2001年高考数学试题(全国理)及答案

2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若0cos sin >θθ，则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0，则 a 的取值范围是 (A)(0，21) (B) (0，21] (C) (21，+∞) (D) (0，+∞)(5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是 (A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y(B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π(C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π(7)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为 (A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8)若b a =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则(A)a <b(A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中，若AB =2BB 1，则AB 与C 1B 所成的角的大小为 (A)60° (B)90° (C)105° (D)75°(10)设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：①若f (x )单调速增，g (x )单调速增，则f (x )-g (x ))单调递增; ②若f (x )单调速增，g (x )单调速减，则f (x )-g (x ))单调递增; ③若f (x )单调速减，g (x )单调速增，则f (x )-g (x ))单调递减;④若f (x )单调速减，g (x )单调速减，则f (x )-g (x ))单调递减; 其中，正确的命题是 (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 (A)P 3>P 2>P 1 (B) P 3>P 2=P 1 (C) P 3=P 2>P 1 (D) P 3=P 2=P 1(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的 路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(A)26； (B)24； (C)20； (D)19二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．(14)双曲线116922=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF ⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为_________。

(15)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若{S n }是等差数列，则q ＝＿． (16)园周上有几个等分点(n ＞ 1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________． 三．解答题：本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC =90°， SA ⊥面ABCD ，SA ＝ AB ＝ BC= 1，AD=21． ( I)求四棱锥S-ABCD 的体积；( 11)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值． (18)(本小题满分12分)已知复数z 1= i (1-i)3 (I)求arg z 1及| z 1|(II)当复数z 满足|z|＝l ，求|z-z 1|的最大值． (19)(本小题满分12分)设抛物线y 2=2pc (p >0)的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ． (20)(本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n (I)证明n i p i m ＜m i p i n ； 门)证明(1+m )n >(1+n )m ． (21)(本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．(I)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出 a n ，b n 的表达式； (II)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ (22)(本小题满分14分)设f (x )是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝ 1对称，对任意x 1；，x 2 ∈[0，21]，都有 f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)． (I)求f (21)及f (41)；(II)证明f (x )是周期函数；(III)记 a n = f (2n +n21)，求)(ln lim n n a ∞→．数学试题(理工农医类)参考答案及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． (1)B (2)C (3)B (4)A (5)C (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C (11)D (12)D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分．满分16分． (13)2π(14)516 (15)1 (16)2n (n －1)三．解答题．(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分． 解：(I)直角梯形ABCD 的面积是 M 底面=21 ( BC +AD )AB ＝43125.01=⨯+ ……2分 ∴四棱推S-ABCD 的体积是113113344V SA M =⨯⨯=⨯⨯=底面 ……4分(II)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 ……6分∵AD ∥BC ，BC =2AD ∴EA =AB =SA ，∴SE ⊥SB ∵SA ⊥面ABCD ，得面ASB ⊥面ESC ，EB 是交线， 又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ， 故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分2222,1,2BC SB SA AB BC BC SB tg BSC SB ∴=+==⊥∴∠== 即所求二面角的正切值为22。

……12分(18)本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．231111*********:()||(1)223777,22(cossin ),,||22444()cos sin ,(cos 2)(sin 2)||(cos 2)(sin 2)942)94sin()1,||9424I z z z i i i z z i arcz z II z i z z i z z z z πππααααπαααπα-=-=-=∴===+-=-++-=-++=+++=-+解分将化成三角形式得设则分当时取最大值从而得1||22112z z -到的最大值为分(19)本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分． 证明一：因为抛物线y 2=2pc (p >0)的焦点为F (0,2p )，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x =my +2p 代人抛物线方程得 y 2-2pcmy -p 2=0若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2= -p 2因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x=-2p上，所以点C 的坐标 为(-2p，y 2)，故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-= 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． 证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ， 过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． ……2分 连结AC ，与EF 相交手点N ，则||||||||||,||||||||||EN CN BF NF AF AD AC AB BC AB === 根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC |……8分|,|||||||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =⋅=⋅=∴即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．():1,(1),1111,,4,1,2,,1,,,6im i im n i i i i i i i in m n mi i I i m p m m i p p m m m i n n n i m m mm n n n np p n k m k m n k i m p n p n m n m<≤=⋅⋅-+--+--+=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅--<=->>>证明对于有同理分由于对整数有所以即分220000110():(1),(1),()(1),,10!!(1)..,,0().nmniimi inm i i i i ii ii iim n nmmn mmii ii iii inmnm i i i in m n m n miini II m m C n n C P P I m P n P i m n C C i i m C n C i m n m C n C m C n C mC nC mn m C m i n m C =====+=+=><≤<==><≤<>===><≤∴∑∑∑∑∑证明由二项式定理有由知而分所以因此又0.(1)(1).12mi i n m m i n C m n =>+>+∑即分(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解．(I)第1年投入为800万元．第2年投入为800×(1-51)万元，……，第n 年投入为 800×(1-51)n -1万元. 所以，n 年的总收入为1111114800800(1)800(1)800(1)4000[1()];35555n n k n n k a --==+⨯-++⨯-=⨯-=⨯-∑分第 1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为 400 ×(1+41)万元，……，第n 年旅游 业收人为400×(1+41)n -1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为 1111114400400(1)400(1)400(1)1600[()1];64445n n k n n k b --==+⨯+++⨯-=⨯+=⨯-∑分(11)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此2444401600[()1]4000[1()]05()2()70955554242(),5720,1()(),55555n n n n n n n n b a x x x x x n ->⨯--⨯->⨯+⨯->=-+><><≥即化简得分设代入上式解此不等式得舍去即由此得答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 …12分(22)本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．1212122211241():,[0,],()()(),()()()0,[0,1].22211111111111(1)(,)()()[()],()(,)()()[()],32222224444411(1)0(),().624x xI x x f x x f x f x f x f f x f f f f f f f f f f f a f a f a ∈+=+=⋅≥∈==⋅===⋅==>==解因为都有所以分分分是它的一个周期且上的周期函数是这表明得代换以将上式中的是偶函数知又由分即故对称关于直线依题意证明10.2,)(),2()(,,),2()(,),()()(8,),2()(),1()(,1)(:)( R x f Rx x f x f x x R x x f x f R x x f x f x f R x x f x f x x f x f x x f y II ∈+=-∈-=-∴∈=-∈-=-+===分因此分的一个周期是知由解140)ln 21(lim )(ln lim ,),21()212(12,2)(,)21(,)21(,)]21([)21()21()21()21)1(()21()21)1(21()21()21(].1,0[,0)()(:)(212121==∴==+∴=∴==⋅⋅⋅==⋅-⋅=⋅-+=⋅=∈≥∞→∞→a na a a nf n n f x f a nf a f nf n f n f n f n n f n f n n n f n n f f x x f I III n n n n n n n。