高中数学《空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 》课件
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高一数学 2.1.32.1.4 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系2课件 新人教A版
• D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那
么α∥β
• 【分析】 解答本题要牢牢抓住平面平行 的概念，即分析两平面是否可能有公共点， 借助于图形更可事半功倍．
• 【解析】 根据两平面相交和平行的定义，
结合图形判断如下图所示．A、B都不能保
证α、β无公共点，如图1；C中当a∥α， a∥β且α与β相交时，a与α、β也成等角，但
• 【答案】 A
• 【规律方法】 判断线线、线面、面面的 位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义， 要有画图的意识，结合空间想象能力全方 位、多角度地去考虑问题，作出判断．
• 变式3 给出下列几个命题：
• ①过一点有且只有一条直线与已知直线平 行；
• ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直；
• ③过平面外一点有且只有一条直线与该平 面平行；
• 解析：若α与β相交，如图，可在α内找到A、 B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除 ②.容易证明①③都是正确的．
答案：①③
• 要点二 平面与平面的位置关系
• 空间中的两个平面有且只有两种位置关系： 两平面平行和两平面相交．
• 1．画两个平行平面时，要注意把表示平面 的平等四边形画成对应边平行，如图．
• A．0
B．1
• C．2
D．3
• 【分析】 本题主要考查直线与平面的位
置关系，解答本题要牢牢地抓住直线和平
面三种位置关系的特征，结合相关图形，
依据位置关系的定义作出判断．
• 【解析】①正确，②错误．如图1所示
l1∥m，l1∥β， 而l2∥m，l2⊂β.
• ③正确．如图2所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，
(2)按直线是否在平面内分类： 直 线直线在平面内——直线上所有点在平面内 和平面直线在平面外直 直线 线与 与平 平面 面相 平交 行
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
人教版高中数学必修2空间中直线与平面之间的位置关系课件
Rt△EFG中，求得∠EGF =45° (2)∵BFIIAE ∴∠FBG(或其补角)为所求， Rt△BFG中，求得∠FBG=600
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
高中数学人教A版必修2直线和平面、平面和平面的位置关系课件(共15张PPT)
A
已知:a , A, B, Ba
aB
α
求证:直线AB和 a 是异面直线
证明:(反证法)
库尔勒市·高一数学
X X X
线与面的位置关系
有且只有三种:
（1）直线在平面内-----有无数个公共点
a
a
a
α
a （2）直线在平面外：
①直线a和面α相交
：
a
a A
A
a
α
②直线a和面α平行 ： a
a //
而不应画成图2那样．
图1
图2
库尔勒市·高一数学
面与面的位置关系
探究一
已知平面, ，直线a, b，且∥， a， b，则直线a与直线b具有怎样
的位置关系？
库尔勒市·高一数学
面与面的位置关系
探究二 如果三个平面两两相交，那么：
（1）它们的交线有多少条？ 1条或3条 （2）它们把空间分成几个部分？
6或7或8个
A.0 B.1 C.2 D.3
库尔勒市·高一数学
线与面的位置关系
练习、若直线a不平行平面 且 a
则下列结论成立的是（ B ）
（A） 内所有直线与a异面 （B） 内不存在与a平行的直线 （C） 内存在唯一的直线与a平行 （D） 内的直线与a都相交
库尔勒市·高一数学
面与面的位置关系
第一、二层的底面α和β无论怎样延伸都没有公
2、若直线a在平面α外，则a ∥α； （ ） ×
3、若直线a∥b，直线bα，则a∥α； （ ） ×
4、若直线a∥b，bα，那么直线a就平行于平面α内
的无数条直线；
（）
√
库尔勒市·高一数学
课堂小测：
A 5、平面α//平面β，且a⊂α，下列结论中错误的是（ ）
高中数学 2.1.3-2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系课件 新人教
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9
按是否在平面内分类
直线在平面内 直线在平面外直直线线和和平平面面相平交行 2．两个平面位置关系的画法 (1)两个平行平面的画法． 画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成 对应边平行，如图a.
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10
(2)两个相交平面的画法． ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图b； ②再画出表示两个平面交线的线段，如图c；③过图c中线段的 端点分别引线段，使它们平行于图c中表示交线的线段，如图 d；④画出图b中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住 的线，可以画成虚线，也可以不画)，如图e.
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a
在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④
如果直线a∥b，b⊂平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数
条直线．
A．1
B．2
C．3
D．4
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16
【解析】 对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平 行，但l有可能在平面α内(若改为平面α外的直线l与α内无数条 直线都平行，则必有l∥α)，∴①是假命题．对于②，∵直线a 在平面α外，包括两种情况a∥α和a与α相交，∴a与α不一定平 行，∴②为假命题．对于③，∵a∥b，b⊂α，只能说明a与b无 公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α，∴③也 是假命题．对于④，∵a∥b，b⊂α.那么a⊂α，或a∥α.∴a可以 与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题．综上，真命题 的个数为1.
重复以上过程，另取P′点，会产生P′M′，故这样的直 线有无数条．故选D.
答案 D
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29
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5
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空间中直线与平面的位置关系 平面与平面之间的位置关系 课件
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路分析】 结合直线与平面的位置关系的定义求解．
【解析】 对于①，∵直线 l 虽与平面 α 内无数条直线平行， 但 l 有可能在平面 α 内，∴l 不一定平行于 α.故①是错误的．
对于②，∵直线 a 在平面 α 外包括两种情况：a∥α 和 a 与 α 相交，∴a 和 α 不一定平行．故②是错误的．
(3)若三个平面两两相交，则它们将空间分六、七或八个部分， 如图③，④，⑤.
探究 3 本题考查了空间想象能力，分类讨论思想，相交平 面的画法，真可谓一箭三雕！
解立体几何题时，比如直线与几个平面之间的位置关系，你 可以把手中的笔当成直线，把课桌或者课本当作平面，把教室当 作长方体，这样就将抽象的东西变得具体了．平时，动手做一些 立体模型，长方体、立方体、圆柱、圆锥、正四面体等几何体模 型，这些都是建立空间想象力的途径．
(2)已知平面 α，β，直线 a，b，且 a⊂α，b⊂β，α∩β＝ l，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？画出图形．
【思路分析】 (1)由 α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线 a，b 无公共点．
(2)直线与直线可能平行、相交或异面．
【解析】 (1)由题意得直线 a，b 无公共点，所以直线 a，直 线 b 可能平行或异面．如右图所示，在长方体模型中若直线 AC 就是直线 a，B1D1 就是直线 b，则直线 a 与直线 b 异面；若直线 BD 就是直线 a，B1D1 就是直线 b，则直线 a 与直线 b 平行．
1．直线 a 与平面 α 平行，直线 b⊂α，则 a 与 b 有怎样的位 置关系？
答：a 与 b 平行或异面，如下图所示．
2．如果平面 α 与平面 β 平行，直线 a⊂α，直线 b⊂β，那 么 a 与 b 的位置关系是什么？
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系-平面与平面之间的位置关系课件新人教A版
探究三 线面、面面交线问题
[典例 3] 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F 分别为 A1B1， B1C1 的中点．求证：平面 ACC1A1 与平面 BEF 相交． [证明] ∵在矩形 AA1B1B 中，E 为 A1B1 的中点， ∴AA1 与 BE 不平行，则 AA1，BE 的延长线相交于一点，设此点为 G， ∴G∈AA1，G∈BE. 又 AA1⊂平面 ACC1A1，BE⊂平面 BEF， ∴G∈平面 ACC1A1，G∈平面 BEF， ∴平面 ACC1A1 与平面 BEF 相交．
解析：直线 a∥平面 α，则 a 与 α 无公共点，与 α 内的直线当然均无公
共点． 答案：D
2．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这
两个平面( )
A．平行
B．相交
C．垂直相交
D．平行或相交
答案：D
3.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中判断下列位置关系： (1)AD1 所在直线与平面 BCC1 的位置关系是________； (2)平面 A1BC1 与平面 ABCD 的位置关系是________． 解析：(1)AD1所在的直线与平面 BCC1 没有公共点，所以平行；(2)平面 A1BC1 与平面 ABCD 有公共点 B，故相交． 答案：(1)平行 (2)相交
[答案] C
两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公 共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理 3 可知，这两个平 面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这 两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行 ——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线；若平面 α 与 β 平 行，记作 α∥β，若平面 α 与 β 相交，且交线为 l，记作 α∩β＝l.
高中数学 第1部分 2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系课件 新人教A版
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[导入新知] 直线与平面的位置关系
直线a在平面α外
位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α 直线a与平面α
相交
平行
公共点 _无__数__个__公共点 __一__个__公共点 __没__有__公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
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7
[化解疑难] 1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关 系． (1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行． (2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交． (3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公 共点，这时直线在平面内． 2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.
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18
[活学活用] 2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，
则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的 面共有________个． 解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相 对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个 面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个， 其余6个面与该侧面均为相交的关系． 答案：4 6
[答案] B
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13
[类题通法] 空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、 直线与平面相交、直线与平面平行． 在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考 虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图 形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形 中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
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11
直线与平面的位置关系
[例 1] 下列说法：
①若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；②若直线 a∥b，直线
2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系.pptx
学海无 涯
A．0 B．1 C．2 D．3 例 2 已知平面 ∥ ，直
线 a ，求证 a∥ . 证明：假设 a∥ ，则 a 在 内 或 a 与 相交. ∴a 与 有公共点. 又 a . ∴a 与 有公共点，与面 ∥面 矛盾. ∴ ∥ .
平行于 BD，所以命题②不正 确；A1B1∥AB，A1B1 所在直线 平行于平面 ABCD，但直线 AB 平面 ABCD，所以命题③不 正确；l与平面 平行，则 l 与 无公共点，l 与平面 内所有直 线都没有公共点，所以命题④ 正确，应选 B.
2. 已知 ， ，直线 a，b，且 ∥ ，a ，a ，则直 线 a 与直线b具有怎样的位置关 系？
答案：平行或异面 3. 如果三个平面两两个平面两两相交， 它们的交线有一条或三条. 4. 空间的三个平面的位置 关 系有几种情形？请画图表示
2 问题 2：如图所示， 围 成长方体
没有公共点，两个平面相交时， 二者有且仅有一条公共直线
ABCD
–
A′B′C′D′ 的 六
个面，两两之
间的位置关系有几种？ （2）平面与平面的位置关
系 平面与平面平行——没有
公共点. 平面与平面相交——有且
（师板书） 师：下面请同学们用图形
和符号把平面和平面的位置关 系表示出来……
学生先独立完成，然后讨 论、共同研究，得出答案.教师 利用投影仪给出示范.
师解：如图，我们借助长 方体模型，棱 AA1 所在直线有 无数点
在平面
ABCD 外，但棱 AA1所在 直线与平面 ABCD 相交，所以 命题①不正确；A1B1 所在直线 平行于平面 ABCD，A1B1显然不
例1 教师通过 示范传授 学生一个 通过模型 来研究问 题的方法， 同时加深 对概念的 理解. 例 2 目标训练 学生思维 的灵活，并
人教A版 必修二 第2章 2.1 2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
判断直线与平面的位置关系
例 1：两条相交直线 a、b 都在平面α内且都不在平面β内， ) 且平面α与β相交，则 a 和 b( A．一定与平面β都相交 B．至少一条与平面β相交 C．至多一条与平面β相交 D．可能与平面β都不相交 思维突破：设α∩β＝c，∵若 a、b 都不与β相交，则 a∥c， b∥c，∴a∥b，这与 a、b 相交矛盾，故 a、b 中至少一条与β相 交． 答案：B
高中数学人教版必修2课件
解：(1)(2)是真命题，(3)(4)是假命题．
(3)会出现三点在这个平面的两侧且符合条件的情况，所以
这两个平面还可能相交． (4)会出现两个相交平面同时与另外一个平面垂直的情况， 如正方体中共顶点的三个面． 要判断一个命题是假命题，只需举出一个 反例；而要想说明一个命题是真命题，则需理论上的证明．
高中数学人教版必修2课件
1－1.下列命题：①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线， 则 l∥α；②若直线 a 在平面α外，则 a∥α；③若直线 a∥b，直 线 b⊂α，则 a∥α；④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行 于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为( A．1 个 B．2 个 A )
作AB⊥平面α于点B，BC⊥a1 于点C，BD⊥b1 于点D，记∠AOB
＝θ1，∠BOC＝θ2，(θ2＝25°或65°)， 则有cosθ＝cosθ1· cosθ2， 因为0°≤θ≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ2.
高中数学人教版必修2课件
当θ2＝25°时，由θ≤cosθ≤cos25°，得 25°≤θ≤90°. 当θ2＝65°时，由θ≤cosθ≤cos65°，得 65°≤θ≤90°. 故当θ<25°时，直线 l 不存在；
高中数学人教版必修2课件
2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系(共39张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
位置 关系 直线在 平面内
公共点个 数 无数个
图形
符号表 示 α⊂α
人 教 A 版 数 学
直线与 平面相 交
直线与 平面平 行
பைடு நூலகம்
一个
a∩α＝A
无公共点
a∥α
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3.直线a在平面α外，是指直线a和平面α ． 平行 4．两平面平行的定义： 那么这两个平面平行
相交
或 人 教 A 版 数 学
对于(4)，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，
∴ a 可 以 与 平 面 α 内 的 无 数 条 直 线 平 行 ． ∴ (4) 是 真 命 题．综上，真命题的个数为1个．∴应选A.
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
下列命题中，a、b、l表示直线，α表示平面． ①若a∥α，b∥α，则a∥b；
②若a∥b，b∥α，则a∥α；
其中真命题的个数为
A． 1 C． 3 B． 2 D． 4
(
)
第二章 [ 解析]
点、直线、平面之间的位置关系 对于 (1)，∵直线 l虽与平面α内无数条直线平行，
但l有可能在平面α内， ∴l不一定平行于α.∴(1)是假命题． 人 教 与α相交，∴a和α不一定平行．∴(2)是假命题． A 对于 (3) ．∵直线 a∥b ， b⊂α，则只能说明 a 和 b 无公共点， 版 但a可能在平面α内， 数 学 ∴a不一定平行于α.∴(3)是假命题． 对于 (2) ，∵直线 a 在平面α外，包括两种情况： a∥α和 a
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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人教版高中数学 .4平面与平面之间的位置关系(共21张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
( 2 ) 设 平 面 l A B P ,求 P B '的 长 ;
分 析 ： 找 面 D M N 与 面 A B C D 的 交 线
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知识点一 空间中直线与平面的位置关系
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知识点二 两个平面的位置关系 1．位置关系：有且只有两种：
①两个平面平行—— □1 没有公共点 ； ②两个平面相交—— □2 有一条公共直线．
2．符号表示：两个平面 α，β 平行，记为 α∥β；两个平
直线与平面平行直线与平面没有公共点
1按点公的共个直线与平直有线唯与一平公面共相点交直线与平面
数分类面不平行直线在平面内直线与平面有
无数个公共点
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按是否直线在平面内 (2)在内平分面类直线在平面外直直线线与与平平面面相平交行 2．判断直线与平面及平面与平面的位置关系常用定义 法和反证法．
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1．(教材改编，P49，例 4)判一判(正确的打“√”，错 误的打“×”)
(1)若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α.( × ) (2)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( × ) (3)若 a∥b，b⊂α，则 a 平行于 α 内的无数条直线．( √ )
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拓展提升 直线与平面位置关系的判断方法
(1)空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面 内、直线与平面相交、直线与平面平行．
(2)在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要 考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图 形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中， 以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
□ 面 α，β 相交于直线 l，记为 3 α∩β＝l .
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3．图示：两个平面 α，β 平行，如图①所示；两个平面 α，β 相交于直线 l，如图②所示．
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1．空间中直线与平面的位置关系的两种分类方式
解析 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB⊂平 面 ABCD，C1D1⊂平面 A1B1C1D1，C1D1⊂平面 CDD1C1，AB ∥C1D1，但平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，平面 ABCD 与平 面 CDD1C1 相交．
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3．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝l C．l∥β，l⊄α
B．α∥β，l∈α D．α∥β，l⊂α
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解析 如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′在过 BB′的平面 ABB′A′内，故命题 ①不正确；AA′∥平面 BCC′B′，BC⊂平面 BCC′B′， 但 AA′ 不平行于 BC，故命题②不正确； AA′∥平面 BCC′B′，A′D′∥平面 BCC′B′，但 AA′与 A′D′ 相交，所以③不正确；④中，假设 b 与 α 相交，因为 a∥b， 所以 a 与 α 相交，这与 a∥α 矛盾，故 b∥α，即④正确；⑤ 显然正确，故答案为 C.
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探究 2 平面与平面的位置关系
例 2 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直
线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交 D．不确定
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拓展提升 平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面的位置关系有两种，平行和相交，相交 的判断主要是以公理 3 为依据找出一个交点，平面与平面平 行的主要特点是没有公共点．
(2)牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转 化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况， 要学会举反例否定．
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探究 1 直线与平面的位置关系 例 1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①如果 a，b 是两条平行直线，那么 a 平行于经过 b 的 任何一个平面； ②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与平面 α 内 的任何一条直线平行； ③如果直线 a，b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b⊄α，那 么 b∥α； ⑤如果平面 α 的同侧有两点 A，B 到平面 α 的距离相等， 则 AB∥α. A．0 B．1 C．2 D．3
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)过直线 l 外一点 P，有__无__数____个平面与 l 平行． (2)(教材改编，P49 练习)已知点 A∉α，则过点 A 与平面 α 有公共点的直线与平面 α 一定__相__交____． (3)过平面 α 外一点 P，有___一_____个平面与 α 平行．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
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【跟踪训练 1】 已知直线 a 在平面 α 外，则( ) A．a∥α B．直线 a 与平面 α 至少有一个公共点 C．a∩α＝A D．直线 a 与平面 α 至多有一个公共点
解析 因为已知直线 a 在平面 α 外，所以 a 与平面 α 的位置关系为平行或相交，因此断定 a∥α 或断定 a 与 α 相 交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线 a 与平面 α 至 多有一个公共点是正确的，故选 D.
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知识点二 两个平面的位置关系 1．位置关系：有且只有两种：
①两个平面平行—— □1 没有公共点 ； ②两个平面相交—— □2 有一条公共直线．
2．符号表示：两个平面 α，β 平行，记为 α∥β；两个平
直线与平面平行直线与平面没有公共点
1按点公的共个直线与平直有线唯与一平公面共相点交直线与平面
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按是否直线在平面内 (2)在内平分面类直线在平面外直直线线与与平平面面相平交行 2．判断直线与平面及平面与平面的位置关系常用定义 法和反证法．
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1．(教材改编，P49，例 4)判一判(正确的打“√”，错 误的打“×”)
(1)若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α.( × ) (2)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( × ) (3)若 a∥b，b⊂α，则 a 平行于 α 内的无数条直线．( √ )
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拓展提升 直线与平面位置关系的判断方法
(1)空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面 内、直线与平面相交、直线与平面平行．
(2)在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要 考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图 形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中， 以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
□ 面 α，β 相交于直线 l，记为 3 α∩β＝l .
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3．图示：两个平面 α，β 平行，如图①所示；两个平面 α，β 相交于直线 l，如图②所示．
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1．空间中直线与平面的位置关系的两种分类方式
解析 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB⊂平 面 ABCD，C1D1⊂平面 A1B1C1D1，C1D1⊂平面 CDD1C1，AB ∥C1D1，但平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，平面 ABCD 与平 面 CDD1C1 相交．
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3．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝l C．l∥β，l⊄α
B．α∥β，l∈α D．α∥β，l⊂α
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解析 如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′在过 BB′的平面 ABB′A′内，故命题 ①不正确；AA′∥平面 BCC′B′，BC⊂平面 BCC′B′， 但 AA′ 不平行于 BC，故命题②不正确； AA′∥平面 BCC′B′，A′D′∥平面 BCC′B′，但 AA′与 A′D′ 相交，所以③不正确；④中，假设 b 与 α 相交，因为 a∥b， 所以 a 与 α 相交，这与 a∥α 矛盾，故 b∥α，即④正确；⑤ 显然正确，故答案为 C.
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探究 2 平面与平面的位置关系
例 2 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直
线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交 D．不确定
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拓展提升 平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面的位置关系有两种，平行和相交，相交 的判断主要是以公理 3 为依据找出一个交点，平面与平面平 行的主要特点是没有公共点．
(2)牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转 化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况， 要学会举反例否定．
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探究 1 直线与平面的位置关系 例 1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①如果 a，b 是两条平行直线，那么 a 平行于经过 b 的 任何一个平面； ②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与平面 α 内 的任何一条直线平行； ③如果直线 a，b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b⊄α，那 么 b∥α； ⑤如果平面 α 的同侧有两点 A，B 到平面 α 的距离相等， 则 AB∥α. A．0 B．1 C．2 D．3
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)过直线 l 外一点 P，有__无__数____个平面与 l 平行． (2)(教材改编，P49 练习)已知点 A∉α，则过点 A 与平面 α 有公共点的直线与平面 α 一定__相__交____． (3)过平面 α 外一点 P，有___一_____个平面与 α 平行．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
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【跟踪训练 1】 已知直线 a 在平面 α 外，则( ) A．a∥α B．直线 a 与平面 α 至少有一个公共点 C．a∩α＝A D．直线 a 与平面 α 至多有一个公共点
解析 因为已知直线 a 在平面 α 外，所以 a 与平面 α 的位置关系为平行或相交，因此断定 a∥α 或断定 a 与 α 相 交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线 a 与平面 α 至 多有一个公共点是正确的，故选 D.