高中数学《直线与平面垂直的判定》课件
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
高中数学1.2.3直线与平面垂直的判定课件新人教B必修2.ppt
结论：直线AB垂直于平面内的任意一条直线,
那么它就垂直于这个平面．
（2）观察归纳—形成概念
直线与平面垂直的定义：
如果一条直线 l 垂直于平面α 内的任意一条 直线，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直。
记作：l
垂足
α
平面 的垂线
l
P
直线 l 的垂面
特别注意
由定义知： 一条直线垂直于一平面内的所有直线
符号语言：
l a
垂直
l b
a
内 b
相交 abA
图形语言：
l
判定定理
线线垂直
线面垂直
性质
l
b
Aa
巩固练习
1.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)与平面ABCD垂直的直线有 AA1、BB1、CC1、D_D_1。
(2)与直线AB垂直的平面有_ 平面A_1D、 平面BC1_
D1 A1
C1 B1
V
K
A
C
B
变式：
⑴在例2的条件下，若E、F分
V
别是AB、BC 的中点，试判断
EF与平面VKB的位置关系．
K
A
C
E
F
B
⑵ 在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，所以VB⊥平面ABC”，对吗？
当堂检测
1．下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α.
②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；
（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了那些数学思
想方法？
定理
线线垂直
性质
线面垂直
空间问题
平面问题
思考 :如果直线 a , b 都垂直于平面 ，
那么它就垂直于这个平面．
（2）观察归纳—形成概念
直线与平面垂直的定义：
如果一条直线 l 垂直于平面α 内的任意一条 直线，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直。
记作：l
垂足
α
平面 的垂线
l
P
直线 l 的垂面
特别注意
由定义知： 一条直线垂直于一平面内的所有直线
符号语言：
l a
垂直
l b
a
内 b
相交 abA
图形语言：
l
判定定理
线线垂直
线面垂直
性质
l
b
Aa
巩固练习
1.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)与平面ABCD垂直的直线有 AA1、BB1、CC1、D_D_1。
(2)与直线AB垂直的平面有_ 平面A_1D、 平面BC1_
D1 A1
C1 B1
V
K
A
C
B
变式：
⑴在例2的条件下，若E、F分
V
别是AB、BC 的中点，试判断
EF与平面VKB的位置关系．
K
A
C
E
F
B
⑵ 在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，所以VB⊥平面ABC”，对吗？
当堂检测
1．下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α.
②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；
（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了那些数学思
想方法？
定理
线线垂直
性质
线面垂直
空间问题
平面问题
思考 :如果直线 a , b 都垂直于平面 ，
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
直线与平面垂直的判定课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2
1
BO A1 B
2
BA1O 30
A
B
直线A1 B和平面A1 DCB1所成的角为30
1、直线与平面垂直的定义
2、直线与平面垂直的判定
3、直线与平面的夹角
1、本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的
？
2、直线与平面垂直的定义与判定和前面学过的直线与平面平行
的定义与判定在知识结构、思想方法等方面有哪些共同点和不
直线与平面垂直 （第一课时）
年
级：高一年级
学
科：数学（人教版）
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如：
阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面上的影子BC，
随着时间的变化，影子BC的位置在不断变化，旗杆AB所在
直线与其影子BC所在的直线是否保持垂直？
旗杆AB所在直线与地面任意一条直线都垂直?
A
CC1BD源自CA1D
1
A
D
B
C
当折痕为高线时，
为什么可以说折痕
一定与桌面垂直呢？
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直
符号语言：m , n
mn P
l m, l n
l
例3
求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，
那么另一条直线也垂直于这个平面
如图，已知 ɑ∥b ,ɑ⊥
,求证：b⊥
a
b
m
n
P
如图，已知 ɑ∥b ,ɑ⊥
,求证：b⊥
证明：如图在平面内取两条相交直线m, n a
直线a
1
BO A1 B
2
BA1O 30
A
B
直线A1 B和平面A1 DCB1所成的角为30
1、直线与平面垂直的定义
2、直线与平面垂直的判定
3、直线与平面的夹角
1、本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的
？
2、直线与平面垂直的定义与判定和前面学过的直线与平面平行
的定义与判定在知识结构、思想方法等方面有哪些共同点和不
直线与平面垂直 （第一课时）
年
级：高一年级
学
科：数学（人教版）
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如：
阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面上的影子BC，
随着时间的变化，影子BC的位置在不断变化，旗杆AB所在
直线与其影子BC所在的直线是否保持垂直？
旗杆AB所在直线与地面任意一条直线都垂直?
A
CC1BD源自CA1D
1
A
D
B
C
当折痕为高线时，
为什么可以说折痕
一定与桌面垂直呢？
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直
符号语言：m , n
mn P
l m, l n
l
例3
求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，
那么另一条直线也垂直于这个平面
如图，已知 ɑ∥b ,ɑ⊥
,求证：b⊥
a
b
m
n
P
如图，已知 ɑ∥b ,ɑ⊥
,求证：b⊥
证明：如图在平面内取两条相交直线m, n a
直线a
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
人教版高一数学《2.3.1直线与平面垂直的判定》课件
A
A
B
CB
D
D
C
如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后直线AD与桌 面所在的平面垂直？
A A
B
D
B
DC
C
思考：由上可知当折痕AD垂直平面α内的两条相 交直线时，折痕AD与平面α垂直.由此我们是否能 得出直线与平面垂直的判定方法？
定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
l
m
o
E
A B DC
直线与平面垂直的定义：
如果直线l与平面α 内的任意一条直线都垂直，就称直 线l与平面α 互相垂直。
记作： l⊥α
l
平面的垂线
A
直线的垂面
垂足
思考：如果一条直线垂直于一个平面内的无数 条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？
问题探究（二）：直线与平面垂直的判定
思考：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来 判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？
D1 A1
E
D
A
C1 B1
C B
思考:如图，过平面α外一点P引平面α的两条斜 线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P引平面α的垂 线，垂足为O，如果PA>PB，那么OA与OB的大小关 系如何？反之成立吗？
P
PA PB OA OB
αA
OB
思考:如图，直线l是平面α的一条斜线，它在平面 α内的射影为b，直线a在平面α内，如果a⊥b， 那么直线a与直线l垂直吗？为什么？反之成立吗？
l
b ab al
αa
思考:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 在实际应用或解题中，怎样去求这个角？
直线与平面垂直课件(共17张PPT)
线与平面垂直吗？
（2）如果一条直线与一个平面内的 无数条直线 都垂直，那么这条
直线与平面垂直吗？
l
任意一条直线
α P. …
线不在多， 所有直线 相交则灵
4.概念辨析，巩固新知
小结：证明线面垂直的方法：线线垂直 线面垂直
1.定义： 任意一条直线
所有直线 无限
2.判定定理： 两条相交直线
有限
线不在多， 相交则灵
3.操作确认，探究定理
当且仅当 折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面垂直.
二、直线与平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该
直线与此平面垂直.
线线垂直 线面垂直
图形语言：
符号语言：
4.概念辨析，巩固新知
思考：
两条相交直线
（1）如果一条直线与一个平面内的 两条直线 垂直，那么这条直
又
m ∩ n=P，
∴ b⊥α .
5.推理论证，定理应用
练习 如图，在三棱锥 S-ABC 中，∠ACB = 90°, SA⊥平面ABC .
求证：BC⊥平面SAC .
S
证明：
线面垂直 线线垂直 A来自B C线线垂直 线面垂直
6.渗透文化，拓展延申
刘徽，是魏晋期间伟大的数学家，中国 古典数学理论的奠基人之一。
4.数学文化 的渗透
7.课堂小结，课后思考
1.如果要检验一根新旗杆与地面是否垂直， 你有什么好方法吗？ 2.我们通过直观感知和操作确认，已经 从直观上得出了线面垂直的判定定理， 你能从理论上用所学的知识解释它吗？
谢谢观看，再见！
8.6.2 直线与平面垂直
1.复习引入，类比研究
直线与平面垂直 ppt课件
普通高中（高一）数学教科书
人教A版（2019）必修第二册
8.6.2 直线与平面垂直（第一课时）
【单元知识结构框架】
直线与直线垂直
平面与平面垂直
【课时目标】
（1）能通过具体实例，抽象出直线与平面垂直的定义，能说出直线
与平面垂直的条件和结论；能用“三种语言”表达直线与平面垂直的定
义；能利用定义研究点到平面的距离。
设正方体的棱长为.
∵ �� ⊥ , ⊥ , ∩
= ,
∴ ⊥ 平面 , ∴ ⊥ .
又∵ ⊥
∴ ⊥平面
∴ 为斜线 在平面 上的射影，
垂直。将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
为什么？
追问3 在平面几何中，得出平面内过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直后，我们定义了点到直线的距离。类似的，有了过一点有且只
有一条直线与已知平面垂直后，我们可以定义什么？
三、新知探索--线面垂直的判定定理
如图，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验：
义两条直线所成角的基础上，把所成角为90°时的两条直
线称为相互垂直。如果按照这个思路，我们要先定义直
线与平面所成的角，你认为该如何定义？
A
二、新知探索--直线与平面垂直的定义
问题2 在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及
它在地面的影子BC。随着时间的推移，影子
BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与
其影子BC所在直线是否保持垂直？
A
C
B
二、新知探索--直线与平面垂直的定义
A
C
B
二、新知探索--直线与平面垂直的定义
A
C
人教A版（2019）必修第二册
8.6.2 直线与平面垂直（第一课时）
【单元知识结构框架】
直线与直线垂直
平面与平面垂直
【课时目标】
（1）能通过具体实例，抽象出直线与平面垂直的定义，能说出直线
与平面垂直的条件和结论；能用“三种语言”表达直线与平面垂直的定
义；能利用定义研究点到平面的距离。
设正方体的棱长为.
∵ �� ⊥ , ⊥ , ∩
= ,
∴ ⊥ 平面 , ∴ ⊥ .
又∵ ⊥
∴ ⊥平面
∴ 为斜线 在平面 上的射影，
垂直。将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
为什么？
追问3 在平面几何中，得出平面内过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直后，我们定义了点到直线的距离。类似的，有了过一点有且只
有一条直线与已知平面垂直后，我们可以定义什么？
三、新知探索--线面垂直的判定定理
如图，准备一块三角形的硬纸片，做一个试验：
义两条直线所成角的基础上，把所成角为90°时的两条直
线称为相互垂直。如果按照这个思路，我们要先定义直
线与平面所成的角，你认为该如何定义？
A
二、新知探索--直线与平面垂直的定义
问题2 在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及
它在地面的影子BC。随着时间的推移，影子
BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与
其影子BC所在直线是否保持垂直？
A
C
B
二、新知探索--直线与平面垂直的定义
A
C
B
二、新知探索--直线与平面垂直的定义
A
C
高中数学课件-1.6.1 直线与平面的垂直判定 课件 (共19张PPT)
1.如果直线 l 和平面内的一条直线垂直，能保证直线与 平面垂直吗？
2.如果直线 l 和平面内的两条直线垂直，能保证直线与 平面垂直吗？
课堂探究
【验证你的猜想：数学实验】
A’
M’
B’
C’
N’
D’
E
F
A
M
B
C
N
D
1.将两张硬纸板分别沿虚线剪开一条缝
2.将缝N’F与ME相互插入,使M’E与N’F重合,从而MM’ 与NN’重合.
课堂探究
直线与平面垂直的定义 • 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂
新疆 王新敞
奎屯
直，那么称这条直线与这个平面垂直.
记作：l⊥α
平面α的垂线 l
直线l的垂面 α
P 垂足
课堂探究
思考：根据定义来判定直线和平面垂直，可以吗？ 操作起来方便吗？ 有没有更好的方法呢？
课堂探究
【说出你的猜想】
线垂直面，那么线垂直面里所有直线 勾股公理 菱形对角线垂直 ④等腰三角形中线与底边垂直 5.直径所对的圆周角为直角
(3)根据6.1线面垂直判定定理得出要证明的结论. 注意：书写规范.
数学应用，巩固深化
例2 如图所示，在Rt△ABC中， ∠B=90o，点P为△ABC所在平面外一点， PA⊥平面ABC. 请问： △PBC是什么 三角形？并证明你的结论.
1.6 直线与平面的 垂直关系
北京天安门广场 上的旗杆与地面 什么位置关系？
国庆天安门广场升旗仪式 /edu/ppt/ppt_pl ayVideo.action?mediaVo.resId=55d29
课堂探究
新疆 王新敞
奎屯
结合上述图片及模型，试着从数学上给出直线与平面垂直的定义.
2.如果直线 l 和平面内的两条直线垂直，能保证直线与 平面垂直吗？
课堂探究
【验证你的猜想：数学实验】
A’
M’
B’
C’
N’
D’
E
F
A
M
B
C
N
D
1.将两张硬纸板分别沿虚线剪开一条缝
2.将缝N’F与ME相互插入,使M’E与N’F重合,从而MM’ 与NN’重合.
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直线与平面垂直的定义 • 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂
新疆 王新敞
奎屯
直，那么称这条直线与这个平面垂直.
记作：l⊥α
平面α的垂线 l
直线l的垂面 α
P 垂足
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思考：根据定义来判定直线和平面垂直，可以吗？ 操作起来方便吗？ 有没有更好的方法呢？
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【说出你的猜想】
线垂直面，那么线垂直面里所有直线 勾股公理 菱形对角线垂直 ④等腰三角形中线与底边垂直 5.直径所对的圆周角为直角
(3)根据6.1线面垂直判定定理得出要证明的结论. 注意：书写规范.
数学应用，巩固深化
例2 如图所示，在Rt△ABC中， ∠B=90o，点P为△ABC所在平面外一点， PA⊥平面ABC. 请问： △PBC是什么 三角形？并证明你的结论.
1.6 直线与平面的 垂直关系
北京天安门广场 上的旗杆与地面 什么位置关系？
国庆天安门广场升旗仪式 /edu/ppt/ppt_pl ayVideo.action?mediaVo.resId=55d29
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结合上述图片及模型，试着从数学上给出直线与平面垂直的定义.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 2．3.1 直线与平面垂直的判定
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研究对象
知识点一 直线与平面垂直的定义及画法
行．( × )
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)过平面外一点作该平面的垂线有____1____条． (2)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况， 不能保证该直线与平面垂直的是__②__④____(填序号)． ①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的
影．平面的一条斜线和□6 它在此平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这个平面所成的角，其范围是
□7 (0°，90°) ．
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2．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角
等于 □8 90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说 它们所成的角等于 □9 0° .因此，直线与平面所成的角的 范围是 □10 [0°，90°] ．
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【跟踪训练 1】 设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个 平面，则下列命题正确的是( )
A．若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α B．若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α C．若 l∥α，m⊂α，则 l∥m D．若 l∥α，m∥α，则 l∥m 解析 对于 A，由 l⊥m 及 m⊂α，可知 l 与 α 的位置关 系有平行、相交或在平面内三种，故 A 错误；B 正确；对 于 C，l 与 m 可能平行或异面，故 C 错误；对于 D，l 与 m 的位置关系为平行、异面或相交，故 D 错误．
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探究1 直线与平面垂直的定义 例 1 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α； ②若直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直，则 l⊥α； ③若直线 l 不垂直于 α，则 α 内没有与 l 垂直的直线； ④若直线 l 不垂直于 α，则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直． A．0 B．1 C．2 D．3
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1．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义； (2)利用线面垂直的判定定理； (3)利用下面两个结论： ①若 a∥b，a⊥α，则 b⊥α；②若 α∥β，a⊥α，则 a⊥β.
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3．直线 l 与平面 α 内的两条直线都垂直，则直线 l 与平
面 α 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．在平面 α 内 D．无法确定
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1．(教材改编，P67，T3)判一判(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么
这条直线与这个平面垂直．( × )
(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，
那么这条直线一定不与这个平面垂直．( √ )
(3) 若 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 0°， 则 直 线 与 平 面 平
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解析 当 l 与 α 内的无数条直线垂直时，l 与 α 不一定 垂直，故①不对；当 l 与 α 内的一条直线垂直时，不能保证 l 与 α 垂直，故②不对；当 l 与 α 不垂直时，l 可能与 α 内的 无数条直线垂直，故③不对；④正确．故选 B.
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拓展提升 直线与平面垂直的定义的理解
直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性 质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质， 指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这 个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是 证明线线垂直的一种方法．
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知识点三 直线与平面所成角的定义
1．定义： □1 一条直线和一个平面相交
，但
□2 不和这个平面垂直
，这条直线叫做这个平面的斜
线， □3 斜线和平面的交点 叫做斜足．过斜线上斜足以
外的一点向平面引 □4 垂线 ，与平面的交点为垂足，
□5 过垂足和斜足的直线 叫 做 斜 线 在 这 个 平 面 上 的 射
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2．线线垂直的判定方法 (1)异面直线所成的角是 90°； (2)线面垂直，则线线垂直． 3．求线面角的常用方法 (1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)； (2)转移法(找过点与面ห้องสมุดไป่ตู้行的线或面)； (3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．
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1．定义：如果直线 l 与平面 α 内的□1 任意一条直线都 垂直，我们就说这条直线 l 与平面 α 互相垂直，记作□2 l⊥α， 直线 l 叫做平面 α 的□3 垂线，平面 α 叫做直线 l 的垂面．它
们唯一的公共点 P 叫做垂足．
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2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表 示平面的平行四边形的一边垂直．如下图甲所示．
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知识点二 直线与平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的
□1 两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. 图形语言：如图乙所示．
两条直径；④正六边形的两条边．
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(3)(教材改编，P67，T2)AB 是平面 α 的斜线段，其长为 a，它在平面 α 内的射影 A′B 的长为 b，则垂线 A′A 的长
为___a_2－__b_2_．
(4)如图所示，三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，PA ＝AB，则直线 PB 与平面 ABC 所成的角为___4_5_°___．
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2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 2．3.1 直线与平面垂直的判定
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)过平面外一点作该平面的垂线有____1____条． (2)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况， 不能保证该直线与平面垂直的是__②__④____(填序号)． ①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的
影．平面的一条斜线和□6 它在此平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这个平面所成的角，其范围是
□7 (0°，90°) ．
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2．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角
等于 □8 90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说 它们所成的角等于 □9 0° .因此，直线与平面所成的角的 范围是 □10 [0°，90°] ．
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A．若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α B．若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α C．若 l∥α，m⊂α，则 l∥m D．若 l∥α，m∥α，则 l∥m 解析 对于 A，由 l⊥m 及 m⊂α，可知 l 与 α 的位置关 系有平行、相交或在平面内三种，故 A 错误；B 正确；对 于 C，l 与 m 可能平行或异面，故 C 错误；对于 D，l 与 m 的位置关系为平行、异面或相交，故 D 错误．
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探究1 直线与平面垂直的定义 例 1 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α； ②若直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直，则 l⊥α； ③若直线 l 不垂直于 α，则 α 内没有与 l 垂直的直线； ④若直线 l 不垂直于 α，则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直． A．0 B．1 C．2 D．3
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1．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义； (2)利用线面垂直的判定定理； (3)利用下面两个结论： ①若 a∥b，a⊥α，则 b⊥α；②若 α∥β，a⊥α，则 a⊥β.
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A．平行
B．垂直
C．在平面 α 内 D．无法确定
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1．(教材改编，P67，T3)判一判(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么
这条直线与这个平面垂直．( × )
(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，
那么这条直线一定不与这个平面垂直．( √ )
(3) 若 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 0°， 则 直 线 与 平 面 平
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直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性 质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质， 指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这 个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是 证明线线垂直的一种方法．
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知识点三 直线与平面所成角的定义
1．定义： □1 一条直线和一个平面相交
，但
□2 不和这个平面垂直
，这条直线叫做这个平面的斜
线， □3 斜线和平面的交点 叫做斜足．过斜线上斜足以
外的一点向平面引 □4 垂线 ，与平面的交点为垂足，
□5 过垂足和斜足的直线 叫 做 斜 线 在 这 个 平 面 上 的 射
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2．线线垂直的判定方法 (1)异面直线所成的角是 90°； (2)线面垂直，则线线垂直． 3．求线面角的常用方法 (1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)； (2)转移法(找过点与面ห้องสมุดไป่ตู้行的线或面)； (3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．
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1．定义：如果直线 l 与平面 α 内的□1 任意一条直线都 垂直，我们就说这条直线 l 与平面 α 互相垂直，记作□2 l⊥α， 直线 l 叫做平面 α 的□3 垂线，平面 α 叫做直线 l 的垂面．它
们唯一的公共点 P 叫做垂足．
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2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表 示平面的平行四边形的一边垂直．如下图甲所示．
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知识点二 直线与平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的
□1 两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. 图形语言：如图乙所示．
两条直径；④正六边形的两条边．
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(3)(教材改编，P67，T2)AB 是平面 α 的斜线段，其长为 a，它在平面 α 内的射影 A′B 的长为 b，则垂线 A′A 的长
为___a_2－__b_2_．
(4)如图所示，三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，PA ＝AB，则直线 PB 与平面 ABC 所成的角为___4_5_°___．