点、直线、平面之间的位置关系复习

..
求证：EF//平面BCD．
D

B
C
例题2：
正方体ABCD A1B1C1D1中， 证明平面C1BD // 平面AB1D1.
D1
C1 B1
A1
D
C
A
B
例题3： 已知
平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面， 求证：另一条也平行于这个平面
如图：已知直线a，b，平面， 且a // b，a//，a，b都在平面外。 a 求证：b//
P
4.平面和平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行．
// 即： = a a // b = b
例题讲练
例1.求证：空间四边形相邻两边中点的连线平 行于经过另外两边所在的平面． A 已知：空间四边形ABCD中，E，F F E 分别AB，AD的中点．
l
O B

4.两个平面垂直的性质
定理：如果两个平面垂直，那么在一 个平面内垂直于它们交线的直线垂直 于另一个平面．
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典型例题
例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直 线A1B和平面A1B1CD所成的角
D1 C1
A1
B1
O
D C
A
B
例2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
例5．用符号表示“若A、B是平面a 内的两 点， C是直线AB上的点，则C必在 a 内”， 即是________________．
二
直线与平面平行的判定及性质
1.直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行，则该直线与此平面平行
a
b

a b a // a // b
2.直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的任 意平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平 行。


a
b
a // , a , = b
a // b
3、两个平面平行的判定
判定定理：一个平面内两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行．
b a b = P // a // b // a
2.空间中直线与直线之间的位置关系：
如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′ 平行，AB与B′C′异面。
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
空间中如果两个角的两边分别对应平 行，那么这两个角相等或互补。
等角定理：
3.空间中直线与平面之间的位置关系：
（1）直线在平面内……有无数个公共点； （2）直线与平面相交……有且只有一个公 共点；
8.共点的斜线段相等,则它们在同一平面的射影 P 相等.
9.如图,若PA=PB=PC,则O 是 △ABC的外心. 10.如图,若PA,PB,PC两两 垂直,则O 是△ABC的垂心. 11.如图,若点P到三边的距离 相等(即PD=PE=PF),则O是 △ABC的内心.
A O P
C B
C D O E
F B
平面PAC 平面PBC.
P C A

O
B
一些常用结论
1.三条两两相交的直线可确定1个或3个平面. 2.不共面的四点可确定4个平面.
3.三个平面两两相交,交线有1条或3条.
4.正方体各面所在平面将空间分成27个部分. 5.夹在两个平行平面之间的平行线段相等. 6.平行于同一个平面的两个平面平行. 7.垂直于同一条直线的两个平面平行.
第二章 点、直线、平面之间的 位置关系复习
一 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面的基本性质：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么 这条直线在此平面内。
公理2：过不在同一直线上的三点，有且 只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线。
A
例3
求证：AC⊥DE。
b

已知4：如图，
求证：CD // EF.
= CD, = EF, = AB, AB // .
B
证明：AB//平面
A
AB β
∩β= CD AB//平面 AB ∩ = EF 于是，CD//EF。
AB//CD,
D
F

AB//EF


E
C
三
直线与平面垂直的判定及性质
（3）直线与平面平行……没有公共点。
4.平面与平面之间的位置关系：
（1）两个平面平行……没有公共点； （2）两个平面相交……有一条公共直线。
例题讲解 例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之 间的关系．
例3．下列图形中，满足 的图形是（ ）．
（A）
（B）
（C ）
（D）
例4．一条直线和两条异面直线的一条平行， 则它和另一条的位置关系是（ ）． （A）平行或异面 （B）异面 （C）相交 （D）相交或异面
1.直线与平面垂直判定定理
l
b

A
a
a l b a b = A
la l b
2.直线与平面垂直的性质
垂直于同一个平面的两条直线平行
a
b

2.平面与平面垂直的判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面 垂直.



A

由此图你能想到什么?