因式分解的思考方法(论文)

31理化之窗摘要：因式分解是中学数学的重要内容之一，思想、内容和方法贯穿于整个中学数学教学之中。因此，在中学数学教学中这部分内容应使每个学生切实掌握好。本文谈谈中学数学中的因式分解方法。关键词：因式分解公因式公式分组在初中数学思维训练中，因式分解的试题以及相关联的试题屡见不鲜，对因式分解掌握的程度直接影响分式、方程等知识的训练，因此学好因式分解是十分必要的。关于因式分解的基本方法，数学教材作过专门介绍，这里只介绍几种典型的常用方法与技巧。1．首先看多项式的各项是否有公因式可取，若有，先提取公因式。2．然后看是否可用公式。（公式有平方差公式，完全平方公式）3．若上述方法都不能奏效，则应考虑用分组分解法分解因式。步骤：（1）提公因式法基本步骤：①第一步找公因式，可按照确定公因式的方法先确定系数，当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，再确定字母，字母取各项的相同的字母，最后确定指数，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“－”号时，多项式的各项都要变号。②第二步提公因式，并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别去除原多项式的每一项，所得到商的和作为另一个因式。③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。如：－am＋bm＋cm ＝－m （a－b－c ）；再如：a （x－y ）＋b （y－x ）＝a （x－y ）－b （x－y ）＝（x－y ）（a－b ）。（2）公式法基本步骤：平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b ）（a－b ）；完全平方公式：a 2±2ab＋b 2＝（a±b ）2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。如：x 2－4xy＋（2y ）2＝（x－2y ）2再如：（x＋y ）2＋2（x＋y ）（a－b ）＋（a－b ）2＝［（x＋y ）＋（a－b ）］2＝（x＋y＋a－b ）2（3）分组分解法：能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。（当然还有五项或以上的分法，这就不一一分析了。）比如：ax＋ay＋bx＋by ＝a （x＋y ）＋b （x＋y ）＝（a＋b ）（x＋y ）我们把ax 和ay 分一组，bx 和by 分一组，

利用分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做：ax＋ay＋bx＋by ＝x （a＋b ）＋y （a＋b ）＝（a＋b ）（x＋y ）

当然有时提取公因式法，公式法，

分组分解法等三种方法还要综合运用：请看实例：例1：分解因式：（1）4a 3－24a 2y＋36ay 2；（2）9ay 2＋9by 2－4a－4b 分析研究：（1）容易看出有公因式4a 可提取，且提取公因式后，可用公式法分解因式。4a 3－24a 2y＋36ay 2；＝4a （a 2－6ay＋9y 2）（提取公因式）＝4a （a－3y ）2（运用公式）（2）在此，既无公因数可提取，又不能运用公式，因此应该考虑用分组法分解因式。9ay 2＋9by 2－4a－4b ＝（9ay 2＋9by 2）－（4a＋4b ）（分组）＝9y 2（a＋b ）－4（a＋b ）（提取公因式）＝（a＋b ）（9y 2－4）（再提取公因式）＝（a＋b ）（3y＋2）（3y－2）（运用平方差公式）例2：分解因式：（1）a 2－a 2b－ab 2－b 2＝（a 2－b 2）－（a 2b +ab 2）（分组）＝（a＋b ）（a－b ）－ab （a +b ）（运用公式和提取公因式）＝（a＋b ）（a－b－ab ）（再提取公因式）

而且，有时会因为用的方法顺序不同而有不同的结果：

比如：81x 4－36

解法（一）：81x 4－36＝9（9x 4－4）（提取公因式）＝9（3x 2＋2）（3x 2－2）（运用平方差公式）＝9（3x 2＋2）（3x＋2）（3x－2）（再运用平方差公式）

解法（二）：81x 4－36

＝（9x 2

＋6）（9x 2－6）（运用平方差公式）

＝3（3x 2＋2）（3x＋6）（3x－6）（再提取公因式和再运用平方差公

式）

这两种解法对吗？是两种不同的结果。但这两种解法都是对的，结果也对，都成功地解决了问题，

说明只要方法正确，结果不一定相

同。正确运用方法时，要坚持已见。小结：（1）分解因式的思维规律是：提取公因式法———运用公式法———分组分解法。（2）分组应遵循的原则是：首先是分组后的每一组能用

基本方法分解因式；最后就是每一组分解因式后，各组之间又可用基本方法分解因式。【参考文献】

《中学生理科》（广西师范大学出版）

《中学数学教学参考书》（人民教育出版社）（作者地址：广西陆川县乌石

镇初级中学）因式分解的思考方法

筲广西/谢方玲

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