变化率问题

1．1第一课时 变化率问题

一、课前准备 1．课时目标

(1) 认识平均变化率，掌握平均变化率的基本概念和基本公式； （2）掌握求函数平均变化率的步骤； （3）理解函数平均变化率的几何意义． 2．基础预探

(1)对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，则它的平均变化率为 ．

(2) 习惯上常常把自变量的变化12x x -称作自变量的增量，记作x ∆，函数值的变化()2x f ()1x f -称做函数值的增量，记为y ∆，所以当x ∆0≠时，函数的平均变化率表示为 ．

(3) 函数2

x y =在0x x =附近的平均变化率为 ．

二、学习引领

1． 平均变化率的含义

一般地，对于函数在区间[]21,x x 上的变化率()()

1

212x x x f x f --称为平均变化率，注意到平均变化率是反映

曲线陡峭程度的“数量化”． 2．函数平均变化率的理解 ①在式子

=

∆∆x

y

()()1212x x x f x f --=()()x x f x x f ∆-∆+11，x ∆、y ∆的值可正、可负，但x ∆的值不能为0， y ∆的值可为0．若函数()x f 为常数函数时，y ∆0=．当1x 取定值，x ∆取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当x ∆取定值，1x 取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样．

②x ∆趋于0，是指自变量的改变量越来越小，但始终不能为0，x ∆、y ∆在变化中都趋于0，但它们的比

值却趋于一个确定的常数． 3． 求函数平均变化率的步骤 ①求自变量的增量：12x x x -=∆； ②求函数值的增量：()()12x f x f y -=∆； ③求函数的平均变化率：

=

∆∆x

y

()()1212x x x f x f --． 三、典例导析

题型一：函数平均变化率

例1：已知函数()13+=x x f ，计算它在区间[]9.0,1--上的平均变化率． 思路导析：应用()x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率公式． 解：函数()13+=x x f 在区间[]9.0,1--上的平均变化率为

()()3)

1(9.019.0=------f f ． 规律总结：本题是用斜率来量化直线的倾斜程度，所以已知函数()x f y =，若0x 、1x 是定义域内不同的

两点，记01x x x -=∆，01y y y -=∆=()()()()0001x f x x f x f x f -∆+=-，而当0≠∆x 时，商

()()x

y

x x f x x f ∆∆=

∆-∆+00，从而称作函数()x f y =在区间[]x x x ∆+00,上的平均变化率． 变式训练1：已知函数()2

x x f =，分别计算函数()x f 在区间[]1.1,1，[]01.1,1，[]001.1,1上的平均变化率，

通过计算，你能发现平均变化率有什么特点吗？

题型二：割线的斜率问题

例2：过曲线3

()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求当0.1x ∆=时割线的斜率．

思路导析：割线PQ 的斜率即为函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率y x

∆∆． 解：∵3

2

3

(1)(1)(1)133()()y f x f x x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆+∆，

∴割线PQ 的斜率为322()3()3()33y x x x x x x x

∆∆+∆+∆==∆+∆+∆∆． ∴当0.1x ∆=时，割线PQ 的斜率为k ，则 2(0.1)30.13 3.31y

k x

∆=

=+⨯+=∆． 规律总结：一般地，设曲线C 是函数()y f x =的图象，00(,)P x y 是曲线上的定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是C 上与点P 邻近的点，有00()y f x =，00()y y f x x +∆=+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，割线PQ 的斜率为00()()

f x x f x y k x x

+∆-∆=

=

∆∆． 变式训练2：国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续的检测结果如图所示意（其中()t W 1、()t W 2分别表示甲、乙两企业的排污量），试比较两个企业的治污效果．

题型三：平均速度问题

例3：已知某物体作直线运动．其运动规律方程为：t t S 432

+=（单位：路程：m 时间：s ）求：（1）物体前3s 内的平均速率；（2）物体在2s ～3s 内的平均速率． 思路导析：结合定义求平均速率也就是平均变化率．

解；（1）13303903)0()3(=-=--=

S S v （s m /）（2）191

20

3923)2()3(=-=--=S S v （s m /）

． 规律总结：此题当中的平均速率其实就是)(t S （路程）的平均变化率． 变式训练3：自由落体的运动方程为2

12

s gt =，计算t 从3s 到3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度（位置s 的单位为m ）． 题型四：理解平均变化率的实质

例4：求函数3

x y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，并计算当10=x ，2

1

=

∆x 时平均变化率的值． 思路导析：直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再代入数据就可以求得相应的平均变化率．

解：当自变量0x 变化到x x ∆+0时，函数的平均变化率为()()()x

x x x x x f x x f ∆-∆+=∆-∆+3

3

000

()2

02

033x x x x ∆+∆+=，当10=x ，21=∆x 时，平均变化率的值为4

19

212113132

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯．

规律总结：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的定义，只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以

很容易算出．

变式训练4：若()15+-=x x f ，分别计算函数区间[]1,3--，[]1,1-上的平均变化率． 四、随堂练习

1．在区间[]n m ,上，下列函数的平均变化率为定值的是（ ）

A ．2

x y =

B ．3

x y =

C ．x

y 1=

D ．x y 2=

2． 在曲线22-=x y 的图象上取一点()1,1--及邻近一点()y x ∆+-∆+-1,1，则平均变化率x

y

∆∆为( ) A ．21-∆+

∆x x B ．21-∆-∆x

x C ．2-∆x D ．x ∆2 3．在曲线2

x y -=上取一点A ，它的横坐标为6-=x ，则曲线在点A 处的横坐标的增量x ∆( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零 D ．可以大于零也可以小于零

4．函数2

x y =，当30=x ，1.0=∆x 时，

x

y

∆∆=________________． 5．已知函数x

y 2

=

，当x 由2变到5.1时，函数的增量=∆y _______________． 6．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？（设两企业投产前的投资成本都是10万元）

五、课后作业

1．已知函数2

3x x y -=在20=x 处的增量为x ∆1.0=，则y ∆的值为（ ）

A ．11.0-

B ．1.1

C ．89.3

D ．29.0