高中数学-学生-空间直线与平面的位置关系

教学内容

知识精要

1．直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:a

α，

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a

A α=，

（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． 符号表示为: //a α．

2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m

l m l ααα⊄⇒．

3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒．

4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．

5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．

6．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行． 推理模式：：a β⊂，b β⊂，a

b P =，//a α，//b α//βα⇒．

7平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 推理模式：

,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒．

8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：//,,//a b a b αβγ

αγβ==⇒．

9面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．

推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒．

热身练习

1设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是 A α⊥β且m ⊥β B α∩β=n 且m ∥n C m ∥n 且n ∥α D α∥β且m β

2设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面给出下列四个命题，其中正确命题的序号是

①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

A ①②

B ②③

C ③④

D ①④

3一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是

A 异面

B 相交

使问题简化

巩固练习

1两条直线a 、b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是

A a ∥α

B a 与α相交

C a 与α不相交

D a α

2.a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是

A 过A 有且只有一个平面平行于a 、b

B 过A 至少有一个平面平行于a 、b

C 过A 有无数个平面平行于a 、b

D 过A 且平行a 、b 的平面可能不存在

自我测试

6设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS =8，BS =9，CD =34，①当S 在α、β之间时，SC =________，②当S 不在α、β之间时，SC =_________

7设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC =a ，AD =b ，DF =c ，则EG =_____________

8已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB ∥α，AB =26，AC 、BC 分别和平面

α成45°和30°角，则AB 到平面α的距离为______

9在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________

10已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是______（写出所有正确结论的编号）

11如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC

内有BE ⊥PC 于E ，且BE =3

6

a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD

12如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且

MB AM =NP

DN

，求证：直线MN ∥平面PBC

13在空间直角坐标系中，已知A（0，0，0）B（a,b,0), C(a,0,c), E(0,b,0) F(a,b,c), G(0,0,c),求证：平面ABC∥平面EFG