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的.12．A解析：A【解析】【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项.【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅ ()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅ ()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=. 故选：A.二、填空题13．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率 解析：13【解析】 试题分析：由题意得1220cos,[1,1]112232222333xx x x x x πππππππ≤≤∈-⇒≤≤-≤≤-⇒≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)13.1(1)3-=--考点：几何概型概率 14．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=， 联立方程22195x y += 可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=- 求得3152P ⎛-⎝⎭，所以1521512PF k == 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.15．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1【解析】【分析】 利用弦化切的运算技巧得出()cos103sin10sin 50cos 0sin 5013t 1an10++=⋅，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.【详解】原式()2sin 1030sin50cos103sin102sin 40cos 40sin50cos10cos10cos10++=⋅==()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.16．2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D可得Rt△ACD中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C作CD⊥AB于D则D为AB的中点Rt△ACD中可得cosA==2故答解析：2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D，可得1 ADAB12==，Rt△ACD中利用三角函数的定义算出1cos AAC=，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC⋅的值．【详解】过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点．Rt△ACD中，1AD AB12==，可得cosA=11,cosAADAB AC AB AC AB AC ABAC AC AC=∴⋅=⋅=⋅⋅==2．故答案为2【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．17．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以解析：2,3)【解析】【分析】【详解】因为ABC∆为锐角三角形，所以0222B AA Bπππ⎧<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以463AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以(,)64Aππ∈，所以sin2cossinb BAa A==，所以(2,3)ba∈.18．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径 解析：334或93 【解析】【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.【详解】正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到21642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到0323sin 60= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABC h S⨯⨯ 代入数据得到1313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯= 3393 【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.19．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：【解析】【分析】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．20．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的解析：18【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结果.【详解】函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增 ()210a f x x x '∴=-+≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()22g x x x =-，0x >根据二次函数的性质可知：当14x =时， ()max 18g x = 18a ∴≥，故实数a 的最小值是18本题正确结果：18 【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.三、解答题21．（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由条件可得()2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭利用基本不等式即可得结果.【详解】 （1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故()2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且111 123m a b c ++==， ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭23321112233b c a c a b a a b b c c =++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c=++++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b a a b b c c======时，等号成立． 所以239a b c ++≥. 【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题． 22．（Ⅰ）B=4π（Ⅱ）21+ 【解析】【分析】【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①在三角形ABC 中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S △ABC 12=ac sin B 24=ac ， 由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos4π≥2ac ﹣2ac 22⨯， 整理得：ac 22≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立， 则△ABC 面积的最大值为121222222⨯=-（22+2=1． 23．120o C =,10c =【解析】 试题分析：解：（1）()()1cos cos cos 2C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以120C = （2）由题意得23{2a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-=()(22223210a b ab a b ab ++=+-=-= ∴10AB考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题24．（1）曲线C ：2213x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；（2）1. 【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=， 由2cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．（2）直线1l 的参数方程为212x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2213x y +=化简得：2220t -=， 设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，121MA MB t t ∴⋅==．25．(1) T π= ；26k x ππ=+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36ππ-和2[,]3ππ 【解析】【分析】（1）化简得()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,36k k ππππ-+] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.【详解】解：（1）()23sin cos cos f x a b xx x =⋅=+ 111cos2sin 22262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的周期22T ππ==, 令262x k πππ+=+（k Z ∈），即26k x ππ=+（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26k x ππ=+（k Z ∈）. （2）令222262k x k πππππ-≤+≤+ （k Z ∈） 解得36k x k ππππ-≤≤+ （k Z ∈），由于(],x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时， 得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤--⎥⎝⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
高考数学试卷真题及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数f(x) = 2x - 3的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 椭圆答案：C2. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z的取值范围是：A. z = 1 ± 2iB. z = 1 ± √2iC. z = 1 ± 2D. z = 1 ± √3i答案：B3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 20，a1 = 2，则公差d为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A4. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinA的值为：A. 3/5B. 4/5D. 5/3答案：A5. 函数y = log2(x - 1)的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 椭圆答案：B6. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 32，a1 = 2，则公比q为：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B7. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)答案：A8. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上单调递增，则a的值为：A. 1C. 3D. 4答案：B9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 椭圆答案：A10. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，d = 2，则第10项an为：A. 19B. 20C. 21D. 22答案：C二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
）11. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的顶点坐标为__________。
答案： (1, 0)12. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是__________。
2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题及参考答案
2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。
高考数学真题及答案解析版
高考数学真题及答案解析版一、选择题1. 题目内容：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得最小值3，且知道a>0，求a+b+c的值。
答案解析：根据题意，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值，可以得出f(x)的对称轴为x=-b/2a=1，由此可得b=-2a。
又因为f(1)=3，代入得a+b+c=3。
将b=-2a代入，得到a-2a+c=3，即c=5-a。
由于a>0，所以c>5。
综合以上信息，我们可以得出a+b+c=a-2a+5-a=3，解得a=1，进而得到b=-2，c=4。
所以a+b+c=1+(-2)+4=3。
2. 题目内容：设集合A={x|x^2 < 4}，B={x|x < 0}，求A∪B的值。
答案解析：集合A表示的是所有满足x^2 < 4的x值的集合，即-2 <x < 2。
集合B表示的是所有小于0的x值的集合。
求A∪B，即求A和B的并集，也就是所有属于A或属于B的元素构成的集合。
由于A的范围是-2到2之间，而B是小于0的所有数，因此A∪B的范围是从负无穷到2，即A∪B={x|x < 2}。
3. 题目内容：已知数列{an}满足a1=1，an=3an-1+2(n≥2)，求a5的值。
答案解析：根据递推公式an=3an-1+2，我们可以逐步计算数列的前几项。
首先a1=1，然后a2=3a1+2=5，a3=3a2+2=17，a4=3a3+2=53，最后a5=3a4+2=161。
所以a5的值为161。
二、填空题1. 题目内容：若sinθ=0.6，则cosθ的值为______。
答案解析：根据三角函数的基本关系，sin^2θ+cos^2θ=1。
已知sinθ=0.6，所以0.6^2+cos^2θ=1，解得cos^2θ=1-0.36=0.64。
由于cosθ的值在-1到1之间，所以cosθ的值为±√0.64=±0.8。
【必考题】数学高考试题(含答案)
一、选择题 1．已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 x 3 ， y 3.5 ，则由该观测
的数据算得的线性回归方程可能是( )
A． y 0.4x 2.3
B． y 2x 2.4
C． y 2x 9.5
D． y 0.3x 4.4
2．命题“对任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为（ ）
调查，通过抽样，获得某年 100 为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的 的值；
（2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月用水量的中位数.
23．设函数 f (x) x 1 x 5 , x R .
25．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛，甲对 A，乙对 B，丙对 C 各
一盘，已知甲胜 A，乙胜 B，丙胜 C 的概率分别为 0.6 ， 0.5 ， 0.5 ，假设各盘比赛结果相
互独立． （I）求红队至少两名队员获胜的概率；
（II）用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E ．
三、解答题
21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有 关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游 不喜欢游 合
泳
泳
计
男 10
生
女 20
生
合 计
已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ．
（1）请将上述列联表补充完整； （2）并判断是否有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； （3）已知在被调查的学生中有 5 名来自甲班，其中 3 名喜欢游泳，现从这 5 名学生中随机 抽取 2 人，求恰好有 1 人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考：
各省市高考数学真题汇总精选13套(含答案)
绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．124．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.85．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2B ．3C ．4D ．56．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 27．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =-8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A.4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122-10．已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF△的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．9211．记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D .命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+.下面给出了四个命题①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年高考全国甲卷数学(理)真题卷(含答案与解析).
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试理科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A 10iB. 2iC. 10D. 2-2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9C. {}1,2,3D. {}2,3,53. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ） A. 2-B.73C. 1D. 25. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4B. 3C. 2D.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） .A.16B.13C.12D.237. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 19. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=r r，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥r r”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b r r”的必要条件 C. “0x =”是“a b ⊥r r ”充分条件D. “1x =-”是“//a b r r”的充分条件10. 设αβ、两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A.32B.C.D.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）的是为A. 2B. 3C. 4D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______． 14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______． 15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品 合格品 不合格品总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间 乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程； （2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A. 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9C. {}1,2,3D. {}2,3,5.【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B =I ，(){}2,3,5A A B =I ð 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ） A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值. 【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =， 则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭. 故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ， 则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===. 故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+， 令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=. 故选：A.7. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D. 【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D.故选：B. 8. 已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B. 1-C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭， 故选：B .9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=r r，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥r r”的必要条件B. “3x =-”是“//a b r r”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥r r”的充分条件D. “1x =-”是“//a b r r”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥r r 时，则0a b ⋅=r r，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==r r ，故0a b ⋅=r r，所以a b ⊥r r，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b r r时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b r r不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β， 当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确； 对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β， 因为s ⊂平面α，m αβ=I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______． 【答案】5 【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r 即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台高分别为)12h r r==-甲，)12h r r==-乙，所以V hV h====甲甲乙乙.15. 已知1a>，8115log log42aa-=-，则=a______．【答案】64【解析】【分析】将8log,log4aa利用换底公式转化成2log a来表示即可求解.【详解】由题28211315loglog log4log22aaa a-=-=-，整理得()2225log60log aa--=，2log1a⇒=-或2log6a=，又1a>，所以622log6log2a==，故6264a==故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b，第三个球的号码为c，则的323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种， 设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤， 故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤， 故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5， ()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种， 当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种， 当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种， 共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=， 故所求概率为56712015=. 故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品 合格品 不合格品总计 甲车间262450乙车间 70 28 2 100 总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间 乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.841 6.63510828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解 【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K ，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得0.64p =，根据题意计算p +. 【小问1详解】 根据题意可得列联表：.优级品非优级品甲车间 26 24 乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯， 因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. 【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=， 用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+ 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅-（2）(21)31nn T n =-⋅+ 【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式． （2）利用错位相减法可求n T.【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-， ∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列， 所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++L 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅L 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅L 所以1212443434343n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅L()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n n n -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值． 【答案】（1）证明见详解；（2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =， 四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =， 结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =， 所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =， 四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==u u u u r u u u r，()2,3BE =u u u r ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =r，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =r，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =r ，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-r，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅r r r r r r，则sin ,m n =r r ， 故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=， 故()()422Δ102443464120k kk=-+->，故1122k -<<， 又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==-- 2222212824160243234025k k k k k x --+++==-， 故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-． （1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）极小值为0，无极大值.（2）12a ≤- 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-， 故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++， 因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数， 故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值. 【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++， 设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+， 当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数， 故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=. 当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<， 故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数， 故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍. 当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍； 综上，12a ≤-. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a = 【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；在法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值. 【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥． 【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明. 【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+， 因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+; 【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 23. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2-B.73C. 1D.295. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.236. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 2D.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A.16B.C.12D. 8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-大致图像为（）A. B.C. D.9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A.32B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略的的12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______． 13. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n S 的通项公式.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ； （2）求点M 到ABF 的距离.17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． （1）求()f x 单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．的的（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 直角坐标方程； （2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合B 中元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =， 于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选：A 2.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】的的【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D【解析】【分析】可以根据等差数列基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意； 基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B6. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）的A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===. 故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A. 16B.C. 12 D. 【答案】A【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-， 故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯= 故选：A. 8. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=， 又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D.故选：B.9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1【答案】B【解析】 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭， 故选：B .原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥ ③若//n α，且//n β，则//m n④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题编号是（ ）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④ 【答案】A 的【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A. 32B.C.D. 【答案】C【解析】 【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B ==. 由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =. 故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=， 2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______． 【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+> 则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点， 所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.。
2022年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)【含解析】
2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集}2,,{153,4,U =，集合M 满足{1U M =ð，3}，则()A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M∉D ．5M∉2．已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则()A ．1a =，2b =-B ．1a =-，2b =C ．1a =，2b =D ．1a =-，2b =-3．已知向量a ，b 满足||1a =，||3b =，|2|3a b -=，则(a b ⋅=)A ．2-B ．1-C ．1D ．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列111{}:1n b b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，⋯，依此类推，其中*(1k N k α∈=，2，)⋯.则()A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <5．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ,若||||AF BF =,则||(AB =)A ．2B ．22C ．3D ．326．执行如图的程序框图，输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．67．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则()A ．平面1B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1//B EF 平面1A ACD ．平面1//B EF 平面11A C D8．已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6(a =)A ．14B ．12C ．6D ．39．已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A ．13B ．12C D 10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p ，2p ，3p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则()A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11．双曲线C 的两个焦点为1F ，2F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为()A ．2B ．32C ．2D ．212．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，4(2)g =，则221()(k f k ==∑)A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【必考题】数学高考试卷及答案
【必考题】数学高考试卷及答案一、选择题1．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1 B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 2．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<3．()()31i 2i i --+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -4．若满足sin cos cos A B C a b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30的等腰三角形5．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．22y x =±C ．3y x =±D ．2y x =±6．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．7．已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） A ．31010B ．31010-C ．43310- D ．34310- 8．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元10．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]11．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->12．sin 47sin17cos30cos17-A ．3-B ．12-C ．12D ．32二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.15．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．17．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC 的面积为______．19．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．20．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________．三、解答题21．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.22．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .23．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．24．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．(1) 求证：MD EF ⊥； (2) 求三棱锥M EFD -的体积．25．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．26．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为63，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为22 （1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =5，求直线l 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】 由题意可得 ：22435z =+=，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.3．B解析：B 【解析】 【分析】先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果.【详解】 由题意得，复数()()()31i 2i 13i i 13i 3i i ii i--+-+⋅-+===----⋅．故应选B【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==.所以180454590A =--=. 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.6．A解析：A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．7．D解析：D 【解析】分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为0cos[(30)30]α+-，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值. 详解：∵60150α︒<<︒， ∴90°＜30α︒+＜180°， ∴()cos 30α︒+=-45， ∵c os α=00cos[(30)30]α+-,∴c os α=-453152⨯=， 故选D.点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，0(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.8．C解析：C 【解析】 【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．故跑第三棒的是丙．故选：C．【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．9．D解析：D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x＝8000．故选D．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．10．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为=+-,令,则,所以此()3sin2cos2f x x x m时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.11．C解析：C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-．故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.12．C解析：C 【解析】 【分析】由()sin 473017sin θ=+，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可. 【详解】0000sin 47sin17cos30cos17-sin()sin cos cos 1730173017︒+︒-︒︒=︒ sin17cos30cos17sin 30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒=︒1302sin =︒=．故选C ．【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．二、填空题13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．14．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．15．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<16．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③【解析】 【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.17．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边解析：79-【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=（或cos cos βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈.18．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定解析：16【解析】 【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】2b =，3c =，2C B =，∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C=，可得：233sin sin22sin cos B B B B==，∴可得：3cos 4B =，可得：sin B ==，∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=，()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=+=，11sin 23221616S bc A ∴==⨯⨯⨯=．． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间解析：6π-. 【解析】分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.20．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使解析：.【解析】()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，()112'2ax g x a x x-=-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得102x a <<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a=时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解得10,2a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为102a <<. 三、解答题21．（1）26cos 2sin 60ρρθρθ--+=（22 【解析】 【分析】（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin αα-=⎧⎨-=-⎩，两式两边平方并相加，得()()22314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.将y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+=因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离5d ==，所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2d r +=+. 【点睛】本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.22．(1)证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直.【详解】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【考点】线面平行与面面垂直．23．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由不等式的解集和方程的关系，可知12，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可. 【详解】解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为12，2； 由根与系数的关系得55221a a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-．所以原不等式化为2530x x +-<解得132x -<< 所以不等式解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值. 24．（1）见解析；（2）13【解析】 【分析】（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结合()1及棱锥体积公式求解． 【详解】 （1）证明：在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ⋂=，MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；（2）解：E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点， 1BE BF ∴==，111122MEF BEF S S ∴==⨯⨯=，由（1）知，111123323M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．25．（1）见解析； （2）2e 2ea 2e 2-≥-.【解析】 【分析】()1求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求()f x 的单调区间；()2若()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，则只需求出()f x 的最大值即可，求实数a 的取值范围． 【详解】()()()21f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()()()()22x 2a 1x 2a2x 1x a f'x (x 0)xx-++--∴==>，由得1x a =，2x 1=，当0a 1<<时，在()x 0,a ∈或()x 1,∞∈+时 ，在()x a,1∈时，()f x ∴的单调增区间是()0,a 和()1,∞+，单调减区间是()a,1；当a 1=时，在()x 0,∞∈+时，()f x ∴的单调增区间是()0,∞+；当a 1>时，在()x 0,1∈或()x a,∞∈+时，在()x 1,a ∈时．()f x ∴的单调增区间是()0,1和()a,∞+，单调减区间是()1,a ．()2由()1可知()f x 在区间[]1,e 上只可能有极小值点， ()f x ∴在区间[]1,e 上的最大值在区间的端点处取到，即有()()f 112a 10=-+≤且()()2f e e 2a 1e 2a 0=-++≤，解得2e 2ea 2e 2-≥-．即实数a 的取值范围是2e 2ea 2e 2-≥-．【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．26．（1）22162x y +=；（2）2y x =-或2y x =-+.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a 2＝b 2+c 2，即可求椭圆C 的方程；（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出12x x +及12x x ⋅，结合弦的长度为5即可求斜率k 的值，从而求得直线方程．【详解】解：（1）由椭圆()222210x y a b a b +=>>6得6c =，3b =. 由2122223S c b a =⋅⋅==6a = 2b =22162x y +=． （2）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222213121260k x k x k +-+-=， 2212122212126,1313k k x x x x k k -+==++.()22122261113k AB k x x k+=+-=+． 所以202613k x k=+，点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k-=-=-=++． 由以线段AB 为直径的圆截直线1x =22222AB d ⎛⎛⎫-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()222222213113132k k k k ⎤+⎛⎫⎛⎫-⎥-= ⎪ ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出12x x +及12x x ⋅，代入弦长公式AB =，考查学生的计算能力，属于中档题．。
(必考题)数学高考题(提高培优)
一、选择题1．2532()x x-展开式中的常数项为（ ）A ．80B ．-80C ．40D ．-402．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．193．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i4．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30的等腰三角形5．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 46．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．7．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭8．函数()sin(2)2f x x π=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π=对称，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（ ）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称9．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设集合A ={−1,0,1,2,3}，B ={x|x 2−2x >0}，则A ∩B =（ ）A ．{3}B ．{−1,3}C ．{2,3}D ．{0,1,2}11．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能12．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．B ．C ．0D ．4π-13．在二项式42nx x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．16B ．14C ．512D ．1314．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<15．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．以上都不对二、填空题16．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．18．371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）19．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．20．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 21．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则ba的取值范围是__________． 22．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．23．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）24．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．25．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.三、解答题26．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.27．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．28．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数，a R ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且7AB =，求实数a 的值.29．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60,80)内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．(1)求被调查者满意或非常满意该项目的频率；(2)若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； (3)已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．30．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．C4．C5．A6．A7．C8．B9．A10．B11．C12．B13．C14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实17．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐18．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用19．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准20．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO⊥面ABDEOH⊥AB则CH⊥AB∠CHO为二面角C−AB−D的平面角CH=3√OH=CHcos∠CHO=1结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为21．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以22．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R球心O到上表面距离为x则球心到下表面距离为6-x结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查23．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为24．y=sinx（答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f（x）>f（0）且（02］上是减函数详解：令则f（x）>f（0）对任意的x∈（02］都成立但f （x）在［02］上不25．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r ，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.2．D解析：D 【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D3．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.4．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==.所以180454590A =--=.所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.5．A解析：A 【解析】试题分析：二项式(x +i)6的展开式的通项为T r+1=C 6r x 6−r i r，令6−r =4，则r =2，故展开式中含x 4的项为C 62x 4i 2=−15x 4，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式(x +i)6可以写为(i +x)6，则其通项为C 6r i 6−r x r ，则含x 4的项为C 64i6−4x 4=−15x 4． 6．A解析：A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．7．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.8．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4y π-+在函数y=f(x)的图像上，sin[2(-x+)]sin 2()42y x g x ππ=-=-=，对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012g π=≠±，所以图象不关于直线2x π=对称，所以该选项是错误的；对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22k x k ππππ-≤≤得+44k x k ππππ-≤≤，)k Z ∈（,所以函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以该选项是正确的； 对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()44k k k Z ππππ+∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为π，解2,,2k x k x ππ=∴=所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π∈（,所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.10．B解析：B 【解析】试题分析：集合B ={x|x 2−2x >0}={x|x <0或x >2},又A ={−1,0,1,2,3},∴A ∩B ={−1,3}，故选B. 考点：集合的交集运算.11．C解析：C 【解析】 【分析】ABAB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC ABAC⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B ∩中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B ∩中元素的即可.【详解】由题意，A B ∩中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B ∩中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i的虚部是（）A.310B.110C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ，所以复数113z i 的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p pB.14230.4,0.1p p p pC.14230.2,0.3p p p pD.14230.3,0.2p p p p 【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合 0.95I tK求得t即可得解.【详解】0.23531t KI t e∵，所以0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4COx COx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,C D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （）A.3135B.1935C.1735 D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ∵，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a a b a a b a a b.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A.19B.13C.12 D.23【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】∵在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB 由∵22299161cos 22339AB BC AC B AB BC故1cos 9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B. C.6+2 D.【答案】C 【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin 60222ADB S AB AD△该几何体的表面积是：632 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A.–2 B.–1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74∵，tan 12tan 71tan，令tan ,1t t ，则1271tt t，整理得2440t t ，解得2t ，即tan 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y =和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数y的导数为y，则直线l的斜率k，设直线l的方程为 0y x x，即00x x ，由于直线l 与圆2215x y，两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍），则直线l 的方程为210x y ，即1122y x .故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca∵，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ，12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ，12F P F P ∵， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【解析】【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b，a b ；由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b；由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c .综上所述，a b c .故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy ，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y ，当322x zy 经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x，得12x y ，(1,2)A ，所以max 31227z 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】∵622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r rC x 当1230r ，解得4r 622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r r r n T ab ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM，故122S△A BC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f，所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称， 111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x，所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ，证明如下：当1n 时，13a 成立；假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.则对任意的*n N ，都有21n a n 成立；（2）由（1）可知，2(21)2nnn a n 231325272(21)2(21)2n n n S n n ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n 21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43 100，等级为2的概率为510120.27100，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228221003383722 5.820 3.84155457030K ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ∵，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由0m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ，设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z，由110n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7.因此，二面角1A EF A的正弦值为7.【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m 的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）∵222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率154c e a ，解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y ，即221612525x y ；（2）∵点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又∵90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ △△，∵221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时，故532MB ，∵PMB BNQ △△，||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d，根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点(3,1) 时，故5+38MB ，∵PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522 ，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1(02f ，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()(422f x x x x ，易知()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b 则34b；（2）由（1）可得33()4f x x x c ，'2311()33()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(,(),(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c 或14c .当14c 时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x (1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)BAB；（2）由（1）可知12030(4)AB k ，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bc bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ∵，22212ab bc ca a b c .,,a b c ∵均不为0，则2220a b c ， 222120ab bc ca a b c；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ∵， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c 时，取等号，a ，即max{,,}abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
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【必考题】数学高考试卷及答案一、选择题1．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i2．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．353．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．23B ．43C ．32D ．34．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =IA ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}5．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上 （ ） A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0 D ．是增函数，有最大值06．已知函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e +∞B ．2(,2)e eC ．2(2,)e +∞D ．22(,2)(2,)e e e +∞U7．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）A BC ．D ．8．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩 9．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5 11．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1B ．﹣2C ．6D ．212．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．22B ．1C ．2D ．2二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.15．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．复数()1i i +的实部为 ．17．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________. 18．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．19．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.22．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1231x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值.23．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？24．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；(Ⅱ) 求AB 3=BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值.25．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z +===+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r rr n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r rr T C x +=则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C 【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题. 3．C 解析：C 【解析】函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以有43332013222w k k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥Q 故选C4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．5．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0， 所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D.6．C解析：C 【解析】 【分析】求得函数的导数()(2)()x xe af x x x-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+，可得2()(3)(1)(2)()(2)()x xxxa xe a f x e x e a x e x x x x-'=+-+-=--=-⋅，又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe ax x--⋅=在(1,)+∞上有两解，即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，则()(1)0,(1)xg x x e x '=+>>，所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即(2)()0x xe ax x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.7．C解析：C 【解析】 【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d =，所以公共弦长为：l ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义10．A解析：A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．C解析：C 【解析】试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．12．C解析：C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c 2a = 则该双曲线的离心率为 e 2ca==， 故选C ． 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.二、填空题13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．14．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．15．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：解析：2 【解析】 【详解】当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=2-1个零点； 当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】判断函数零点个数的方法直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数16．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.17．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：Tr+1（3x ）r ＝3rxr ∵含有x2的系数是54∴r ＝2∴54可得6∴6n ∈N*解得n ＝4故答案为4【点睛】本题考 解析：4【解析】【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ． ∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2【解析】 【分析】根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果． 【详解】45100a b ==Q ，4log 100a ∴=，5log 100b =，10010010012log 42log 5log 1001a b∴+=+==， 则1222a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故答案为2 【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：1015π【解析】 【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+，计算得，28110112020R =+= ， 所以210145S R ππ==. 故答案为101.5π 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.20．8【解析】【详解】由题意知a ∈Pb ∈Q 则a+b 的取值分别为123467811故集合P+Q 中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的解析：8 【解析】 【详解】由题意知a ∈P ,b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q 中的元素有8个. 点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．三、解答题21．（1）22194x y +=；（2）22013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知5533a a =⇒=，且有2235b -=2b =，因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=；（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360k x k y kx x y kx ++-+--=，()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦， 化简得()2200940y kx k ---=，即()()2220009240x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()2220009240x k kx y y --+-=的两根，则201220419y k k x -==--，化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.22．（110y --=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得直线l 10y --=.将曲线C 的极坐标方程化为2sin 22ρθθ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭. 即22sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -+-=中，得2211222t ⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.化简，得(2130t t -++=.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,12121PA PB t t t t +=+=+=.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可.23．（1）12； （2）40； （3）选B 款订餐软件. 【解析】 【分析】⑴运用列举法给出所有情况，求出结果 ⑵由众数结合题意求出平均数⑶分别计算出使用A 款订餐、使用B 款订餐的平均数进行比较，从而判定 【详解】（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{}{},,c d c e 甲，甲，,{},d e 甲，,{},,a b c ,{},,a b d ,{},,a b e ,{},,a c d ,{},,a c e ,{},,a d e ,{},,b c d ,{},,b c e ,{},,b d e ,{},,c d e .甲商家被抽到的情况如下：共10种．{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{},c d 甲，,{},c e 甲，,{},d e 甲，记事件A 为甲商家被抽到，则()101202P A ==. （2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=. （3）使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=< 所以选B 款订餐软件． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．24．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7- 【解析】 【分析】（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ⋂菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ， ∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥，∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥， ∵AD AF A ⋂=，∴AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵AB 3=，BC 1=，则AD 1=，3AG 2=， 故()A 000，，，33C 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()D 001，，，3A 002⎛⎫⎪⎝⎭，，， 则3312AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，()001AD =u u u r ，，，3002AG u u u r ，，⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ACD 的法向量()1111n x y z =u r ，，，则11111133·022·0AC n x y z AD n z ⎧=-+=⎪⎨⎪==⎩u u u r u r u u u r u r ， 取13y =，得()1130n u r，，=， 设平面ACG 的法向量()2222n x y z =u u r ，，，则22222233·10223·02AC n x y z AG n x ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r ，取22y =，得()2023n u u r，，=， 设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212|?|2321cos θ727·n n n n ===⨯u r u u u r u r u u r ，由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为21-. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.25．（1）3x＋y＋2＝0；（2）(x－2)2＋y2＝8.【解析】【分析】(1) 直线AB斜率确定，由垂直关系可求得直线AD斜率，又T在AD上，利用点斜式求直线AD方程；（2）由AD和AB的直线方程求得A点坐标，以M为圆心，以AM为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3．又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．(2)由360320x yx y--=⎧⎨++=⎩,得2xy=⎧⎨=-⎩,∴点A的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|=∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.。