点、直线、平面之间的位置关系复习
点、直线、平面之间的位置关系(知识点汇总)大全
必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（此公理可以用来判断直线是否在平面内）。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面； （它们给出了确定一个平面的依据）。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（这条公共直线即为两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈ 且。
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
2．空间中直线与直线之间的位置关系（1）位置关系：两条直线⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（3）两条异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）（4）等角定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
3．空间中直线与平面之间的位置关系直线l 与平面α//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点4．空间中平面与平面之间的位置关系平面α与平面β//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线5．直线与平面平行的判定及其性质定理定理 定理内容 符号表示直线与平面 平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ 平面与平面平行的判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行βαααββ//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂P b a b a b a 直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==βγαγβα（1）线面平行的其它判定方法 ①定义：直线与平面无公共点；②若两个平面平行，则在其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； 符号语言：αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂； （2）面面平行的其它判定方法 ①定义：两个平面无公共点；②垂直于同一条直线的两个平面平行；符号语言：βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ； ③平行于同一个平面的两个平面平行；符号语言：βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫； ④如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行；符号语言：βαβα//,,////⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==⊂⊂B d b A c a d b c a dc b a ;6．直线与平面所成的角（1）直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。
高中数学总复习：空间点、直线、平面之间的位置关系
练后悟通
共面、共线、共点问题的证明方法
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空间两条直线的位置关系
考向1 空间两条直线位置关系的判断
【例1】 （1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝ a ，α∩γ＝ b ，β∩γ
＝ c ，且 a ∩ b ＝ O ，则下列结论正确的是（
）
A. 直线 b 与直线 c 可能是异面直线
1， F 四点共面.
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（2） CE ， D 1 F ， DA 三线共点；
证明：∵ EF ∥ CD 1， EF ＜ CD 1，
∴ CE 与 D 1 F 必相交，
设交点为 P ，如图所示.
则由 P ∈ CE ， CE ⊂平面 ABCD ，
得 P ∈平面 ABCD .
同理 P ∈平面 ADD 1 A 1.
D. 没有公共点
解析： 直线 m 与平面α平行，且直线 a ⊂α，则直线 m 和直线 a 的
位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故
选C.
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2. 如果直线 a ⊂平面α，直线 b ⊂平面β，且α∥β，则 a 与 b （
）
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2. 在三棱锥 A - BCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上分别取 E ， F ， G ， H
四点，如果 EF ∩ HG ＝ P ，则点 P （
）
A. 一定在直线 BD 上
B. 一定在直线 AC 上
C. 在直线 AC 或 BD 上
D. 不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上
）
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高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
第二章点、直线、平面之间的地点关系空间点、直线、平面之间的地点关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基天性质①公义 1：A lB llAB②公义 2：不共线的三点确立一个平面③公义 3：Pl 则 P lP二、点与面、直线地点关系1、 A1、点与平面有 2 种地点关系2、 B2、点与直线有1、 A l2 种地点关系l2、 B三、空间中直线与直线之间的地点关系1、异面直线2、直线与直线的地点关系订交共面平行异面3、公义 4 和定理公义 4：l1 Pl3l1 Pl 2l 2 Pl3定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4、求异面直线所成角的步骤：① 作：作平行线获得订交直线；② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；③ 结构三角形求出该角。
提示： 1、作平行线常有方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是000 ,90。
四、空间中直线与平面之间的地点关系地点关系直线 a在平面内直线 a与平面订交直线 a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a a IA a P图形表示五、空间中平面与平面之间的地点关系地点关系两个平面平行两个平面订交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示P I a图形表示直线、平面平行的判断及其性质一、线面平行1、判断：ba b Pb Pa（线线平行，则线面平行）2、性质：a Pa a Pbb（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判断：aba b P Pa Pb P（线面平行，则面面平行）2、性质 1：PI a a PbI b（面面平行，则线面平行）性质 2：Pm Pm（面面平行，则线面平行）说明（ 1）判断直线与平面平行的方法：① 利用定义：证明直线与平面无公共点。
② 利用判断定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。
③ 利用面面平行的性质：两个平面平行，则此中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（2）证明面面平行的常用方法①利用面面平行的定义：此法一般与反证法联合。
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点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明书中所涉及的定理和性质可分为以下三类：1、平行关系与平行关系互推；2、垂直关系与垂直关系互推；线面垂直判定定理线面垂直的定义两平面的法线垂直则两平面垂直面面垂直判定定理线面平行判定定理线面平行性质定理线面平行转化面面平行判定定理面面平行性质定理3、平行关系与垂直关系互推。
以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。
线线平行传递性：；b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫面面平行传递性：；γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫线面垂直、线面垂直线面平行：；⇒ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥线面垂直线线平行（线面垂直性质定理）：；⇒b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα线面垂直面面平行：；⇒βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a 线面垂直、面面平行线面垂直：；⇒βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //线线平行、线面垂直线面垂直：；⇒αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //线面垂直、线面平行面面垂直：。
⇒βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。
符号化语言一览表①线面平行；；；ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥②线线平行:；；；；////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫③面面平行:；；；,////,//a b a b O a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫④线线垂直:；b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα⑤线面垂直:；；,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭ ；；βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //⑥面面垂直：二面角900; ；；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //二、立体几何中的重要方法1、求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ求角）⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系．注：还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角．⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin ；③三线三角公式．θ12cos cos cos θθθ=注：还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角．⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；②垂面法：作面与二面角的棱垂直； ③投影法（三垂线定理）；④面积摄影法．注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角．2、求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ求距离）⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；或转化为线面距离、点面距离；⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；②等体积法；还可用向量法：．||n d =3、证明平行、垂直的理论途径：①证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点（定义）；（2）转化为两直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行．②证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点（定义）；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行．③证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定两平面无公共点（定义）；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直．④证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直．⑤证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（定义）；（2）转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直．⑥证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直．。
考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过
考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系空间线面位置关系的判断是高考的必考点，是为空间线面位置关系的证明打基础，必须熟练掌握.必须做到：理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.一、平面的基本性质及应用1．平面的基本性质面α，使a⊂2．等角定理(1)自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2)符号语言：如图(1)、(2)所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，,OA O A OB O B''''∥∥，则AOB AO B∠=∠'''或180AOB AO B∠+∠'''=︒.图(1) 图(2)二、空间两直线的位置关系1．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：(1)从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线(2)从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．异面直线所成的角 (1)异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是π(0,]2. (3)两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 (1)直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行(2)平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线.2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．常用结论(1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．考向一平面的基本性质及应用(1)证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.(2)证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.(3)证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.典例1(1)在下列命题中，不是公理的是A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(2)给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面； ③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】(1)A (2)B【解析】(1)选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.根据平面的基本性质知，选项B 为公理2，选项C 为公理1，选项D 为公理3. 所以选A.(2)①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确； ②中，若A 、B 、C 三点共线，则A 、B 、C 、D 、E 有可能不共面，故②错误； ③中，如图所示正方体的棱中，a 、b 共面，a 、c 共面，而b 、c 异面，故③错误； ④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误. 故选B.1．下列叙述错误的是( )A ．若p ∈α∩β，且α∩β=l ，则p ∈lB ．若直线a ∩b =A ，则直线a 与b 能确定一个平面C ．三点A ，B ，C 确定一个平面D ．若A ∈l ，B ∈l 且A ∈α，B ∈α则l α2．如图，已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 的中点.(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC BD ⊥.考向二 空间线面位置关系的判断两条直线位置关系判断的策略： (1)异面直线的判定方法：①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．②反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． (3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查.典例2 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为 A ．③④ B ．①② C ．①③ D ．②④【答案】A【解析】∵A 、M 、C 、C 1 四点不共面，∴直线AM 与CC 1 是异面直线，故①错误； 同理，直线AM 与BN 也是异面直线，故②错误． 同理，直线BN 与MB 1 是异面直线，故③正确； 同理，直线AM 与DD 1 是异面直线，故④正确. 故选A ．3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若,,αγβγ⊥⊥则//αβ C ．若//,//,m m αβ则//αβD ．若,,m n αα⊥⊥则//m n典例3 如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ,N 分别是A 1B 1,B 1C 1的中点.问:(1)AM 和CN 是否是异面直线?说明理由. (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线?说明理由.【解析】(1)AM 和CN 不是异面直线.理由如下： 如图,连接A 1C 1,AC ,MN ,∵M ,N 分别是A 1B 1,B 1C 1的中点,∴MN ∥A 1C 1. 又A 1A C 1C ,∴A 1ACC 1为平行四边形, ∴A 1C 1∥AC ,∴MN ∥AC ,∴A ,M ,N ,C 在同一个平面内,故AM 和CN 不是异面直线. (2)D 1B 和CC 1是异面直线,理由如下:假设D 1B 与CC 1在同一个平面CC 1D 1内,则B ∈平面CC 1D 1,C ∈平面CC 1D 1, ∴BC ⊂平面CC 1D 1,这与ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体相矛盾, ∴假设不成立,故D 1B 和CC 1是异面直线.4．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，,M N 分别是棱111,C D C C 的中点.给出以下四个结论：①直线AM 与直线1C C 相交； ②直线AM 与直线BN 平行； ③直线AM 与直线1DD 异面； ④直线BN 与直线1MB 异面. 其中正确结论的序号为______.(注：把你认为正确的结论序号都填上)考向三 异面直线所成的角求异面直线所成的角的常见策略： (1)求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.典例4 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A ．90B ．75C ．60D ．45在GHA △中，1223,2,2222GH EF AH AE FG AG ===-=-==， 则222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=， 故选A.【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线CD 和PB 所成的角转化为平面角AEF ∠，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E ，F 分别是棱AB ，1BB 的中点，则直线EF 和1BC 的夹角是________.1．下列命题中，正确的是( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面2．下列说法中正确的个数是( )①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行；②三个平面最多将空间分为8个部分；③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形；④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直.A．1 B．2C．3 D．43．“空间三个平面α，β，γ两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为( )A．B．D．3C．55．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，如果直线EF，GH交于点P，那么( )A．点P一定在直线AC上B．点P一定在直线BD上C．点P一定在平面ABC外D．点P一定在平面BCD内6．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是()A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 7．下列命题中，(1)若//OA ME ，//OB MF ，则AOB EMF ∠=∠；(2)空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ； (3)空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若αβ⊥，m αβ=，n A α=，n m ⊥，则n β⊥.其中正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个8．过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，则这样的直线l 的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．49．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则( ) A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为11A B 的中点，122AB BC BB ===，AC =直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD ⊥，且212,AB OD ==AD =CD 与AB 所成角为30，点,,,O B C D 都在同一个球面上，则该球的半径为( )A ．B ．C D12．已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____. 13．有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成(如图)，AB 与CD 所成的角的大小是_____________14．已知正方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，点P 在线段11A C 上，若直线1BB 与直线CP 所成角的正切值为5，则平面PBD 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.15．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，3BAD π∠=，,E M 分别是BC ，1BB 的中点.(1)证明：点D 在平面1A ME 内；(2)已知N 在1CC 上，若1BN A E ⊥，求线段CN 的长.16．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA 是四棱锥P ABCD -的高，且2PA =，E 是侧棱PA 上的中点.(1)求三棱锥P BCD -的体积； (2)求异面直线EB 与PC 所成的角；1．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线3．【2018新课标全国Ⅱ理科】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BC D 4．【2017新课标全国Ⅱ理科】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．2B ．5C D 5．【2016新课标全国Ⅰ理科】平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．2B ．2C D ．136．【2017新课标全国Ⅲ理科】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号) 7．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝8．【2016上海理科】将边长为1的正方形11AAO O (及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2π3，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.(1)求三棱锥111C O A B -的体积；(2)求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.1．【答案】C 【解析】 【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可． 【详解】选项A ，点P 在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确； 选项B ，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确； 选项C ，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D ，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内． 故选：C.2．【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)根据中位线定理证明//EH BD ，//FG BD ，得到//EH FG ，即可证明四点共面； (2)根据矩形关系有EH GH ⊥，结合中位线关系//EH BD ， //AC GH ，即可证明. 【详解】 (1)在ABD ∆中，,E H 分别是,AB AD 的中点，//EH BD ∴.同理//FG BD ，则//EH FG ，故,,,E F G H 四点共面.(2)由(1)知//EH BD ，同理//AC GH .又∵四边形EFGH 是矩形，EH GH ∴⊥.故AC BD ⊥ 【点睛】此题考查通过平行关系证明四点共面，利用等角定理通过两条直线的平行线垂直，证得已知两条直线垂直. 3．【答案】D 【解析】 【分析】A. 利用空间两直线的位置关系判断；B.利用空间两平面的位置关系判断；C.若利用空间两平面的位置关系判断；D.由线面垂直的性质定理判断.【详解】A. 若//,//,m n αα则,m n 平行，相交或异面，故错误；B.若,,αγβγ⊥⊥则,αβ平行或相交，故错误；C.若//,//,m m αβ则,αβ平行或相交，故错误；D.若,,m n αα⊥⊥由线面垂直的性质定理得//m n ，故正确； 故选：D. 4．【答案】③④ 【解析】 【分析】利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①③④的正误，②要证明两条直线平行，从图形上发现这两条直线也是异面直线，得到结论. 【详解】由于直线1C C 在平面11C CD D 上，而M ∈平面11C CD D ，A ∉平面11C CD D ， 直线AM 与直线1C C 异面，故①错；同理，直线AM 与直线BN 异面，故②错；直线AM 与直线1DD 异面，直线BN 与直线1MB 异面，故③④正确. 【点睛】本题考查了空间中两直线的位置关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题. 5．【答案】60° 【解析】 【分析】则可将三棱柱补形为正方体1111ABCD A B C D -，连接1111,,AB AD B D ，可得11B AD ∠即为直线EF 和1BC 的所成角，求出即可.【详解】1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，则可将三棱柱补形为正方体1111ABCD A B C D -，如图，连接1111,,AB AD B D ，可知在正方体中，1111AB A B C D ，∴四边形11ABC D 是平行四边形，11//BC AD ∴，1ABB 中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点，1//EF AB ∴，则11B AD ∠即为直线EF 和1BC 的所成角， 可知11AB D 是等比三角形，1160B AD ∴∠=.故答案为：60. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.1．【答案】B 【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B ．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．2．【答案】B【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行，或交于一点(如三棱锥的三个侧面)；故①错；②一块豆腐切三刀，最多可且8块；因此，三个平面最多可将空间分为8个部分；故②正确；③过正方体的一个顶点，作如图所示截面，即可得出截面为五边形，故③错；c a且c与b相交；过直线b，c作平面α；④记直线a，b为空间中两异面直线，则必存在直线c，使得//⊥，则l必分别垂直于直线a，b；由根据线面垂直的性质，过空间中任意一点，有且只有若直线lα一条直线与平面垂直，因此过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直，故④正确；故选：B【点睛】本题主要考查3．【答案】B【解析】【分析】先证明三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行，再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行． 证明如下：已知：设三个平面为α，β，γ，且c αβ=，b αγ=，a βγ=；求证：a 、b 、c 交于一点，或////a b c ． 证明：(1)如图①，若c 与b 交于一点，则设c b P =；由P c ∈，且c β⊂，得P β∈； 又由P b ∈，b γ⊂，得P γ∈； P a βγ∴∈=；∴直线a ，b ，c 交于一点(即P 点)．图①； 图②(2)如图②，若//c b ，则由b γ⊂，且c γ⊂/，//c γ∴； 又由c β⊂，且a βγ=，//c a ∴；////a b c ∴．“空间三个平面α，β，γ两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的必要非充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间的直线的位置关系，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．【答案】B 【解析】 【分析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥，EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF ，所以MC ⊥平面DEF ，又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥． 同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =，则DE ⊥平面1A MCN ， 所以平面1A MCN 即平面α，四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.5．【答案】A【解析】【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC 上．【详解】解：∵EF在面ABC内，而GH在面ADC内，且EF和GH能相交于点P，∴P在面ABC和面ADC的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选：A．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．【答案】C【解析】【分析】利用直线的位置关系判断：A,B,D错误，利用等角定理判断C正确，【详解】对A ,若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；错误 对B ,若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；错误 对C ,若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；正确； 对D ,若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 或异面或相交，错误 故选C 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力． 7．【答案】A 【解析】 【分析】(1)由等角定理可得AOB ∠与EMF ∠相等或互补； (2)由面面的位置关系可得//αβ或,αβ相交；(3)由线面的位置关系可得n β⊂或//n β或n 交β于一点. 【详解】(1)若//OA ME ，//OB MF ，由等角定理可得AOB ∠与EMF ∠相等或互补，故错误； (2)若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，由面面的位置关系得//αβ或,αβ相交，故错误； (3)若αβ⊥，m αβ=，n A α=，n m ⊥，则n β⊂或//n β或n 交β于一点，故错误；故选：A 【点睛】本题考查线面，面面的位置关系的判断，考查等角定理，考查分析推理能力，属于基础题. 8．【答案】C 【解析】 【分析】由11//B C A D 将问题转化为过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒，1条在平面11AC D 内，2条在平面11AC D 外. 【详解】因为11//B C A D ，所以A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，即过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒.因为1160A DC ∠=，11A DC ∠的外角平分线与11,DA DC 所成的角相等，均为60，所以在平面11AC D 内有一条满足要求.因为11A DC ∠的角平分线与11,DA DC 所成的角相等均为30，将角平分线绕点D 向上转动到与面11AC D 垂直的过程中，存在两条直线与直线11,DA DC 所成的角都等于60. 故符合条件的直线有3条. 故选：C 【点睛】本题考查直线与直线所成的角，属于基础题. 9．【答案】A 【解析】 【分析】作图，通过计算可知D 1E ≠AF ，取点M 为BC 的中点，则AMFD 1共面，显然点E 不在面AMFD 1内，由此直线D 1E ，AF 异面． 【详解】∵11D E AF D E ====≠，如图，取点M 为BC 的中点，则AD 1∥MF ， 故AMFD 1共面，点E 在面AMFD 1面外， 故直线D 1E ，AF 异面． 故选：A ．【点睛】本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题． 10．【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ，则11////AC A C DE , BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角，进而可得答案. 【详解】如图，取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ， 则11////AC A C DE ,所以BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角，由已知可得BD DE BE ===BDE 为正三角形，所以60BDE ∠=︒，所以异面直线BD 与AC 所成的角为60︒.故选：C【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 11．【答案】C 【解析】由条件可知AB OD ∥ ，所以，CDO ∠ 为异面直线CD 与AB 所成角，故30CDO ∠= ，而6OD =，故tan 3023OC OD =⋅=，在直角梯形ABOD 中，易得6OB = ，以,,OB OC OD 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径，由()(222226684R =++= ，故R =.本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．【答案】1【解析】 【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ．【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3，∴EO∥CD，且EO1CD12==，FO∥AB，且FO1AB2==1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴πEOF3∠=，或2πEOF3∠=，当∠EOFπ3=时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF3∠=时，EF==故答案为1【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题13．【答案】3π【解析】【分析】【详解】法一：如图因为AB ∥GH ，CD ∥FH ，所以GH 和FH 所成角即为AB 与CD 所成的角， 又因为△GHF 为等边三角形，故GH 和FH 所成角为3π，即AB 与CD 所成的角为3π． 法二：该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，如图 可得AB 与CD 所成的角即为ED 与CD 所成角， 设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得CD DE EC ===由余弦定理可得2221cos 22CD DE EC CDE CD DE +-∠==-⨯⨯，故23CDE π∠=， 因为异面直线所成的角是锐角或直角， 所以AB 与CD 所成的角为3π． 14．【答案】2【解析】 【分析】作出截面PBD MNDB ⇒，根据直线1BB 与直线CP 所成的角的正切值求得MN 的长，求得截面等腰梯形MNDB 的高，由此求得截面面积. 【详解】如图，过P 作MN BD ∥，则11MN AC ⊥.直线1BB 与直线CP 所成的角为1PCC ∠，1111tan 5PC PC PCC CC ∠===，1PC =MN =MNDB是等腰梯形，BD =BM =MNDB =积为222=.【点睛】本小题主要考查正方体截面面积的计算，考查根据线线角求边长，属于中档题. 15．【答案】(1)证明见解析；(2)1. 【解析】 【分析】(1)根据题意，直线证明1//ME A D 即可得点D 在平面1A ME 内.(2)连接DE ，通过证明BN ⊥平面1A DEM 得BN ME ⊥，进而得MEB BNC ∠=∠，即可证明Rt Rt BEM BNC ≅△△，所以1CN =.【详解】(1)连接1A D ，1B C .11//A B DC 且11A B DC =∴四边形11A B CD 是平行四边形，11//A D B C ∴又因为,E M 分别为BC ，1BB 中点，1//ME B C ∴1//ME A D ∴M ∴，E ，1A ，D 四点共面，。
点直线平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。
点线面的位置关系知识点
点线面的位置关系知识点在几何学中，点、线和面是三个基本的几何概念，它们之间存在着一系列的位置关系。
这些位置关系的理解对于解决几何问题以及应用几何知识有着重要的意义。
本文将介绍点线面的位置关系的几个重要知识点。
一、点与直线的位置关系1. 在直线上：当一个点恰好位于一条直线上时，我们可以说这个点在直线上。
例如，点A在直线AB上。
2. 在直线的两侧：如果一个点既不在直线上，也不在直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的两侧。
例如，点C在直线AB的两侧。
3. 在直线的延长线上：如果一个点不在直线上，但位于直线的延长线上，我们可以说这个点在直线的延长线上。
例如，点D在直线AB的延长线上。
4. 平行于直线：如果一条直线与给定直线没有任何交点，我们可以说这条直线平行于给定直线。
例如，直线CD平行于直线AB。
二、点与平面的位置关系1. 在平面上：当一个点位于一个平面内部时，我们可以说这个点在平面上。
例如，点A在平面P上。
2. 不在平面上：如果一个点既不在平面上，也不在平面的延长线上，我们可以说这个点不在平面上。
例如，点B不在平面P上。
3. 在平面的延长线上：如果一个点不在平面上，但位于平面的延长线上，我们可以说这个点在平面的延长线上。
例如，点C在平面P的延长线上。
4. 垂直于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都垂直，我们可以说这条直线垂直于给定平面。
例如，直线EF垂直于平面P。
三、直线与平面的位置关系1. 相交于一点：当一条直线与平面有且仅有一个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一点。
例如，直线L与平面P相交于点A。
2. 平行于平面：如果一条直线与给定平面的任意一条线都平行，我们可以说这条直线平行于给定平面。
例如，直线M平行于平面P。
3. 包含于平面：当一条直线上的所有点都位于给定平面上时，我们可以说这条直线被包含于给定平面中。
例如，直线N被包含于平面P 中。
4. 相交于一条线：当一条直线与平面有无穷多个交点时，我们可以说这条直线与平面相交于一条线。
点线面关系知识总结和练习题
//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a a bαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= //αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥ //αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b ② 判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P P A A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈④ l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习课件
①D，B，F，E 四点共面； ②若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； ③DE，BF，CC1 三线交于一点.
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证明：①如题图所示. 因为 EF 是△ D1B1C1 的中位线，所以 EF∥
B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD． 所以
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4．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
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(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直 线 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′与 b′所成的角 叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角). 异面直线所成角的范围是 (0°，90°] ．
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解析：延长 FE 与 B1B 的延长线交于点 H，连接 A1H，延长 EF 与 B1C1 的延长线交于 点 N，如图．因为 E，F 分别为棱 BC，CC1 的中点， 所以△ECF≌△EBH，△ECF≌△ NC1F，所以 BH＝CF＝1，C1N＝EC＝1，因为AB1GB1＝HHBB1＝13，所以点 A1，G，H 三点共线， 连接 A1N，设线段 A1N 交线段 D1C1 于点 Q，连接 QF，则过 G，E，F 三点的平面截该正 方体所得截面为五边形 EFQA1G，因为△NC1Q∽△NB1A1，所以AC11BQ1＝NNCB11＝13，所以 D1Q ＝2C1Q，
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③因为 EF∥BD 且 EF<BD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1. 又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1，所以 M∈CC1. 所以 DE，BF，CC1 三线交于点 M.
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习
2．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类 位置关系共面直线相 平交 行直 直线 线： ：在 在同 同一 一平 平面 面内 内， ，有 没且 有只 公有 共一 点个公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)基本事实 4 和定理 ①基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线 □01 平行 ． ②定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个 角 □02 相等或互补 ．
(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线．
证明 (2)在正方体 AC1 中，设平面 A1ACC1 为 α，平面 BDEF 为 β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又 Q∈EF，∴Q∈β， ∴Q 是 α 与 β 的公共点，同理，P 是 α 与 β 的公共点，∴α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且 R∈β，∴R∈PQ， ∴P，Q，R 三点共线．
2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为 所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足 MN⊥OP 的是( )
答案 BC
解析 设正方体的棱长为 2，对于 A，如图 1 所示，连接 AC，则 MN∥AC， 故∠POC 或其补角为异面直线 OP，MN 所成的角，在直角三角形 OPC 中， ∠PCO＝90°，则∠POC≠90°，故 MN⊥OP 不成立，故 A 错误；对于 B， 如图 2 所示，取 MT 的中点为 Q，连接 PQ，OQ，则 PQ⊥MN，OQ∥TD， 由正方体 SBCN－MADT 可得 TD⊥平面 SNTM，故 OQ⊥平面 SNTM，又 MN ⊂ 平面 SNTM，所以 OQ⊥MN，而 OQ∩PQ＝Q，所以 MN⊥平面 OPQ，而 OP⊂ 平面 OPQ，故 MN⊥OP，故 B 正确；对于 C，如图 3，连接 BD，则 BD∥MN，由 B 的判断可得 OP⊥BD，故 OP⊥MN，故 C 正确；对于 D，如
备战高考数学复习考点知识与题型讲解52---空间点、直线、平面之间的位置关系
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第52讲空间点、直线、平面之间的位置关系考向预测核心素养考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题．直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算一、知识梳理1．平面(1)四个基本事实基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间中直线与直线的位置关系(1)位置关系{共面直线{相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．[注意]两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直．(3)空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线、平面的位置关系位置关系符号直线和平面直线在平面内a ⊂α 直线在平面外直线与平面相交 a ∩α＝A 直线与平面平行 a ∥α 平面和平面两平面平行 α∥β 两平面相交α∩β＝l常用结论 1．异面直线的判定过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．几个唯一性结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 二、教材衍化1．(多选)(人A 必修第二册P 128练习T 2改编)下列命题是假命题的是( ) A ．空间任意三个点确定一个平面 B ．一个点和一条直线确定一个平面 C ．两两相交的三条直线确定一个平面 D ．两两平行的三条直线确定三个平面 答案：ABCD 2．(多选)(人A必修第二册P132习题8.4T9改编)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面解析：选ABC.把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错误，选ABC.3．(人A必修第二册P132习题8.4T5改编)三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．解析：三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．答案：8 4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.( )(2)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．( )(3)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.( )(4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×二、易错纠偏1．(多选)(线面关系概念不清致误)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )A．b⊂α B.b∥αC．b与α相交 D.以上都不对答案：ABC2．(对于直线与直线的位置关系考虑不全面致误)若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是( )A．平行 B.异面C．相交 D.平行或异面或相交解析：选D.如图①②③所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交．3.(异面直线所成的角概念理解不清致误)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A．30° B.45°C．60° D.90°解析：选C.连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角．又B 1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.考点一基本事实的应用(综合研析) 复习指导：理解四个基本事实的作用．(2022·上海市南洋模范中学月考)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面ACB1交于点P，设BD与AC相交于点O.求证：O.P∈直线B1【证明】因为BD1⊂平面BDD1B1，且BD1与平面ACB1交于点P，所以点P是平面BDD1B1与平面ACB1的公共点，因为平面BDD1B1∩平面ACB1＝B1O，所以P∈直线B1O.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．|跟踪训练|1.(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )解析：选ABC.对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．2.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B.直线ABC．直线CD D.直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.考点二空间位置关系的判断(自主练透)复习指导：认识和理解空间点、线、面的位置关系．1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是( ) A．相交 B.平行C．异面 D.相交或异面解析：选D.若A∈b，则a与b相交，若A∉b，则a与b异面，故选D.2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是( )A．直线AA1 B.直线A1B1C．直线A1D1 D.直线B1C1解析：选 D.根据异面直线的概念可知直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线．因为直线B1C1和EF在同一平面内，且这两条直线不平行，所以直线B1C1和直线EF 相交．3.(多选)(链接常用结论1)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D解析：选BD.连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确．令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12 CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，C不正确，D正确．4．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．解析：①忽略了a在α内这一情况，故①错误；②直线a与b没有交点，所以直线a与b可能异面也可能平行，故②错误；③直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④直线a与平面β可能相交也可能平行，故④错误．答案：③点、线、面位置关系的判定(1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．(2)两条直线异面的判定：反证法或利用异面直线的判定定理．考点三 异面直线所成的角(综合研析)复习指导：求异面直线所成的角关键是转化为平面角，常利用平移法解决．(1)(2021·高考全国卷乙)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A.π2B.π3 C .π4D.π6(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A.222B.53C.1316D.113【解析】(1)如图，连接C 1P ，因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥平面B 1BP .又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP .连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在直角三角形C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin ∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6，故选D.(2)如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．因为SE ＝14SB ，所以SE ＝13BE .又OB ＝3，所以OF ＝13OB ＝1.因为SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，所以SC ＝3 2. 因为SO ⊥OF ，所以SF ＝ SO 2＋OF 2＝10. 因为OC ⊥OF ，所以CF ＝10. 所以在等腰三角形SCF 中，tan ∠CSF ＝()102－⎝⎛⎭⎪⎫3222322＝113.【答案】 (1)D (2)D平移法求异面直线所成角的步骤|跟踪训练|(2022·西安质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，则直线AB与CD所成的角为( )A．90° B.60°C.45°D.30°解析：选B.如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，连接ON，OM，MN，则ON∥CD，MN∥AB，且ON＝12CD，MN＝12AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC⊂平面ACD，所以BO⊥平面ACD，因为DO⊂平面ACD，所以BO⊥OD.设正方形边长为2，则OB＝OD＝2，所以BD＝2，则OM＝12BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.[A 基础达标]1．(2022·遂宁市射洪中学月考)下列命题中正确的是( )A．经过三点确定一个平面B．经过两条平行直线确定一个平面C．经过一条直线和一个点确定一个平面D．四边形确定一个平面解析：选B.对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项A错误，对于选项B：两条平行直线唯一确定一个平面，故选项B正确，对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故选项C错误，对于选项D：因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误．故选B.2．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则( )A．P∈c B.P∉cC．c∩a＝∅ D.c∩β＝∅解析：选A.因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a⊂α，b⊂γ，由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，所以P∈α且P∈γ，因为γ∩α＝c，所以P∈c，故选项A正确，选项B不正确；因为P∈c，P∈a，所以c，a有公共点P，故选项C不正确；因为P∈b，b⊂β，所以P∈β，因为P∈c，所以c与β有公共点P，故选项D不正确；故选A.3．在三棱锥ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上解析：选B.如图，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故选B.4．(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的( )A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B.由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内，故选B.5.(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直线EF，GH是异面直线D．直线EF，GH是相交直线解析：选BD.如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A 1C1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为MH∥A1C1∥AC∥FG，所以M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，所以E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，因为EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，所以EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG ＝EM＝MH，所以3EF＝GH，即GH≠2EF.故选BD.6．已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．解析：如图，将原图补成正方体ABCD QGHP ，连接AG ，GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 或其补角为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ， 所以∠APG ＝π3. 答案：π38.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1，H ，O 三点共线．证明：如图，连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ， 因为BB 1綉DD 1，所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 又H ∈B 1D ，B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．9.如图，已知在空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC 与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．解：如图，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，所以∠EMN＝∠ENM＝30°，所以∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为60°.[B 综合应用]10．(多选)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有( )解析：选BD.A中GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GMN，因此GH，MN 是异面直线；C中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；D中，G，M，N 三点共面，但H∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线．11．(多选)(2022·潍坊模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法错误的是( )A ．当CD ＝2AB 时，M ，N 不可能重合B ．M ，N 可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当直线AB ，CD 相交，且AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB ，CD 异面时，MN 可能与l 平行解析：选ACD.A 选项，当CD ＝2AB 时，若A ，B ，C ，D 四点共面且AC ∥BD 时，M ，N 两点能重合，可知A 错误；B 选项，若M ，N 重合，则AC ∥BD ，则AC ∥平面β，故AC ∥l ，此时直线AC 与直线l 不可能相交，可知B 正确；C 选项，当AB 与CD 相交，且AC ∥l 时，直线BD 与l 平行，可知C 错误；D 选项，当AB 与CD 是异面直线时，MN 不可能与l 平行，可知D 错误．故选ACD.12.(多选) (2022·潍坊质检)如图，已知二面角A BD C 的大小为π3，G ，H 分别是BC ，CD 的中点，E ，F 分别在AD ，AB 上，AE AD ＝AF AB ＝13，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 四点共面B ．FG ∥平面ADCC ．若直线FG ，HE 交于点P ，则P ，A ，C 三点共线D ．若△ABD 的面积为6，则△BCD 的面积为3解析：选ACD.由AE AD ＝AF AB ＝13知EF ∥BD .又GH ∥BD ，所以EF ∥GH ， 因此E ，F ，G ，H 共面，A 项正确； 假设FG ∥平面ADC 成立， 因为平面ABC ∩平面DAC ＝AC ，所以FG ∥AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与AF AB ＝13矛盾，B 项不正确；因为FG⊂平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，因为平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线，因此C正确；易知S△BCD＝cos π3·S△ABD＝12×6＝3，D正确．13.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上结论中，正确结论是________．(填序号)解析：由平面展开图可得原正方体如图所示：由图可得，BM，ED为异面直线，CN与BE不是异面直线，DM，BN是异面直线，故①②错误，④正确．连接AN，AC，DM，BN，BE，则△ANC为等边三角形，而BM∥AN，故∠ANC或其补角为CN与BM所成的角，因为∠ANC＝60°，故CN与BM所成的角为60°，故③正确．综上，正确命题的序号为③④.答案：③④[C 素养提升]14．平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )A.32B.22C.33D.13解析：选A.如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，则m1∥m，又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又因为B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，所以∠CD1B1＝π3，得sin∠CD1B1＝32，故选A.15．在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥OABCD的体积V＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，所以ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，因为()22＋()32＝()52，即DE 2＋EM 2＝MD 2， 所以△DEM 为直角三角形，且∠DEM ＝90°，所以tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63.所以异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。
第二课时--《第二章点、直线、平面之间的位置关系》复习课
平面和平面平行的判定与性质
1.判定定理:一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行,则这两个平面平行. 简记为:线面平行,则面面平行. 2.性质定理:如果两个平行平面同时和 第三个平面相交,那么它们的交线平行. 简记为:面面平行,则线线平行.
H
D B F G C
2 1 FG ∥BD且FG ＝ BD 2
E，F，G，H分别是各边中点
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分 别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 同理，FG ∥BD且FG = BD ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形 B F A
，
BC, AD, CC, DD, DC, DC
例题示范
例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA'和CC'的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？
解：（2）由 BB // CC 可知， BBA 等于异面直线 CC 与 BA 的夹角,所以异面直线 CC 与 BA 的夹角为450 。
m
l
l
直线与直线的位置关系
5. 异面直线所成的角 定义：过空间任意一点Ｏ，与异面直线a和 b分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫 做异面直线a和b所成的角(或夹角)． 两条异面直线所成的角的范围 (0, 2 ] 6.两条异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这 两条异面直线互相垂直。
高三数学复习——点、直线、平面之间的位置关系
考点20 点、直线、平面之间的位置关系【1】（A ，浙江，文4）设βα,是两个不同的平面，m l ,是两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,A.若β⊥l ，则βα⊥B.若βα⊥，则m l ⊥C.若β//l ，则β//D.若βα//，则m l //【2】（A ，福建，理7）若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥”是“//l α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【3】（B ，广东，文6）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A.l 与1l ，2l 都不相交B.l 与1l ，2l 都相交C.l 至多与1l ，2l 中的一条相交D.l 至少与1l ，2l 中的一条相交【4】（B ，安徽，理5）已知n ,m 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，则下列命题正确的是A.若βα,垂直于同一平面，则α与β平行B.若n ,m 平行于同一平面，则m 与n 平行C.若βα,不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若n ,m 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【5】（A ，新课标I ，文18）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD .(I)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(II)若120ABC ∠= ，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -面积.EDGCBA第5题图【6】（A ，广东，理18）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =PC =4，AB =6，BC =3.点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF =2FB ，CG =2GB .(1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P -AD -C 的正切值；(3)求直线P A 与直线FG 所成角的余弦值. 理16）如图，在直三棱柱ABC【7】（A ，江苏，文BC AC ⊥，1CC BC =.设1AB 的中111A B C -中，已知E BC C B =11 .点为D ，求证：(1)//DE 平面11CC AA ；(2)11AB BC ⊥.CBEC 1B 1A 1D AOMACBV第7题图 第8题图【8】（B ，北京，文18）如图，在三棱锥ABC V -中，平面⊥VAB 平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AB AC ⊥且2==BC AC ，O 、M 分别为AB 、VA 的中点．(I)求证：//VB 平面MOC ； (II)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (III)求三棱锥ABC V -的体积．【9】（B ，重庆，文20）如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，ABC ∠2π=，点D 、E 在线段AC 上，且AD =DE =EC =2，PD =PC =4，点F 在线段AB 上，且EF //BC .(I)证明：AB ⊥平面PFE .(II)若四棱锥P -DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.BEDC FAPDCGB EA FHED ABCEG BFCPDA第6题图第9题图 第10题图【10】（B ，四川，文18）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母H G F ,,标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线⊥DF 平面BEG .【11】（B ，广东，文18）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =4PC =，6AB =，3BC =．(1)证明：//BC 平面PDA ； (2)证明：BC PD ⊥；(3)求点C 到平面PDA 的距离．CPDBAEF CH GBAD第11题图 第12题图【12】（B ，山东，文18）如图，在三棱台ABC DEF -中，H G DE AB ,,2=分别为BC AC ,的中点.(I)求证：BD ∥平面FGH(II)若CF BC ⊥，AB BC ⊥，求证：平面⊥BCD 平面EGH .【13】（B ，福建，文20）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO OB =1=．(I)若D 为线段AC 的中点，求证AC ⊥平面PDO ；锥P ABC -体积的最大值；(II)求三棱(III)若BC=，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．文18）如图，直三棱柱111ABC A B C -的【14】（B ，湖南，三角形，,E F 分别是BC ，1CC 的中底面是边长为2的正点.AEF ⊥平面11B BCC ；(I)证明：平面B 1C 1FCEBAA 1第14题图ACDEPO第13题图(II)若直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45，求三棱锥F AEC -的体积.考点20 点、直线、平面之间的位置关系【1】（A ，浙江，文4）、A解析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，正确；选项B 中，当βα⊥时，m l ,可以垂直也可以平行也可以异面；选项C 中，β//l 时，βα,可以相交；选项D 中，βα//时，m l ,也可以异面.故选A. 【2】（A ，福建，理7）、B解析：若l m ⊥,因为m 垂直于平面α则//l α或l α⊂;若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件,故选B. 【3】（B ，广东，文6）、D解析：假设直线l 与直线1l ，2l 都不相交，由l 与1l 同在平面α内，l 与2l 同在平面β内，可得1//l l ，2//l l ，由公理4，可得21//l l ，与已知条件矛盾，所以l 至少与1l ，2l 中的一条相交.【4】（B ，安徽，理5）、D解析:若βα,垂直于同一平面，βα,可能平行、也可能相交，如建筑物的多面墙都垂直于水平面；若n ,m 平行于同一平面，则m 与n 可能平行、相交，也可能异面；由直线与平面平行的性质定理可知命题C 是错误的. 【5】（A ，新课标I ，文18）边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.解析：(I)因为四ABCD ,所以AC BE ⊥，因为BE ⊥平面故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .菱形ABCD 中，又ABC ∠= 120，(II)设AB x =，在可得AG GC x ==，2x GB GD ==.∵AE EC ⊥ ∴在Rt △AEC中，得EG x =.由BE ⊥平面ABCD ,知△EBG 为直角三角形，可得BE x =.由已知得，三棱锥E ACD -的体积E ACD V -13=12AC GD BE ⨯⨯⨯3==故2x =，从而AE EC ED ==所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD故三棱锥E ACD -的侧面积为3+【6】（A ，广东，理18）EDGCBA第5题图解析：(1)如图1，∵PD PC =且点E 为CD 的中点，∴PE DC ⊥，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC 平面ABCD =CD ，PE ⊂平面PDC ,∴PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，∴PE FG ⊥.(2)如图1，∵ABCD 是矩形，∴AD DC ⊥，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC 平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面PCD ，又CD 、PD ⊂平面PDC ，∴AD DC ⊥，AD PD ⊥，∴PDC ∠即为二面角P -AD -C 的平面角，在Rt PDE ∆中，4PD =，132DE AB ==，PE∴tan PE PDC DE ∠==即二面角P -AD -C的正切值为3. EGBFCPDAGCEPD BFA第6题图1 第6题图2(3)如图2，连接AC .∵2AF FB =,2CG GB =即2AF CGFB==,∴//AC FG ，∴PAC ∠为直线P A 与直线FG 所成角或其补角，在PAC ∆中，5PA，AC由余弦定理可得 22222254cos 2PA ACPCPAC PA AC+-+-∠==⋅, ∴直线P A 与直线FG 【7】（A ，江苏，文理16）解析：(1)由题意知, E 为C B 1的中点, 又D 为1AB 的中点, 所以AC DE //. 因为⊄DE 平面C C AA 11,⊂AC 平面C C AA 11 所以//DE 平面11CC AA .(2)在直三棱柱111C B A ABC -中, ⊥1CC 平面ABC .因为⊂AC 平面ABC , 所以1CC AC ⊥.又因为BC AC ⊥, ⊂1CC 平面11B BCC , ⊂BC 平面11B BCC , C CC BC =1 , 所以⊥AC 平面11B BCC .又因为⊂1BC 平面11B BCC 所以AC BC ⊥1.因为1CC BC =, 所以矩形11B BCC 是正方形，因此C B BC 11⊥. 因为AC , ⊂C B 1平面AC B 1, C C B AC =1 , 所以⊥1BC 平面AC B 1.又因为⊂1AB 平面AC B 1，所以11AB BC ⊥.CBEC 1B 1A 1D AOMACBV第7题图 第8题图【8】（B ，北京，文18）解析：(I)因为O 、M 分别为AB 、VA 的中点，所以VB OM //．又因为⊄VB 平面MOC ，⊂OM 平面MOC ，所以//VB 平面MOC ．(II)因为BC AC =，O 为AB 的中点，所以OCAB ⊥．又因为平面⊥VAB 平面ABC ，且⊂OC 平面ABC ，平面VAB 与平面ABC 交于AB ，所以OC ⊥平面VAB ．因为⊂OC 平面MOC ，所以平面⊥MOC 平面VAB ．(III)在等腰直角三角形ABC 中，AC BC ==所以2=AB ，1=OC ．所以等边三角形VAB 的面积3=∆VAB S ．又因为⊥OC 平面VAB ，所以三棱锥VAB C -的体积等于3331=⋅∆VAB S OC ．又因为三棱锥ABC V -的体积与三棱锥VAB C -的体积相等．所以三棱锥ABC V -的体积为33． 【9】（B ，重庆，文20）EC DE =,PC PD =知,E 为等腰解析：(I)如图,由PDC ∆中边DC 的中点,故AC PE ⊥.又平面PAC ⊥平面PAB =AC ,PE ⊂平面PAB ,平面PAC 平面PAC ,AC PE ⊥，所以PE ⊥平面ABC ,从而AB PE ⊥.因ABC ∠=2π,BC EF //,故EF AB ⊥.从而AB 与平面PFE 内两条相交直线EF PE ,都垂直,所以⊥AB 平面PFE .(II)设x BC =,则在直角ABC ∆中, AB =22236x BC AC -=-从而2362121x x BC AB S ABC -=⋅=∆, 由BC EF //,32==AC AE AB AF , B EDCFAP第9题图得AFE ∆∽ABC ∆，故94322=⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆ABC AFE S S ,即ABC AFE S S ∆∆=94.由AD =AE 21,AFE AFD S S ∆∆=21ABC ABC S S ∆∆=⋅=929421=23691x x -. 从而四边形DFBC 的面积为AFD ABC D FBC S S S ∆∆-=2236913621x x x x ---=236187x x -= 由(I)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P -DFBC 的高. 在直角PEC ∆中，PE 22EC PC -=322422=-=体积DFBC P V -PE S DFBC ⋅=313236187312⋅-⋅=x x 7= 故得02433624=+-x x , 解得92=x 或272=x ,由0>x ,可得3=x 或33=x ,所以,3=BC 或33=BC . 【10】（B ，四川，文18）解析：(1)点H G F ,,的位置如图所示.ODFPKGNHECMBA第10题图(2)平面//BEG 平面ACH ，证明如下： 因为EFGH ABCD -为正方形， 所以FG BC FG BC =,//.又EH FG EH FG =,//，所以,//EH BCEH BC =，所以BCHE 为平行四边形，所以 CH BE //.又⊂CH 平面ACH ，⊄BE 平面ACH ，所以//BE 平面ACH .同理//BG 平面ACH .又B BG BE = ,所以平面//BEG 平面ACH .(3)连接FH .因为EFGH ABCD -为正方形， 所以⊥DH 平面EFGH .因为⊂EG 平面EFGH ，所以EG DH ⊥.又O FH EG FH EG =⊥ ,，所以⊥EG 平面BFHD .又⊂DF 平面BFHD ，所以EG DF ⊥.同理BG DF ⊥.又G BG EG = ，所以⊥DF 平面BEG .【11】（B ，广东，文18）解析：（1） 四边形ABCD 为矩形，∴AD BC //.又 ⊄BC 平面PDA ,⊂AD 平面PDA ，∴//BC 平面PDA .（2）取CD 的中点为O ，连接PO ， PC PD =，⊥PDC 平面ABCD ，平面PDC ∴DC PO ⊥.又平面平面DC ABCD =，⊂PO 平面PDC ，∴⊥PO 平面ABCD ，ABCD ,∴PO BC ⊥.又⊂BC 平面O PO CD CD BC =⊥ ,，∴⊥BC 平面PDC ， ⊂PD 平面PDC ，∴PD BC ⊥.（3） ⊥PO 平面ABCD ，即P 到平面ADC 的距离为PO ,722=-=CO PC PO .PD BC ⊥，BC AD //，∴PD AD ⊥，∴6432121=⨯⨯=⋅=∆DP AD S PDA ， 设点C 到平面PD A 的距离为h ，由ADC P PDA C V V --=得673621⋅⋅⋅=⋅=∆∆PDA ADC S PO S h 273=，即C 到平面PD A 的距离为为273. 【12】（B ，山东，文18）解析：(I)法1连接DG CD ,, 设CD GFM =，连接MH ，在三棱台ABC DEF -中，G DE AB ,2=为AC 的中点，可得DF //GC , GC DF =，所以四边形DFCG 为平行四边形.M 为CD 的中点，又H 为BC 的中点，所以HM //BD ，又⊂HM 平面FGH ，⊄BD 平面FGH ，所以BD //平面FGH .法2 在三棱台ABC DEF -中，由H EF BC ,2=为BC 的中点，可得BH //EF ,EF BH =，所以四边形HBEF 为平行四边形. 可得BE //HF .OABDPC第11题图在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH //AB ，又H HC GH = ，所以平面FGH //平面ABED ，因为⊂BD 平面ABED ，所以BD //平面FGH .MDABGHCFE E FCHGBADM第12题（I ）图 第12题（II ）图(II)连接HE ，因为在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH //AB .由BC AB ⊥,得BC GH ⊥，又H 为BC 的中点，所以EF //HC ,HC EF =，因此四边形EFCH 为平行四边形.所以CF //HE ，又BC CF ⊥，所以BC HE ⊥又⊂GH HE ,平面,,H GH HE EGH = 所以⊥BC 平面EGH ，又⊂BC 平面BCD ，所以，平面⊥BCD 平面EGH . 【13】（B ，福建，文20）解析：(I)在AOC ∆中，因为OA OC =，D 为AC 的中点，所以AC OD ⊥．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO AC ⊥．因为DO PO O = ，所以AC ⊥平面PDO ．(II)因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为12112⨯⨯=．又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为111133⨯⨯=． OPEDCBAC 'PAOB E第13题(I)图 第13题(III)图(III) 法1 在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=，所以PB ==同理PC =PB PC BC ==．在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值．又因为OP OB =，C P C B ''=，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而OC OE EC ''=+22=+2=，亦即CE OE +（III ）法2 在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=，所以45OPB ∠=，PB ==PC =PB PC BC ==，所以60CPB ∠= ．在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值．所以在OC P '∆中，由余弦定理得：12OC '=+21-⨯⨯cos(4560)⨯+112=+--2=OC '==. 所以CE OE +． 【14】（B ，湖南，文18）三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱.所解析：（I ）如图，因为以1AE BB ⊥，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点,所以面11B BCC ，而AE ⊂平面AEF ，AE BC ⊥,因此AE ⊥平11B BCC .所以平面AEF ⊥平面D ，连接1,A D CD ，因为ABC ∆是正(II)设AB 的中点为三角形，所以CD AB ⊥，又三棱柱111ABC A BC -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥，因此CD⊥平面11A ABB ，于是1CA D∠直线1AC 与平面11A ABB 所成的角，由题设知145CA D ∠= ，所以1A D CD=AB ==1Rt AAD ∆中，1AA =112FC AA == 故三棱锥F AEC -的体积11332212AEC V S FC =⨯=⨯=.BECF C 1B 1A 1DA第14题图。
空间点、直线、平面之间的位置关系的复习课件
C C 1 共面的棱有 C D ， C ， B 1， B B A A 1，C 1D 1，共 5 条.
5. 如果两条异面直线称为“一对”， 那么在正方 体的十二条棱中共有异面直线( B ) A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对
解析 如图所示，与 AB 异面的直线有 B1C1， CC1，A1D1，DD1 四条， 因为各棱具有相同的位置且 正方体共有 12 条棱，排除两 棱的重复计算， 共有异面直线 12× 4 ＝24 对. 2
2. 直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共面直线
平行 _____ 相交 _____
任何 异面直线：不同在______一个平面内.
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空 间任一点 O 作直线 a′∥a， b′∥b， a′ 把 与 b′所成的______________叫做异面直 锐角或直角 线 a，b 所成的角(或夹角).
由已知 FG＝GA，FH＝HD， // AD.又 BC // 1AD，∴GH // BC， 可得 GH 2 (1)证明 ∴四边形 BCHG 为平行四边形. // 1AF，G 为 FA 中点 (2)解 方法一 由 BE 2 知，BE // FG， ∴四边形 BEFG 为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知 BG // CH，∴EF∥CH， ∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH，∴C、D、F、E 四点共面.
题型剖析
题型一 平面的基本性质 例 1 如图所示，正方体 ABCD —A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证： (1)E、C、D1、F 四点共面； (2)CE、D1F、DA 三线共点. 思维启迪： (1)由 EF∥CD1 可得；
(2)先证 CE 与 D1F 相交于 P， 再证 P∈AD.
位置关系知识点总结
位置关系知识点总结位置关系学问点总结第一篇空间点、直线、平面之间的位置关系以下学问点需要我们去理解，记忆。
1、数学所说的直线是无限延长的，没有起点，也没有终点。
2、数学所说的平面是无限延长的，没有起始线，也没有终点线。
3、公理1 假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
4、过不在同始终线上的三点，有且只有一个平面。
5、假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一个过该点的公共直线。
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
7、直线在平面内，因为直线上有很多多个点，平面上也有很多多个点，因此用子集的符号表示直线在平面内。
8、直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系是本节课的重点和难点。
9、做位置关系的题目，可以借助实物，直观理解。
一、直线与方程考试内容及考试要求考试内容：直线的倾斜角和斜率;直线方程的点斜式和两点式;直线方程的一般式;两条直线平行与垂直的条件;两条直线的交角;点到直线的距离;考试要求：理解直线的倾斜角和斜率的概念，把握过两点的直线的斜率公式，把握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能依据条件娴熟地求出直线方程。
把握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够依据直线的方程推断两条直线的位置关系。
位置关系学问点总结第二篇直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行.稳固深化练习：如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点.，求证:AB//平面教师点评，规范步骤，强调判定定理三条件，缺一不行.小组协作合作探究：如图，正方体中，P 是棱A1B1的中点，过点P 在正方体外表画一条直线使之与截面A1BCD1平行.教师引导小组商量，并进行各小组指导，最终汇总点评，总结关键点.如图，在正方体中，E为的中点，试推断与平面AEC的位置关系，并说明理由.位置关系学问点总结第三篇直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特殊地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：留意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点留意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)留意：各式的适用范围特别的方程如：(4)平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅰ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。
高考数学复习空间点、直线、平面之间的位置关系
第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲考向预测借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解公理1～4及其相关定理.命题趋势主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题和填空题的形式出现，主要为中低档题.核心素养 直观想象、逻辑推理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎥⎤0，π2．(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线和平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．常见误区1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．2．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.()(2)三点A，B，C确定一个平面．()(3)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．()(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.()(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行解析：选ABC.依题意，m∩α＝A，n⊂α，所以m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选 D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.4．(易错题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD 的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求角，又B1D1＝B1C ＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°5．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA 的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，故AC＝BD.(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因为EF綊12AC，EH綊12BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD平面的基本性质如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：E，C，D1，F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝12A1B.又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α，所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．【引申探究】(变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明：如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝12CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE且P∈D1F，又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． [提醒] 点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．1.(多选)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A ．C 1，M ，O 三点共线B ．C 1，M ，O ，C 四点共面 C ．C 1，O ，A 1，M 四点共面D ．D 1，D ，O ，M 四点共面解析：选ABC.连接A 1C 1，AC ，则AC ∩BD ＝O ，又A 1C ∩平面C 1BD ＝M ，所以三点C 1，M ，O 在平面C 1BD 与平面ACC 1A 1的交线上，所以C 1，M ，O 三点共线，所以选项A ，B ，C 均正确，选项D 错误．2．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD .在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ，所以EF ∥GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC .所以P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．空间两直线的位置关系(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，因为△CDE 是正三角形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝ 3.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD＝22，NF＝1，BC⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝22，所以在等腰三角形BDE中，BM＝7，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直线．故选B.【答案】 B1．已知a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN和a的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选A.若MN与AB平行或相交，则MN与AB共面，设该平面为α.因为C∈直线AM，D∈直线BN，所以C∈α，D∈α，所以b⊂α.又因为A∈α，B ∈α，所以a⊂α.这与a，b异面矛盾．故选A.2．(多选)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C 的中点，下列说法正确的有()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线解析：选CD.因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN 与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确，故选CD.异面直线所成的角(1)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB 的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．【解析】(1)取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.(2)如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为OE∥AC，OF∥BD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ， EF ＝2EM ＝2×34＝32. 【答案】 (1)2 (2)12或32平移法求异面直线所成角的步骤具体步骤如下：1．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C.如图，可补成一个正方体，所以AC 1∥BD 1.所以BA 1与AC 1所成的角为∠A 1BD 1.又易知△A1BD1为正三角形．所以∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1所成的角为60°.2．(2021·济南市学习质量评估)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为________．解析：如图，连接DE交FC于点O，取BE的中点G，连接OG，CG，则OG∥BD且OG＝12BD，所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角．设正方形ABCD的边长为2，则CE＝BE＝1，CF＝DE＝CD2＋CE2＝5，所以CO＝12CF＝52.易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝DE2＋BE2＝6，所以OG＝12BD＝62.易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝12BE＝12，所以CG＝CE2＋GE2＝52.在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝OC2＋OG2－CG22OC·OG＝⎝⎛⎭⎪⎫522＋⎝⎛⎭⎪⎫622－⎝⎛⎭⎪⎫5222×52×62＝3010，所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为30 10.答案：3010[A级基础练]1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.2．(多选)下列命题正确的是()A．梯形一定是平面图形B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合解析：选AC.对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误．3．(2021·安徽蚌埠第二中学期中)在四面体ABCD中，点E，F，G，H分别在直线AD，AB，CD，BC上，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定() A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对解析：选A.直线EF和GH相交，设其交点为M.因为EF⊂平面ABD，HG ⊂平面CBD，所以M∈平面ABD且M∈平面CBD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF与HG的交点在直线BD上．故选A.4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°解析：选C.由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．6．已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC ∥A ′C ′，所以MN ∥A ′C ′.答案：平行7．(2020·高考全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P -ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝________．解析：依题意得，AE ＝AD ＝3，在△AEC 中，AC ＝1，∠CAE ＝30°，由余弦定理得EC 2＝AE 2＋AC 2－2AE ·AC cos ∠EAC ＝3＋1－23cos 30°＝1，所以EC ＝1，所以CF ＝EC ＝1.又BC ＝AC 2＋AB 2＝1＋3＝2，BF ＝BD ＝AD 2＋AB 2＝6，所以在△BCF 中，由余弦定理得cos ∠FCB ＝BC 2＋CF 2－BF 22BC ×CF ＝22＋12－（6）22×2×1＝－14. 答案：－148．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．解析：如图，将原图补成正方体ABCD -QGHP ，连接AG ，GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.答案：π39．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出l的位置；(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长．解：(1)如图，延长DM与D1A1交于点O，连接NO，则直线NO即为直线l.(2)因为l∩A1B1＝P，则易知直线NO与A1B1的交点即为P.所以A1M∥DD1，且M，N分别是AA1，D1C1的中点，所以A1也为D1O的中点．由图可知A1PD1N＝OA1OD1＝12，所以A1P＝a4，从而可知PB1＝3a4.10．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF 与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.[B级综合练]11．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，给出下面四个结论：①若l与m 不垂直，则l与α一定不垂直；②若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30°；③l∥m是l∥α的必要不充分条件；④若l与α相交，则l与m一定是异面直线．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选A.对于①，当l与m不垂直时，假设l⊥α，那么由l⊥α一定能得到l⊥m，这与已知条件矛盾，因此l与α一定不垂直，故①正确；对于②，易知l与m所成的角为30°时，l与α所成的角不一定为30°，故②不正确；对于③，l∥m可以推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要条件，故③不正确；对于④，若l与α相交，则l与m相交或异面，故④不正确．故正确结论的个数为1，选A.12.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，平面α垂直于对角线AC′，且平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S，周长为l，则()A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值解析：选B.设平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形ω，ω与正方体的棱的交点分别为I，J，N，M，L，K(如图)．将正方体切去两个正三棱锥AA′BD和C′B′CD′，得到一个几何体V，则V的上、下底面B′CD′与A′BD互相平行，每个侧面都是等腰直角三角形，截面六边形ω的每一条边分别与V的底面上的每一条边平行．设正方体的棱长为a ，A ′K A ′B ′＝γ，则IK ＝γB ′D ′＝2aγ，KL ＝(1－γ)A ′B ＝2a (1－γ)，故IK ＋KL ＝2aγ＋2a (1－γ)＝2a .同理可证LM ＋MN ＝NJ ＋IJ ＝2a ，故六边形ω周长为32a ，即周长为定值．当I ，J ，N ，M ，L ，K 都在对应棱的中点时，ω是正六边形．其面积S ＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2×32＝334a 2，△A ′BD 的面积为12×(2a )2×32＝32a 2，当ω无限趋近于△A ′BD 时，ω的面积无限趋近于32a 2，故ω的面积一定会发生变化，不为定值．故选B.13．如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD 可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，所以GH 綊BC .所以四边形BCHG 为平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点共面，理由如下：由BE 綊12AF ，G 为F A 的中点知，BE 綊FG ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，所以EF 与CH 共面，又D ∈FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．14.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形，理由如下：当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为EHBD＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理可得FG＝nn＋1BD，由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.[C级创新练]15．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13解析：选A.如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，则m1∥m，又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B 1D 1∥m 1，所以B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小． 又因为B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，所以∠CD 1B 1＝π3， 得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.16．(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．解析：如图，连接B 1D 1，易知△B 1C 1D 1为正三角形，所以B 1D 1＝C 1D 1＝2.分别取B 1C 1，BB 1，CC 1的中点M ，G ，H ，连接D 1M ，D 1G ，D 1H ，则易得D 1G ＝D 1H ＝22＋12＝5，D 1M ⊥B 1C 1，且D 1M ＝ 3.由题意知G ，H 分别是BB 1，CC 1与球面的交点．在侧面BCC 1B 1内任取一点P ，使MP ＝2，连接D 1P ，则D 1P ＝ D 1M 2＋MP 2＝（3）2＋（2）2＝5，连接MG ，MH ，易得MG ＝MH ＝2，故可知以M 为圆心，2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线．由∠B 1MG ＝∠C 1MH ＝45°知∠GMH ＝90°，所以GH ︵的长为14×2π×2＝2π2.答案：2π2第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 最新考纲考向预测 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解公理1～4及其相关定理. 命题趋势 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题和填空题的形式出现，主要为中低档题. 核心素养 直观想象、逻辑推理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2． (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线和平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内a⊂α有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．常见误区1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．2．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.()(2)三点A，B，C确定一个平面．()(3)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．()(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.()(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行解析：选ABC.依题意，m∩α＝A，n⊂α，所以m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选 D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.4．(易错题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD 的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求角，又B1D1＝B1C ＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°5．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA 的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，故AC＝BD.(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因为EF綊12AC，EH綊12BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD平面的基本性质如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：E，C，D1，F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝12A1B.又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α，所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．【引申探究】(变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明：如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝12CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE且P∈D1F，又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． [提醒] 点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．1.(多选)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A ．C 1，M ，O 三点共线B ．C 1，M ，O ，C 四点共面 C ．C 1，O ，A 1，M 四点共面D ．D 1，D ，O ，M 四点共面解析：选ABC.连接A 1C 1，AC ，则AC ∩BD ＝O ，又A 1C ∩平面C 1BD ＝M ，所以三点C 1，M ，O 在平面C 1BD 与平面ACC 1A 1的交线上，所以C 1，M ，O 三点共线，所以选项A ，B ，C 均正确，选项D 错误．2．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD .在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ，所以EF ∥GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC .所以P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．空间两直线的位置关系(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，因为△CDE 是正三角形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝ 3.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD＝22，NF＝1，BC⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝22，所以在等腰三角形BDE中，BM＝7，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直线．故选B.【答案】 B1．已知a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN和a的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选A.若MN与AB平行或相交，则MN与AB共面，设该平面为α.因为C∈直线AM，D∈直线BN，所以C∈α，D∈α，所以b⊂α.又因为A∈α，B ∈α，所以a⊂α.这与a，b异面矛盾．故选A.2．(多选)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C 的中点，下列说法正确的有()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线解析：选CD.因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN 与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确，故选CD.异面直线所成的角(1)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB 的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．【解析】(1)取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.(2)如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为OE∥AC，OF∥BD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ， EF ＝2EM ＝2×34＝32. 【答案】 (1)2 (2)12或32平移法求异面直线所成角的步骤具体步骤如下：1．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C.如图，可补成一个正方体，所以AC 1∥BD 1.所以BA 1与AC 1所成的角为∠A 1BD 1.又易知△A1BD1为正三角形．所以∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1所成的角为60°.2．(2021·济南市学习质量评估)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为________．解析：如图，连接DE交FC于点O，取BE的中点G，连接OG，CG，则OG∥BD且OG＝12BD，所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角．设正方形ABCD的边长为2，则CE＝BE＝1，CF＝DE＝CD2＋CE2＝5，所以CO＝12CF＝52.易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝DE2＋BE2＝6，所以OG＝12BD＝62.易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝12BE＝12，所以CG＝CE2＋GE2＝52.在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝OC2＋OG2－CG22OC·OG＝⎝⎛⎭⎪⎫522＋⎝⎛⎭⎪⎫622－⎝⎛⎭⎪⎫5222×52×62＝3010，。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解48---空间点、直线、平面之间的位置关系
高考数学复习考点知识与题型专题讲解空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(×)(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)教材改编题1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是()A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面答案D解析把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错．2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ， ∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一 平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明(1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD .∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．教师备选如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明(1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B . 又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ， 即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是()答案D解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.题型二空间位置关系的判断例2(1)下列推断中，错误的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．教师备选1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案D2．如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④思维升华(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．图1图2题型三空间几何体的切割(截面)问题例3(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案C解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______．答案π2解析以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以C1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC1B1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2.延伸探究将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝3且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝R2球－D1E2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP＝EQ＝2，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝5，∴B1P＝D1P2－D1B21＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝π2，知PQ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.教师备选如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案9 2解析如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高为h ＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92.思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．跟踪训练3(1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是()答案A解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直观图如图．则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案3 2解析在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝22a，MI＝2a，IH＝22a，HG＝2a，FG＝22a，EF＝2a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝92a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3 2.课时精练1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交、可平行、可异面，故④错误．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a ，b ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行． 所以a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 两两相交不一定成立； 而若a ，b ，l 两两相交，则a ，b ，l 在同一平面成立．故“a ，b ，l 两两相交”是“a ，b ，l 共面”的充分不必要条件．4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M ，N ，F 分别是B 1C 1，CC 1，AB 的中点，则下列说法正确的是()A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行 B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行 C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面 D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面 答案D解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ， 作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋(2a )2 ＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误； 连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心， 所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点， 所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ， 且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.6．(2022·厦门模拟)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案C解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC 与BD 确定一个平面α，则AC ⊂α，BD ⊂α，所以A ∈α，B ∈α，C ∈α，D ∈α，所以AB ⊂α，CD ⊂α，这与假设矛盾，故C 正确；如图1，AB ∥CD ，而直线AA 1与AB 相交，但与直线CD 不相交，故D 错误．图1图27．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①⎭⎬⎫a ∥αa ∥β⇒α∥β；②⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；③ ⎭⎬⎫a ∥αb ∥α⇒a ∥b ；④⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 中，正确的命题是________(只填序号)． 答案②④解析①与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②根据直线与平面的位置关系，由a ⊥α，a ⊥β可得出α∥β，所以②是真命题； ③根据直线与平面的位置关系，可得a 与b 可以是平行或相交或异面，所以③是假命题； ④垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题．8．(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．答案①②④解析对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥AF且BE＝12AF，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明∵G，H分别是F A，FD的中点，∴GH綉12AD.又BC綉12AD，∴GH綉BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解∵BE綉12AF，G是F A的中点，∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．10.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点．(1)若D1E与CM相交于点K，求证D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝π3，求点D1到平面FBD的距离．(1)证明∵D1E与CM相交于点K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.(2)解∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝2，而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中点，CC1＝4，∴CF＝2，∴BF＝DF＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3， ∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×(22)2－1＝7.设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ， 则d ＝2sin π3＝3， 又∵11D FBD B DD F V V --=，∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3， 解得h ＝4217.即点D 1到平面FBD 的距离为4217.11.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．12．(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是()A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MC∥平面BB1D1D答案B解析如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确；令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BB1D1D，OD1⊂平面BB1D1D，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 不正确．13．棱长均为1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有a m 3水，当侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面高为h m(如图1)；当转动容器至截面A 1BC 水平放置时，容器中的水恰好充满三棱锥A －A 1BC (如图2)，则a ＝________，h ＝________.图1图2答案31232－22解析由题意得S △ABC ＝12×1×1×sin60° ＝12×1×1×32＝34， AA 1＝1.∴1A A BC V -＝13S △ABC ·AA 1＝13×34×1＝312＝a . 由1111ABED A B E D V -＝1A A BC V -得S 四边形ABED ·AA 1 ＝13S △ABC ·AA 1， ∴S 四边形ABED ＝13S △ABC ， ∴S △CDE ＝23S △ABC ，∴34DE2＝23×34AB2，∴DEAB＝23＝63.∵DCAC＝DEAB＝63，∴DC＝63，∴AD＝1－63，在等边△ABC中，AB边上的高为32.∵h32＝ADAC＝1－631，∴h＝32－22.14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案25＋95＋2133解析如图所示，过Q作QM∥AP交BC于M，由A 1P ＝CQ ＝2，tan ∠AP A 1＝2，则tan ∠CMQ ＝2，CM ＝CQ tan ∠CMQ＝1， 延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1，C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12，则C 1N ＝43，D 1N ＝83，因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103， 又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5， MQ ＝12＋22＝5， 所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋P A ＝5＋5＋2133＋103＋2 5＝25＋95＋2133.15.(2022·山西康杰中学模拟)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则下列说法中错误的是()A．点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶2B．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的面积为73 2C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的形状为四边形答案D解析对于A，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等．由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此，点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍．故选项A正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N .连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝ 2.连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN .等腰梯形MEFN 的高h ＝(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62， 则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332.又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ M PAE N CFQ V V V ----- ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256，所以V 1＝1111ABCD A B C D V -－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ， 同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．(2)解因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，又AE＝DE＝1，CD＝23，EF＝3，BD＝2，所以V＝V A－CDEF＋V A－BCD＝13S梯形CDEF ·AE＋13S△BCD·DE＝736.。
《第二章点、直线、平面之间的位置关系》复习课(知识点回顾)
典型例题 1.如图所示，空间四边形 如图所示， 如图所示 空间四边形ABCD中，E、F、 中 、 、 G分别在 、BC、CD上，且满足 ∶EB 分别在AB、 、 上 且满足AE∶ 分别在 =CF∶FB=2∶1，CG∶GD= 3∶1，过E、 ∶ ∶ ， ∶ ∶ ， 、 F、G的平面交 于H，连接 的平面交AD于 ，连接EH.求AH∶HD； 、 的平面交 求 ∶ ； 解 平面EFGH， ∴EF∥平面 ∥平面ACD.而EF平面 而 平面 ， 且平面EFGH∩平面 平面ACD=GH， 且平面 平面 ， ∴EF∥GH.而EF∥AC， ∥ 而 ∥ ， ∴AC∥GH. ∥ ∴==3,即AH∶HD=3∶1. 即 ∶ ∶
“线线平行”与“线面平行”的转化问题 线线平行” 线面平行” 线线平行 典型例题 1．【06北京 理】如图，在底面为平行四边形的 北京·理 如图， ． 北京 四棱锥P-ABCD中，AB┴AC，PA ┴平面 平面ABCD， 四棱锥 中 ， 平面 ， 的中点. 且PA=AB，点E是PD的中点 ， 是 的中点 求证： 平面AEC。 求证：PB ∥平面 。
直线与直线的位置关系
1. 异面直线的概念 定义:我们把不同在任何一个平面内的两条 定义 我们把不同在任何一个平面内的两条 直线叫做异面直线 2.空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系 (1)相交直线 在同一平面内 有且仅有一个公共点 相交直线—在同一平面内 相交直线 在同一平面内,有且仅有一个公共点 (2)平行直线 平行直线——在同一平面内，没有公共点 在同一平面内， 平行直线 在同一平面内 (3)异面直线 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公 不同在任何一个平面内， 异面直线 不同在任何一个平面内 共点 4.等角或补角定理 空间中如果两个角的两边分 等角或补角定理: 等角或补角定理 别对应平行,那么这两个角相等或互补 那么这两个角相等或互补. 别对应平行 那么这两个角相等或互补
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4.平面与平面之间的位置关系：
（1）两个平面平行……没有公共点； （2）两个平面相交……有一条公共直线。
例题讲解 例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之 间的关系．
例3．下列图形中，满足 的图形是（ ）．
（A）
（B）
（C ）
（D）
例4．一条直线和两条异面直线的一条平行， 则它和另一条的位置关系是（ ）． （A）平行或异面 （B）异面 （C）相交 （D）相交或异面
A
例3
求证：AC⊥DE。
2.空间中直线与直线之间的位置关系：
如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′ 平行，AB与B′C′异面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
空间中如果两个角的两边分别对应平 行，那么这两个角相等或互补。
等角定理：
3.空间中直线与平面之间的位置关系：
（1）直线在平面内……有无数个公共点； （2）直线与平面相交……有且只有一个公 共点；
第二章 点、直线、平面之间的 位置关系复习
一 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面的基本性质：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线在此平面内。
公理2：过不在同一直线上的三点，有且 只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线。
b
已知4：如图，
求证：CD // EF.
= CD, = EF, = AB, AB // .
B
证明：AB//平面
A
AB β
∩β= CD AB//平面 AB ∩ = EF 于是，CD//EF。
AB//CD,
D
F
AB//EF
E
C
三
直线与平面垂直的判定及性质
P
4.平面和平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行．
// 即： = a a // b = b
例题讲练
例1.求证：空间四边形相邻两边中点的连线平 行于经过另外两边所在的平面． A 已知：空间四边形ABCD中，E，F F E 分别AB，AD的中点．
1.直线与平面垂直判定定理
l
b
A
a
a l b a b = A
la l b
2.直线与平面垂直的性质
垂直于同一个平面的两条直线平行
a
b
2.平面与平面垂直的判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面 垂直.
A
由此图你能想到什么?
平面PAC 平面PBC.
P C A
O
B
一些常用结论
1.三条两两相交的直线可确定1个或3个平面. 2.不共面的四点可确定4个平面.
3.三个平面两两相交,交线有1条或3条.
4.正方体各面所在平面将空间分成27个部分. 5.夹在两个平行平面之间的平行线段相等. 6.平行于同一个平面的两个平面平行. 7.垂直于同一条直线的两个平面平行.
8.共点的斜线段相等,则它们在同一平面的射影 P 相等.
9.如图,若PA=PB=PC,则O 是 △ABC的外心. 10.如图,若PA,PB,PC两两 垂直,则O 是△ABC的垂心. 11.如图,若点P到三边的距离 相等(即PD=PE=PF),则O是 △ABC的内心.
A O P
C B
C D O E
F B
..
求证：EF//平面BCD．
D
B
C
例题2：
正方体ABCD A1B1C1D1中， 证明平面C1BD // 平面AB1D1.
D1
C1 B1
A1
D
C
A
B
例题3： 已知
平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面， 求证：另一条也平行于这个平面
如图：已知直线a，b，平面， 且a // b，a//，a，b都在平面外。 a 求证：b//
例5．用符号表示“若A、B是平面a 内的两 点， C是直线AB上的点，则C必在 a 内”， 即是________________．
二
直线与平面平行的判定及性质
1.直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行，则该直线与此平面平行
a
b
a b a // a // b
2.直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的任 意平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平 行。
a
b
a // , a , = b
a // b
3、两个平面平行的判定
判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行．
b a b = P // a // b //个平面垂直的性质
定理：如果两个平面垂直，那么在一 个平面内垂直于它们交线的直线垂直 于另一个平面．
典型例题
例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直 线A1B和平面A1B1CD所成的角
D1 C1
A1
B1
O
D C
A
B
例2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：