高中数学《空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 》课件
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数学 ·必修2
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
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知识点一 空间中直线与平面的位置关系
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知识点二 两个平面的位置关系 1．位置关系：有且只有两种：
①两个平面平行—— □1 没有公共点 ； ②两个平面相交—— □2 有一条公共直线．
2．符号表示：两个平面 α，β 平行，记为 α∥β；两个平
□ 面 α，β 相交于直线 l，记为 3 α∩β＝l .
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3．图示：两个平面 α，β 平行，如图①所示；两个平面 α，β 相交于直线 l，如图②所示．
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1．空间中直线与平面的位置关系的两种分类方式
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探究 1 直线与平面的位置关系 例 1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①如果 a，b 是两条平行直线，那么 a 平行于经过 b 的 任何一个平面； ②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与平面 α 内 的任何一条直线平行； ③如果直线 a，b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b⊄α，那 么 b∥α； ⑤如果平面 α 的同侧有两点 A，B 到平面 α 的距离相等， 则 AB∥α. A．0 B．1 C．2 D．3
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3．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝l C．l∥β，l⊄α
B．α∥β，l∈α D．α∥β，l⊂α
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直线与平面平行直线与平面没有公共点
1按点公的共个直线与平直有线唯与一平公面共相点交直线与平面
数分类面不平行直线在平面内直线与平面有
无数个公共点
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按是否直线在平面内 (2)在内平分面类直线在平面外直直线线与与平平面面相平交行 2．判断直线与平面及平面与平面的位置关系常用定义 法和反证法．
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1．(教材改编，P49，例 4)判一判(正确的打“√”，错 误的打“×”)
(1)若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α.( × ) (2)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( × ) (3)若 a∥b，b⊂α，则 a 平行于 α 内的无数条直线．( √ )
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解析 如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′在过 BB′的平面 ABB′A′内，故命题 ①不正确；AA′∥平面 BCC′B′，BC⊂平面 BCC′B′， 但 AA′ 不平行于 BC，故命题②不正确； AA′∥平面 BCC′B′，A′D′∥平面 BCC′B′，但 AA′与 A′D′ 相交，所以③不正确；④中，假设 b 与 α 相交，因为 a∥b， 所以 a 与 α 相交，这与 a∥α 矛盾，故 b∥α，即④正确；⑤ 显然正确，故答案为 C.
解析 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB⊂平 面 ABCD，C1D1⊂平面 A1B1C1D1，C1D1⊂平面 CDD1C1，AB ∥C1D1，但平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，平面 ABCD 与平 面 CDD1C1 相交．
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拓展提升 直线与平面位置关系的判断方法
(1)空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面 内、直线与平面相交、直线与平面平行．
(2)在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要 考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图 形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中， 以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
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探究 2 平面与平面的位置关系
例 2 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直
线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交 D．不确定
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【跟踪训练 1】 已知直线 a 在平面 α 外，则( ) A．a∥α B．直线 a 与平面 α 至少有一个公共点 C．a∩α＝A D．直线 a 与平面 α 至多有一个公共点
解析 因为已知直线 a 在平面 α 外，所以 a 与平面 α 的位置关系为平行或相交，因此断定 a∥α 或断定 a 与 α 相 交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线 a 与平面 α 至 多有一个公共点是正确的，故选 D.
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拓展提升 平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面的位置关系有两种，平行和相交，相交 的判断主要是以公理 3 为依据找出一个交点，平面与平面平 行的主要特点是没有公共点．
(2)牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转 化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况， 要学会举反例否定．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)过直线 l 外一点 P，有__无__数____个平面与 l 平行． (2)(教材改编，P49 练习)已知点 A∉α，则过点 A 与平面 α 有公共点的直线与平面 α 一定__相__交____． (3)过平面 α 外一点 P，有___一_____个平面与 α 平行．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
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知识点二 两个平面的位置关系 1．位置关系：有且只有两种：
①两个平面平行—— □1 没有公共点 ； ②两个平面相交—— □2 有一条公共直线．
2．符号表示：两个平面 α，β 平行，记为 α∥β；两个平
□ 面 α，β 相交于直线 l，记为 3 α∩β＝l .
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3．图示：两个平面 α，β 平行，如图①所示；两个平面 α，β 相交于直线 l，如图②所示．
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探究 1 直线与平面的位置关系 例 1 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①如果 a，b 是两条平行直线，那么 a 平行于经过 b 的 任何一个平面； ②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与平面 α 内 的任何一条直线平行； ③如果直线 a，b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b⊄α，那 么 b∥α； ⑤如果平面 α 的同侧有两点 A，B 到平面 α 的距离相等， 则 AB∥α. A．0 B．1 C．2 D．3
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3．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝l C．l∥β，l⊄α
B．α∥β，l∈α D．α∥β，l⊂α
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1按点公的共个直线与平直有线唯与一平公面共相点交直线与平面
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(1)若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α.( × ) (2)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( × ) (3)若 a∥b，b⊂α，则 a 平行于 α 内的无数条直线．( √ )
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解析 如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′在过 BB′的平面 ABB′A′内，故命题 ①不正确；AA′∥平面 BCC′B′，BC⊂平面 BCC′B′， 但 AA′ 不平行于 BC，故命题②不正确； AA′∥平面 BCC′B′，A′D′∥平面 BCC′B′，但 AA′与 A′D′ 相交，所以③不正确；④中，假设 b 与 α 相交，因为 a∥b， 所以 a 与 α 相交，这与 a∥α 矛盾，故 b∥α，即④正确；⑤ 显然正确，故答案为 C.
解析 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB⊂平 面 ABCD，C1D1⊂平面 A1B1C1D1，C1D1⊂平面 CDD1C1，AB ∥C1D1，但平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，平面 ABCD 与平 面 CDD1C1 相交．
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(1)空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面 内、直线与平面相交、直线与平面平行．
(2)在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要 考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图 形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中， 以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
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探究 2 平面与平面的位置关系
例 2 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直
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A．平行
B．相交
C．平行或相交 D．不确定
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【跟踪训练 1】 已知直线 a 在平面 α 外，则( ) A．a∥α B．直线 a 与平面 α 至少有一个公共点 C．a∩α＝A D．直线 a 与平面 α 至多有一个公共点
解析 因为已知直线 a 在平面 α 外，所以 a 与平面 α 的位置关系为平行或相交，因此断定 a∥α 或断定 a 与 α 相 交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线 a 与平面 α 至 多有一个公共点是正确的，故选 D.
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拓展提升 平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面的位置关系有两种，平行和相交，相交 的判断主要是以公理 3 为依据找出一个交点，平面与平面平 行的主要特点是没有公共点．
(2)牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转 化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况， 要学会举反例否定．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)过直线 l 外一点 P，有__无__数____个平面与 l 平行． (2)(教材改编，P49 练习)已知点 A∉α，则过点 A 与平面 α 有公共点的直线与平面 α 一定__相__交____． (3)过平面 α 外一点 P，有___一_____个平面与 α 平行．