直线与平面的位置关系PPT教学课件

b

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直线与平面平行
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，
平行于经过另外两边的平面．
已知：空间四边形 ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.
求证： EF //平面 BC．D
证明：连结 BD．
AE EB AF FD
EF // BD

又EF 平面BCD
BD 平面BCD
a
平行或异面
α
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直线与平面平行
思考2
若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直
线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如
何？
无数条
互相平行
a
α
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直线与平面平行
思考3
教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如 何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
a
α
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直线与平面平行
直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平
思考3 一条直线与一平面垂直的特征是什么？
特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．
A C C
B B 26
直线与平面垂直
定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂 直，我们说直线 l 与平面 互相垂直.
记为l
垂足
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面

P
平面内任意一 条直线
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直线与平面垂直
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直线与平面垂直
A
A
C
D
B
D
C

B
当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直
线与桌面所在平面α垂直．
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直线与平面垂直
思考5 （1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面，你
同意他的说法吗？
（2）如图，由折痕 AD BC，翻折之后垂直关系不 变， AD CD ， AD BD ．由此你能得到什么结论？

EF // 平面BCD
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直线与平面平行
小结
直线与平面平行的判定定理可简述为
“线线平行，则线面平行”
思想方法 通过直线间的平行，推证直线与平面平 行，即将直线与平面的平行关系（空间问题） 转化为直线间的平行关系（平面问题）.
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直线与平面平行
思考1
如果直线a与平面α平行，那么直线a与平 面α内的直线有哪些位置关系？
（3）直线与平面平行
a
没有公共点
记为：a//

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直线与平面的位置关系
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
记为：a
a//
a
a=A
a
或
A


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直线与平面的位置关系
例1. 下列命题中正确的个数是 ( B )
1）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l// 2) 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意
观察 旗杆与地面的位置关系
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直线与平面垂直
大桥的桥柱与水面的位置关系 线面垂直
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直线与平面垂直
思考1 旗杆与地面中的直线的位置关系如何？
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思考2
将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊（想象 成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书 脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
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直线与平面垂直
面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
已知：a //，a ， b 求证：a // b ．
证明： ．b
b
a //

a b
又a


a
//
b
b

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直线与平面平行
问题解决
教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如 何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
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直线与平面平行
思考
如图，设直线b在平面α内，直线a在平面 α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.
a
a//b
α
b
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直线与平面平行
判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的
一条直线平行，那么这条直线和这个平面
平行．
用集合符号表示
若 a ，b ，且a // b ，则 a //
1
空间直线与直线之间的位置关系
按是否在同 一平面内分
相交直线 同在一个平面内
平行直线 不同在任何一个平面内：异面直线
按公共点个 数分
有一个公共点: 相交直线 无公共点 平行直线
异面直线
2
直线与平面的位置关系
思考
1）一支铅笔所在的直线 与一个作业本所在的平面， 可能有几种关系？
D' 2）如图，线段A’B所在直
线与长方体ABCD-A’B’C’D’的六 A'
个面所在平面有几种位置关
系？
D
A
C' B'
C B
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直线与平面的位置关系
直线和平面的位置关系有且只有三种
(1)直线在平面内
有无数个公共点
a
记为：a
4
直线与平面的位置关系
Байду номын сангаас
(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点
a
A
记为：a=A
5
直线与平面的位置关系
一条直线都平行 3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那
么另一条也与这个平面平行 4）若直线 l与平面平行，则 l与平面内的任意一
条直线都没有公共点.
(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
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直线与平面的位置关系 小结 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
（1）直线在平面内——有无数个公共点． （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点． （3）直线和平面平行——无公共点．
思考4 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，
那么这条直线是否与这个平面垂直？
l
α
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直线与平面垂直
探究
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
A
A
C
D
B
D

C
B
过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后 的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．
（1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．
灯管
地面
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直线与平面平行
例2 在图中所示的一块木料中，棱BC平行于平 面A’C’ ．
（1）要经过平面 AC 内的一点P 和棱BC将木料 据开，应怎样画线？
（2）所画的线和平面AC 是什么位置关系？
D′
A′
P
D
C′ B′
C
A
B
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直线与平面平行
例3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.
如图，已知直线a，b和平面α ，
a∥b，a∥α , a，b都在平面α外 .
求证：b∥α .
a
b
c α
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直线与平面平行
小结
直线与平面平行的性质定理可简述为
“线面平行，则线线平行”
思想方法
线面平行的性质定理不但提供了用线面平 行来证明线线平行的方法，也提供了作平行线 的一种方法.
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直线与平面垂直