数值分析中的(插值法)

三、多项式插值问题中需要研究的问题
满足插值条件的多项式 Pn 是x否存在？唯一？
若满足条件的 Pn 存x在，又如何构造？ 用 Pn 近x似代替 f的 x误 差估计？
数值分析 第二章 插值法
李庆扬 王能超 易大义编
Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS
已知 y=f(x) 在点xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一简
单函数P(x)，满足 P(xi)=yi (i=0,1, ..., n) ( 2.1－1 )
即简单函数P(x)的曲线要经过 y f (x) 上已知
的n+1个点 x0 , y0 , x1, y1 ,L , xn, yn ,
示；曲线曲面拟合；导出其它数值方法的依据（导出
数值积分、数值微分、微分方程数值解）等。
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第二章 插 值 法
§1 引 言
§6 Hermite插值
§2 Lagrange插值
§7 分段低次插值
§3 逐次线性插值法(自学) §8 三次样条插值
§4 均差与Newton插值公式 §9 评 述
§5 差分与等距节点插值公式
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第一节 引 言
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一、一个实例
例：设在实际问题中，某些变量之间的函数 关系是存在的，但通常不能用式子表示，只能
由实验、观测得到 y f x 在一系列离散点
上的函数值，即已知函数表
x x0 y y0
x1 L y1 L
xn
yn
xi xj , i j
那么如何计算 f x x xi ,i 0,1,L ,n？
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一、拉格朗日插值多项式
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1.两个互异节点(x0,y0),(x1,y1)
L1 ( x)

y

x x1 x0 x1
y0

x x0 x1 x0
y1

l0 (x) y0 l1(x) y1
其中
l0 ( x)

x x1 x0 x1
,
l1( x)

来自百度文库
x x0 x1 x0
.
且满足：
l0
(
xi
)

1 0
i0 i 1
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l1(
xi
)

0 1
其中：
x2 ) , 0 x2 ) x x1 ) . x2 x1 )
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Y
●
f (x)
● ●
p(x)
●
●
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y0
y1 y2
y n 1
yn
x0 x1 x2
·x
xn1 xn
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第二节 拉格朗日插值
❖ 拉格朗日插值多项式 ❖ 截断误差 ❖ 数值实例 ❖ 拉格朗日插值多项式的优缺点
若p(x)是次数不超过n的代数多项式,即
pn (x) a0 a1x a2 x2 ... an xn
（2.1－2）
则称p(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式
插值。若p(x)为分段多项式，就是分段插值。若p(x)
为三角多项式，就是三角插值,还有有理插值等。本
章主要讨论多项式插值与分段插值。 注：插值法还有其他许多用途，如函数的近似表
i0 i 1
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2.三个节点(x0,y0),(x1,y1)，(x3,y3)
令 L2 (x) l0 (x) y0 l1(x) y1 l2 (x) y2
X
同时在其它点 x a上,b估 计误差为
R( x) f ( x) P( x)
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下面先研究第一个问题
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定理1 设节点xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值 条件Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一。
定理1不仅解决了问题1，其证明过程也给出了 问题2——求插值多项式的一种方法。但一般不用 这种方法，因为范得蒙矩阵一般是病态的。即使求 解过程是精确的，多项式求值的误差也是 可观的。
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二、插值问题的一般性提法
设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0, 1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,称为节点。