高中数学-直线与平面的夹角、二面角及其度量测试题
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高中数学-直线与平面的夹角、二面角及其度量测试题
自我小测
1．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )
A.
π6 B.π3 C.π2 D.5π6
2．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE ，CE 折起，使AE 与BE 重合，A ，B 两点重合后记为点P ，那么二面角P CD E 的大小为( )
A ．30° B．45° C．60° D ．90°
3．在三棱锥P ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1
2PA ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底
面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )
A.
216 B.833
C.
21060 D.210
30
4．AB ⊥平面α于B ，BC 为AC 在α内的射影，CD 在α内，若∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，则AC 和平面α所成的角为( )
A ．90°
B ．60° C．45° D．30°
5．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )
A ．150° B．45° C．60° D．120°
6．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为__________．
7．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC 沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B ，C ′间距离为a
2
，则二面角B AD C ′的大小为__________．
8．等腰直角△ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为__________．
9．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2
，求SC 与平面ABCD 所成的角．
10．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，
PD ⊥底面ABCD .
(1)证明：PA ⊥BD ；
(2)设PD ＝AD ，求二面角A PB C 的余弦值．
11．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长等于2，E ，F 分别是B ′D ′，AC 的中点．求：
(1)直线AB ′和平面ACD ′所成角的正弦值； (2)二面角B ′CD ′A 的余弦值．
参考答案
1．解析：以D 为原点建立空间直角坐标系，如图，可得平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)，
而BA 1→
＝(0，－1,1)，
∴cos 〈BA 1→
，n 〉＝1＋223＝32
，
∴〈BA 1→
，n 〉＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角． 答案：B 2．答案：A
3．解析：以O 为原点，射线OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
设AB ＝a ，则OP ＝
72a ，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－24
a ，0，144a ，可求得平面PBC 的法向量为n ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，1，17， ∴cos 〈OD →
，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030，
设OD →
与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝210
30
，故选D. 答案：D
4．解析：设AC 和平面α所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 45°，故cos θ
＝
2
2
，所以θ＝45°.
答案：C
5．解析：由条件知，CA
→
·AB
→
＝0，AB
→
·BD
→
＝0，
CD→＝CA→＋AB→＋BD→.
∴|CD
→
|2＝|CA
→
|2＋|AB
→
|2＋|BD
→
|2＋2CA
→
·AB
→
＋2AB
→
·BD
→
＋2CA
→
·BD
→
＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA
→
，BD
→
〉
＝(217)2，
∴cos〈CA
→
，BD
→
〉＝－
1
2
，
即〈CA
→
，BD
→
〉＝120°，
∴二面角的大小为60°，故选C.
答案：C
6．答案：60°
7．答案：60°
8．答案：45°
9．解：AS
→
是平面ABCD的法向量，
设CS
→
与AS
→
的夹角为φ.
∵CS
→
＝CB
→
＋BA
→
＋AS
→
，
∴AS
→
·CS
→
＝AS
→
·(CB
→
＋BA
→
＋AS
→
)＝AS
→
·AS
→
＝1.
|AS
→
|＝1，|CS
→
|＝CB
→
＋BA
→
＋AS
→2
＝|CB
→
|2＋|BA
→
|2＋|AS
→
|2＝3，∴cos φ＝
AS
→
·CS
→
|AS
→
|·|CS
→
|
＝
3
3
.
∴φ＝arccos
3
3
.
从而CS与平面ABCD所成的角为
π
2
－arccos
3
3
.
10．(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD. 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.