【高考数学试题】2001年春季高考.(北京、内蒙古、安徽卷).理科数学试题及答案

【高考数学试题】2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）
数 学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 三角函数的积化和差公式
)]sin()[sin(2
1
cos sin β-α+β+α=βα l c c S )'(2
1
+=
台侧 )]sin()[sin(2
1
sin cos β-α-β+α=
βα 其中'c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长
)]cos()[cos(2
1
cos cos β-α+β+α=
βα 球体的体积公式 33
4
R V π=球
)]cos()[cos(2
1
sin sin β-α-β+α-=βα 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）集合{
}5,4,3,2,1=M 的子集个数是
（A ）32
（B ）31 （C ）16 （D ）15
（2）函数)10()(≠>=a a a x f x
且对于任意的实数y x ,都有 （A ）)()()(y f x f xy f = （B ）)()()(y f x f xy f +=
（C ）)()()(y f x f y x f =+
（D ）)()()(y f x f y x f +=+
（3）=++∞→1
2
22
lim n n n
n n C C
（A ）0 （B ）2 （C ）
2
1 （D ）
4
1 （4）函数)1(1≤--=x x y 的反函数是 （A ）)01(12
≤≤--=x x y （B ）)10(12
≤≤-=x x y
（C ）)0(12≤-=x x y
（D ）)10(12
≤≤-=x x y
（5）极坐标系中，圆θ+θ=ρsin 3cos 4的圆心的坐标是
（A ）)5
3arcsin ,2
5(
（B ）)5
4arcsin ,5(
（C ）)5
3arcsin ,5(
（D ）
)5
4arcsin ,25( （6）设动点P 在直线1=x 上，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰
OPQ Rt ∆，则动点Q 的轨迹是
（A ）圆
（B ）两条平行直线
（C ）抛物线
（D ）双曲线
（7）已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于
（A ）
3
4 （B ）8 （C ）18 （D ）
2
1 （8）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点)cos sin ,sin (cos A B A B P --在
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 （A ）︒30 （B ）︒45 （C ）︒60 （D ）︒90 （10）若实数b a ,满足2=+b a ，则b
a
33+的最小值是
（A ）18
（B ）6
（C ）32
（D ）432
（11）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中， ①ED BM 与平行
②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成︒60角 ④DM 与BN 垂直
以上四个命题中，正确命题的序号是 （A ）①②③ （B ）②④
（C ）③④ （D ）②③④
（12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S （万件）近似地满足
)12,,2,1)(521(90
2 =--=
n n n n
S n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （A ）5月、6月 （B ）6月、7月 （C ）7月、8月
（D ）8月、9月
绝密★启用前
2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）
数 学（理工农医类） 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项： 1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
（13（14）椭圆442
2
=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．
（15）已知α=γ+β+α(1sin sin sin 222、β、γ均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________．
（16）已知m 、n 是直线， α、β、γ是平面，给出下列命题：
①
若m n m ⊥=⋂⊥,,βαβα，则βα⊥⊥n n 或； ②若α∥β，n m =γ⋂β=γ⋂α,，则m ∥n ；
③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若m =⋂βα，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥n 且α∥β．
其中正确的命题的序号是_______________（注：把你认为正确的命题的序号都．填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 设函数)0()(>>+=b a b
x x x f ，求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性．
已知)1(17
≠∈=z C z z 且．
（Ⅰ）证明016
5
4
3
2
=++++++z z z z z z ；
（Ⅱ）设z 的辐角为α，求ααα4cos 2cos cos ++的值．
已知VC 是ABC 上的射影，且在ABC
∆的高CD 上．AB VC a AB 与,=之间的距离为VC M h ∈点,．
（Ⅰ）证明∠MDC 是二面角M –AB –C 的平面角； （Ⅱ）当∠MDC =∠CVN 时，证明VC AMB 平面⊥；
（Ⅲ）若∠MDC =∠CVN =2
0( π<θ<θ，求四面体MABC 的体积．
n 3211与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这2+n 个数成等差数列．记n n n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,
．
（Ⅰ）求数列{}n A 和{}n B 的通项；
（Ⅱ）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．。