因式分解的思考方法(论文)
培养学生灵活多变解题能力论文
培养学生灵活多变的解题能力摘要：随着教育的发展，培养学生的综合能力显得十分重要。
素质教育在数学上的体现应该受广大教育者关注，应该在素质教育的基础上培养学生灵活多变的解题能力。
针对方程独特的问题，教师可以在素质教育的基础上培养学生对解决方程问题的兴趣，让中学生用多种方法尝试解决方程问题，激发学生对数学学科的学习。
关键词：灵活多变方程解题能力随着社会的发展，对人才的培养至关重要，学习是最主要的方式之一。
若一个问题就只有一种解决办法会限制学生的思维的发散，只有寻找更多的解决途径给学生启示，让他们去发现更懂得方法解决问题，同时也培养他们举一反三灵活多变的能力。
学生对现实生活中的问题的解决能力还需提高。
中学教育中对解决方程问题的能力很多学者都做了研究，对素质教育的背景和发展也做了说明。
本文就针对中学生接触多的方程问题，特别是一元二次方程解题的培养。
提高学生运用方程的应试能力和了解数学的方程思想方法。
一、数学上的方程1.1方程思想方法方程是代数的初步知识，也是学生从算术思维飞跃到代数思维分析现实生活中的数量关系的重要载体。
学好方程的知识，可以使学生不但在数的概念上有所扩展，而且能简明地表达日常生活中数量关系的一般规律。
贵州师范大学吕传汉教授提出的情境教学，其中步骤为：设置情景——提出问题——解决问题——应用与实践。
在设置情境时，就是隐含的设置一个未知的事物推动教学，将未知的变成已知过程，体现了方程的转化思想。
二、中学生解决数学中的方程问题2.1中学生解决数学中的方程情况在中学生从小学到初中的过度，了解方程、一元一次方程解决实际问题。
对于他们了解方程解决实际问题时，出现很多问题：一、方程的定义模糊；方程是含有未知数的等式，比如：等。
其中学生会有这些错误的认识：①分式方程、整式方程的概念混淆，认为是一元一次方程。
②当未知数的指数是2、3、4·····时认为不是方程。
中学数学教学论文
浅析中学数学教学摘要：目前我国在教育上不断的改革，很长的一段时间中，数学教学改革的过程中主要是对怎么教学进行广泛的探讨，但是并没有对学生怎样学进行更好的思考，学的活动主要是由老师来统一安排的，同学们往往都是比较不会对主动的提出问题。
当代的教学理论是这样认为的，在教学的方法中是包括教的方法还有的学的方法，正像前苏联的著名教学专家巴班斯基是这样认为的，教学的方法是由学生的学习方式以及老师教学的方式相协调统一，进而才能达到很好的教学成绩，这样的方法是由教还有学来相互依存的教学规律相制约的。
所以本文就是在对初中数学教学的方法进行了一些探索。
关键词：中学数学教学方法前言：以往传统教学模式认为是由数学的思维来进行的，却严重的忽视了数学教育的一些文化的价值，总是给人们呆板以及枯燥的印象。
近些年来新的一轮数学课程在不断的改革，从以往的教学理念以及内容都是有着很大的变化，这样就会给我们的广大数学教师提出了一些新的挑战。
1.目前我国初中数学教学方法中存在的一些问题1.1 在日常教学的过程中所使用的工具以及相应的教学媒体是比较落后当前我国教育体制在不断的改革，很多学校都在不断的改善当前的教学条件以及教学的方式，例如建立一些大型多媒体教室还有计算机辅助教学等。
但是由于一些多媒体在我们的初中数学的教学过程中没有得到跟多是的应用，更不用说是普及了。
1.2在数学教学的过程中是没有充分的重视学生能力的培养以及相应的个性发展当前，很多的学校都是采用的教学方法是比较集中的统一的。
这种方法即使是会很好的帮助同学们进行系统教学，掌握了对数学基础知识的学习，同时还是会有利于老师很好的把握在课堂教学中的节奏、充分的考虑到各个方面的学习，统筹安排。
这样是会造成优差生的更加突出，致使严重的分化，在教学的目的上也是没有很好的真对性，非常不利于当前的因材施教，还有的就是忽视了学生个性差异的发展。
特备是还有一些教师是注重学习智力的发展因素，却忽视了学生们的非智力的因素。
因式分解教案：启发学生的数学思维创新
因式分解教案：启发学生的数学思维创新在学习数学的过程中，因式分解是一个基础而又重要的知识点。
因式分解是指把一个多项式分解成它的一些因子的乘积的过程。
对于初中生而言，因式分解能够培养他们的逻辑思维和创造力，让他们在数学学科上拥有更加深刻的理解和掌握。
本文将以因式分解为主题，探讨如何教授因式分解，以及如何在教育过程中启发学生的数学思维创新。
一、引入教学在引入因式分解的教学之前，我们可以先让学生回忆当初学习乘法时的情景，何为乘法，乘法的意义是什么。
尤其是对于“平方”这个概念的理解，是理解因式分解的前提。
比如（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²，如果不理解“平方”这个概念，是无法理解“和的平方”这个公式的。
引入数论知识也是很有必要的，如“质数”、“最大公约数”、“最小公倍数”等等，这些数学知识与因式分解息息相关。
二、探究因式分解的思路在学习因式分解的过程中，为了让学生更好地理解它的思路，我们可以向学生提出一些问题，比如：“如何分解25？” “如何分解a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca？”这些问题可以帮助学生切入因式分解的思路，从而更好地应用到实际问题中。
同时，教师可以给出一些已经分解好的公式，引导学生通过观察公式的形式或者特点，来发掘其中的“规律”，从而寻找数学思路的灵感。
三、实践操作为了加深学生对于因式分解的理解及应用能力，我们需要进行实践操作。
实践操作可以分为两部分。
第一部分是教师给出一些简单的示例进行讲解，并帮助学生理解方法。
比如：先化简一些式子，再应用方法。
第二部分则是让学生自己解决一些问题，例如，如何表示一个数的平方？如何将一个多项式分解成两项乘积？四、扩展思考教学的目标是让学生追求知识并应用它，在因式分解的教学过程中，我们需要引导学生对数学问题进行扩展思考。
例如：可以让学生发挥自己的创意，自己编造一些有趣的问题，模拟实际生活中的场景进行因式分解。
从动脑思考转为动手思考的代数变形——以巧用拼图因式分解教学设计为例
从动脑思考转为动手思考的代数变形——以巧用拼图因式分
解教学设计为例
赵建平;方秀娟
【期刊名称】《数理化解题研究》
【年(卷),期】2024()11
【摘要】文章以巧用拼图因式分解为例,思考如何将初中数学课堂教学中的动脑思考一步步转向动手思考,再从动手操作里逆向抽象出简约的数学模型,从不同纸片的拼接或者叠放的探究来解决代数变形问题,对基本图形的拼接、叠加和优化,将初中数学中的十字相乘法分解因式巧妙转化为拼图游戏课.通过抓住面积不变的关键点,让学生进行动手操作并深度思考,从而在图形的变化探寻中感受代数式变形的奥秘,激发学生的数学兴趣,培养其核心素养.
【总页数】3页(P53-55)
【作者】赵建平;方秀娟
【作者单位】浙江省湖州市吴兴区教育局教学研究与培训中心;浙江省湖州市吴兴实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.拼图:“因式分解”教学的另类尝试——一节数学实验课的设计、实践与思考
2.循循善诱促思考,动手构建探新知——以\"蛋白质—蛋白质的结构\"教学片段设计
为例3.5G时代数学实验混合式教学的设计与思考——以“拼图与乘法公式”为例4.指向代数推理的单元教学设计与思考——以“一元二次方程的解法”教学为例
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关于十字相乘法分解因式的思考
关于十字相乘法分解因式的思考【关键词】初中数学十字相乘因式分解在初中阶段的数学教材上，关于分解因式的内容篇幅较少，用十字相乘法进行分解因式的内容在现行的教材中已经找不到。
然而，让学生学会使用十字相乘法进行因式分解，既能开拓学生的思维，也能让学生在解数学题时带来便利。
十字相乘法主要是对二次三项式进行分解因式，它被广泛应用于求解一元二次方程、求二次函数与x轴的交点坐标、求二次不等式的解集等。
因此教会学生使用十字相乘法，对于学生后续的学习有很大的帮助。
一、何谓“十字相乘法”所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法。
如图，十字左边两个因数相乘等于二次项系数，右边两个因数相乘等于常数项，交叉相乘所得的结果再相加等于一次项系数，这时二次三项式可分解为两个多项式的乘积。
如果二次项系数是负数，则可先提出负号到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解。
在二次项系数为正数的情况下，分如下两种情况进行讨论。
第一种情况，对于二次项系数为1的二次三项式：x2+bx+c。
将常数项c拆分成两个因数c1和c2，使这两个因数c1和c2的乘积结果刚好是常数项c，同时c1和c2的和刚好是一次项系数b。
如图所示：只要能满足c=c1c2，b=c1+c2，则x2+bx+c=x2+（c1+c2）x+c1c2=（x+c1）（x+c2），从右图观察可知，竖直的两数相乘分别得到二次项系数1和常数项c（c=c1c2），把对角交叉相乘所得的结果相加起来得一次项系数b（b=c1+c2）。
下面我们通过一个例子来感受下十字相乘法在因式分解中的应用。
例：分解因式：1）x2+7x+12；2）y2-8y+15；解：1）x2+7x+12二次项系数1=1×1常数项12=1×12=2×6=3×4观察如图，做第1次尝试，虽然有1 ×1=1（二次项系数），1×12=12（常数项）但是1×12+1×1≠7（一次项系数），显然第1个不合适。
分解因式方法
分解因式方法分解因式是解决代数式的重要方法之一，它在代数运算中有着广泛的应用。
在学习代数的过程中，我们经常会遇到各种各样的代数式，而分解因式方法可以帮助我们简化复杂的代数式，使得问题更易于解决。
接下来，我们将详细介绍分解因式的方法和步骤。
首先，我们需要了解什么是因式。
因式是指能够整除某个代数式的因数，它可以是一个数、一个代数式或者一个多项式。
而分解因式就是将一个代数式分解为若干个因式的乘积的过程。
在进行分解因式时，我们通常会遵循以下几个步骤：1. 提取公因式。
首先，我们需要观察代数式中是否存在公因式，即能够整除每一项的因式。
如果存在公因式，我们可以先将其提取出来，这样可以简化代数式，使得后续的分解工作更加容易。
2. 分解成一次因式的乘积。
接下来，我们需要将代数式分解成一次因式的乘积。
一次因式是指次数为1的因式，例如(x+a)、(x-a)等。
在进行分解时，我们需要根据代数式的特点和因式分解公式进行分解，有时候还需要运用到因式分解的技巧和方法。
3. 继续分解。
如果代数式还可以进一步分解，我们就需要继续进行分解工作，直到无法再分解为止。
在这个过程中，我们可能需要运用到一些特殊的因式分解公式，如平方差公式、完全平方公式等。
通过以上步骤，我们可以将复杂的代数式分解为若干个一次因式的乘积，从而更好地理解和运用代数式。
下面，我们通过几个例子来具体说明分解因式的方法。
例1，分解因式x^2+5x+6。
首先，我们观察到该代数式没有公因式，所以我们直接进行一次因式的分解。
我们需要找到两个数，它们的和为5，积为6。
根据这个条件，我们可以很快地得出(x+2)(x+3)这样的一次因式乘积。
因此，x^2+5x+6可以分解为(x+2)(x+3)。
例2，分解因式x^2-4。
在这个例子中，我们可以利用完全平方公式来进行因式分解。
我们知道x^2-4可以写成(x+2)(x-2)，这就是完全平方公式的应用。
因此，x^2-4可以分解为(x+2)(x-2)。
运用“配方法”巧做因式分解
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２数学学习与研究㊀２０２２ ２０运用配方法巧做因式分解运用 配方法 巧做因式分解Һ张㊀衡㊀（甘肃省通渭县黑燕山学校，甘肃㊀定西㊀７４３３０６）㊀㊀ʌ摘要ɔ因式分解的应用是学生在初中学习数学过程中最需要掌握的基本知识．如果学生能够掌握因式分解的概念，那么该概念将在今后因式分解的实际应用中发挥重要作用．因此，笔者根据多年的初中数学教学经验，对学生掌握因式分解的重要性㊁因式分解的教学方法以及因式分解教学中面临的问题进行了有效的分析，希望能为一线教师进行因式分解教学提供有效的帮助，从而有效地提高学生的数学成绩．人教版初中数学教材对于因式分解的问题，仅介绍了 提公因式法 和 公式法 这两种方法，然而在具体做题的过程中，我们发现仅仅运用这两种方法去分解因式有很大的局限性，很多式子都无法用这两种方法去分解．在这种情况下， 配方法 是我们最好的选择．本文将详细阐述如何运用 配方法 分解因式．ʌ关键词ɔ配方法；因式分解；提公因式法；公式法因式分解是初中数学中学习代数恒等式变换时的一种重要学习方法，常用于解决因式计算的数学问题，其基本概念便是将多项式整理成最简单的整式乘积的形式．可以看出，如果学生能够有效地运用因式分解，不仅可以提高数学能力，还可以通过因式分解更好地理解其他数学理论知识．因此，教师在进行数学因式分解的教学过程中，必须重视教学方式和方法，对学生进行系统㊁专业的教学，确保学生能够熟练掌握因式分解的基本概念，并应用于数学问题的求解．一㊁因式分解在初中数学中的重要作用初中数学的缜密性㊁专业性都比较强，掌握数学知识对于刚步入初中的学生而言是一项非常大的挑战．但是，学生一旦掌握了数学思想，理解了数学概念之后可以快速提高数学能力．众所周知，因式分解在初中数学课程中占有非常重要的地位，其主要功能体现在以下几个方面：１．因式分解是数学计算的基础．２．充分掌握因式分解的概念知识，并将其合理应用到数学解题思维中，可以使一些问题的计算方法更加方便，结果更加合理．比如：１００２－９９２＝（１００＋９９）（１００－９９）＝１９９．可以看出，使用因式分解法解决这种复杂的题型，既快捷，又准确．３．在初中数学学习过程中，解方程是十分重要的课程内容．例如，在求解二次方程问题时，因式分解法中的交叉相乘法比公式法更方便．此外，求解高阶方程时的最佳方法是使用因式分解法．比如解方程：ｘ３－４８ｘ＋７＝０，ｘ３－４８ｘ＋７－７ｘ２＋７ｘ２＝ｘ２（ｘ＋７）－（７ｘ２＋４８ｘ－７）＝ｘ２（ｘ＋７）－（７ｘ－１）（ｘ＋７）＝（ｘ＋７）（ｘ２－７ｘ＋１）．那么，原方程便应当是ｘ＋７＝０或者是ｘ２－７ｘ＋１＝０．由此可以可看出，利用因式分解法进行解题，可以使解题思路更清晰．二㊁目前因式分解法在教学过程中所面临的问题因式分解法在初中的数学学习中，属于必考易错的知识．教材中有提取公因式法和公式法两种解题思路．为了让学生更容易理解这两种方法的概念，有些教师会将两种不同的概念合并为一种，在同一节课中讲解这两种方法，然后让学生进行有针对性的练习．但毕竟在课堂上的时间是有限的，对于很多内容，学生缺乏足够的练习时间，更设有时间深入思考．回顾时教师会发现学生做的一些综合练习，效果不是很好，这是因为很多学生只看到了表面的知识点，没有办法着手解决更复杂的问题．根据笔者的经验，产生这些问题的主要原因如下：１．时间不足，学生对概念的理解不够透彻．在一个课堂上学习这两个概念，容易使学生感到困惑，不能灵活运用解决问题的思路；２．教师对思想重视不够，仅用因式分解的方法讲解一般内容，没有给予学生足够的练习时间，忽视了学生灵活解决问题能力的培养；３．在讲授内容的过程中，忽视了学生对方法的理解，只是一味地传递教师自己的思想，导致学生对公式概念的理解不足．一旦出现稍微难一点的题型或者相似题型，学生便不知该如何下手．㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀数学学习与研究㊀２０２２ ２０三㊁初中数学运用 配方法 巧做因式分解案例分析人教版数学教材八年级上册 １４．３因式分解 一课中，主要讲述了运用 提公因式法 和 公式法 分解因式的具体方法和步骤．这两种方法浅显易懂，学生很容易理解和掌握．但笔者在多年的教学经验中发现，学生在做因式分解的题目时遇到的一些题型很难运用这两种方法去做，例如：式子（１）ｘ２＋８ｘ＋１５；（２）ｘ２－１０ｘ＋２４；（３）ｘ２＋ｘ－１２；（４）ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２；（５）９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－５．于是，很多教师想到了老教材中的 十字相乘法 ，运用 十字相乘法 确实能够解决这类问题，但是在现行课本中没有安排这节内容，不属于‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“规定的内容，学生掌握起来也难度较大．那么对于这一问题，笔者建议运用 配方法 ．所谓 配方法 ，就是通过 添项 或 拆项 配成ａ２ʃ２ａｂ＋ｂ２＝（ａʃｂ）２的形式，即完全平方形式，来解决问题的方法．这种方法既可以帮助学生解决一些因式分解的问题，又为学生九年级学习一元二次方程和二次函数打好基础．那么就以上面的几个式子为例，讲讲运用配方法分解因式的方法和步骤．（一）方法步骤１．添项配完全平方式分解因式解：（１）ｘ２＋８ｘ＋１５＝ｘ２＋２ˑ４ｘ＋４２－４２＋１５（添 ４２－４２ 配成ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ＋４）２－１（写成完全平方形式）＝（ｘ＋４＋１）（ｘ＋４－１）（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋５）（ｘ＋３）（分解完毕）（２）ｘ２－１０ｘ＋２４＝ｘ２－２ˑ５ｘ＋５２－５２＋２４（添 ５２－５２ 配成ａ２－２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ－５）２－１（写成完全平方形式）＝（ｘ－５＋１）（ｘ－５－１）（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ－４）（ｘ－６）（分解完毕）（３）ｘ２＋ｘ－１２＝ｘ２＋２ˑ１２ｘ＋１２()２－１２()２－１２(添 １２()２－１２()２配成ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的形式)＝ｘ＋１２()２－４９４（写成完全平方形式）＝ｘ＋１２()２－７２()２（写成平方差形式）＝ｘ＋１２＋７２()ｘ＋１２－７２()（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋４）（ｘ－３）（分解完毕）（４）ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ－３５ｙ２＋３６ｙ２－３６ｙ２（添 ３６ｙ２－３６ｙ２ 以便配方）＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－３６ｙ２（计算 －３５ｙ２＋３６ｙ２ 可配成ａ２－２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（ｘ－ｙ）２－３６ｙ２（写成完全平方形式）＝（ｘ－ｙ）２－（６ｙ）２（写成平方差形式）＝［（ｘ－ｙ）＋６ｙ］［（ｘ－ｙ）－６ｙ］（运用平方差公式分解因式）＝（ｘ＋５ｙ）（ｘ－７ｙ）（分解完毕）２．拆项配完全平方式分解因式（５）９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－５＝９ｘ２－１６ｙ２＋１２ｘ＋２４ｙ－９＋４（将常数项 －５ 拆成 －９＋４ ）＝９ｘ２＋１２ｘ＋４－１６ｙ２＋２４ｙ－９（移项）＝（９ｘ２＋１２ｘ＋４）－（１６ｙ２－２４ｙ＋９）（将要配方的两大块添上括号）＝［（３ｘ）２＋２㊃３ｘ㊃２＋２２］－［（４ｙ）２－２㊃４ｙ㊃３＋３２］（配成ａ２ʃ２ａｂ＋ｂ２的形式）＝（３ｘ＋２）２－（４ｙ－３）２（写成完全平方形式）＝［（３ｘ＋２）＋（４ｙ－３）］［（３ｘ＋２）－（４ｙ－３）］（运用平方差公式分解因式）＝（３ｘ＋２＋４ｙ－３）（３ｘ＋２－４ｙ＋３）（取小括号后中括号变小括号）＝（３ｘ＋４ｙ－１）（３ｘ－４ｙ＋５）（分解完毕）（二）变式练习（１）ｘ２－４ｘ－５；（２）６ｘ２＋ｘ－２；（３）ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２；（４）４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋８．解㊀（１）ｘ２－４ｘ－５＝ｘ２－２ˑ２ｘ＋２２－２２－５＝（ｘ－２）２－９＝（ｘ－２＋３）（ｘ－２－３）＝（ｘ＋１）（ｘ－５）㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５４数学学习与研究㊀２０２２ ２０（２）６ｘ２＋ｘ－２＝６ｘ２＋１６ｘ－１３()＝６ｘ２＋２ˑ１１２ｘ＋１１２()２－１１２()２－１３[]＝６ｘ＋１１２()２－４９１４４[]＝６ｘ＋１１２()２－７１２()２[]＝６ｘ＋１１２＋７１２()ｘ＋１１２－７１２()＝６ｘ＋２３()ｘ－１２()＝３ｘ＋２３()ˑ２ｘ－１２()＝（３ｘ＋２）（２ｘ－１）（３）ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ－４８ｙ２＋４９ｙ２－４９ｙ２＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－４９ｙ２＝（ｘ－ｙ）２－（７ｙ）２＝［（ｘ－ｙ）＋７ｙ］［（ｘ－ｙ）－７ｙ］＝（ｘ＋６ｙ）（ｘ－８ｙ）（４）４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋８＝４ｘ２－９ｙ２＋１２ｘ－６ｙ＋９－１＝４ｘ２＋１２ｘ＋９－９ｙ２－６ｙ－１＝（４ｘ２＋１２ｘ＋９）－（９ｙ２＋６ｙ＋１）＝［（２ｘ）２＋２㊃２ｘ㊃３＋３２］－［（３ｙ）２＋２㊃３ｙ㊃１＋１］＝（２ｘ＋３）２－（３ｙ＋１）２＝［（２ｘ＋３）＋（３ｙ＋１）］［（２ｘ＋３）－（３ｙ＋１）］＝（２ｘ＋３＋３ｙ＋１）（２ｘ＋３－３ｙ－１）＝（２ｘ＋３ｙ＋４）（２ｘ－３ｙ＋２）四㊁教师在因式分解教学中的建议在传统的数学课堂上因缺少趣味性，很难让学生对数学知识产生浓厚的兴趣，也不利于学生的发展，长此以往学生会对数学的学习产生厌烦情绪．在新课程改革背景下，教师打破了传统教学模式，改变了枯燥的数学知识的讲解方式，使学生由被动地接受知识转变为主动地探索知识．兴趣对学习的重要性得到了一线教师们的认同．只有学生对所学的教学内容产生了兴趣，才会在教学内容的吸引下去进行深层次的探究，这样才能使教学的质量和效果不断提升．因此，教师在教学中要高度重视这一点，根据学生的数学实际水平设计一些学生比较感兴趣的问题，进而把学生的注意力吸引到课堂教学活动中，引导学生对数学内容进行深层次的思考，并提出相应的问题．通过教师的启发式的教学方法，学生学会动脑思考问题，对问题进行探究，去探讨解决问题的方法和技巧，从而找到学习数学的兴趣点，产生学习数学的热情．例如，在平方差公式的教学中，教师随便在黑板上出了几道数学口算题，让学生快速的口算：１８２－１６２，由于教师说要快速计算出结果，学生都表现出了强烈的参与热情，同时也在心里产生了疑问，这么大的数字很难通过口算去进行计算，教师为什么会出这样的问题呢？学生都面露难色．教师随即引导学生，在学习了因式分解的平方差公式后，可以很轻松地解答来这样的问题．学生于是对学习平方差公式产生了强烈的兴趣．然后教师给出了（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）的式子，让学生利用所学的多项式乘法的计算方法试着计算，很快就计算出了结果：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２．那么按照等式的性质，反过来也是成立的．因此，１８２－１６２就可以用平方差公式来计算，这样学生就可以很轻松地通过口算计算出结果了．在教师的启发下，学生自主利用所学的数学知识，总结出了平方差公式，并在实际的应用中加以验证．教师把学生分成学习小组，让小组成员互相出题然后比赛看谁计算得快．这样课堂教学在热烈的学习氛围中获得了事半功倍的教学效果，同时教师通过启发引导，也培养了学生的创造性，激发了学生学习数学的主观能动性．五㊁结语当我们在做因式分解的练习时，遇到用所学的 提公因式法 和 公式法 无法分解的题目， 配方法 就是最适合的选择．以上就是配方法的教学步骤和搭配的变式练习，希望对同仁们的工作有所帮助．ʌ参考文献ɔ［１］常成．初中数学因式分解技巧研究［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（１）．［２］陈建新．指向数学核心素养的问题设计策略 以 一元二次方程的解法（第１课时） 为例［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１７（３２）．［３］王然恩．初中数学思想方法及其教学研究［Ｄ］．河北师范大学，２００５．［４］张涛．优化初中数学教学过程，提升初中数学教学效果［Ｊ］．考试与评价，２０１９（３）．［５］尹敬会．多媒体教学在初中数学教学中的应用策略研究［Ｊ］．中国校外教育，２０１８（３５）．。
七年级数学下册《因式分解的意义提公因式法》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.让学生理解因式分解的概念，掌握提公因式法的基本步骤，能够熟练运用该方法对多项式进行因式分解。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，让学生学会运用因式分解解决一些简单的实际问题。
3.通过因式分解的学习，使学生掌握数学中的分解思想，提高他们分析问题和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我将以一个简单的数学问题引发学生的思考：“同学们，我们之前学过如何将一个数分解成几个数的乘积，那么对于多项式，我们是否也可以这样做呢？”通过这个问题，激发学生对因式分解的好奇心，从而引出本节课的主题。
接着，我会简要回顾整式的乘法运算，引导学生发现整式乘法与因式分解之间的联系，为学习因式分解打下基础。
2.问题导向的探究学习
本案例以问题导向的方式引导学生主动探究、发现数学规律。通过一系列具有启发性的问题，如因式分解的意义、操作步骤等，让学生在思考、讨论中逐步掌握因式分解的知识。这种教学策略有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作的互动交流
小组合作是本案例的又一亮点。在小组合作中，学生相互讨论、共同探究，充分发挥每个人的优势，共同解决问题。这种互动交流的学习方式不仅提高了学生的学习效果，还培养了他们的团队协作精神和沟通能力。
（二）过程与方法
1.采用启发式教学方法，引导学生通过自主探究、小组合作等方式，发现并理解因式分解的意义。
2.设计丰富的教学活动，如实例分析、互动讨论等，让学生在实践中掌握提公因式法的运用，提高他们的运算能力和逻辑思维能力。
3.创设生活情境，让学生在实际问题中运用所学的因式分解知识，培养他们将理论知识与实际相结合的能力。
（二）问题导向
因式分解的四种方法(习题及答案)
因式分解的四种方法（习题）➢ 例题示范例1：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+-【思路分析】考虑因式分解顺序的口诀“一提二套三分四查”，观察式子里面有公因式2(1)y -，先提取，然后再利用公式法因式分解，分解完后要查一下是否分解彻底．【过程书写】222(1)(21)(1)(1)(1)y x x y y x -++=+-+=解：原式➢ 巩固练习1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．232393x y z x z y =⋅B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++C ．22()a b ab ab a b +=+D ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 2. 把代数式322363x x y xy -+因式分解，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．(3)x x y -D ．23()x x y - 3. 因式分解：（1）22363a b ab ab +-；（2）()()y x y y x ---； 解：原式= 解：原式=（3）2441a a -+；（4）256x x -+； 解：原式= 解：原式=（5）2168()()x y x y --+-； （6）41x -；解：原式= 解：原式=（7）222(1)4a a +-； （8）25210ab bc a ac --+；解：原式= 解：原式=（9）223(2)3m x y mn --；（10）2ab ac bc b -+-； 解：原式=解：原式=（11）2222a b a b -++；（12）2(2)(4)4x x x +++-； 解：原式=解：原式=（13）321a a a +--；（14）2244a a b -+-； 解：原式=解：原式=（15）222221a ab b a b ++--+；解：原式=（16）228x x --；（17）226a ab b --； 解：原式= 解：原式=（18）2231x x -+；（19）32412x x x --； 解：原式= 解：原式=（20）2()()2x y x y +++-；（21）(1)(2)6x x ---． 解：原式= 解：原式=➢ 思考小结在进行因式分解时，要观察式子特征，根据特征选择合适的方法：①若多项式各项都含有相同的因数或相同的字母，首先考虑__________________．②若多项式只含有符号相反的两项，且两项都能写成一个单项式的平方，则考虑利用____________________进行因式分解．③若多项式为二次三项式的结构，则通常要考虑____________或_______________．④若多项式项数较多，则考虑_______________．【参考答案】➢巩固练习1. C2. D3.（1）3ab(a+2b-1)（2）(x-y)(y+1)（3）2(21)a -（4）(x -2)(x -3)（5）2(4)x y -+（6）2(1)(1)(1)x x x -++（7）22(1)(1)a a -+（8）(b -2a )(a -5c )（9）3m (2x -y -n )(2x -y +n )（10）(b -c )(a -b )（11）(a +b )(a -b +2)（12）2(x +1)(x +2)（13）2(1)(1)a a +-（14）(a -2-b )(a -2+b )（15）2(1)a b +-（16）(x -4)(x +2)（17）(a -3b )(a +2b )（18）(2x -1)(x -1)（19）x (x +2)(x -6)（20）(x +y -1)(x +y +2)（21）(x +1)(x -4)➢ 思考小结①提公因式②平方差公式③完全平方公式，十字相乘法 ④分组分解法。
从动脑思考转为动手思考的代数变形——以巧用拼图因式分解教学设计为例
从动脑思考转为动手思考的代数变形以巧用拼图因式分解教学设计为例赵建平１㊀方秀娟２(１.浙江省湖州市吴兴区教育局教学研究与培训中心ꎬ浙江湖州３１３０００ꎻ２.浙江省湖州市吴兴实验中学ꎬ浙江湖州３１３０００)摘㊀要:文章以巧用拼图因式分解为例ꎬ思考如何将初中数学课堂教学中的动脑思考一步步转向动手思考ꎬ再从动手操作里逆向抽象出简约的数学模型ꎬ从不同纸片的拼接或者叠放的探究来解决代数变形问题ꎬ对基本图形的拼接㊁叠加和优化ꎬ将初中数学中的十字相乘法分解因式巧妙转化为拼图游戏课.通过抓住面积不变的关键点ꎬ让学生进行动手操作并深度思考ꎬ从而在图形的变化探寻中感受代数式变形的奥秘ꎬ激发学生的数学兴趣ꎬ培养其核心素养.关键词:动脑思考ꎻ动手思考ꎻ代数变形ꎻ拼图建构ꎻ语言转化中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)１１－００５３－０３收稿日期:２０２４－０１－１５作者简介:赵建平(１９７０ )ꎬ男ꎬ浙江省湖州人ꎬ本科ꎬ中小学高级教师ꎬ从事初中数学教学研究ꎻ方秀娟(１９９６ )ꎬ女ꎬ浙江省湖州人ꎬ本科ꎬ中小学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀浙教版初中数学七年级教材中的因式分解ꎬ针对十字相乘法的教学篇幅很少而且内容很浅ꎬ但高中及后续数学学习对这方面的要求却比较高.为更好掌握十字相乘法分解因式ꎬ尝试用拼图游戏的思路来设计本课ꎬ让学生在抽象的代数变形中将动脑思考转变为可操作的动手思考[１].１设计动脑思考解决不了的劣构问题七年级学生对于二次项系数不是１的二次三项式还不能因式分解ꎬ教材中只对二次项系数为１的整式采用十字相乘法分解ꎬ课前设计一个学生不能解决的问题ꎬ利用 挖坑 的学习法激发学生的认知冲突ꎬ引发其动手思考.例１㊀把多项式３ａ２＋７ａｂ＋２ｂ２因式分解.在学生一筹莫展时ꎬ直接给出图片信息作为辅助.已有面积分别为ａˑａꎬｂˑｂꎬａˑｂ的Ａ型㊁Ｂ型㊁Ｃ型纸片若干ꎬ拼成图形如右图所示ꎬ根据图片信息ꎬ思考能否帮助完成刚才的因式分解问题.图１㊀Ａ型㊁Ｂ型㊁Ｃ型纸片及其拼成的长方形观察图１可以得出ꎬ长方形恰由３个Ａ型㊁２个Ｂ型的正方形纸片以及７个Ｃ型的长方形纸片构成ꎬ面积即为３ａ２＋７ａｂ＋２ｂ２ꎬ同时长方形的面积也可以表示为(３ａ＋ｂ)(ａ＋２ｂ)ꎬ即为长与宽的乘积ꎬ所以３ａ２＋７ａｂ＋２ｂ２＝(３ａ＋ｂ)(ａ＋２ｂ).根据因式分解时定义ꎬ此即为因式分解的结果.设计意图:引导学生在回忆已有的因式分解方法(提取公因式法㊁公式法等)的基础上ꎬ思考当遇到已有的知识不能解决的问题时如何更进一步地探究.图形信息的转换之间ꎬ可以直接读出代数语言作为结论ꎬ图形的语言信息究竟还可以有哪些规律性３５的结论帮助我们进行代数上的分解ꎬ触发了对以上拼图问题的进一步的思考.２搭建可操作性强的动手思考平台通过有启发的尝试与探究ꎬ巧用拼图解决了较为简单的二次三项式因式分解后ꎬ通过层层推进有梯度的三个学生活动在拼图中进行技巧探寻ꎬ从而搭建了许多动手思考的平台ꎬ让学生利用提供的 支架 进行深度思考.例２㊀按要求完成下列活动:活动１:回忆完全平方公式(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２对应的几何图形.分析㊀学习过程中其实已经涉及图形语言与代数信息的关联探讨.图２是边长为(ａ＋ｂ)的正方形ꎬ可以拆解成１个ａˑａꎬ１个ｂˑｂ的正方形以及２个ａˑｂ的纸片.该公式从左往右看为整式乘法ꎬ从右往左看即为因式分解ꎬ所以若能倒推先得到图形的面积构成及拼法ꎬ就能通过从外围边长反推因式分解结果.图２㊀(ａ＋ｂ)的正方形活动２:如图３ꎬ思考１个ａˑａ㊁４个ｂˑｂ的正方形以及４个ａˑｂ的纸片还可以拼成怎样的规则图形ꎬ得到怎样的等式.图３㊀不同拼图方法示意图活动３:想要拼得再大一点的正方形ꎬ至少还需要不同类型的纸片多少张ꎬ对于不同小正方形的纸片数量各有什么要求?(各类正方形纸片数量都是平方数１ꎬ４ꎬ９ꎬ )活动４:有３张Ａ型(ａˑａ)ꎬ４张Ｂ型(ｂˑｂ)ꎬ５张Ｃ型(ａˑｂ)纸片.从中取出若干张纸片ꎬ每种纸片至少取一张ꎬ把取出的这些纸片拼成一个正方形(无空隙㊁无重叠地拼接)ꎬ求拼成的正方形边长的最大值.分析㊀在得到了拼成正方形所需的小正方形数量上的规律后ꎬ范围内只有１张Ａ型㊁４张Ｃ型纸片的数量是满足要求的ꎬ深化学生对于拼图过程中数量规律的理解.活动５:分别选取适当数量的Ａ型(ａˑａ)㊁Ｂ型(ｂˑｂ)㊁Ｃ型(ａˑｂ)纸片ꎬ拼出一个长㊁宽分别为(ａ＋２ｂ)和(ａ＋ｂ)的长方形ꎬ求需要Ａ型㊁Ｂ型㊁Ｃ型纸片各自的张数ꎬ并思考如何摆放.图４㊀活动５拼图示意图设计意图:从拼成正方形推广到更为普遍的长方形ꎬ一步步探究拼图过程中的数量规律(正方形数量各为平方数)和位置规律(相等边贴着放ꎬ正方形对角放ꎬ定边长再平移).基本拼图规律的总结ꎬ让之后深入运用与问题思考有迹可循.３拓展多维开放的动手思考空间通过不同的动手尝试与思考ꎬ解决拼图过程的思维阻焊点.本课例中设计三个有深度问题ꎬ引发学生多角度去思考ꎬ拓展了更加开放的动手思考的空间ꎬ让学生进行从图形变化到代数变形的自我建构[２]ꎬ从而利用 支架 进行深度思考.例３㊀完成下列问题:问题１:思考ａ２＋５ａｂ＋６ｂ２的因式分解结果.分析㊀１张ａˑａꎬ６张ｂˑｂ的正方形纸片摆放位置需要先确定ꎬ后者就有１ˑ６ꎬ６ˑ１ꎬ２ˑ３ꎬ３ˑ２几种不同位置情况ꎬ引导学生深度思考ꎬ当填补部分需要ａˑｂ的长方形个数刚好为５个时可以判断该种摆放方式符合要求.利用分类讨论的思想进行具体分析.显然ꎬ第三㊁四两种情况刚好满足拼图要求.此时因式分解的结果为ａ２＋５ａｂ＋６ｂ２＝(ａ＋３ｂ)(ａ４５＋２ｂ)或ａ２＋５ａｂ＋６ｂ２＝(ａ＋２ｂ)(ａ＋３ｂ).图５㊀问题１的不同拼图设计意图:图５通过分类讨论面积为ａ２与ｂ２的正方形的摆放位置去凑剩余部分满足中间项５ａｂ的做法ꎬ类比于用十字相乘法因式分解中的 拆两头ꎬ凑中间 来验证的思想.问题２:能否用适当数量的Ａ型㊁Ｂ型㊁Ｃ型卡片ꎬ拼成一个面积为２ａ２＋３ａｂ＋３ｂ２的长方形.图６㊀问题２拼图分析㊀图６不论两类正方形的位置怎么摆放ꎬ所需要面积为ａˑｂ的长方形个数都不能刚好为三个ꎬ因此无法用拼图所得.设计意图:若二次三项式无法进行因式分解ꎬ进而对应面积的长方形不可能通过拼图所得.发现了这一因式分解的验证依据ꎬ进一步引申对长方形面积的思考:即用来拼图的正方形与长方形纸片张数有一定的数量要求.通过问题循序渐进地抛出与解决ꎬ慢慢引导学生发现并探究拼图过程中的规律.问题３:若取Ａ型㊁Ｂ型㊁Ｃ型卡纸片若干张(三种纸片都要取到)ꎬ拼成一个长方形ꎬ使其面积为４ａ２＋ｍａｂ＋ｂ２ꎬ求ｍ的值.设计意图:小组合作的形式ꎬ让学生发散性地对得到的知识进行验证与思考ꎬ在组内合作讨论㊁组间交流学习过程中ꎬ进一步深化对应用性知识的理解.４反思与建构动手思考后的活动经验对小组合作及动手操作中积累的活动经验进行反思ꎬ提炼拼图与解决问题中的爬坑经验.本课例中的问题思考ꎬ正是反思与建构动手思考后的理论感悟ꎬ让学生在已有经验上迁移应用[３].例４㊀问题思考:对下列多项式ａ２－ａｂ－２ｂ２进行因式分解.分析㊀回忆平方差公式(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ２－ｂ２对应图形的由来ꎬ如图７ꎬ若长方形的面积表达式中出现负号ꎬ巧用割补法把不规则图形通过先切割㊁再找等边进行拼接组成规则图形即可得到ａ２－ａｂ－２ｂ２＝(ａ＋ｂ)(ａ－２ｂ).图７㊀例４拼图设计意图:负号的引入ꎬ引发学生联想平方差公式推导过程中割补法的运用.从不规则图形转化成规则图形的化归思想ꎬ以及从遇到问题到方法找寻的思考探究过程ꎬ让学生进一步感受数学学习中数形结合㊁层层递进的美妙感.５结束语通过先给学生设计用动脑思考无法直接解决的实际问题ꎬ激发学生认知冲突后创新ꎬ再搭建让学生操作的动手思考平台ꎬ进而逐步启发与拓展多维的动手思考空间ꎬ最后进行理论提炼后积累活动经验ꎬ从而解决生活中的实际问题.本课例通过拼图ꎬ利用给定面积的长方形的长与宽ꎬ引导学生在数形结合的思想中用拼图进行因式分解ꎬ通过 外拼 与 内割 总结不同类图形的拼接规律ꎬ巧借拼图将数学符号语言与数学图形语言进行了结合ꎬ让多维的图形变化归一成简约的代数变形表达ꎬ从而在数学动手操作中培养学生核心素养.参考文献:[１]章建跃.核心素养导向的初中数学教学变革[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０２３(１):２－５. [２]陶明.ＰＩＳＡ数学测评与我国数学教育测评比较探究[Ｊ].中小学数学ꎬ２０２１(７):９０－９２. [３]陆卓涛ꎬ安桂清.学科实践的内涵㊁价值与实现路径[Ｊ].课程 教材 教法ꎬ２０２２(９):７３－７７.[责任编辑:李㊀璟]５５。
因式分解教学中的逆向思维培养
因式分解教学中的逆向思维培养作者：刘付强来源：《理科考试研究·初中》2017年第01期摘要：因式分解需要把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，如果从运算角度上考虑，实际上就是把一个表示和的形式，改变式子的结构，写成乘积的形式，但要保持两者仍相等，这样的变形过程与整式乘法之间是互逆的关系.因式分解是进行逆向思维能力培养的最佳平台与载体，运用逆向思维不但可以使思考问题的过程显得真实化，还能培养学生解题的灵活性与创造性，培养积极探究数学问题的良好思维品质.关键词：初中数学；因式分解；整式乘法；逆向思维作者简介：刘付强（1976-），男，江苏扬州人，本科，中学一级，主要从事初中数学教学研究.逆向思维是与正向思维方向相反的思维过程，但在思维内容上两者往往有一致性.在初中数学教学过程中，不少内容需要学生能够“反其道而思之”，使部分运用正向思维难以解决的问题得到顺利解决.比如要求学生画出一条长为5cm的线段，这里的思考过程就可以追溯到画直角三角形，如果直角边为整数，斜边有可能出现无理数的情况，经几次尝试探索就可以发现直角边为1cm与2cm的直角三角形，其斜边为5cm.因式分解需要把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，如果从运算角度上考虑，实际上就是把一个表示和的形式，改变式子的结构，写成乘积的形式，但要保持两者仍相等，这样的变形过程与整式乘法之间是互逆的关系.一、由瓜找藤，理解公式的形成过程因式分解的原理来自多项式乘法，比如（a+b）（a-b）=a2-b2和a2-b2=（a+b）（a-b）是一种逆向变形的关系.教学过程中，既要引导学生借助正向思维去获得公式，掌握其规律，也要让学生通过“瓜”来找“藤”，做到来去自如.比如，对于提取公因式法的学习，教师可以这样操作：1.让学生写出：a（m+n+q）=am+an+aq，然后利用等式的特征写出am+an+aq=a（m+n+q）.2.教师可以借助数形结合的方法展示如图，从而很快让学生理解：am+an+aq=a（m+n+q）3.通过比喻的方式让记住这两个公式的表达形式：a（m+n+q）=am+an+aq——假如a前去某公司（括号正代表公司的房子）参观，正好遇到了过去的朋友m，n，q三人都在这家公司工作，于是a分别与这三人握手示好；am+an+aq=a（m+n+q）——握手并在这家公司办完事情后，a离开了这家公司，所以a已经在括号（公司）的外面了，而原来与他握手的三人还在括号里面.4.计算25×4+25×34+25×2，在实践中理解这表示4个25相加，34个25相加，2个25相加，所以一共是40个25相加，与以原式等于40×25，这样就促进了理解.5.归纳提取公因式法.6.加强实战训练，尝试练习提取公因式法.二、利用等式性质，作出逆向思考从命题的角度分析，一个原命题的命题可以是真命题也可以是假命题，比如对于平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2来说，它只是一种整式乘法的形式，表述成语言就是两数和与之两数差的乘积等于这两数的平方差，那么“如果两数写成平方差的形式，其结果是否等于两数之和与两数之差的积呢？”有的学生想当然地说这是成立的，理由呢，大家就会一踌莫展，而事实上，a=b成立，b=a就是成立的，用反证法也能证明它.学生就接触过这样的例子：因为︱5︱=5、︱-5︱=5，所以绝对值等于5的数有5与-5.但同样5=︱5︱还是成立的，这里要防止是的把调换两式位置两种情况与原逆命题混为一谈.比如对于平方差公式的思考方法：因为（a+b）（a-b）=a2-b2，所以等式a2-b2=（a+b）（a-b）右边部分等于a2-b2，与左边完全一样，所以a2-b2=（a+b）（a-b）成立.也可以运用反证法思考（学生还没有学习过，但其逻辑常识是早已被学生所接受的）：如果a2-b2≠（a+b）（a-b），那么根据（a+b）（a-b）=a2-b2，替换上以后出现a2-b2≠a2-b2的情况，这说明前边的假设是错误的，故a2-b2=（a+b）（a-b）.三、借助数学思想，引导学生逆向思维教学中往往对正向思维关注较多，由正向思维向逆向思维转移时，需要重新调整心理过程，重新建立心理过程的方向.由于初中因式分解解题过程中也会出现不少难题，光凭逆向思维往往不能解决问题，这时我们就需要适当运用一些手段，比如进行合理预设、运用一定的数学思想方法.解题过程中，教师可以引导学生进行一些假设，由于假设结论是成立的，然后由果查因，推导出原因也是成立的，这里我们往往需要用到添项与拆项的方法.例如，对于“a2+b2+c2+29=6a+4b+8c，求a，b，c的值.”这一题，很多学生会无从入手，因为这是一个等式，而且题目中也没有明确规定或者提示解决问题的方法.如何找到问题解决的切入点呢？首先可以把右边的三项全都移到左边进行观察，可以发现有三个字母，带这三个字母的项都有两项，那么就可以分成三类，即按三个字母分的三类：a2-6a，b2-4b，c2-8c.再观察a2-6a可以发现与平方差公式的运用很相似，这里第一项为a2，第二项-6a=2×（-3）×a，所以第三项最好是（-3）的平方，这样就需要通过补一个9来解决，最终就可以变形成（a-3）2+（b-4）2+（c-3）2=0，从而运用非负数之和为零，每项非负数均为零的性质得解.这种拆项与添项的方法在学生数学竞赛与课后的思考题中较多的出现，有助于培养学生的逆向思维能力和创新意识.四、补充十字相乘方法，培养逆向思维品质平方差公式与完全平方公式的逆用可以帮助学生进行因式分解，其实质还是建立在多项式乘以多项式的基础上的，而十字相乘法虽然近来并不作要求，但由于在实际数学问题解决中非常有用，而且有助于培养尖子生超前的思维能力，所以也十分有必要加以介绍，并引导学生尝试运用.比如对于a2-3a+2，学生如果通过配方的方法进行因式分解，会非常累，十字相乘在这儿就体现了它的优势.教学时，教师首先可以出些诸如“（a+1）（a+2），（a-3）（a+4），（2x+2）（3x-1）”的题让学生练习（在整式乘法部分教学时也需要适时教学），并尝试探究结果中一次项系数产生的规律，认识到这正是交叉相乘的积相加的结果.在因式分解过程中，同样可以运用十字相乘法进行，但这时学生就需要还原上述过程，进行逆向思考.当然，这些方法对学生的要求不是刚性的，鼓励学生多学习不同的方法虽有助提升解题的灵活性，但教学过程中不必强行超出教材要求，更不能加重学生负担.五、回顾学习过程，寻找解题突破口因式分解这块内容在教师看来是非常简单的，但事实上很多学生并不理解，练习过程中错误也会很多，其原因还在于教师引导不当，学生理解不透，所以加强与整式乘法的联系，不断加强由因找果与由果溯因的双向关联训练是非常必要的.另外，教师在训练难度设计上要逐渐加深，不能一步到位，否则易挫伤学生的积极性.对于一下子难以解决的问题，可以引导学生从前边所学的知识中激发解决问题的灵感.比如对于运用整体思想的训练中的这样一道题a（x-y）+b（y-x），可以这么引导，因为（x-y）与（y-x）是相反数关系，可以通过提取第二个式子中的负号让两者相同，这样原式就化成了a（x-y）-b（x-y），我们把括号内看成一个整体，或者令x-y=M，原式就是aM-bM，正好可以把M提出来.其解题思路如下“aM-bM←a（x-y）-b（x-y）←a（x-y）+b（y-x）”，所以这里教师要做的是引导学生去找到这一题的前置性训练，唤起学习的经验.这是对平时问题学习过程的再回顾，也属于逆向思维.总之，在数学教学过程中，教师必须培养学生的逆向思维能力，而因式分解是进行逆向思维能力培养的最佳平台与载体，运用逆向思维不但可以是思考问题的过程显得真实化，还能培养学生解题的灵活性与创造性，培养积极探究数学问题的良好思维品质.具体教学过程中，教师需要结合教学内容，引导学生挖掘有效的解题方法，不断唤醒学生的前期学习经验，做出理性科学的回顾，从而解决问题.参考文献：[1] 王平，王宏伟.运用辩证法分析新教改[J]. 读书文摘. 2016（18）[2] 何卫群.把握已有教学资源，设计有效教学活动——“因式分解之十字相乘法”研究课题教学片断及思考[J]. 数学学习与研究. 2016（22）2017年1月10日理科考试研究·物理版理科考试研究·物理版2017年1月10日。
数学课上老师出了一道因式分解的思考题
数学课上老师出了一道因式分解的思考题【题目】：将x^2+6x+9分解成两个乘积___________________________________在数学课上，老师出了一道因式分解的思考题：将x^2+6x+9分解成两个乘积。
在学生们一片沉默中，我也深陷迷惑之中，一时不知如何是好。
其实，因式分解是数学中的一个重要概念，也是一种数学方法。
它的作用是将复杂的表达式分解为更加简单的表达式，从而使得问题更加容易解决。
那么，如何将x^2+6x+9分解为两个乘积呢？在这里，我们需要使用一种叫做因式分解的方法。
该方法可以将复杂的表达式分解为更加简单的表达式，从而使得问题更加容易解决。
因式分解的步骤如下：首先，我们要找出多项式中可以共同因式的两个因子。
在这里，我们要找到x^2+6x+9中可以共同因式的两个因子。
这里，我们可以看到x^2+6x+9中的系数有3个，分别是1、6和9。
我们可以将这三个系数进行因式分解，即1=1×1，6=2×3，9=3×3。
这样，我们就可以得出x^2+6x+9可以分解成(x+1)(x+3)。
我们还可以用另一种方法来解决这道因式分解的思考题。
那就是先求出多项式的一元二次方程的根，然后用这两个根代替x来构造乘积式。
也就是说，我们可以先求出x^2+6x+9的根，即x=-1和x=-3，然后用它们来构造乘积式(x-1)(x-3)。
可以看到，这样就得到了和上面一样的乘积式。
有了上面的分析，我们就可以得出答案：将x^2+6x+9分解成两个乘积，即(x+1)(x+3)。
当然，在学习数学时，要想解决问题就要具备良好的思维能力和逻辑能力。
只有具备了这些能力，才能够有效地理解问题并找出正确的解决方案。
另外，因式分解也是数学中一种重要的方法，在学习数学时也可以借助这一方法来帮助我们更好地理解问题并找到正确的解决方案。
总之，因式分解是一种有效的数学方法，它可以帮助我们更好地理解问题并找出正确的解决方案。
对“整式的乘法与因式分解”单元教学的思考和解析
对“整式的乘法与因式分解”单元教学的思考和解析整式的乘法与因式分解是代数运算的重要基础，利用它可以解决许多数学问题，而且它又是教科书正文中典型的数学运算案例，对整式的乘法与因式分解教学内容进行合理的整合，并对单元教学进行精心设计，可以集中体现出数学抽象、数学运算这两大核心素养.。
一、单元内容和内容解析（1）单元内容：本章主要包括整式的乘法、乘法公式和因式分解等知识，是基本的代数初步知识，由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，结合课程标准的要求以及教参的建议，可以将单元教学从学生学习的学习方法和认知特点进行整体设计，着重培养学生的数学学科核心素养.。
（2）内容解析：①内容本质.。
使学生正确理解乘法公式和因式分解的意义，认识乘法公式的结构特征以及字母的广泛含义.。
②蕴含的数学思想和方法.。
数形结合：学习整式的乘法和因式分解，我们不仅要能从“数”的角度熟练进行运算，而且要能从“形”的角度理解公式、法则的几何背景，既要学会算法，也要弄清算理真正做到数形结合，融汇贯通;转化思想：在本单元中，要求某些特殊类型的多项式的值，可以借助因式分解将多项式变形后再求解，这样做往往能够简便运算;分类讨论：在涉及完全平方式问题时，由于中间项系数可正可负，所以结果往往有两解，分类讨论是十分重要的数学思想;本章从具体→抽象→具体的认知过程，体现数数学的连贯性和整体性;以实为例，抽象出问题中的数学思想和规律，体现知识的形成和应用过程.。
③多维度关系.。
整式的乘法和因式分解是基本的代数知识，这些知识是在学习了有理数的运算、整式加减、解一元一次方程、实数运算和不等式的基础上引入的，也是进一步学习分式、二次根式、一元二次方程和函数等知识的奠基，同时也是其它理学学科不可或缺的数学工具.。
故而，本章在初中学段占有非常重要的地位.。
④育人价值.。
经历借助拼图解释整式变形的过程，体会几何直观的作用，有助于学生从几何角度认识并理解代数的含义.。
《因式分解》优秀教案一等奖
《因式分解》优秀教案一等奖1、《因式分解》优秀教案一等奖教学目标：1、掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法，平方差公式法分解因式综合应用；能利用平方差公式法解决实际问题。
2、经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的联系。
3、通过对公式的探究，深刻理解公式的应用，并会熟练应用公式解决问题。
4、通过探究平方差公式特点，学生根据公式自己取值设计问题，并根据公式自己解决问题的过程，让学生获得成功的体验，培养合作交流意识。
教学重点：应用平方差公式分解因式．教学难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．教学过程：一、复习准备导入新课1、什么是因式分解？判断下列变形过程，哪个是因式分解？2、我们已经学过的因式分解的方法有什么？将下列多项式分解因式。
x2+2xa2b-ab3、根据乘法公式进行计算：(1)（x＋3）(x－3)= (2)(2y＋1)(2y－1)= (3)(a＋b)(a－b)=二、合作探究学习新知(一) 猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗？（1）= (2)= (3)=(二)想一想，议一议: 观察下面的公式:＝（a＋b）（a—b）（这个公式左边的多项式有什么特征：_____________________________________公式右边是__________________________________________________________ 这个公式你能用语言来描述吗？_______________________________________(三)练一练：1、下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？① ② ③ ④2、你能把下列的数或式写成幂的形式吗？(1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)= ( ) (5) 36a4=( )2 (6) 0.49b2=( )2 (7) 81n6=( )2 (8) 100p4q2=( )2（四）做一做：例3 分解因式：(1) 4x2- 9 (2) (x+p)2- (x+q)2（五）试一试：例4 下面的式子你能用什么方法来分解因式呢？请你试一试。
因式分解教学反思(实用16篇)
因式分解教学反思(实用16篇）因式分解教学反思（1）素质教育背景下的数学课堂教学要以学生为主体，从学生的实际情况出发，关注、关心学生的成长，创设良好的课堂学习氛围，激发学生的学习兴趣，教会学生学会学习，学会思考，使学生成为学习的主人。
学生是变化的，课堂教学也是变化无穷的，而我们老师在课堂上的角色如何充当，如何处理突发问题，下面以《因式分解》一节课的反思谈谈“以学生为主”自己的一些感悟：这是《因式分解》的第一节课，内容为因式分解的概念和用提取公因式进行分解因式，这一节课的教学目的是让学生掌握因式分解的概念和学会用提公因式法进行因式分解，在学生对因式分解概念有了初步的了解后，我例举了5a+5b，5a—20b，5am+5bm，4am2+8bm，5am3—25bm2等进行因式分解，一直例举了5a（x+y）+5b（x+y），a（x—y）+b（x—y），到这里学生还勉强接受，再例举下去，对于a（x—y）+b（y—x）与a（x—y）2—b（y—x）2等就模糊了，这连续的例举让学生们有点招架不住了。
自己认为这样做感觉不错，但课后我认真总结与反思这一节课，觉得有以下不足：一、“以学生为主，老师为导”的理念落实得不够。
特别是在老师出题这一环节上，我想在学生自己自学理解了公因式后，应让学生自己探究，将全班分为若干个小组，在各个小组中要求学生自己编出能用提公因式法分解的题目，再根据学生所编的题目让别的同学说出公因式，分解因式，然后各小组选出最有代表的一题参加小组竞赛活动，看看哪个小组出的题能难倒对方。
我想这样做既改变了教的方式，又能促进学生学习，变被动学习为主动学习，不但增加学生学习的兴趣，而且培养学生的竞争能力，这样学生学习才不会感到枯燥，学习才有味。
二、这节课我对学生的实际情况研究不够，应针对学生进行备课。
对我们农村学校的学生，他们学习的积极性不高，基础不是很好，在刚刚接触因式分解这个概念后，学生还理解不够，基础也不够扎实，对于公因式是单项式的容易接受，但提出了多项式是公因式的分解，对于部分的学生来说是有点接受不了，所以这节课的效果不是很好。
因式分解第一课时三种不同引入的分析与思考
是训 练 思 维、 优化 思 维 品质 的极好 的方法 ，也是 一 种积 极 的思维 活 动和探 索 行 为 ．更能 够让 学 生在 复
综 上 ，此题 所求直 线 方程一共 有 四条 ．
经 常 进行 这 样 的反 思 训练 ，对于 培 养 学 生思 维
参考 文 献 ［】 １马德 宇 ，渠翠 梅 ．“ 反思 ” 优化高 三 数学 总复 习的一条 重要 途径 ．中 是 学 数学月 刊 ，２０ （１ ：２ —５ ０ ８ １） ３２
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２ ０ （ １ ： １—６ ０ ９ １ ） ４１
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（ ） － ９ ：１３
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２ ０ （ ） ０ １ ０ ３ ５ ：１ －２
［］ ５连春 兴 ，王 侠 ．对 中学 生数 学解题 能力 的反 思 ．数 学通报 ，２０ （） ０３ ４ ：
除的．
师 ：对 ，分 解 成 了正 质 因数 积 的形 式 ，就 能 找 出所有 的 因数 ． 生６ ：我还发 现对于 某些 加减运 算 ，如果 先提 出 相 同的 因数 ，则可 以简化 运算 的 ．
师：８ ８ × ３ ７ ＋ ７ １能被 １０ ０ 整除吗？ 生２ ：可 以 的 ，因为 ８ ７ １ ＝８ × ８ ＋ ） ７ ＋８ × ３ ７ （７ ３ ＝
２ １ 年 第 １ 期 ０２ ０
福建 中学数 学
ｌ ９
“因式分解——提公因式法”教学设计——信息技术与课程整合的教学实践
教学用具：触控一体机、IPAD、互联网、天津市中小学网络 学习空间人人通系统
一、教学过程及设计意图： 提出问题，创设情境 【教师活动】课前，同学们已经利用微课进行了本节课的 预习，下面请同学们就以下3个问题对本节课的内容进行独立学 习、深入思考。 问题1：什么是因式分解？ 问题2：怎么确定多项式的公因式？ 问题3：怎么确定提公因式后剩下的因式？ 教师播放提前上传到人人通系统上的微课视频。 【学生活动】学生对预习内容进行回顾，在观看微课视频的 过程中思考教师提出的问题 【信息技术使用】 教师自制微课视频，提前上传到人人通平台上，让学生回家 提前预习，上课开始，学生带着教师提出的问题再次观看微课视 频，起到独立学习、深入思考的作用。 【设计意图】用天津市中小学网络学习空间人人通系统作为 承载微课的平台，以微课的方式帮助学生预习，利用微课可反复 播放的特点，不同层次的学生都可以进行有效预习。 二、观察分析、探究新知 【教师活动】教师在微课播放结束后引导学生得出因式分解 的概念、确定多项式的公因式以及确定提公因式后所剩因式的方 法并板书：
知识。 2.辅助策略：借助天津市中小学网络学习空间人人通系统，
使学生能提前利用微课进行预习。 3.演示法：把做好的微课在课堂上演示给学生看，使学生直
观、具体、形象、有对比地经历从整式乘法到因式分解的互逆变 形过程；从而使学生不仅能够理解、归纳因式分解变形的特点， 同时还能感受到数学知识的整体性。
4.讨论法：在学生进行了自主探究之后，让他们进行合作交 流，使他们互相促进、共同进步。
教学内容： 人教版教材八年级上册14.3中的第一课时《因式分解---提 公因式法》 教材分析： 本节课是人教版教材八年级上册14.3中的第一节课，这节课 是在学生学习了整式运算的基础上再进行的。因式分解是整式乘 法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系。因式分解也是后 续课程中通分、约分所必备的基础知识；在解一元二次或高次方 程、方程组、不等式中，因式分解是一种重要的解法；在数的计 算中，因式分解也是进行简便计算的一种常用技巧。因此，分解 因式在整个教材中起到了承上启下的作用。本节课讲授的提公因 式法是因式分解中的第一种方法，也是最基本的方法。 学情分析： 1.学生已经学习了整式乘法，对乘法的分配律也得到了进一 步的理解。 2.八年级学生好奇心强，对新内容感兴趣，但学习急于求 成，对知识的认知深度不够，因此，在教学中教师要对他们进行 学法指导。 3.教师在教学中经常使用到微课和天津市基础教育资源公共 服务平台中的天津市中小学网络学习空间人人通系统，学生已经 熟练掌握它们的使用方法。 教学目标： 1.知识技能目标：明确因式分解的意义，会找公因式，会用 提公因式法进行因式分解。 2.过程与方法目标：通过探索多项式中各项公因式的过程， 来总结确定公因式的方法与技巧，学会用提取公因式的方法将多 项式分解因式，进一步了解分解因式的意义。 3.情感态度价值观目标：培养学生独立思考的习惯和合作交 流的意识。 教学重点：会准确确定公因式；会用提公因式法进行因式分 解 教学难点：会准确确定公因式及提出公因式后的剩余因式 教学策略： 1.学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在 教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、交流与总结等数学 活动，让学生看、说、讨论、总结，从而真正有效地理解和掌握
因式分解的方法与技巧
解：
四、换元思想
所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换，通过换元可以将复杂的多项式
转变成简单的，将陌生的转换成熟悉的，使之得以顺利地分解因式
例5把多项式(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy—1)分解因式.
分析 这个多项式形式上比较复杂，但考虑x+y与xy重复出现，利用这一特点，可以这两
例
解：
例4.生产一批高为200mm勺圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为(50±1)mm任取两个
这样的产品，它们的容积最多相差多少(二取3.14)?
解：
因式分解中的数学思想
众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含 着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解 中的常见的思想方法举例说明：
因式分解应具有四种意识
一、优先意识
按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识
2
例
2
解：
二、换元意识
通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的
例2.分解因式：5(x-y)2-7(x- y) -6
解：
三、完整意识
依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止
例
解：
四、应用意识
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1)x -4xy+4y -4;(2)4a+12ab+9b-c;(3)x -y -x-y;(4)x +10xy+25y +3x+15y.
二、十字相乘法
例2、因式分解(二次项系数为1，二次项系数不为1)
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31理化之窗摘要：因式分解是中学数学的重要内容之一，思想、内容和方法贯穿于整个中学数学教学之中。
因此，在中学数学教学中这部分内容应使每个学生切实掌握好。
本文谈谈中学数学中的因式分解方法。
关键词：因式分解公因式公式分组在初中数学思维训练中，因式分解的试题以及相关联的试题屡见不鲜，对因式分解掌握的程度直接影响分式、方程等知识的训练，因此学好因式分解是十分必要的。
关于因式分解的基本方法，数学教材作过专门介绍，这里只介绍几种典型的常用方法与技巧。
1．首先看多项式的各项是否有公因式可取，若有，先提取公因式。
2．然后看是否可用公式。
（公式有平方差公式，完全平方公式）3．若上述方法都不能奏效，则应考虑用分组分解法分解因式。
步骤：（1）提公因式法基本步骤：①第一步找公因式，可按照确定公因式的方法先确定系数，当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，再确定字母，字母取各项的相同的字母，最后确定指数，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“－”号时，多项式的各项都要变号。
②第二步提公因式，并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别去除原多项式的每一项，所得到商的和作为另一个因式。
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
如：－am＋bm＋cm ＝－m （a－b－c ）；再如：a （x－y ）＋b （y－x ）＝a （x－y ）－b （x－y ）＝（x－y ）（a－b ）。
（2）公式法基本步骤：平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b ）（a－b ）；完全平方公式：a 2±2ab＋b 2＝（a±b ）2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。
如：x 2－4xy＋（2y ）2＝（x－2y ）2再如：（x＋y ）2＋2（x＋y ）（a－b ）＋（a－b ）2＝［（x＋y ）＋（a－b ）］2＝（x＋y＋a－b ）2（3）分组分解法：能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
（当然还有五项或以上的分法，这就不一一分析了。
）比如：ax＋ay＋bx＋by ＝a （x＋y ）＋b （x＋y ）＝（a＋b ）（x＋y ）我们把ax 和ay 分一组，bx 和by 分一组，
利用分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做：ax＋ay＋bx＋by ＝x （a＋b ）＋y （a＋b ）＝（a＋b ）（x＋y ）
当然有时提取公因式法，公式法，
分组分解法等三种方法还要综合运用：请看实例：例1：分解因式：（1）4a 3－24a 2y＋36ay 2；（2）9ay 2＋9by 2－4a－4b 分析研究：（1）容易看出有公因式4a 可提取，且提取公因式后，可用公式法分解因式。
4a 3－24a 2y＋36ay 2；＝4a （a 2－6ay＋9y 2）（提取公因式）＝4a （a－3y ）2（运用公式）（2）在此，既无公因数可提取，又不能运用公式，因此应该考虑用分组法分解因式。
9ay 2＋9by 2－4a－4b ＝（9ay 2＋9by 2）－（4a＋4b ）（分组）＝9y 2（a＋b ）－4（a＋b ）（提取公因式）＝（a＋b ）（9y 2－4）（再提取公因式）＝（a＋b ）（3y＋2）（3y－2）（运用平方差公式）例2：分解因式：（1）a 2－a 2b－ab 2－b 2＝（a 2－b 2）－（a 2b +ab 2）（分组）＝（a＋b ）（a－b ）－ab （a +b ）（运用公式和提取公因式）＝（a＋b ）（a－b－ab ）（再提取公因式）
而且，有时会因为用的方法顺序不同而有不同的结果：
比如：81x 4－36
解法（一）：81x 4－36＝9（9x 4－4）（提取公因式）＝9（3x 2＋2）（3x 2－2）（运用平方差公式）＝9（3x 2＋2）（3x＋2）（3x－2）（再运用平方差公式）
解法（二）：81x 4－36
＝（9x 2
＋6）（9x 2－6）（运用平方差公式）
＝3（3x 2＋2）（3x＋6）（3x－6）（再提取公因式和再运用平方差公
式）
这两种解法对吗？是两种不同的结果。
但这两种解法都是对的，结果也对，都成功地解决了问题，
说明只要方法正确，结果不一定相
同。
正确运用方法时，要坚持已见。
小结：（1）分解因式的思维规律是：提取公因式法———运用公式法———分组分解法。
（2）分组应遵循的原则是：首先是分组后的每一组能用
基本方法分解因式；最后就是每一组分解因式后，各组之间又可用基本方法分解因式。
【参考文献】
《中学生理科》（广西师范大学出版）
《中学数学教学参考书》（人民教育出版社）（作者地址：广西陆川县乌石
镇初级中学）因式分解的思考方法
筲广西/谢方玲
教学全现
场。