简单图的判定

图序列判定的三个简单方法综合理科062班 张芳芳摘要：图的度序列是图论研究中的一个重要课题，至今有很多学者对其性质及应用进行了一系列的研究和探索，而简单图的度序列是图论研究中的一个难点，本文具体介绍了两个图序列的判定和例题应用，并给出了图序列的另外6个判定。

关键词：图；度序列；图序列1．引言图论是一门应用十分广泛，内容非常丰富的数学分支，这里所讨论的图并不是几何学中的图形，而是客观世界中某些具体事物间联系的一个数学抽象。

下面给出图的定义：定义1 用顶点（小圆点）代表事物，用边表示各事物间的二元关系，若所讨论的事物之间有某种二元关系，我们就把相应的顶点连成一条边，这种由顶点及连接这些顶点的边所组成的图就是图论中所研究的图。

定义2 度序列：设图G，其顶点的集合为123(){,,,,}n V G v v v v =⋅⋅⋅，iv 的度为(),1,2,G i d v i n =⋅⋅⋅，则称非负整数序列n ϕ12((),(),,())G G G n d v d v d v =⋅⋅⋅为图G 的度序列；若图G 是简单图，则称之为图序列或可图序列。

2． 图序列问题及判定首先不妨设,i j ∀，若i j <，则()()G i G j d v d v ≤记为条件（1），而一个边数为q 的图G ，其各点的度数的和12nii dq ==∑，显然是偶数。

所以对给定的一个非负整数序列n ϕ12(,,,)n d d d =⋅⋅⋅，若12,n i i d k k =≠∑为自然数，则n ϕ一定不是度序列，从而不是图序列，记为条件（2），且对于一个简单图而言，必有1}1:)(max{-≤≤≤n n i v d i G 记为条件（3），将1()2,nGi i dv k k N ==∈∑记为条件（4）。

本文在以上条件成立的基础上进行讨论，将其称为前提条件。

对于这些条件成立的图的度序列对应的图的一个实现有很多，例如，图1所示的12G ,G 的度序列均是(7,3,1,4,6,5)。

图1 简单图的度序列称为图序列，已知一个序列nϕ12(,,,)n d d d =⋅⋅⋅，若存在简单图G ，使得n ϕ是图G 的度序列，则称n ϕ是可图的，而图G 就是度序列nϕ12(,,,)n d d d =⋅⋅⋅的一个实现。

图序列的讨论或判断要比度序列的讨论困难得多。

下面定理1是Erdos 和Callai 在1960年给出的图序列的一个判别方法： 定理1[1]设12()()()G G G n d v d v d v ≥≥⋅⋅⋅≥，非负整数序列12((),(),,())G G G n d v d v d v ⋅⋅⋅是图序列当且仅当1()nG i i d v =∑是偶数，且对一切整数k ，11k n ≤≤-，有11()(1)min{,()}knG i Gi i i k d v k k k dv ==+≤-+∑∑。

例题应用：例1 证明非负整数序列(7,6,5,4,3,3,2)和(6,6,5,4,3,3,1)不是图序列。

证：1对序列(7,6,5,4,3,3,2)，1()30nGi i dv ==∑，为偶数，当1k =时，1()7kG i i d v ==∑，1(1)min(,())6nG i i k k k d v =-+=∑，不满足11()(1)min{,()}knGi Gi i i k dv k k k d v ==+≤-+∑∑，所以序列(7,6,5,4,3,3,2)不是图序列。

2序列(6,6,5,4,3,3,1)，1()28nGi i dv ==∑为偶数，当2k =时，1()12kG i i d v ==∑，1(1)min(,())11nG i i k k k d v =-+=∑，不满足11()(1)min{,()}knGi Gi i i k dv k k k dv ==+≤-+∑∑，所以序列(6,6,5,4,3,3,1)不是图序列。

定理2 利用分配——减点法得出的判定条件简单叙述。

以下给出利用分配——减点法得出的判定条件的过程：定义3 对n ϕ进行变换，令：1111''''''12211110,,1,1,,1,1n d n d n d n d n n n n d d d d d d d d d d d ---+-+--==⋅⋅⋅=-=-⋅⋅⋅=-=-记'''''121{,,,,}nn n d d d d ϕ-=⋅⋅⋅，因为'10d =，不妨记为''''121{,,,}n n n d d d ϕ--=⋅⋅⋅，不妨将'''21,,,n n d d d -⋅⋅⋅重新自小到大排列，并记为：1111121{,,,}n n n d d d ϕ--=⋅⋅⋅。

这样由n ϕ变换为11n ϕ-的方法即为分配——减点法；并且我们称11n ϕ-为n ϕ的一个分配——减点子列。

更一般的1i j ϕ+为1ij ϕ+的分配——减点子列。

定义4 准简单图序列正整数序列*n ϕ满足简单图序列的前提条件，对其进行2n -次的分配——减点操作，得到*n ϕ的1次，2次，……3n -次，2n -次分配——减点子列，分别为*11n ϕ-，*22n ϕ-，……*(3)(3)n n n ϕ---，*(2)(2)n n n ϕ---，若,12i i n ∀≤≤-，in i ϕ-满足条件（1），（2），则称这样的正整数序列*n ϕ为准简单图序列。

引理1121{(),(),,(),()}i G G G i G i d v d v d v d v ϕ-∀=⋅⋅⋅，若,1,()G j j j i d v i ∃≤≤≥，则i ϕ一定不是图序列。

引理2 任意正整数序列n ϕ与其分配——减点子列11n ϕ-有相同的简单图化性质，即：n ϕ是图序列的充要条件为11n ϕ-是图序列。

由引理1与引理2易知一个推论：设1in ϕ-是n ϕ的i 次分配——减点子列，则n ϕ是图序列的充要条件为1in ϕ-是图序列。

证明：分别对n ϕ进行1次，2次……1i -次，i 次分配——减点操作，则分别得其1次，2次……1i -次，i 次分配——减点子列11n ϕ-，22n ϕ-，……，11i n i ϕ--+，in i ϕ-。

由引理2知：11n ϕ-是图序列⇔22n ϕ-是图序列⇔33n ϕ-是图序列，……，⇔11i n i ϕ--+是图序列⇔i n iϕ-是图序列，根据等价的传递性知：n ϕ是图序列⇔1in ϕ-是图序列。

设nϕ12(,,,)n d d d =⋅⋅⋅是一正整数序列，且满足条件（3），（4），n ϕ是图序列的充要条件是n ϕ是准简单图序列，且其2n -次的分配——减点子列222212{,}n n n d d ϕ---= 满足：22121n n d d --=≤。

证明：1需证准简单图正整数序列*n ϕ是图序列的充要条件为*n ϕ的其2n -次的分配——减点子列*(2)*(2)22(2)212{,}n n n n n n d d ϕϕ------==满足22121n n d d --=≤。

由引理的推论知：*n ϕ是图序列的充要条件为*n ϕ的分配——减点子列*(2)2n ϕ-是图序列。

而*(2)22212{,}n n n d d ϕ---=满足：22121n n d d --=≤。

若22121n n d d --==，则*(2)2n ϕ-对应着2阶完全图；若22120n n d d --==，则*(2)2n ϕ-对应着2阶空图，显然*(2)2n ϕ-均是图序列。

因此，*n ϕ是图序列。

2 进行定理证明。

n ϕ是准简单图序列，且2n -次的分配——减点子列222212{,}n n n d d ϕ---=满足：22121n n d d --=≤，则由上面的证明可知n ϕ是图序列。

例题应用：任意一正整数序列10{1,2,3,4,5,6,6,7,8,8}ϕ=，判断其是否为图序列。

解：110ϕ满足图序列的前提条件，2 对其进行8次分配——减点操作，其各次分配——减点子列如下：19{2,3,4,5,6,6,7,7,8}ϕ= 28{3,4,5,6,6,6,7,7}ϕ= 37{4,5,5,6,6,6,6}ϕ= 46{5,5,5,5,5,5}ϕ=55{4,4,4,4,4}ϕ=64{3,3,3,3}ϕ=73{2,2,2}ϕ=82{1,1}ϕ=3 由以上操作可知：10ϕ是准简单图序列且82{1,1}ϕ=满足判定的条件，所以10ϕ是图序列。

如下图为10ϕ对应的一个简单图图2对定理2有一个更简单直接的判定方法即： 定理3 非负整数序列12((),(),,())G G G n d v d v d v ⋅⋅⋅，且1()nGi i dv =∑是偶数，121()()()G G G n n d v d v d v -≥≥≥⋅⋅⋅≥，它是图序列的充要条件为231(()1,()1,()1,())G G G n G n d v d v d v d v ---⋅⋅⋅-是图序列。

例题应用：任然用方法一中的例题的第二个序列，对序列(6,6,5,4,3,3,1)，231(()1,()1,()1,())(5,4,3,2,2,1)G G G n G n d v d v d v d v ---⋅⋅⋅-=，对原序列有1()28nGi i dv ==∑，为偶数，且121()()()G G G n n d v d v d v -≥≥≥⋅⋅⋅≥，新产生的序列(5,4,3,2,2,1)，对其求和为17，是奇数，不是图序列，所以序列(6,6,5,4,3,3,1)不是图序列。

下面给出图序列的另外几个判定： 1） 基本定义：（1） 设12(,,,)n x x x x =⋅⋅⋅，12(,,,)n y y y y =⋅⋅⋅是两个非负整数序列，若x 与y经重排为12n x x x ≥≥⋅⋅⋅≥与12n y y y ≥≥⋅⋅⋅≥，有11,1,2,3,,k ki i i i x y k n ==≤=⋅⋅⋅∑∑，其中当k n=时取等号，则称x优超y，记作x y。

同理，x y表示11,1,2,3,,kki ii i x y k n ==≥=⋅⋅⋅∑∑，当k n =时等号成立。

（2） 对非负整数序列12(,,,)n x x x x =⋅⋅⋅，记*{:1}j i x i i n x j =≤≤≥且，{:111}{:1}j i i x i i j x j i j i n x j -=≤≤-≥-++≤≤≥且且，1j j x x -=+当1j m ≤≤时，且j j x x -=当1m j n +≤≤，其中max{:1}i m i i n x i =≤≤≥且，则****12(,,,)nx x x x =⋅⋅⋅与12(,,,)n x x x x ----=⋅⋅⋅分别是x 的共轭序列与约束共轭序列。