概率论与数理统计练习题第七章答案

概率论与数理统计练习题

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第七章 参数估计（一）

一、选择题：

1矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计

2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ）

122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355

X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2

2

90.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ]

（A ）31.06 （B ）(- , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题：

1．如果1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计量，称1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2

ˆθ的期望与方差一定满

足 1212ˆˆˆˆ,E E D D θθθθ=< 2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1

~(,)X f x x θθθ-=，用最大似然法估计参

数θ时，似然函数为()L θ= 31(0.05)θθ- 3．假设总体X 服从正态分布2

12

(,),,,(1)n N X X X n μσ>为X 的样本，

1

2

211

()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C =

12(1)

n -

三、计算题：

1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数，

已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ

2．设12,,,n X X X 是来自于总体10~()0x X f x θθ

⎧≤≤⎪

=⎨⎪⎩其它

(0)θ>的样本,

试求：（1）θ的一个无偏估计1θ；（2）θ的极大似然估计2.θ

456()2(1)22.5')1(0.6

L L θθθθθθθθ=⋅-=-==解：该样本的似然函数.为

令得三 、 ˆˆ()2,()2()22

2

2(1)E X X X E E X θθθ

θθ==⇒===⋅= 、

3．设总体X 的概率密度为(1)01()0

x x f x θ

θ⎧+<<=⎨

⎩其它

，其中1θ>-是未知参数，

12,,,n X X X 为一个样本，试求参数θ的矩估计量和最大似然估计量。

*4. 设12,,,n x x x 为来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，

其中0μ已知，2σ>0未知，X 和S 2分别表示样本均值和样本方差。

（1）求2

σ的极大似然估计2σ；（2），计算22E D σσ和。(考研题 2002)

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第七章 参数估计（二）

一、选择题：

1．设总体X 服从正态分布2

~(,)X N μσ，其中μ未知,2

σ已知，12,,

,n X X X 为样本，

1

1n

i

i X X n ==∑，则

μ

的置信水平为0.95的置信区间是

[ D ]

（A

）0.95

0.95

(,X Z X Z -+ （B

）0.05

0.05

(,X Z X Z -+

（C

）0.975

0.975

(,X Z X Z -+ （D

）0.025

0.025

(,X Z X Z -+

2．设总体2

~(,)X N μσ，对参数μ或2

σ进行区间估计时，不能采用的样本函数有 [ D ]

（A

X （B

X （C ）2

1n

i i X X σ=⎛⎫- ⎪⎝

⎭∑ （D ）1n X X -

二、计算题：

1．设总体X 的方差为2

)3.0(，根据来自X 的容量为5的简单随机样本，测得样本均值为21.8，求X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间。

2．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布2

~(,)X N μσ，从一批铜丝任取10根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差2

σ的0.90的置信区间。

3．设来自总体~(,25)X N μ得到容量为10的样本，算的样本均值19.8X =，来自总体

~(,36)Y N μ得到容量为10的样本，算的样本均值24.0Y =，两样本的总体相互独立，求

12μμ-的90%的置信区间。

4．某车间两条生产线生产同一种产品，产品的质量指标可以认为服从正态分布，现分别从两条生产线的产品中抽取容量为25和21的样本检测，算的修正方差分别是7.89和5.07，求产品质量指标方差比的95%的置信区间。