高等数学课后习题答案第六章

习题6-2 1

求图6-21 中各画斜线部分的面积

(1)

解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为

6

1

]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A .

(2)

解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为

1

|)()(101

0=-=-=⎰x x e ex dx e e A

解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为

1)1(|ln ln 1

11=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A e

e e

(3)

解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3 1] 所求的面积为 3

32

]2)3[(1

32=

--=⎰-dx x x A

(4)

解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1 3] 所求的面积为

3

32

|)313()32(31323

12=-+=-+=--⎰x x x dx x x A

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22

1

x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);

解:

3

8

8282)218(220220*********--=--=--=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x x A

34238cos 16402+=-=⎰ππ

tdt .

3

4

6)22(122-=-=ππS A .

(2)x

y 1

=与直线y =x 及x =2;

解:

所求的面积为

⎰-=-=2

12ln 2

3)1(dx x x A .

(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;

解:

所求的面积为

⎰-+=-=-1

021

)(e

e dx e e A x x .

(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).

解

所求的面积为

a b e dy e A b

a y b

a y -===⎰ln ln ln ln

3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积.

解:

y ¢=-2 x +4.

过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3).

过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6. 两切线的交点为)3 ,2

3

(, 所求的面积为

49]34(62[)]34(34[23023

2

32=-+--+-+-+---=⎰

⎰

dx x x x x x x A .

4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2

(p p

处的法线所围成的图形的面积.

解

2y ×y =2p

在点),2

(p p

处

1)

,2(==

'p p y p y 法线的斜率k =-1

法线的方程为)

2

(p

x p y --=- 即y p x -=

2

3

求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)

3,2

9

(p p -

法线与抛物线所围成的图形的面积为 2

332323

16)612123()223(

p y p y y p dy p y y p A p

p

p

p =--=--=--⎰

5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积

(1)=2a cos q

解:

所求的面积为

⎰⎰==-202222

2cos 4)cos 2(21π

ππθθθθd a d a A =pa 2.

(2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ;

解

所求的面积为 ⎰

⎰

⎰===204

220

2

330sin cos 34)cos ()sin (44π

πtdt t a t a d t a ydx A a

2

206204283]sin sin [12a tdt tdt a ππ

π

=-=⎰⎰

(3)=2a (2+cos q )

解

所求的面积为

2

202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[2

1a d a d a A πθθθθθπ

π=++=+=⎰⎰

6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0t 2p )与横轴所围成的图形的面

积.

解:

所求的面积为

⎰⎰⎰-=--==a

a

a dt t a dt t a t a ydx A 20222020

)cos 1()cos 1()cos 1(π

π22023)2

cos 1cos 21(a dt t t a a

=++-=⎰. 7. 求对数螺线=ae q (-p q p )及射线q =p 所围成的图形面积