图的表示与图同构

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图论中的图的同构与同构问题

图论中的图的同构与同构问题在图论中，同构是一个重要的概念。

图的同构指的是两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。

而图的同构问题则是判断两个给定的图是否同构的问题。

本文将详细探讨图的同构与同构问题。

一、图的同构图的同构是指两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。

为了更好地理解图的同构，我们先来了解一些基本概念。

1.1 图的定义在图论中，图由节点（也称为顶点）和边组成。

通常用G=(V, E)来表示一个图，其中V是节点（顶点）的集合，E是边的集合。

边可以用有序或无序对(u, v)来表示，表示节点u和v之间存在一条边。

1.2 同构图的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，如果存在一一对应关系f: V1→V2，使得对于每条边(u, v)∈E1，有(f(u), f(v))∈E2，则称图G1与G2同构。

其中，f被成为同构映射。

二、图的同构问题图的同构问题是判断两个给定的图是否同构的问题，它是图论中的一个经典问题。

在实际应用中，图的同构问题非常重要，对于计算机视觉、网络安全等领域都有广泛应用。

2.1 图的同构问题的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，判断它们是否同构。

2.2 图的同构问题的解决方法图的同构问题是一个NP问题，目前还没有确定的多项式时间解决算法。

在实际应用中，为了解决图的同构问题，通常采用以下方法：（1）特征向量法：通过计算图的特征向量，并比较两个图的特征向量来判断是否同构。

（2）图分类器法：通过训练一个图分类器，将同构和非同构的图进行分类。

（3）哈希算法法：通过为图节点和边生成一个唯一的哈希值，并比较两个图的哈希值来判断是否同构。

以上方法都有各自的优缺点，在不同的应用场景下选择合适的方法。

三、图的同构性质图的同构性质是指图的某些特征在同构映射下保持不变。

在判断图的同构性质时，可以利用这些性质来简化问题。

3.1 路径在判断图的同构性质时，路径是一个重要的性质。

1-2图的概念和术语

7/21/2013 8:48 AM
19
Havel定理(证明,续)
证明: () 设d可简单图化为G=<V,E>, 其中V={v1,v2,…,vn}, d(v1)d(v2)…d(vn). (1) 若NG(v1)={v2,v3, …,vd1+1}, 则令 G’=<V’,E’>, V’=V-{v1}, E’=E-{ (v1,v2), (v1,v3), …, (v1,vd1+1) }, 于是d’可简单图化为G’. (2) 若ij( i<j viNG(v1) vjNG(v1) ),
3
2,2
1,2 (d+,d-)
9
握手定理

定理1:设G=<V,E>是无向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d(v1)+d(v2)+…+d(vn)=2m. # 定理2:设D=<V,E>是有向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d+(v1)+d+(v2)+…+d+(vn) = d-(v1)+d-(v2) +…+d-(vn) = m. # 推论:任何图中,奇数度顶点的个数是偶数. #
v2
vi
d = (d1,
d2,
d3,
……
vn vj dd1+1, dd1+2, …… dn) vd1+1 vk
21
7/21/2013 8:48 AM
Havel定理(证明,续)
证明: () (2)若ij(1i<jnviNG(v1)vjNG(v1)), 则由didj可得 k(1knvkNG(vj)vkNG(vi)), 令G1=<V,E{(v1,vi),(vk,vj)}{(v1,vj),(vk,vi)}>, 则G1与G的度数列都还是d,重复这个步骤, 直到化为(1)中情形为止. #

(完整版)图论复习提纲

图论及其应用
复习课件数学科学学院
1
本次课主要内容期末复习
(一)、重点概念 (二)、重要结论 (三)、应用
2
(一)、重点概念
1、图、简单图、图的同构与自同构、度序列与图序列、补图与自补图、两个图的联图、两个图的积图、偶图；
(1) 图：一个图是一个序偶<V,E>，记为G=(V,E),其中： 1) V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其元素称为顶点或点。
G1 G2
例1 指出4个顶点的非同构的所有简单图。分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以可按边数进行枚举。
5
(6) 补图与自补图
1) 对于一个简单图G =（V, E），令集合 E1 uv u v,u,vV
则图H =（V，E1\E）称为G的补图，记为 H G
2) 对于一个简单图G =（V, E），若 G G ，称G为自补图。
(5) 根树
一棵非平凡的有向树T，如果恰有一个顶点的入度为0，而其余所有顶点的入度为1，这样的的有向树称为根树。其中入度为0的点称为树根，出度为0的点称为树叶，入度为1，出度大于1的点称为内点。又将内点和树根统称为分支点。
9
(6) 完全m元树
对于根树T，若每个分支点至多m个儿子，称该根树为m元根树；若每个分支点恰有m个儿子，称它为完全m元树。
(2) 森林
称无圈图G为森林。
8
(3) 生成树
图G的一个生成子图T如果是树，称它为G的一棵生成树；若T 为森林，称它为G的一个生成森林。
生成树的边称为树枝，G中非生成树的边称为弦。
(4) 最小生成树
在连通边赋权图G中求一棵总权值最小的生成树。该生成树称为最小生成树或最小代价树。

图论中的图的同构与同胚

图论中的图的同构与同胚图论是数学中的一个分支，研究了如何描述图以及图的性质和特征。

在图论中，同构和同胚是两个重要的概念，它们用来描述不同图之间的关系。

本文将介绍图的同构和同胚的概念、定义以及应用。

一、图的同构在图论中，如果两个图具有相同的结构，即结点和边的对应关系相同，但结点和边的标签可以不同，那么这两个图被称为同构的。

图的同构关系可以理解为，它们具有相同的拓扑结构，只是标签的不同。

二、图的同构的定义设G=(V,E)和G'=(V',E')是两个图，如果存在一个双射函数f:V→V'，使得(u,v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，则称G和G'是同构的。

其中，V和V'分别表示两个图的结点集合，E和E'分别表示两个图的边集合。

三、图的同构的判断方法判断两个图是否同构是图论中一个典型的问题，有很多方法可以判断两个图是否同构，以下是几种常用的方法：1. 度序列法：图的度序列是指将图中结点按照度的大小排列得到的序列。

如果两个图的度序列相同，则它们可能是同构的。

2. 邻接矩阵法：将图用邻接矩阵表示，即一个n×n的矩阵，矩阵中的元素a[i][j]表示结点i和结点j之间是否有边。

如果两个图的邻接矩阵相同，则它们可能是同构的。

3. 搜索法：通过对图进行深度优先搜索或广度优先搜索，得到图的某种特征序列。

如果两个图的特征序列相同，则它们可能是同构的。

四、图的同胚在图论中，如果两个图具有相同的结构，即结点和边的对应关系相同，并且结点和边的标签也相同，那么这两个图被称为同胚的。

同胚可以理解为同构的一个特殊情况。

五、图的同胚的判断方法判断两个图是否同胚是图论中的一个难题，其复杂性在于需要同时考虑结点和边的对应关系。

目前还没有有效的算法可以快速地判断两个图是否同胚，只能通过试探的方法进行判断。

六、图的同构与同胚的应用图的同构和同胚在实际应用中有许多重要的应用，以下是几个典型的应用场景：1. 化学分子结构的比较：化学分子可以用图来表示，通过对比不同分子的图的同构关系，可以判断它们的相似性以及化学性质的差异。

图的基本概念与性质

第3章图的基本概念与性质一、概念图——图可以用集合的形式表示，即图可以表示为一个三元组，包含结点集、边集，以及边与结点对集间的映射．如果用结点对来表示边，则图可以表示成一个由结点集与边集组成的二元组．定义3.1.1图G是一个三元组<V（G），E（G），ϕG>，其中V（G）是一个非空的结点集（或称顶点集），E（G）是边集，ϕG是从边集E（G）到结点偶对（无序偶或有序偶）集上的函数．图定义中的结点偶对可以是有序的，也可以是无序的．有向边、端点——若图中的边e所对应的结点偶对是有序的，记为<a，b>，则称e是有向边（简称弧）．a，b分别称为弧的始点与终点，并均称为e的端点．称e是关联于结点a 和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．无向边、端点——若图中的边e所对应的结点偶对是无序的，记为（a，b），则称e是无向边（简称棱）．a，b称为e的端点．称e是关联于结点a和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．有向图——每一条边均为有向边的图称为有向图．无向图——每一条边均为无向边的图称为无向图．底图——如果把有向图中每条有向边都看作无向边，就得一个无向图，此无向图称为原有向图的底图．底图只表示出结点间的连接关系而没有表示出连接边的方向．弧立结点——图中不与任何相邻的结点称为弧立结点．零图——全由孤立结点构成的图称为零图．自回路（环）——关联于同一结点的一条边称为自回路或环．重边（平行边）——在有向图中，两结点间（包括结点自身间）若多于一条边，则称这几条边为重边或平行边．多重图——含有重边的图称为多重图．线图——非多重图称为线图．定义3.1.2（简单图）无自回路的线图称为简单图．定义3.1.3（结点的度数、最大度、最小度）图G=<V，E>中，与V中结点v（v∈V）相关联的边数，称为该结点的度数，记作为deg(v)．记∆（G）= max{deg(v)| v∈V（G）}，δ（G）= min{deg(v)| v∈V（G）}，分别称为G=<V，E>的最大度和最小度．定义3.1.4（出度、入度、度数）在有向图中，对于任何结点v，以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数（或出度）；以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数（或入度）；结点v的引出次数和引入次数之和称为v的次数（或度数）．定义3.1.5（二部图）设G=〈V，E>是n阶无向图，若能将V分成两个互不相交的子集V1与V2使得G中任一边的两端点都不在同一个V i（i=1,2）中，则称G为二部图．记G=<V1,V2，E>．定义3.1.6（完全图）简单图G=<V，E>中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．定义3.1.7（k-正则图）若无向简单图中，每个结点的度均为某个固定整数k，则称该图为k-正则图．定义3.1.8（赋权图）赋权图G是一个三重组<V，E，g>或四重组<V，E，f，g>，其中V是结点集合，E是边的集合，f是定义在V上的函数，g是定义在E上的函数．定义3.1.9（补图）设图G=<V，E>有n个顶点，图H=<V，E’>也有同样的顶点，而E’是由n个结点的完全图的边删去E所得，则图H称为图G的补图，记为H=G，显然，G=H．定义3.1.10（子图、真子图、生成子图）设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是两个图．(1)若V’⊆V且E’⊆E，则称G’是G的子图；(2)若V’⊂V或E’⊂E,则称G’是G的真子图；(3)若V’=V和E’⊆E,则称G’是G的生成子图；(4)若子图G’中没有孤立结点，G’由E’唯一确定，则称G’为由边集E’导出的子图；(5)若子图G’中，对V’中的任意两个结点u，v，当u，v∈V’时有[u，v]∈E’，则G’由V’唯一确定，则称G’为由结点集V’导出的子图．定义3.1.11(补图) 设G’=<V’，E’>是G=<V，E>的子图，若给定另外一个图G’’=<V’’，E’’>，使得E’’=E-E’，且V’’中仅包含E’’的边所关联的结点，则称G’’是子图G’的相对于G 的补图．定义3.1.12(同构) 设G=〈V，E>和G’=<V’,E’>是两个图，若存在从V到V’的双射函数f，使对任意[a，b]∈E，当且仅当[f(a)，f (b)]∈E’，并且[a，b]和[f(a)，f (b)]有相同的重数，则称G和G’是同构的．定义3.1.13(路径) 在图G=<V，E>中，设v0，v1，…，v n∈V，e1，e2,….,e n∈E，其中e i是关联于结点v i-1，v i的边，交替序列v0 e1 v1 e2…e n v n称为联结v0到v n的路径（或称路）．v0与v n分别称为路的起点与终点，边的数目n称为路的长度．孤立点——长度为0的路定义为孤立点．简单路径——若序列中所有的边e1，e2,…., e n均互不相同，则称此路径为简单路径．基本路径——若序列中所有的点v0，v1，…，v n均互不相同，则称此路径是基本路径．回路——若v0=v n，即路径中的终点与始点相重合，则称此路径为回路．简单回路——没有相同边的回路称为简单回路．基本回路（圈）——各结点均互不相同的回路称为基本回路（或圈）．奇圈（偶圈）——长度为奇（偶）数的圈称为奇（偶）圈．定义3.2.1（可达、连通）在图G=<V,E>中，设有结点v j与v k，若从v j到v k存在任何一条路径，则称结点v k从结点v j可达，也称结点v j与v k是连通的．定义3.2.2（连通图、非连通图、分离图）若G是平凡图或G中任意两个结点都是连通的，则称G是连通图，否则称G为非连通图或分离图．定义3.2.3（连通分支）设G=<V,E>是图，连通关系的商集为{V1,V2,…,V m}，则其导出的子图G(V i)（i=1,2,…m）称为图G的连通分支（图），将图G的连通分支数记作W（G）．定义3.2.4（短程线）设u与v是图G的两个结点，若u与v连通，则称u与v之间的长度最短的路为u与v之间的短程线，短程线的长度可作为结点u与v间的距离，记作d(u,v)，其满足下列性质：d(u,v) ≥ 0，u=v时，d(u,v) =0 （非负性）d(u,v) = d(v,u) （对称性）d(u,v) + d(v,w) ≥d(u,w) （三角不等式）若u与v不连通，则通常记d(u,v) = ∞．定义3.2.5（单向连通、强连通、弱连通）在简单有向图中，如果在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；如果在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；如果图的底图（在图G中略去边的方向，得到无向图）是连通的，则称图G是弱连通的．定义3.2.6（极大强连通子图、极大单向连通子图、极大弱连通子图、强分图、单向分图、弱分图）在简单有向图G =<V ，E >中，G’是G 的子图，如G’是强连通的（单向连通的，弱连通的），且没有包含G’的更大的子图G’’是强连通的（单向连通的，弱连通的），则称G’是极大强连通子图（极大单向连通子图，极大弱连通子图）又叫强分图（单向分图，弱分图）．定义3.2.7（点割集、割点）设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1⊂V ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．定义3.2.8（点连通度）若G 为无向连通图且不含Kn 为生成子图，则称k (G )=min{|V 1| ∣V 1是G 的一个点割集}为G 的点连通度（简称连通度）．规定：完全图Kn 的点连通度为n ，n ≥1．非连通图的点连通度为0．若k (G ) ≥k ，则称G 为k -连通图．定义3.2.9（边割集、割边、桥）设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1⊂E ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该结点为割边（或桥）．定义3.2.10（连通度）若G 为无向连通图，则称λ(G )=min{|E 1| ∣E 1是G 的一个边割集}为G 的边连通度．规定：非连通图的边连通度为0．若λ(G ) ≥k ，则称G 为k 边-连通图．定义3.3.1（邻接矩阵）设G =<V ，E >是一个简单图，其中V ={v 1，v 2，…， v n }，则n 阶方阵A （G ）=（a ij ）称为G 的邻接矩阵．其中各元素⎪⎩⎪⎨⎧==ji v v v v a j i j i ij 不相邻或与相邻与01 定义3.3.2（可达性矩阵）设G =<V ，E >是一个简单图，|V |=n ,假定G 的结点已编序，即V ={v 1，v 2，…， v n }，定义一个n ⨯n 方阵P =（p ij ）．其中⎪⎩⎪⎨⎧=不存在一条路与从至少存在一条路到从j i j i ij v v v v p 01 则称矩阵P 为图G 的可达性矩阵．最短路径的数学模型——给定一个网络N （有向或无向赋权图），u 0与v 0是N 中指点的两个顶点，在N 中找一条从u 0到v 0且权最小的路．规定N 中的一条路P 的权w (P )称为p 的长度．若N 中存在从u 到v 的路，则将N 中从u 到v 且权最小的路称为u 到v 的最短路，其长度称为u 到v 的距离，记为d N （u ,v ）．二、定理定理3.1.1（握手定理）设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则∑∈=V v E v ||2)deg(定理3.1.2 图中次数为奇数的结点有偶数个．定理3.1.3 在任何有向图中，所有的入度之和等于所有结点的出度之和．定理3.1.4 有n 个结点的无向完全图K n 的边数为n (n -1)/2．定理3.1.5 在具有n 个结点的简单图G =<V , E >中，若从结点v j 到结点v k 有一条路，则从结点v j 到结点v k 有一条长度不大于n -1的路．定理3.1.5推论在一个具有n个结点的图G=<V, E>中，如果从结点v j到结点v k有一条路，则从结点v j到结点v k必有一条长度小于n的通路．定理3.1.6在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条回路，则经v有一条长度不超过n的回路．定理3.1.6推论在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条简单回路，则经v 有一条长度不超过n的基本回路．定理3.2.1一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．定理3.2.2在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都在也只在一个强（弱）分图中．定理3.2.3在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都处在一个或一个以上的单向分图中．定理3.2.4（Whitney）对于任何一个图G，有k(G) ≤λ (G) ≤δ(G)其中k(G)、λ (G)、δ(G)分别为G的点连通度、边连通度和最小度．定理3.2.5一个连通无向图G中的结点v是割点的充分必要条件是存在两个结点u与w，使得结点u与w的每一条路都通过v．三、方法1．两图同构的必要条件：（1）结点数相等；（2）边数相等；（3）度数相同的结点数相等．2．邻接矩阵运算特征（1）图G=<V,E>的邻接矩阵不唯一，而与V中的元素标定次序有关．对V中各元素不同的标定次序可得到同一图G的不同邻接矩阵．但这些邻接矩阵经过适当地交换行和列的次序，就从一个邻接矩阵变到另一个邻接矩阵．根据不同邻接矩阵所作的有向图都是同构的．因此，可选V元素的任一种标定次序所得出的邻接矩阵．（2）当有向线图代表关系时，邻接矩阵就可看作是一种关系矩阵．有向图是自反的，矩阵的对角线元素全为1．有向图是非自反的，矩阵的对角线元素全为0．有向图是对称的，对所有i和j，矩阵是对称的．有向图是反对称的，对所有i和j，矩阵是以主对角线对称的元素不可能同时为1．（3）零图的邻接矩阵的元素全为零，并称其为零矩阵．（4）图的每一顶点都有自回路而再无其它边时，图的邻接矩阵是单位矩阵．（5）设有向线图G=<V，E>的邻接矩阵是A，则A的逆图的邻接矩阵是A的转置矩阵．3．可达性矩阵的计算方法一般地，可以由图G的邻接矩阵A得到可达性矩阵P．即令B n=A+A2+…+A n，在从B n中将不为0的元素改为1，而为零的元素不变，这样改换的矩阵即为可达性矩阵P．也可以将矩阵A，A2，…，A n分别改为布尔矩阵A，A(2)，…，A(n)，简化计算，故P= A∨A(2)∨…∨A(n)，其中A(i)表示在布尔运算下A的i次方．4．求最短路径的Dijkstra算法步骤（1）置l(u0)=0，对v∈V-{ u0}，l(v)= +∞，S0 ={ u0}，i=0．（2）对每个v∈ N G-Si（u i），用min{ l(v)，l(u i)+ w（u i，v）}代替l(v)．若l(v)取到l(u i)+w（u i，v），则在v旁边记下(u i)．计算min(v∈G- S i ){ l(v)}，并将达到最小值的这个顶点记为u i+1．置S i+1= S i⋃{ u i+1}．（3）若i=|G|-1，则算法停止，否则用置i 为i+1，并转入第（2）步．算法结束时，从u0到v的距离由最终的标号给出l(v)，并且可根据各个顶点旁边的（u i）追回出从u0到v的最短路径．若为求某个特定的顶点v时，则可以在u j= v时使算法停止即求得结果．。

第14章-图基本概念

环（长为1的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长3，有向简单图中圈的长度2.
不同的圈（以长度3的为例） ① 定义意义下无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
试讨论l=3和l=4的情况
v 的关联集 I( v ) { e |e E ( G ) e 与 v 关 } 联 ② vV(D) (D为有向图)
v的后继D 元 (v)集 {u|uV(D)v,u E(D)uv} v的先驱D 元 (v)集 {u|uV(D)u,v E(D)uv} v的邻域ND(v)D (v)D (v) v的闭邻N域 D(v)ND(v){v}
2 m d (v) d (v) d (v)
v V
v V 1
v V 2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
12
握手定理应用
补例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？解本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx，则
8
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数:如果关联一对顶点的无向边多
于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性）如果关联一对顶点的有向边多于1条，并且这些边的始点与
终点相同，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (3) 多重图：含平行边的图称为多重图。 (4) 简单图：既不含平行边也不含有环的图。在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念

图论讲义-图的基本概念

到目前为止，判断两图同构还只能从定义出发。判断过程中不要将两图同构的必要条件当成充分条件。
注意：在研究图的过程中，顶点的位置以及边的曲直长短都是无关紧要的。而且也没有假定这些顶点和边都要在一个平面上（正方体的顶点和棱也可构成图）。我们研究的只是顶点的多少及这些边是连接那些顶点的。
五、顶点的度
若e=(u,v)，则表示u到v的一条边（Edge），此时的
图称为无向图(Undigraph)。
有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
V1 V4
V1
V5 V2 V3 V2 V3
V4
有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
例1、设V={v1,v2,v3,v4,}，E={e1,e2,e3,e4,e5}，满足e1=(v1,v2)，
六、路与图的连通性
v1 v2 v5
图G中，取Γ1=v1v2v3，
v3
v4
G
Γ2=v1v2v3v4v2， Γ3=v1v2v3v2v3v4 则 Γ1,Γ2,Γ3依次为长为2,4,5的通路，其中Γ1与Γ2为简单通路， Γ1为基本通路。由定义可看出,G中v1v2v5v1为长为3的圈，v1v2v3v4v2v5v1为长为6的简单回路。
e2=(v2,v3)，e3=(v2,v3)，e4=(v3,v4)，e5=(v4,v4),则G=(V,E)是一个图。图中边集E的边也可直接由点对表示，而将E作为多重集（即允许E中有相同元素的集合）。例2、设V={v1,v2,v3,v4}，E={(v1,v2)，(v1,v2)，(v2,v3)}，则H=(V,E)是一个图。 e
d (V ) 2m
i 1 i
n
五、顶点的度
推论：任何图（无向图或有向图）中，度为奇数的顶点个

离散数学7[1].1-3

离散数学
31
定理
定理一个连通无向图G =〈V,E〉的某一点v是图G的割点，当且仅当存在两个节点u和w，使得节点u和w的每一条路都通过v。
离散数学
32
三、有向图的连通性
三、有向图的连通性定义设G＝<V，E>是一个有向图，对vi，vjV，从vi到vj如
存在一条路，则称结点vi到vj是可达的。在有向图中，如从vi到vj可达，但从vj到vi则不一定是可达的。
3) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
离散数学
2
续：
续： 4) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边； 5) 图中关联同一个结点的边称为自回路(或环)； 6) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 7) 仅由孤立结点组成的图称为零图； 8) 仅含一个结点的零图称为平凡图； 9) 含有n个结点、m条边的图称为(n，m)图；
证明若G不连通，则k(G)=λ(G)=0，故上式成立。若G连通， ①证明λ(G)≤δ(G)。若G是平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)，若
G是非平凡图，则因每一结点的所有关连边必含一个边割集，故λ(G)≤δ(G)。
离散数学
30
续：
②再证k(G)≤λ(G) .设λ(G)=1，即G有一割边，显然此时k(G)=1，上式成立。 .设λ(G)≥2，则必可删去某λ(G)条边，使G不连通，而删除λ(G)-
δ(G)最小度，Δ(G)最大度
定义在图G＝<V，E>中，对任意结点vV，若度数deg(v)为奇数，则称此结点为奇度数结点，若度数deg(v)为偶数，则称此结点为偶度数结点。

离散数学7-1图论

图7-1.9 不同构的图
作业
P279 (1) (4)
如图7-1.6中的(a)和(b)互为补图。
[定义] 子图(subgraph) 设图G=<V,E>，如果有图G’= <V’,E’>，若有 V’ V ，E’ E，则称图G’是图G的子图。 [定义] 生成子图(spanning subgraph) 如果图G的子图G’包含G的所有结点,则称该图 G’为G的生成子图。如图7-1.8中G'和G"都是 G的生成子图。
[定义] 相对于图G的补图设图G'＝〈V',E'〉是图G＝〈V,E〉的子图,若给定另外一个图G"＝〈V",E"〉使得E"＝EE', 且 V" 中仅包含 E"的边所关联的结点。则称G"是子图G'的相对于图G的补图。
图7-1.7 (c )为(b)相对于(a)的补图
如图 7-1.7 中的图 (c) 是图 (b) 相对于图 (a) 的补图。而图 (b) 不是图 (c) 相对于图 (a) 的补图 , 因为图(b)中有结点c。在上面的一些基本概念中,一个图由一个图形表示,由于图形的结点的位置和连线长度都可任意选择 , 故一个图的图形表示并不是唯一的。下面我们讨论图的同构的概念。
表7-1.1
结点出度入度
a 2 0
b 1 1
c 0 2
d 1 1
结点出度
入度
v1 1 1
v2 0 2
v3 2 0
v4 1 1
分析本例还可以知道 , 此两图结点的度数也分别对应相等,如表7-1.1所示。
两图同构的一些必要条件: 1.结点数目相等; 3.边数相等; 3.度数相等的结点数目相等。需要指出的是这几个条件不是两个图同构的充分条件,例如图7-1.9中的(a)和(b)满足上述的三个条件,但此两个图并不同构。

《离散数学》第6章图的基本概念

E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集，以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻相邻边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。环——一条边关联的两个顶点重合，称此边为环 (即两顶点重合的边)。悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边称为平行边。平行边的条数称为重数。多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章图的基本概念第一节无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图，补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。

邻接矩阵-南京大学

v1 v2
v4
v3
0 0 A(G) 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
可推广到简单无向图
举例（邻接矩阵）
v1 v2
v4
v3
0 1 A(G) 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
简单无向图的邻接矩阵是对称矩阵
邻接矩阵(adjacency matrix)

简单有向图G = (V, E, ) ，设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。

A(G)＝aij称为G的邻接矩阵(n×n 阶矩阵)，其中
1 如果v i邻接到v j a ij 0 否则
eE. (e)=(vi, vj)
举例（邻接矩阵）
邻接矩阵的运算

逆图（转置矩阵）

设Ｇ的邻接矩阵为 A ，则 G 的逆图的邻接矩阵是 A 的转置矩阵，用AT表示。
０１００００１１ A １１０１１０００
００１１１０１０ T A ０１０００１１０
邻接矩阵的运算
邻接矩阵的运算

顶点的度

行中1的个数就是行中相应结点的出度
列中1的个数就是列中相应结点的入度
v1
v2
v4
v3
Hale Waihona Puke 0 0 A 1 11 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Deg+(1)=1,Deg-(1)=2
Deg+(2)=2,Deg-(2)=2
Deg+(3)=3,Deg-(3)=1 Deg+(4)=1,Deg-(4)=2
邻接表

离散数学第七章图的基本概念

4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.

图形设计的方法同构、替构、解构、重构 PPT

异影同构
异影同构是以影子作为想象的着眼点，以对影子的改变来表情达意。影子可以是投影，也可以是水面倒影或镜中影像等。异影同构可以将事物不同时间状态下的状态、事情的因果关系、事物的正反两面、现象与本质等不同元素巧妙的组合在一起。
作业（三）
作业内容：以超现实的方式组合将两种以上的元素进行整合作业要求：选择两种现实中独立的元素，分析两者的形态结构，以恰当的组合方式将两者整合为一个新图形形象。不强调图形的含义，注重整合方式运用得合理巧妙。
元素的替代
元素的替代
元素的替代 / 课题设计
课题名称：元素的替代 — 意和形的替代课题内容：意和形的转换图形训练课题时间：十六课时教学方式：1.在成语中寻找切入点，如“糖衣炮弹” 2.在相同形中寻找替代物，如“麦当劳新口味” 3.有趣味的联想，如“巧合” 4.意的引伸，如磁铁所表示的吸引力—“爱的力量” ▲ 教学要求：1.在原创图的基础上通过元素的转换，在视觉上赋予新感觉，在寓意上赋予新的含义，如“精神食粮” 2.作业量及尺寸：在 A4 纸上作10 个以上图形 ▲ ▲ ▲ ▲
同构图形
▲ 教学要求：1.学生可在上述四项内容中任选一，展开深入的联想。 2.尺寸：A1纸，至少有10个方案，上交5个精画的方案。 ▲ 训练目的：在平面设计中，我们往往因受各种附带的限制而带来视觉宣传上的困难。比如所提供的纸面空间的限制，还有客户提供的是不令人感到美的产品，却需要我们进行宣传。有意义的想象可以使产品赋予新的生命力。比如酒产品“ABSOLUT VODKA ”的瓶形想象成为古罗马时期的柱子，使之与历史同行 — 宣传其悠久的酒文化与影响力；海尔的洗衣机方形造型是由一棵绿色植物修剪而成的—表现海尔与自然的关系。这种训练的目的也正是在此，图形的演变带给消费者的是一种企业的经营理念，给观众是一种视觉享受。

3图论-图基本概念9-14

边集合E＝｛<v1,v2>,<v1,v2>,<v2,v3>,<v3,v2>,<v2,v2> ,<v1,v3>,<v3,v1>｝尖括号（与前面的关系的图表示相当）
3、有关图的术语 1）用G表示无向图，D表示有向图。有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集， 2）用｜V(G)｜，｜E(G)｜分别表示G的顶点数和边数(有向图类似）若｜V(G)｜＝n，则称G为n阶图。对有向图可做类似规定。 3）在图G中，若边集E(G)＝ø ，则称G为零图若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图 4) 常用ek表示无向边(vi，vj)( 或有向边<vi，vj> ) 设G＝<V，E> 为无向图，ek = (vi，vj)∈E，则称vj，vj为ek的端点， ek与vi、vj是彼此相关联的．起终点相同的边称为环不与任何边关联的结点称为孤立点（包括有向向图) 5）邻接：边的相邻：ek，el∈E．若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的顶点的相邻：若∃et∈E，使得et = < vi，vj>，则称vi为et的始点，vj为et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi 两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点，也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。
二、图的同构定义设G1＝<Vl，E1> ，G2=<V2，E2>为两个无向图(两个有向图)，若存在双射函数f：V1 → V2 顶点的一一对应对于∀ vi，vj∈V1，(vi，vj) ∈E1 (<vi，vj>∈ E1) 当且仅当(f(vi)，f(vj))∈E2 (<f(vi)，f(vj)> ∈E2)，边的对应并且(vi，vj) (<vi,vj>)与(f(vi),f(vj))(<f(vi),f(vj)>)的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作Gl ≅ G2

图论

8/4/2013 11:54 PM
Zhibo Lu
3
图论方法建模
[定义]顶点：Ｖ中的元素称为顶点，用带标记的点表示，也称为结点/Vertices。 [定义]边：在有向图G中,若e=(a，b)∈E，e称为G的有向边 /directed edge。用由a到b带箭头的线把a和b连起来；在无向图G中,若e=(a,b)∈E，e称为G的无向边 /undirected edge 。a、ｂ间用连线连结；有向边和无向边统称为G的边/edge。
8/4/2013 11:54 PM Zhibo Lu 22
图论方法建模
说明：图Ｃ不是Ｅ的补图。（不互为补图）因为：
Ｅ”＝Ｅ－Ｅ’ ＝ {[b,c],[b,d],[b,e], [c,d],[c,e],[d,e]}
Ｖ”＝{b,c,d,e} 而图C多了顶点a。
8/4/2013 11:54 PM Zhibo Lu 23
v5
v4 (b)
Zhibo Lu
v5
v4 (c)
v5
17
图论方法建模
[定义]补图/complementary graph ：Ｇ＝(V,E)是图，Ｇ’＝(V’,E’)是Ｇ的子图，Ｅ”＝Ｅ－Ｅ’，Ｖ”＝V－V’或是Ｅ”中边所关联的所有顶点集合，则Ｇ” ＝(Ｖ”,Ｅ”)称为Ｇ’关于Ｇ的相对补图。 [定义]绝对补图：
8/4/2013 11:54 PM Zhibo Lu
v1
v2 e2 e6 e3 v3
12
e4
图论方法建模
[定理 (Handshaking)] 设无向图G=(V,E) 有e条边，则G中所有顶点的次之和等于e的两倍。证明思路：利用数学归纳法。 [定理] 无向图中次为奇数的顶点个数恰有偶数个。证明思路：将图中顶点的次分类，再利用定理1。

图论

i 1
解（1）根据握手定理的推论可知，不是图的结点度数序列，因为有3个奇数。（2）中有5个数，最大数是5，根据定理1.3，它不是简单图的结点序列。（3）是简单图的结点序列。下图的两个无向简单图都是（3,3,2,2,1,1）为结点度数序列。（4）中的最大值d1>n, 根据定理1.3，不是简单图的结点序列。
顶点数n, 边数m=n(n-1), +(D)=+(D)= -(D)= (D)=n-1, (D)=(D)=2(n-1) 无特别说明时，完全图均指无向完全图。
定理1.3
定理1.3 设G为任意n阶无向简单图，则(G) n1。证明：略
例题
例5 判断下列各非负整数列是否是简单图的结点度数序列？（1）（5,5,4,4,2,1）（2）（5,4,3,2,2）（3）（3,3,2,2,1,1） n （ 4） (d1 , d 2 , , d n ), d1 d 2 d n 1且 d i 为偶数
n 阶图: n个顶点的图 • 零图: E=的图 • 平凡图: 1 阶零图在图的定义中规定结点集合V为非空集，但在运算中可能产生结点集为空集的运算结果，因此规定结点集为空集的图为空图，记为
•
1.2 度的概念
定义1.6 设G=<V,E>为无向图, vV, v所关联的边数称为 v的度数，简称度，记作d(v)。悬挂顶点: 度数为1的顶点 e1 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 v1 e2 v2 G的最大度(G)=max{d(v)| vV} e 3 e6 e 5 e4 G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
推论任何图(无向图和有向图)中，度数为奇数的结点的个数为偶数。
i 1 i
n
定理1.2

图论第一章图的基本概念

1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
图论及其应用
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第一章图的基本概念
本次课主要内容
图的概念与图论模型
(一)、图论课程简介
(二)、图的定义与图论模型 (三)、图的同构 (四)、完全图、偶图与补图 (五)、顶点的度与图的度序列
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(四)、完全图、偶图与补图
1、每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为完全图 .
在同构意义下，n个顶点的完全图只有一个，记为 Kn
K2
K3
K5
容易求出： m(Kn )
1 2
n(n
1)
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
定理：若n阶图G是自补图( G G ),则有：
n 0,1(mod 4)
证明：n阶图G是自补图，则有：
22
H G 1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
m(G)
m(G)
m(Kn )
1 2
n(n
1)
所以：
m(G) 1 n(n 1) 4
由于n是正整数，所以：n 0,1(mod 4)
推论2 正则图的阶数和度数不同时为奇数。

图论及其应用复习

0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
一、重要概念
1、图、简单图、图的同构、度序列与图序列、补图与自补图、两个图的联图、两个图的积图、偶图；
(1) 图：一个图是一个序偶<V,E>，记为G=(V,E),其中： 1) V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其元素称为顶点或点。
用|V|表示顶点数；
注：要求掌握自补图的性质。
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(7) 联图
设G1,G2是两个不相交的图，作G1+G2，并且将G1中每个顶点和G2 中的每个顶点连接，这样得到的新图称为G1与G2的联图。记为：
G1 G2
(8) 积图
设 G1 (V1, E1), G2 (V2 , E2 ), 是两个图。对点集 V V1 V2
2) E是由V中的点组成的无序对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在E中可以重复出现多次。用|E|表示边数。
(2) 简单图：无环无重边的图称为简单图。
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 图的度序列：
一个图G的各个点的度d1, d2,…, dn构成的非负整数组(d1, d2,…, dn) 称为G的度序列。
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(4) 因子分解
所谓一个图G的因子分解，是指把图G分解为若干个边不重的因子之并。
注：要弄清楚因子分解和完美匹配之间的联系与区别。

图论第一章

n(n 1) 2
从而
m(G) n(n 1) 4
又因G 的边数 m(G)是整数，故 n(n-1)/4 为整数，即只能有 n≡0（mod 4）, 或 (n-1) ≡0 （mod 4）。
20/111
四．顶点的度（续）, 度序列
前已定义：设 v为 G 的顶点，G 中与 v 为端点的边的条数（环计算两次）称为点 v 的度数，简称为点v的度，记为 dG (v)，简记为 d(v)。
例1 设 V ={v1, v2, v3, v4}，E ={v1v2 , v1v2, v2v3 }，则 G = (V, E) 是一个4阶图。
v1 若用小圆点代
表点，连线代表边
，则可将一个图用
“图形”来表示,
如例1 中的图可表
为
v2
v4 v3
4/111
注: 也可记边 uv 为e ，即 e = uv。
例2 设V = {v1,v2,v3,v4}，E = {e1,e2,e3,e4,e5}，其中 e1= v1v2， e2 = v2v3， e3 = v2v3， e4 = v3v4， e5 = v4v4
E1 uv u v,u,v V
18/111
例如, 下图中的(a)，(b)两图是互补的。
（a）
（b）
定理1 若n 阶图G是自补的（即 G G ），则 n = 0, 1（mod 4）
19/111
证明因为G是自补的，则G和其补图有同样多的边数，且边数
m(G) +m (G )
= m(Kn) =
图划分: 正整数k的一个划分(d1, d2,…, dn)能成为某简单图的度序列的k的划分.
显然，若正整数 k 有图划分，则k 必须是偶数
26/111

本科图论-图基本概念6-2

边集合E＝｛(v1,v2),(v2,v3),(v3,v2),(v3,v1),(v2,v2),(v2,v2), (v1,v2),｝园括号表示无向边
2）定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2)E为边集，它是笛卡儿积 V & V的多重子集，其元素称为有向边，简称边(弧)．有向图D=<V，E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝
2、简单通路和初级通路的关系
有向图中的每一条初级通路，也都必定是简单通路。反之不成立回路也可分为简单回路和初级回路。 3、通路的表示：可仅用通路中的边序列表示：e1e2…ek 也可仅用通路中所经过的结点的序列表示：v1v2v3…vk
4、性质： 1）定理在n阶图D中，若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路，则从vi到vj存在长度小于或等于(n－1)的通路若大于n-1，则存在相同节点（有回路），将回路删去可得 2）在n阶图D中，若从顶点vi到vj存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于n－1的初级通路(路径) 3）定理在一个n阶图D中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度小于或等于n的回路． 4）在一个n阶图D中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于或等于n的初级回路．
有环的结点提供的度为2（有向图的环提供入度1和出度1）
3）定义：ᅀ(G)=max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G)=min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度简记为ᅀ、 δ 定义：ᅀ＋(D)=max{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度 ᅀ－(D)=max{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 δ＋(D)=min{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度 δ-(D)=min{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 5、握手定理（欧拉） 1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m，则 ∑d(vi) ＝ 2 m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度 2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ，则 ∑d+(vi) ＝ ∑ d-(vi) = m．且∑d(vi)＝2 m 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数