点、直线、平面之间的位置关系复习
点、直线、平面之间的位置关系(知识点汇总)大全
必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（此公理可以用来判断直线是否在平面内）。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面； （它们给出了确定一个平面的依据）。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（这条公共直线即为两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈ 且。
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
2．空间中直线与直线之间的位置关系（1）位置关系：两条直线⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（3）两条异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）（4）等角定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
3．空间中直线与平面之间的位置关系直线l 与平面α//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点4．空间中平面与平面之间的位置关系平面α与平面β//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线5．直线与平面平行的判定及其性质定理定理 定理内容 符号表示直线与平面 平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ 平面与平面平行的判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行βαααββ//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂P b a b a b a 直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==βγαγβα（1）线面平行的其它判定方法 ①定义：直线与平面无公共点；②若两个平面平行，则在其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； 符号语言：αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂； （2）面面平行的其它判定方法 ①定义：两个平面无公共点；②垂直于同一条直线的两个平面平行；符号语言：βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ； ③平行于同一个平面的两个平面平行；符号语言：βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫； ④如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行；符号语言：βαβα//,,////⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==⊂⊂B d b A c a d b c a dc b a ;6．直线与平面所成的角（1）直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。
高中数学总复习：空间点、直线、平面之间的位置关系
练后悟通
共面、共线、共点问题的证明方法
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空间两条直线的位置关系
考向1 空间两条直线位置关系的判断
【例1】 （1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝ a ，α∩γ＝ b ，β∩γ
＝ c ，且 a ∩ b ＝ O ，则下列结论正确的是（
）
A. 直线 b 与直线 c 可能是异面直线
1， F 四点共面.
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（2） CE ， D 1 F ， DA 三线共点；
证明：∵ EF ∥ CD 1， EF ＜ CD 1，
∴ CE 与 D 1 F 必相交，
设交点为 P ，如图所示.
则由 P ∈ CE ， CE ⊂平面 ABCD ，
得 P ∈平面 ABCD .
同理 P ∈平面 ADD 1 A 1.
D. 没有公共点
解析： 直线 m 与平面α平行，且直线 a ⊂α，则直线 m 和直线 a 的
位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故
选C.
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2. 如果直线 a ⊂平面α，直线 b ⊂平面β，且α∥β，则 a 与 b （
）
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2. 在三棱锥 A - BCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上分别取 E ， F ， G ， H
四点，如果 EF ∩ HG ＝ P ，则点 P （
）
A. 一定在直线 BD 上
B. 一定在直线 AC 上
C. 在直线 AC 或 BD 上
D. 不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上
）
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高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
第二章点、直线、平面之间的地点关系空间点、直线、平面之间的地点关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基天性质①公义 1：A lB llAB②公义 2：不共线的三点确立一个平面③公义 3：Pl 则 P lP二、点与面、直线地点关系1、 A1、点与平面有 2 种地点关系2、 B2、点与直线有1、 A l2 种地点关系l2、 B三、空间中直线与直线之间的地点关系1、异面直线2、直线与直线的地点关系订交共面平行异面3、公义 4 和定理公义 4：l1 Pl3l1 Pl 2l 2 Pl3定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4、求异面直线所成角的步骤：① 作：作平行线获得订交直线；② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；③ 结构三角形求出该角。
提示： 1、作平行线常有方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是000 ,90。
四、空间中直线与平面之间的地点关系地点关系直线 a在平面内直线 a与平面订交直线 a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a a IA a P图形表示五、空间中平面与平面之间的地点关系地点关系两个平面平行两个平面订交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示P I a图形表示直线、平面平行的判断及其性质一、线面平行1、判断：ba b Pb Pa（线线平行，则线面平行）2、性质：a Pa a Pbb（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判断：aba b P Pa Pb P（线面平行，则面面平行）2、性质 1：PI a a PbI b（面面平行，则线面平行）性质 2：Pm Pm（面面平行，则线面平行）说明（ 1）判断直线与平面平行的方法：① 利用定义：证明直线与平面无公共点。
② 利用判断定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。
③ 利用面面平行的性质：两个平面平行，则此中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（2）证明面面平行的常用方法①利用面面平行的定义：此法一般与反证法联合。
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点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明书中所涉及的定理和性质可分为以下三类：1、平行关系与平行关系互推；2、垂直关系与垂直关系互推；线面垂直判定定理线面垂直的定义两平面的法线垂直则两平面垂直面面垂直判定定理线面平行判定定理线面平行性质定理线面平行转化面面平行判定定理面面平行性质定理3、平行关系与垂直关系互推。
以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。
线线平行传递性：；b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫面面平行传递性：；γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫线面垂直、线面垂直线面平行：；⇒ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥线面垂直线线平行（线面垂直性质定理）：；⇒b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα线面垂直面面平行：；⇒βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a 线面垂直、面面平行线面垂直：；⇒βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //线线平行、线面垂直线面垂直：；⇒αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //线面垂直、线面平行面面垂直：。
⇒βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。
符号化语言一览表①线面平行；；；ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥②线线平行:；；；；////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫③面面平行:；；；,////,//a b a b O a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫④线线垂直:；b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα⑤线面垂直:；；,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭ ；；βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //⑥面面垂直：二面角900; ；；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //二、立体几何中的重要方法1、求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ求角）⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系．注：还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角．⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin ；③三线三角公式．θ12cos cos cos θθθ=注：还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角．⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；②垂面法：作面与二面角的棱垂直； ③投影法（三垂线定理）；④面积摄影法．注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角．2、求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ求距离）⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；或转化为线面距离、点面距离；⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；②等体积法；还可用向量法：．||n d =3、证明平行、垂直的理论途径：①证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点（定义）；（2）转化为两直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行．②证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点（定义）；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行．③证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定两平面无公共点（定义）；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直．④证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直．⑤证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（定义）；（2）转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直．⑥证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直．。
考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过
考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系空间线面位置关系的判断是高考的必考点，是为空间线面位置关系的证明打基础，必须熟练掌握.必须做到：理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.一、平面的基本性质及应用1．平面的基本性质面α，使a⊂2．等角定理(1)自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2)符号语言：如图(1)、(2)所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，,OA O A OB O B''''∥∥，则AOB AO B∠=∠'''或180AOB AO B∠+∠'''=︒.图(1) 图(2)二、空间两直线的位置关系1．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：(1)从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线(2)从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．异面直线所成的角 (1)异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是π(0,]2. (3)两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 (1)直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行(2)平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线.2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．常用结论(1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．考向一平面的基本性质及应用(1)证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.(2)证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.(3)证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.典例1(1)在下列命题中，不是公理的是A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(2)给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面； ③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】(1)A (2)B【解析】(1)选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.根据平面的基本性质知，选项B 为公理2，选项C 为公理1，选项D 为公理3. 所以选A.(2)①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确； ②中，若A 、B 、C 三点共线，则A 、B 、C 、D 、E 有可能不共面，故②错误； ③中，如图所示正方体的棱中，a 、b 共面，a 、c 共面，而b 、c 异面，故③错误； ④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误. 故选B.1．下列叙述错误的是( )A ．若p ∈α∩β，且α∩β=l ，则p ∈lB ．若直线a ∩b =A ，则直线a 与b 能确定一个平面C ．三点A ，B ，C 确定一个平面D ．若A ∈l ，B ∈l 且A ∈α，B ∈α则l α2．如图，已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 的中点.(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC BD ⊥.考向二 空间线面位置关系的判断两条直线位置关系判断的策略： (1)异面直线的判定方法：①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．②反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． (3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查.典例2 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为 A ．③④ B ．①② C ．①③ D ．②④【答案】A【解析】∵A 、M 、C 、C 1 四点不共面，∴直线AM 与CC 1 是异面直线，故①错误； 同理，直线AM 与BN 也是异面直线，故②错误． 同理，直线BN 与MB 1 是异面直线，故③正确； 同理，直线AM 与DD 1 是异面直线，故④正确. 故选A ．3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若,,αγβγ⊥⊥则//αβ C ．若//,//,m m αβ则//αβD ．若,,m n αα⊥⊥则//m n典例3 如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ,N 分别是A 1B 1,B 1C 1的中点.问:(1)AM 和CN 是否是异面直线?说明理由. (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线?说明理由.【解析】(1)AM 和CN 不是异面直线.理由如下： 如图,连接A 1C 1,AC ,MN ,∵M ,N 分别是A 1B 1,B 1C 1的中点,∴MN ∥A 1C 1. 又A 1A C 1C ,∴A 1ACC 1为平行四边形, ∴A 1C 1∥AC ,∴MN ∥AC ,∴A ,M ,N ,C 在同一个平面内,故AM 和CN 不是异面直线. (2)D 1B 和CC 1是异面直线,理由如下:假设D 1B 与CC 1在同一个平面CC 1D 1内,则B ∈平面CC 1D 1,C ∈平面CC 1D 1, ∴BC ⊂平面CC 1D 1,这与ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体相矛盾, ∴假设不成立,故D 1B 和CC 1是异面直线.4．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，,M N 分别是棱111,C D C C 的中点.给出以下四个结论：①直线AM 与直线1C C 相交； ②直线AM 与直线BN 平行； ③直线AM 与直线1DD 异面； ④直线BN 与直线1MB 异面. 其中正确结论的序号为______.(注：把你认为正确的结论序号都填上)考向三 异面直线所成的角求异面直线所成的角的常见策略： (1)求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.典例4 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A ．90B ．75C ．60D ．45在GHA △中，1223,2,2222GH EF AH AE FG AG ===-=-==， 则222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=， 故选A.【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线CD 和PB 所成的角转化为平面角AEF ∠，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E ，F 分别是棱AB ，1BB 的中点，则直线EF 和1BC 的夹角是________.1．下列命题中，正确的是( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面2．下列说法中正确的个数是( )①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行；②三个平面最多将空间分为8个部分；③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形；④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直.A．1 B．2C．3 D．43．“空间三个平面α，β，γ两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为( )A．B．D．3C．55．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，如果直线EF，GH交于点P，那么( )A．点P一定在直线AC上B．点P一定在直线BD上C．点P一定在平面ABC外D．点P一定在平面BCD内6．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是()A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 7．下列命题中，(1)若//OA ME ，//OB MF ，则AOB EMF ∠=∠；(2)空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ； (3)空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若αβ⊥，m αβ=，n A α=，n m ⊥，则n β⊥.其中正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个8．过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，则这样的直线l 的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．49．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则( ) A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为11A B 的中点，122AB BC BB ===，AC =直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD ⊥，且212,AB OD ==AD =CD 与AB 所成角为30，点,,,O B C D 都在同一个球面上，则该球的半径为( )A ．B ．C D12．已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____. 13．有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成(如图)，AB 与CD 所成的角的大小是_____________14．已知正方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，点P 在线段11A C 上，若直线1BB 与直线CP 所成角的正切值为5，则平面PBD 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.15．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，3BAD π∠=，,E M 分别是BC ，1BB 的中点.(1)证明：点D 在平面1A ME 内；(2)已知N 在1CC 上，若1BN A E ⊥，求线段CN 的长.16．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA 是四棱锥P ABCD -的高，且2PA =，E 是侧棱PA 上的中点.(1)求三棱锥P BCD -的体积； (2)求异面直线EB 与PC 所成的角；1．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线3．【2018新课标全国Ⅱ理科】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BC D 4．【2017新课标全国Ⅱ理科】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．2B ．5C D 5．【2016新课标全国Ⅰ理科】平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．2B ．2C D ．136．【2017新课标全国Ⅲ理科】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号) 7．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝8．【2016上海理科】将边长为1的正方形11AAO O (及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2π3，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.(1)求三棱锥111C O A B -的体积；(2)求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.1．【答案】C 【解析】 【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可． 【详解】选项A ，点P 在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确； 选项B ，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确； 选项C ，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D ，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内． 故选：C.2．【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)根据中位线定理证明//EH BD ，//FG BD ，得到//EH FG ，即可证明四点共面； (2)根据矩形关系有EH GH ⊥，结合中位线关系//EH BD ， //AC GH ，即可证明. 【详解】 (1)在ABD ∆中，,E H 分别是,AB AD 的中点，//EH BD ∴.同理//FG BD ，则//EH FG ，故,,,E F G H 四点共面.(2)由(1)知//EH BD ，同理//AC GH .又∵四边形EFGH 是矩形，EH GH ∴⊥.故AC BD ⊥ 【点睛】此题考查通过平行关系证明四点共面，利用等角定理通过两条直线的平行线垂直，证得已知两条直线垂直. 3．【答案】D 【解析】 【分析】A. 利用空间两直线的位置关系判断；B.利用空间两平面的位置关系判断；C.若利用空间两平面的位置关系判断；D.由线面垂直的性质定理判断.【详解】A. 若//,//,m n αα则,m n 平行，相交或异面，故错误；B.若,,αγβγ⊥⊥则,αβ平行或相交，故错误；C.若//,//,m m αβ则,αβ平行或相交，故错误；D.若,,m n αα⊥⊥由线面垂直的性质定理得//m n ，故正确； 故选：D. 4．【答案】③④ 【解析】 【分析】利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①③④的正误，②要证明两条直线平行，从图形上发现这两条直线也是异面直线，得到结论. 【详解】由于直线1C C 在平面11C CD D 上，而M ∈平面11C CD D ，A ∉平面11C CD D ， 直线AM 与直线1C C 异面，故①错；同理，直线AM 与直线BN 异面，故②错；直线AM 与直线1DD 异面，直线BN 与直线1MB 异面，故③④正确. 【点睛】本题考查了空间中两直线的位置关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题. 5．【答案】60° 【解析】 【分析】则可将三棱柱补形为正方体1111ABCD A B C D -，连接1111,,AB AD B D ，可得11B AD ∠即为直线EF 和1BC 的所成角，求出即可.【详解】1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，则可将三棱柱补形为正方体1111ABCD A B C D -，如图，连接1111,,AB AD B D ，可知在正方体中，1111AB A B C D ，∴四边形11ABC D 是平行四边形，11//BC AD ∴，1ABB 中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点，1//EF AB ∴，则11B AD ∠即为直线EF 和1BC 的所成角， 可知11AB D 是等比三角形，1160B AD ∴∠=.故答案为：60. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.1．【答案】B 【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B ．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．2．【答案】B【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行，或交于一点(如三棱锥的三个侧面)；故①错；②一块豆腐切三刀，最多可且8块；因此，三个平面最多可将空间分为8个部分；故②正确；③过正方体的一个顶点，作如图所示截面，即可得出截面为五边形，故③错；c a且c与b相交；过直线b，c作平面α；④记直线a，b为空间中两异面直线，则必存在直线c，使得//⊥，则l必分别垂直于直线a，b；由根据线面垂直的性质，过空间中任意一点，有且只有若直线lα一条直线与平面垂直，因此过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直，故④正确；故选：B【点睛】本题主要考查3．【答案】B【解析】【分析】先证明三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行，再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行． 证明如下：已知：设三个平面为α，β，γ，且c αβ=，b αγ=，a βγ=；求证：a 、b 、c 交于一点，或////a b c ． 证明：(1)如图①，若c 与b 交于一点，则设c b P =；由P c ∈，且c β⊂，得P β∈； 又由P b ∈，b γ⊂，得P γ∈； P a βγ∴∈=；∴直线a ，b ，c 交于一点(即P 点)．图①； 图②(2)如图②，若//c b ，则由b γ⊂，且c γ⊂/，//c γ∴； 又由c β⊂，且a βγ=，//c a ∴；////a b c ∴．“空间三个平面α，β，γ两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的必要非充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间的直线的位置关系，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．【答案】B 【解析】 【分析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥，EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF ，所以MC ⊥平面DEF ，又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥． 同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =，则DE ⊥平面1A MCN ， 所以平面1A MCN 即平面α，四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.5．【答案】A【解析】【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC 上．【详解】解：∵EF在面ABC内，而GH在面ADC内，且EF和GH能相交于点P，∴P在面ABC和面ADC的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选：A．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．【答案】C【解析】【分析】利用直线的位置关系判断：A,B,D错误，利用等角定理判断C正确，【详解】对A ,若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；错误 对B ,若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；错误 对C ,若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；正确； 对D ,若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 或异面或相交，错误 故选C 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力． 7．【答案】A 【解析】 【分析】(1)由等角定理可得AOB ∠与EMF ∠相等或互补； (2)由面面的位置关系可得//αβ或,αβ相交；(3)由线面的位置关系可得n β⊂或//n β或n 交β于一点. 【详解】(1)若//OA ME ，//OB MF ，由等角定理可得AOB ∠与EMF ∠相等或互补，故错误； (2)若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，由面面的位置关系得//αβ或,αβ相交，故错误； (3)若αβ⊥，m αβ=，n A α=，n m ⊥，则n β⊂或//n β或n 交β于一点，故错误；故选：A 【点睛】本题考查线面，面面的位置关系的判断，考查等角定理，考查分析推理能力，属于基础题. 8．【答案】C 【解析】 【分析】由11//B C A D 将问题转化为过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒，1条在平面11AC D 内，2条在平面11AC D 外. 【详解】因为11//B C A D ，所以A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，即过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒.因为1160A DC ∠=，11A DC ∠的外角平分线与11,DA DC 所成的角相等，均为60，所以在平面11AC D 内有一条满足要求.因为11A DC ∠的角平分线与11,DA DC 所成的角相等均为30，将角平分线绕点D 向上转动到与面11AC D 垂直的过程中，存在两条直线与直线11,DA DC 所成的角都等于60. 故符合条件的直线有3条. 故选：C 【点睛】本题考查直线与直线所成的角，属于基础题. 9．【答案】A 【解析】 【分析】作图，通过计算可知D 1E ≠AF ，取点M 为BC 的中点，则AMFD 1共面，显然点E 不在面AMFD 1内，由此直线D 1E ，AF 异面． 【详解】∵11D E AF D E ====≠，如图，取点M 为BC 的中点，则AD 1∥MF ， 故AMFD 1共面，点E 在面AMFD 1面外， 故直线D 1E ，AF 异面． 故选：A ．【点睛】本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题． 10．【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ，则11////AC A C DE , BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角，进而可得答案. 【详解】如图，取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ， 则11////AC A C DE ,所以BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角，由已知可得BD DE BE ===BDE 为正三角形，所以60BDE ∠=︒，所以异面直线BD 与AC 所成的角为60︒.故选：C【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 11．【答案】C 【解析】由条件可知AB OD ∥ ，所以，CDO ∠ 为异面直线CD 与AB 所成角，故30CDO ∠= ，而6OD =，故tan 3023OC OD =⋅=，在直角梯形ABOD 中，易得6OB = ，以,,OB OC OD 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径，由()(222226684R =++= ，故R =.本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．【答案】1【解析】 【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ．【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3，∴EO∥CD，且EO1CD12==，FO∥AB，且FO1AB2==1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴πEOF3∠=，或2πEOF3∠=，当∠EOFπ3=时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF3∠=时，EF==故答案为1【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题13．【答案】3π【解析】【分析】【详解】法一：如图因为AB ∥GH ，CD ∥FH ，所以GH 和FH 所成角即为AB 与CD 所成的角， 又因为△GHF 为等边三角形，故GH 和FH 所成角为3π，即AB 与CD 所成的角为3π． 法二：该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，如图 可得AB 与CD 所成的角即为ED 与CD 所成角， 设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得CD DE EC ===由余弦定理可得2221cos 22CD DE EC CDE CD DE +-∠==-⨯⨯，故23CDE π∠=， 因为异面直线所成的角是锐角或直角， 所以AB 与CD 所成的角为3π． 14．【答案】2【解析】 【分析】作出截面PBD MNDB ⇒，根据直线1BB 与直线CP 所成的角的正切值求得MN 的长，求得截面等腰梯形MNDB 的高，由此求得截面面积. 【详解】如图，过P 作MN BD ∥，则11MN AC ⊥.直线1BB 与直线CP 所成的角为1PCC ∠，1111tan 5PC PC PCC CC ∠===，1PC =MN =MNDB是等腰梯形，BD =BM =MNDB =积为222=.【点睛】本小题主要考查正方体截面面积的计算，考查根据线线角求边长，属于中档题. 15．【答案】(1)证明见解析；(2)1. 【解析】 【分析】(1)根据题意，直线证明1//ME A D 即可得点D 在平面1A ME 内.(2)连接DE ，通过证明BN ⊥平面1A DEM 得BN ME ⊥，进而得MEB BNC ∠=∠，即可证明Rt Rt BEM BNC ≅△△，所以1CN =.【详解】(1)连接1A D ，1B C .11//A B DC 且11A B DC =∴四边形11A B CD 是平行四边形，11//A D B C ∴又因为,E M 分别为BC ，1BB 中点，1//ME B C ∴1//ME A D ∴M ∴，E ，1A ，D 四点共面，。
点直线平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。
点线面的位置关系知识点
点线面的位置关系知识点在几何学中，点、线和面是三个基本的几何概念，它们之间存在着一系列的位置关系。
这些位置关系的理解对于解决几何问题以及应用几何知识有着重要的意义。
本文将介绍点线面的位置关系的几个重要知识点。
一、点与直线的位置关系1. 在直线上：当一个点恰好位于一条直线上时，我们可以说这个点在直线上。
例如，点A在直线AB上。
2. 在直线的两侧：如果一个点既不在直线上，也不在直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的两侧。
例如，点C在直线AB的两侧。
3. 在直线的延长线上：如果一个点不在直线上，但位于直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的延长线上。
例如，点D在直线AB的延长线上。
4. 平行于直线：如果一条直线与给定直线没有任何交点，我们可以说这条直线平行于给定直线。
例如，直线CD平行于直线AB。
二、点与平面的位置关系1. 在平面上：当一个点位于一个平面内部时，我们可以说这个点在平面上。
例如，点A在平面P上。
2. 不在平面上：如果一个点既不在平面上，也不在平面的延长线上，我们可以说这个点不在平面上。
例如，点B不在平面P上。
3. 在平面的延长线上：如果一个点不在平面上，但位于平面的延长线上，我们可以说这个点在平面的延长线上。
例如，点C在平面P的延长线上。
4. 垂直于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都垂直，我们可以说这条直线垂直于给定平面。
例如，直线EF垂直于平面P。
三、直线与平面的位置关系1. 相交于一点：当一条直线与平面有且仅有一个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一点。
例如，直线L与平面P相交于点A。
2. 平行于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都平行，我们可以说这条直线平行于给定平面。
例如，直线M平行于平面P。
3. 包含于平面：当一条直线上的所有点都位于给定平面上时，我们可以说这条直线被包含于给定平面中。
例如，直线N被包含于平面P 中。
4. 相交于一条线：当一条直线与平面有无穷多个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一条线。
点线面关系知识总结和练习题
//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a a bαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= //αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥ //αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b ② 判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P P A A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈④ l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
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4.平面与平面之间的位置关系：
（1）两个平面平行……没有公共点； （2）两个平面相交……有一条公共直线。
例题讲解 例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之 间的关系．
例3．下列图形中，满足 的图形是（ ）．
（A）
（B）
（C ）
（D）
例4．一条直线和两条异面直线的一条平行， 则它和另一条的位置关系是（ ）． （A）平行或异面 （B）异面 （C）相交 （D）相交或异面
A
例3
求证：AC⊥DE。
2.空间中直线与直线之间的位置关系：
如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′ 平行，AB与B′C′异面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
空间中如果两个角的两边分别对应平 行，那么这两个角相等或互补。
等角定理：
3.空间中直线与平面之间的位置关系：
（1）直线在平面内……有无数个公共点； （2）直线与平面相交……有且只有一个公 共点；
第二章 点、直线、平面之间的 位置关系复习
一 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面的基本性质：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线在此平面内。
公理2：过不在同一直线上的三点，有且 只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线。
b
已知4：如图，
求证：CD // EF.
= CD, = EF, = AB, AB // .
B
证明：AB//平面
A
AB β
∩β= CD AB//平面 AB ∩ = EF 于是，CD//EF。
AB//CD,
D
F
AB//EF
E
C
三
直线与平面垂直的判定及性质
P
4.平面和平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行．
// 即： = a a // b = b
例题讲练
例1.求证：空间四边形相邻两边中点的连线平 行于经过另外两边所在的平面． A 已知：空间四边形ABCD中，E，F F E 分别AB，AD的中点．
1.直线与平面垂直判定定理
l
b
A
a
a l b a b = A
la l b
2.直线与平面垂直的性质
垂直于同一个平面的两条直线平行
a
b
2.平面与平面垂直的判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面 垂直.
A
由此图你能想到什么?
平面PAC 平面PBC.
P C A
O
B
一些常用结论
1.三条两两相交的直线可确定1个或3个平面. 2.不共面的四点可确定4个平面.
3.三个平面两两相交,交线有1条或3条.
4.正方体各面所在平面将空间分成27个部分. 5.夹在两个平行平面之间的平行线段相等. 6.平行于同一个平面的两个平面平行. 7.垂直于同一条直线的两个平面平行.
8.共点的斜线段相等,则它们在同一平面的射影 P 相等.
9.如图,若PA=PB=PC,则O 是 △ABC的外心. 10.如图,若PA,PB,PC两两 垂直,则O 是△ABC的垂心. 11.如图,若点P到三边的距离 相等(即PD=PE=PF),则O是 △ABC的内心.
A O P
C B
C D O E
F B
..
求证：EF//平面BCD．
D
B
C
例题2：
正方体ABCD A1B1C1D1中， 证明平面C1BD // 平面AB1D1.
D1
C1 B1
A1
D
C
A
B
例题3： 已知
平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面， 求证：另一条也平行于这个平面
如图：已知直线a，b，平面， 且a // b，a//，a，b都在平面外。 a 求证：b//
例5．用符号表示“若A、B是平面a 内的两 点， C是直线AB上的点，则C必在 a 内”， 即是________________．
二
直线与平面平行的判定及性质
1.直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行，则该直线与此平面平行
a
b
a b a // a // b
2.直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的任 意平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平 行。
a
b
a // , a , = b
a // b
3、两个平面平行的判定
判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行．
b a b = P // a // b //个平面垂直的性质
定理：如果两个平面垂直，那么在一 个平面内垂直于它们交线的直线垂直 于另一个平面．
典型例题
例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直 线A1B和平面A1B1CD所成的角
D1 C1
A1
B1
O
D C
A
B
例2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：