正交变换

第九章 欧几里得空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─ 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
(
)
{
i= j i≠ j
（2）若线性变换 σ 使V的标准正交基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 变 ） 的标准正交基
成标准正交基 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ，则 σ 为V的正 的正 交变换． 交变换． 证：任取 α , β ∈ V ,设
α = x1ε 1 + x2ε 2 + L xnε n β = y1ε 1 + y2ε 2 + L ynε n ,
∴ σ 是正交变换． 是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明（ ） 再证明（2）与（3）等价． ）等价．
( 2) ⇒ ( 3)
Q σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ),
∴ d ( σ (α ),σ ( β ) ) = σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ) = α − β = d (α , β )
即，(σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A 由于当A是正交矩阵时， 也是V的 由于当 是正交矩阵时，σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n 也是 的 是正交矩阵时 标准正交基， 标准正交基， 为正交变换． 再由 1 即得 σ 为正交变换．
§9.4 正交变换
1、定义 、
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 欧氏空间 的线性变换 σ 如果保持向量的内积不变， 即 ， (σ (α ),σ ( β ) ) = (α , β ), ∀α , β ∈ V 正交变换（ 则称 σ 为正交变换（orthogonal transformation）. ）
注意
欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变 的正交变换的推广. 的正交变换的推广
∀α ∈V ;
d ( σ (α ),σ ( β ) ) = d ( α , β ) ,
§9.4 正交变换
∀α , β ∈ V
证：首先证明（1）与（2）等价． 首先证明（ ） ）等价．
(1) ⇒ ( 2 )
是正交变换， 若 σ 是正交变换，则
(σ (α ),σ (α ) ) = (α ,α ),
即， σ (α ) = α
证： " ⇒ " 的标准正交基， 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 为V的标准正交基，且 的标准正交基
σ ( ε 1 , ε 2 ,L, ε n ) = (σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A
§9.4 正交变换
是正交变换时， 也是V 当 σ 是正交变换时，由1知，σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n 也是 的标准正交基， 的标准正交基， 而由标准正交基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 到标准正交基
2 2
∀α ∈ V
两边开方得， 两边开方得， σ (α ) = α , ∀α ∈ V ,
§9.4 正交变换
( 2 ) ⇒ (1 )
保持向量长度不变， 若 σ 保持向量长度不变，则对 ∀α , β ∈ V 有， (σ (α ),σ (α ) ) = (α ,α ),
① ② ③
(σ ( β ),σ ( β ) ) = ( β , β ), (σ (α + β ),σ (α + β ) ) = (α + β ,α + β ),
§9.4 正交变换
2、欧氏空间中的正交变换的刻划 、
（定理4）设 σ 是欧氏空间 的一个线性变换 定理4 是欧氏空间V的一个线性变换 的一个线性变换. 下述命题是等价的： 下述命题是等价的： （1） σ 是正交变换； ） 是正交变换； （2） σ 保持向量长度不变，即 σ (α ) = α , ） 保持向量长度不变， （3） σ 保持向量间的距离不变，即 ） 保持向量间的距离不变，
σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n 的过渡矩阵是正交矩阵 的过渡矩阵是正交矩阵.
所以， 是正交矩阵 是正交矩阵． 所以，A是正交矩阵．
§9.4 正交变换
"⇐"
的标准正交基， 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 为V的标准正交基，且 的标准正交基
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A
为标准正交基， 由 ε 1 , ε 2 ,L, ε n 为标准正交基，有 (α , β ) = ∑ xi yi
i =1 n
§9.4 正交变换
又 σ (α ) = ∑ xiσ (ε i ),
i =1 =1
n
为标准正交基， 由于 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 为标准正交基，得
§9.4 正交变换
二、n 维欧氏空间中的正交变换
1、n 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 、
不变的线性变换． 不变的线性变换． 维欧氏空间V的正交变换 的正交变换， （1）若 σ 是 n 维欧氏空间 的正交变换， ε 1 , ε 2 ,L , ε n ） 是V的标准正交基，则 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 也是 的标准正交基， 也是V 的标准正交基 的标准正交基. 的标准正交基 证：由正交变换的定义及标准正交基的性质 即有， 即有， σ (ε i ),σ (ε j ) = (ε i , ε j ) = 1 0
3、欧氏空间 的正交变换是 到自身的同构映射． 、欧氏空间V的正交变换是 到自身的同构映射． 的正交变换是V到自身的同构映射
因而有， 因而有， （1）正交变换的逆变换是正交变换； ）正交变换的逆变换是正交变换； （由同构的对称性可得之） 由同构的对称性可得之） （2）正交变换的乘积还是正交变换． ）正交变换的乘积还是正交变换． （由同构的传递性可得之） 由同构的传递性可得之）
(σ (α ),σ ( β ) ) = ∑ xi yi
i =1
n
∴
(σ (α ),σ ( β ) ) = (α , β )
是正交变换． 故 σ 是正交变换．
§9.4 正交变换
2、n 维欧氏空间 中的线性变换 σ 是正交变换 、 维欧氏空间V中的线性变换
σ 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵． 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．
故 （3）成立 ）成立.
§9.4 正交变换
( 3) ⇒ ( 2)
若 d ( σ (α ),σ ( β ) ) = d (α , β ) , ∀α , β ∈ V 则有， 则有，d ( σ (α ),σ (0) ) = d (α ,0 ) , ∀α ∈ V 即， σ (α ) = α , ∀α ∈ V . 故 （2）成立 ）成立.
§9.4 正交变换
例1 在欧氏空间中任取一组标准正交基 ε 1 , ε 2 ,L, ε n ,
定义线性变换 σ 为：
σε 1 = −ε 1 σε i = ε i ,
i = 2,3,L n.
为第二类的正交变换，也称之为镜面反射 镜面反射． 则 σ 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
§9.4 正交变换
把③展开得， 展开得，
(σ (α ),σ (α ) ) + 2 (σ (α ),σ ( β ) ) + (σ ( β ),σ ( β ) )
= (α ,α ) + 2(α , β ) + ( β , β )
再由①②即得， 再由①②即得， ①②即得
(σ (α ),σ ( β ) ) = (α , β )
§9.4 正交变换
4、 n 维欧氏空间中正交变换的分类： 、 维欧氏空间中正交变换的分类： 维欧氏空间V中的线性变换 设 n 维欧氏空间 中的线性变换 σ 在标准正交基
ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵是正交矩阵 ，则 A = ±1. 下的矩阵是正交矩阵A，
（1）如果 A = 1, 则称 σ 为第一类的 ） （旋转rotation）; 旋转 ） 第二类的． （2）如果 A = −1, 则称 σ 为第二类的． ）