高中数学向量专题复习(知识点+典型例题+大量习题附解析)精编材料值得拥有

平面向量

平面向量

平面向量的概念

与线性运算

向量概念及表示

向量的线性运算

平面向量基本定理

及坐标表示

平面向量基本定理

正交分解及坐标表示

坐标运算

平面向量的数量积

数量积的定义

数量积的性质

一、平面向量的概念与线性运算

1．向量概念及表示

定义：即有大小，又有方向的量叫做向量．

表示：

有向线段

小字母上加箭头

起点到终点，大字母加箭头

向量的长度（模）：a r 或AB 的模记作||a 或||AB ． 几种特殊向量：

2．向量的线性运算

例如：AB BC CD AD +=u u u r u u u r u u u r u u u r +，0AB BC CA +=u u u r u u u r u u u r r +，BC BA AC -=u u u r u u u r u u u r ，DE DF FE -=u u u

r u u u r u u u r ．

向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+r r r r r r （等号在向量a r ，b r

共线时取得）．

例如：||3a =r ，||5b =r ，则||a b +r r 的最大值为8，当且仅当a r ，b r

同向时取到；最小值为2，

当且仅当a r ，b r

反向时取到．

3

如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=u u u r u u u r u u u r

（ ）

A ．0r

B ．BE u u u r

C ．A

D u u u r D ．CF u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

4

根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若

BA u u u r =a r ，BC uuu r =b r ，试用a r ，b r 将向量OE uuu r ，BF u u u r ，BD u u u r

，

FD u u u r

表示出来.

u u u r u u u r r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 在ABCD Y 中，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，3AN NC =u u u r u u u r

，

M 为BC 的中点，则MN =u u u u r

_____．

u u u r u u u r r r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r r

向量共线定理：向量(0)a a ≠r r r

与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ． 应用：解决三点共线问题． 重要结论：

ABC V ABC V 中，12

AM AC =u u u u r u u u r ，29AD mAB AC =+u u u r u u u r u u u r

，则

m =______．

12u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

9

设D ，E ，F 分别为ABC V 的三边BC ，CA ，AB ，的中

点，则EB FC +=u u u r u u u r

（ ）

A ．AD u u u r

B ．12AD u u u r

C ．

BC u u u r D ．12

BC u u u r 11u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r u u u r

解析：由0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r

可知M 为ABC V 的重心，

则2211[()]()3323

AM AD AB AC AB AC ==+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ，即

3AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r

，则3m =．

答案：3

练习题：

A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r

B ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r

C ．0A

D C

E C

F +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r

平行四边形ABCD 中，E 是AD 中点，BE AC F =I ，

AF AC λ=，则λ=______．

u u u r r u u u r r 111u u u r u u u r u u u r r r r r r

答案：A

20

设1e u r ，2e u u r 是不共线向量，若向量1235a e e =+r u r u u r 与向量123b me e =-r u r u u r

共线，则m 的值

等于（ ）

A ．95-

B ．53-

C ．35-

D ．59

- 解析，a r 与b r 共线，则满足b a λ=r r ，即12123(35)me e e e λ-=+u r u u r u r u u r ，则335m λλ=⎧⎨-=⎩，解得

9

5

m =-．

答案：A

21

设a r 与b r 是两个不共线的向量，且向量a b λ+r r 与(2)b a --r r

共线，则λ=（ ）

A ．0

B ．-1

C ．-2

D ．-0.5 解析：a b λ+r r 与(2)b a --r r

共线，则存在

μ满足((2))a b b a λμ+=--r r r r

，即

2a b a b λμμ+=-r r r r ，12μλμ

=⎧⎨=-⎩，解得12λ=-．

答案：D

二、平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果1e u r ，2e u u r

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内

的任意向量a r

，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+r u r u u r ，我们把不共线的向量1e u r ，2e u u r

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

例1

如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，

BC 的中点，已知AM c =u u u u r r ，AN d =u u u r u r ，试用c r

，d u r

表示AB u u u r ，AD u u u r ．