两条直线的位置关系_课件

(2)若 AD 是直角梯形的直角腰， 则 AD⊥AB，AD⊥CD. ∵kAD＝y－x 3，kCD＝x－y 3， 由于 AD⊥AB，∴y－x 3·3＝－1.又 AB∥CD，∴x－y 3＝3.
解上述两式可得x＝158， y＝95.
此时 AD 与 BC 不平行．
综上可知，使四边形 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以 为(3,3)或(158，95)．
1l1∥l2⇔BA11CB22－ －BA22CB11≠ ＝00. 或A2C1－A1C2≠0， 2l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
这种方法避免了讨论
2．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系． (1)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； (3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)， N(10,40)．
解得m＝154. 答案：154
8．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若 △ABC为直角三角形，求m的值． 解：(1)若 A 为直角，则 AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 即m2－＋51·11＋ －15＝－1，得 m＝－7； (2)若 B 为直角，则 AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1， 即－12·m2－－11＝－1，得 m＝3；
(2)直线l的斜率k＝－34，设直线l2的斜率为k2， ∵l2⊥l1， ∴k·k2＝－1，即－34·k2＝－1， ∴k2＝43. 又直线l2过点A(1,2)， 则l2的点斜式方程为y－2＝43(x－1)， 即所求直线l2的方程为4x－3y＋2＝0.
法二：(1)∵直线l1∥l2， ∴设直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0. 又∵l2经过点A(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0， 解得m＝－11， 故所求的直线l1的方程为3x＋4y－11＝0. (2)∵直线l2⊥l，则设l2的方程为4x－3y＋n＝0. ∵直线l2过点A(1,2)， ∴4×1－3×2＋n＝0，解得n＝2. 故所求直线的方程为4x－3y＋2＝0.
[一点通] 已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法： (1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时， l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2. (2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则 它们平行； (3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则 它们垂直；
问题1：直线y＝x＋1与直线y＝x－1，它们的斜率分 别是多少？它们有什么位置关系？
提示：两条直线的斜率都为1，倾斜角都为45°，两 直线平行．
问题2：直线y＝－x与直线y＝x的斜率是什么？它们 有什 么位置关系．
提示：直线y＝－x的斜率为1，直线y＝x的斜率为1， 两直线垂直．
问题3：直线x＝3和直线y＝3.有什么关系？ 提示：直线x＝3垂直于x轴，直线y＝3垂直于y轴．
[精解详析] (1)将两直线方程各化为斜截 式：l1：y＝－35x＋65；l2：y＝－35x－130. 则k1＝－35，b1＝65，k2＝－35，b2＝－130. ∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.
(2)将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝12x＋73；l2：y＝－2x＋2. 则k1＝12，k2＝－2.∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2. (3)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的 截距不相等，则l1∥l2. (4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.
[一点通] (1)在遇到两条直线的平行或垂直问题时， 一定要注意直线的斜率不存在时的情形，如本例中的 CD作为直角腰时，其斜率不存在．
(2)由于Ax＋By＋C＝0中系数A，B确定了直线的斜 率，根据直线平行与垂直的判定条件，①与直线Ax＋ By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；② 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0， 然后用待定系数法求解．
1．下列说法正确的有
()
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线
的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不正确；②中 斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确． 答案：A
1.两直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. (1)判断l1∥l2，只需判断k1＝k2，且b1≠b2. (2)判断l1⊥l2，只需判断k1·k2＝－1. 2.当l1：x＝a1，l2：x＝a2时， l1∥l2⇔a1≠a2. 3.当l1：x＝a，l2：y＝b时，l1⊥l2.
[例1] 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1. [思路点拨] 利用两直线斜率和在坐标轴上截距的关系 来判断．
(3)若 C 为直角，则 AC⊥BC， ∴kAC·kBC＝－1， 即m－＋31·m2－－11＝－1，得 m＝±2. 综上可知，m＝－7，或 m＝3，或 m＝±2.
判断两直线的平行与垂直，需从斜率的角度进行分类 讨论.当直线方程是一般式方程时，也可以用以下方法判 断平行和垂直：坐标平面内任意两条直线l1：A1x＋B1y＋ C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 其中A 2 1＋B21≠0.
3．已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,-1)， C(4,3)，D(2,4)．试判断四边形ABCD的形状．
解：四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分 别为kAB＝－12，kBC＝2，kCD＝－12，kDA＝2. ∴kAB＝kCD，kBC＝kDA，kAB·kBC＝－1. ∴AB∥CD，BC∥AD，且AB⊥BC. 因此四边形ABCD为矩形.
综上可知，当m＝－3或m＝2时，直线l1与l2平行． (2)若l1⊥l2，则有2×m＋(m＋1)×3＝0，即5m＋3＝ 0，解得m＝－35.
[一点通] 在应用两条直线平行或垂直求直线方程中 的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直 接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不 能直观判断两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时 要分情况讨论，若用一般式的系数解题则无需讨论．
6．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平
行，则m＝________. 解析：由2x＋my＋1＝0，得y＝－m2 x－m1 ， ∵l1∥l2，∴3＝－m2 ，∴m＝－23. 答案：－23
7．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线 互
相垂直，则m的值是________． 解析：由已知得m2－－m3×(－4)＝－1，
解：(1)k1＝1，k2＝22－－11＝1，k1＝k2， ∴l1∥l2或l1与l2重合． (2)k1＝01－－10＝－1，k2＝2－0－－31＝－1，k1＝k2，数形 结合知，l1∥l2. (3)k1＝－10，k2＝230－－210＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2. (4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴； k2＝104－0－－4010＝0，则l2∥x轴．∴l1⊥l2.
5．已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试证明△ABC 为直角三角形． 证明：如图所示，AB边所在直线的斜率 kAB ＝－12， BC边所在直线的斜率kBC＝2. 由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠B＝90°. 所以△ABC是直角三角形.
[例3] 已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与l2：mx ＋3y－2＝0.
(1)若l1∥l2，求m的值； (2)若l1⊥l2，求m的值． [思路点拨] 利用两直线平行或垂直的条件建立关 于m的方程即可求解．
[精解详析] (1)法一：∵l1∥l2，∴AB11BC22－－AB22BC11＝≠00，. ∵A1＝2，B1＝m＋1，C1＝4，A2＝m，B2＝3，C2＝－2， ∴2m×＋3－1×mm－＋21－＝3×0，4≠0， 即mm2≠＋－m7－，6＝0， 解得mm＝≠－－37或，m＝2， ∴m＝－3 或 m＝2.
1．两直线平行 (1)如果两条不重合直线l1，l2的斜率存在并且分别 为k1，k2，那么l1∥l2⇔ k1＝k2； (2)如果不重合的直线l1，l2的斜率都不存在，那么 它们的倾斜角都是90°，它们的位置关系是平行 ．
2．两直线垂直 (1)如果两直线l1，l2的斜率存在，并且分别为k1， k2，那么，l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1； (2)如果直线l1，l2的斜率一个不存在，另一个是零， 那么 l1⊥l2 .
∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角 梯形的直角腰．
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(1)若 CD 是直角梯形的直角腰，则 BC⊥CD，AD⊥CD. ∵kBC＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有 x＝3. 又 kAD＝kBC，∴y－x 3＝0，即 y＝3. 此时 AB 与 CD 不平行．故所求点 D 的坐标为(3,3)．
4．已知直线l：3x＋4y＋1＝0和点A(1,2)，求： (1)过A点且与l平行的直线l1的方程； (2)过A点且与l垂直的直线l2的方程．
解：法一：(1)由已知直线l的斜率为k＝－34， 设直线l1斜率为k1， ∵l1∥l2， ∴k1＝k＝－34， 又∵l过点A(1,2)， ∴l1的点斜式方程为y－2＝－34(x－1)， 即3x＋4y－11＝0.
[例2] 已知A(0,3)，B(-1,0)，C(3,0)，求D点的坐标， 使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排 列)．
[思路点拨] 此题没有明确哪两条边垂直或平行， 因此，可根据所给点的坐标求斜率，来确定哪条边可能 是直角腰分类解决．
[精解详析] 设所求点D的坐标为 (x，y)，如图，由于kAB＝3，kBC＝0，
法二：当m≠－1时，直线l1的斜率k1＝－
2 m＋1
，在y
轴上的截距b1＝－
4 m＋1
；直线l2的斜率k2＝－
m 3
，在y轴上
的截距b2＝23.
∵l1∥l2，∴－m＋2 1＝－m3 且－m＋4 1≠23，解得m＝－3
或m＝2.
当m＝－1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2 ＝13，显然不平行．