最新二次函数图像与性质ppt课件
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二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
C、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向上，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故符合 题意； D、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误； 故选：C．
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
二次函数 的图象和性质--PPT课件
点（h，k）坐标 Nhomakorabea对
称
x=h
轴
最 值
最小值为k
最大值为k
新知应用-----基础知识
新知应用-----拓展提高
这节课你学到了什么
图像及性质 合作、分享 类比、化归
知识 方法 思想
作业布置
• 课后习题 • 练习册
送给大家
函数是纲 纲举目张 数形结合 相得益彰
形如y=a（x-h）2+k二次函数图像性质探索
文件名
抛物 线
开口 方向
顶点 坐标
对称 轴
y=ax2(a>0) y=ax2(a<0)
向上
向下
（0，0） y轴
最值 最小值为0 最大值为0
温馨提示：鼠标拖动点A
文件名
抛物 线
开口 方向
顶点 坐标
对称 轴
y=ax2+k y=ax2+k （a>0) （a<0)
向上
向下
（0，K）
y轴
最值 最小值为k 最大值为k
文件名
抛物 线
开口 方向
顶点 坐标
对称 轴
最值
y=a（x-h）2 y=a（x-h）2
（a>0)
（a<0)
向上
向下
（h，0）
x=h
最小值为0
最大值为0
文件名
抛
物 y=a（x-h）2+k
线
（a>0)
y=a（x-h）2+k （a<0)
开
口
向上
方
向
向下
顶
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
12、二次函数的图象与性质PPT课件
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
11
(3)当b＝0时，抛物线的对称轴为y轴；当b>0，a>0时，对称轴在y轴左侧，b>0，
a<0时，对称轴在y轴右侧；b<0，a>0时，对称轴在y轴右侧，b<0，a<0时，对称轴在
y轴左侧． (4)c＝0时，抛物线经过⑭_原__点____；c＞0时，抛物线与y轴交于⑮__正__半__轴___；c
别为0，也可同时为0；(3)自变量的取值范围是④_全__体__实__数__．
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
2
2．二次函数的三种表达式 (1)一般式：y＝⑤__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)__．这种情势只能看出二次函数图象的开口 方向．当知道三点坐标求解析式时，设出一般式． (2)顶点式：y＝⑥___a_(_x_－__b_)2_＋__k_(_a_≠_0_)_．这种情势不但能看出二次函数图象的开 口方向，还能看出它的对称轴x＝h，顶点坐标(h，k)，最值k.当知道顶点坐标和另一 点坐标求解析式时，设出顶点式．
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
14
三年中考 ·讲练
二次函数解析式的确定
【例1】 (202X淄博)如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经 过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
b2－4ac的符号
b2－4ac② > 0
抛物线y＝ax2＋bx＋c与 x轴的交点的个数
人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
二次函数的图象与性质(第一课时) 课件(共34张PPT)北师大版初中数学九年级下册
（g为定值）
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？
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<列表>
做一做
描点,连线
y
y=x2
10
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
议一议
观察图象,回答问题串
y
y=x2
10
(1)你能描述图象的形状吗?与8 同伴进行交流. (2)图象是轴对称图形吗？如6果是,它的对称轴是什么?请你找出 几对对称点,并与同伴交流.
4 (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
做一做 y
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
y
y=x2
0 x
它们之 间有何 关系？
?
0
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
y x2
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
y x2
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=x2 （0，0）
y= -x2 （0，0）
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,1y 的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x-取4什么-3值时-,2y的值-1最小0?最小1 值是2什么？3 你是4如何x知道的？ -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
在同一坐标系中作出函 数y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当 a=±1时的特殊例子.a的
符号确定着抛物线 的……
0
x
y=-x2
y x2
二次函数y=ax2的性质
y x2 1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无 限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且 向下无限伸展.
观察图象,回答问题串
0
y 2 （1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. （2)图象-4与x轴-3有交-点2 吗？-1如果--21有,交1 点坐2标是什3 么?4 x
（3)当x<0时,随着x的值增大,y-4的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小?-最6 小值是什么？你是如何知道的？
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为 42(1)2,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
?
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的
点有两个，它们分别是 ( 3,6)与 (3,6)
当x= -1时,y= -1
y x2
当x=1时,y= -1 当x=2时,y= -4
当x>0 (在对称轴的右 侧)时, y随着x的增大 而减小.
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而增大.
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点 外),顶点是它的最高点,开口向下,并 且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值 最大,最大值是0.
例题欣赏
知道就做别客气
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） ,对称轴是 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的左
x的增大而减小,当x= 抛物线y=2x2在x轴的
0
时,函数y的值最小,最小值是
上 方(除顶点外).
y轴 , 侧,y随着
0,
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x 3
做一做图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
你能根据表格中的数据作 出猜想吗？
做一做
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
做一做
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的 增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增 大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
例题欣赏
我思，我进步
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
当x>0 (在对称轴的右侧) 时, y随着x的增大而增大.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上,并且向 上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小, 最小值是0.
（5)图象是轴对称图形吗？如果-8是,它的对称轴是什么?请你找出几 对对称点,并与同伴交流.
-10 y=-x2
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
当x= -2时,y= -4
的 增大而增大 ；在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小 ,当x=0时,
函数y的值最大,最大值是 0 ,当x
0时,y<0.
小结
拓展
y x2
回味无穷
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
有的放矢
学习目标 w 1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象；
w 2、根据函数y=x2和y=-x2图象，直观地了解它的性质.
有的放矢
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
做一做
描点,连线
y
y=x2
10
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
议一议
观察图象,回答问题串
y
y=x2
10
(1)你能描述图象的形状吗?与8 同伴进行交流. (2)图象是轴对称图形吗？如6果是,它的对称轴是什么?请你找出 几对对称点,并与同伴交流.
4 (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
做一做 y
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
y
y=x2
0 x
它们之 间有何 关系？
?
0
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
y x2
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
y x2
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=x2 （0，0）
y= -x2 （0，0）
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,1y 的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x-取4什么-3值时-,2y的值-1最小0?最小1 值是2什么？3 你是4如何x知道的？ -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
在同一坐标系中作出函 数y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当 a=±1时的特殊例子.a的
符号确定着抛物线 的……
0
x
y=-x2
y x2
二次函数y=ax2的性质
y x2 1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无 限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且 向下无限伸展.
观察图象,回答问题串
0
y 2 （1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. （2)图象-4与x轴-3有交-点2 吗？-1如果--21有,交1 点坐2标是什3 么?4 x
（3)当x<0时,随着x的值增大,y-4的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小?-最6 小值是什么？你是如何知道的？
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为 42(1)2,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
?
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的
点有两个，它们分别是 ( 3,6)与 (3,6)
当x= -1时,y= -1
y x2
当x=1时,y= -1 当x=2时,y= -4
当x>0 (在对称轴的右 侧)时, y随着x的增大 而减小.
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而增大.
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点 外),顶点是它的最高点,开口向下,并 且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值 最大,最大值是0.
例题欣赏
知道就做别客气
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） ,对称轴是 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的左
x的增大而减小,当x= 抛物线y=2x2在x轴的
0
时,函数y的值最小,最小值是
上 方(除顶点外).
y轴 , 侧,y随着
0,
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x 3
做一做图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
你能根据表格中的数据作 出猜想吗？
做一做
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
做一做
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的 增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增 大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
例题欣赏
我思，我进步
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
当x>0 (在对称轴的右侧) 时, y随着x的增大而增大.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上,并且向 上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小, 最小值是0.
（5)图象是轴对称图形吗？如果-8是,它的对称轴是什么?请你找出几 对对称点,并与同伴交流.
-10 y=-x2
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
当x= -2时,y= -4
的 增大而增大 ；在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小 ,当x=0时,
函数y的值最大,最大值是 0 ,当x
0时,y<0.
小结
拓展
y x2
回味无穷
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
有的放矢
学习目标 w 1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象；
w 2、根据函数y=x2和y=-x2图象，直观地了解它的性质.
有的放矢
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表: