图同构问题综述

图同构问题综述

数据科学与计算机学院

黄**1******3

2016.05.26

1概述

芝加哥大学计算机科学教授LászlóBabai在2015年11月宣布了一个能在拟多项式时间内解决图同构问题的新算法，该算法还有待进一步审查以确定其正确性.如果最终被证明是正确的，那么这将是计算机理论领域的一项非常重要的成果.

图的同构问题可以分为四类：精确图同构问题、精确子图同构问题、不精确图同构问题和不精确子图同构问题.其中后三个问题已经被证明是NP完全问题，而对于精确图同构问题的复杂性问题，目前还没有明确的结果，即尚不清楚它是P问题还是NP完全问题，但至少知道它是NP问题.

本文是图同构问题的一个综述，首先给出图同构问题的定义，接着介绍了图同构问题判定算法的研究现状和应用，最后介绍一些具体的判定算法.

2图同构的概念

一个图可以存在多种不同的形式，这些不同形式的图都具有相同数目的顶点、边，而且边还具有相同的连接性.这些不同形式的图就是同构.

直观上地说，如果两个图G1和G2有相同数目的顶点和边，并且边的连接性也相同，那么就说这两个图是同构的.我们可以把一个图看做是另一个图经过扭曲得到的.下面给出图同构的严格定义.

给定两个无向简单图G和H，如果存在一个双射f:V(G)→V(H)，使得对于任意的u,v∈V(G)，有⟨u,v⟩∈E(G)当且仅当⟨f(u),f(v)⟩∈E(V)，则称图G和H是同构的，记为G≃H.

如果G1≃G2，那么：

(1)|V(G1)|=|V(G2)|.

(2)|E(G1)|=|E(G2)|.

(3)G1和G2的度序列相同.

(4)如果{v1,v2,...,v k}是G1的长度为k的圈，那么{f(v1),f(v2),...,f(v k)}是G2长

度为k的圈.

上述的条件是两个图G1和G2同构的必要条件，下面给出几个充分条件：

(1)G1≃G2当且仅当G1≃G2，其中G1和G2都是简单图.

(2)G1≃G2如果它们有相同的邻接矩阵.

(3)G1≃G2当且仅当它们相应的子图也同构.

图1:图同构的例子

图2:G1、G2的补图

例如，如图1所示，图G3的顶点的度为3，而图G1和G2的所有顶点的度都为2，因此G3均不同构于G1和G2.

考虑图G1和G2的补图，如图2所示，我们有G1≃G2，所以G1≃G2.

在这里我们还要介绍一下平面图的概念.如果图G可以画在平面内并且任意两条边不交叉，则称G为平面图.K4似乎不是平面图，但实际上只要把K4的一条对角线移出去就可以了，如图3.

图3:平面图

完全图K5和完全二分图K3,3是最小的非平面图，如图4.

任何一个平面图都将平面分成若干个区域.对于区域r，我们将包围r的边的数目称为r的度，记为deg(r).如图5，我们有

deg(1)=3,deg(2)=4,deg(3)=4

deg(4)=3,deg(5)=8

平面图具有以下性质：

图4:非平面图

图5:区域

(1)如果一个平面图有n个顶点，那么所有顶点的度的和为

∑

n

deg(v i)=2|E|

i=1

(2)如果一个平面图有n个区域，那么所有区域的度的和为

∑

n

deg(r i)=2|E|

i=1

(3)欧拉公式.设G是一个连通的平面图，那么

|V|+|R|−|E|=2

(4)如果G是一个连通图，并且每个区域的度至少为k，那么

|E|≤k

(|V|−2)

k−2

在抽象代数中，以同构相对应的一个概念是同态.类似的，图与图之间的关系也有同态.在这一节的最后，我们给出图同态的概念.

图G1和G2被称为是同态的，如果它们都可以从同一个图G中删除一些同样的边并加入一些的顶点而得到.如图6所示，图G1和G2都是通过图G去掉边⟨b,d⟩并加入顶点e而得到，因此它们是同态的.

很显然，如果图G1和G2同构，那么它们是同态的.但反过来则不成立.

最后，我们还给出一个结论：图G是非平面图当且仅当G有一个子与K5或K3,3同态.

图6:图同态

3图同构判定算法的研究进展

经典的判定算法有：对邻接矩阵的进行初等变换法[2]，以拓扑图的图论特性为依据的关联度序列法[3]，基于邻接矩阵的特征向量法[4]，将图同构问题进行等效转换的电路模拟法[6]，遗传算法[7]，基于Hopfield网络的图同构判定算法[1]，并行算法[5]，等等.这些方法的一个共同特征是利用顶点的邻接矩阵关系进行直接判断，因此，存在着边选择的全排列组合.只不过，遗传算法，基于Hopfield网络的图同构判定算法，并行算法，都属于计算智能算法，在搜索空间中进行寻优时采取了某种剪枝策略，从而避免了边选择的全排列组合.

针对一些特殊的图（树，平面图，区间图），存在多项式时间算法.究其原因，在特殊图中可以刻画直接寻找到同构的顶点对的特征.从而不需要进行边选择的全排列组合.

国际上著名的一些算法有：随机图的规范标记法及其改进算法.根据生成树筛选顶点，从而提高效率的Ullman算法.根据顶点间的最短路径距离矩阵筛选顶点，从而提高效率的Schmidt算法.将图匹配问题简化为图检测问题的Falkenhainer算法.根据策略筛选顶点，从而提高效率的Messmer算法.这些方法的特征要么是使用某种规则对顶点进行规范标记，要么使用必要条件对顶点集合的划分进行不断细分.Cordella提出的VF2算法属于另类算法，采用状态空间表示法，利用顶点间的邻接关系进行快速搜索剪枝，以期缩小状态空间的范围.Jose提出的Conatuo-v2算法属于顶点规范标记算法，但是使用顶点划分不断递归细分的技术，用于缩小候选匹配点的范围.

总结这些算法的处理方式，可以划分为三类：基于顶点规范标记的判定算法，基于顶点集合划分的递归细分的判定算法，利用顶点的邻接关系直接判断的判定算法.

除此之外，对于一些全新的计算模式，比如DNA计算、量子计算，也对图同构问题进行了很多的研究，文献[9,8]给出了同构问题的DNA计算模型，通过DNA分子链编码、非解的去除、解的产生和读取等操作解决了图的同构问题.关于图的同构问题，各种文献都给出了有益的求解方法和思路，但是还有很多需要改进的地方.

在第一节概述里边一开始我们提到，图同构算法的最新研究成果是芝加哥的一位教授Babai的提出的一个算法，他宣称这个算法的时间复杂度为O(n log n2k)，但这个结果还有待检验其正确性.