人版初三下反比例函数常见题型解法思维导图(原创)
初中数学《反比例函数》单元教学设计以及思维导图
② 你能根据反比例数学 y=k/x 的图象画出 y=-k/x 的图象吗？ ③ 结合反比例函数 y=3/x 的图象与 y=-3/x 的关系引导学生画 y=-3/x 的图象。 ④ 分析每支图象升降趋势。 [设计意图] 通过多媒体演示直观形象地得出 y=k/x 与 y=-k/x 的同一坐 标系的位置关系以及如何利用这种关系画反比例函数图象，让学生初 步感知双曲线特征，同时也使同学们从中感悟图形美。 2、、【多媒体展示】：归纳反比例函数图象和性质并与一次函数比较完 成表格：
主 题 单 2. 作出反比例函数图象并归纳其特点
元 问 题 3．体会函数的三种表示方法间的相互转化
设计
4. 观察具体反比例函数图象，归纳：位于哪个象限、y
随 x 的变化而变化的规律。
5. 从函数图象中获取信息，解决实际问题。
专题一：反比例函数概念
（ 1课
时）
专题二：探究反比例函数的图象和性质
时） 专题划
成功体验。
专题三：反比例函数的应用 分
时）
（ 2课 （ 1课
………… 其中，专题三
（或专题三 中的活动 作为研究性
学习）
专题一 反比例函数概念
所需课
1 课时 时
专题学习目标
知识与技能：
1.从现实情境和已有的知识经验出发,讨论两个变量之间的相似关系, 加深对函数概念的理解. 2.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例 函数表达式. 过程与方法：
离开超市没多久，来到校门前，哎？有拍大头贴的，小明最喜欢 拍大头贴了。可惜身上的钱只够拍一份，他想多拍几张，又希望每一 张都大一点，真伤脑筋啊！折腾了半天终于拍完了，一看时间，糟了，
2.2 常见函数(附思维导图)
2.2常见函数一、一次函数和常函数：思维导图：（一） 、一次函数 （二）、常函数 定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域: （- ∞，+ ∞） 值 域：（- ∞，+ ∞） 正 k=0 反 值 域：{ b }解析式：y = kx + b ( k ≠ 0 ) 解析式：y = b ( b 为常数)图 像：一条与x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与x 轴平行或重合的直线b>0 b=0 b<0 K > 0 k < 0单调性： k > 0 ,在（- ∞，+ ∞）↑ 单调性：在（- ∞，+ ∞）上不单调 k < 0 ,在（- ∞，+ ∞）↓奇偶性：奇函数⇔=0b 奇偶性: 偶函数 非奇非偶⇔≠0b周期性: 非周期函数 周期性：周期函数，周期为任意非零实数 反函数：在（- ∞，+ ∞）上有反函数 反函数:在（- ∞，+ ∞）上没有反函数 反函数仍是一次函数例题：二、二次函数1、定义域：（- ∞，+ ∞）2、值 域： ),44[,02+∞-∈>ab ac y a]44,(,02ab ac y a --∞∈<3、解析式：)0(2≠++=a c bx ax y4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线开口向下，开口向上；正负：增大，开口缩小绝对值：随着,00<>a a a a正半轴相交与负半轴相交与y c y c c,0,0><对称轴：ab x 2-=对称轴： ；)44,2(2ab ac ab --顶点： 轴交点个数图像与x ac b →-=∆42：与x 轴交点的个数。
两个交点,0>∆一个交点,0=∆无交点,0<∆5、单调性：↑+∞-↓--∞>),2[]2,(,0ab ab a↓+∞-↑--∞<),2[]2,(,0ab ab a6、奇偶性：偶函数⇔=0b7、周期性：非周期函数8、反函数：在（- ∞，+ ∞）上无反函数，上及其子集上有反函数或在),2[]2,(+∞---∞ab ab例题:三、反比例函数和重要的分式函数（一）、反比例函数 （二）、分式函数bax dcx y ++= 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 定义域：),(),(+∞---∞aba b Y 值 域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域: ),(),(+∞-∞a c a c Y解析式：)0()(≠=k xk x f 解析式：)(a bx b ax d cx y -≠++=图 像：以x 轴、y 轴为渐进线的双曲线 图 像：以a b x -=和acy =为渐近线的双曲线y y0 x 0 xk > 0 k < 0单调性： k>0,（- ∞，0）↓,（0，+ ∞）↓ 单调性:在),(a b --∞和),(+∞-ab上 k<0,（- ∞，0）↑,（0，+ ∞）↑ 单调性相同 奇偶性：奇函数 奇偶性：非奇非偶 对称性：关于原点对称 对称性：关于点),(aca b -成中心对称 周期性：非周期函数 周期性：非周期函数反函数：在定义域上有反函数， 反函数：在定义域有反函数， 反函数是其本身。
初中数学《一次函数与反比例函数》单元教学设计以及思维导图
初中数学《一次函数与反比例函数》单元教学设计以及思维导图一次函数与反比例函数主题单元设计适用年级九年级所需时间10课时（说明：课内共用10课时，每周5课时；课外共用2课时）主题单元学习概述函数是数学中重要的基本概念之一，它是从显示世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具；函数知识渗透在中学教学的许多内容之中，它又与物理、化学等学科的知识密切相关。
本章内容的安排，先举例讲述数量以及变化过程和变量，讲述变量之间的相互联系和相互依存，使学生对函数获得感性的认识；接着，用朴素的语言描述函数的感念，注重两个变量之间存在确定的依赖关系这一基本特征；然后，研究正比例函数和反比例函数，以它们为载体，帮助学生初步感知变量数学，体会研究函数的基本方法；在学生对函数具有一般了解和具体研究的基础上，再整理函数的表示法，讨论生活实际中的函数问题，深化对函数的理解。
主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：1、经历函数概念的形成过程，认识变量与常量，理解变量之间的相互依赖关系，理解函数的意义；2、知道函数的定义域、函数值的意义，知道符号“y=f(x)”的意义，会求函数值；3、理解正比例关系和反比例关系，理解一次函数和反比例函数的概念，掌握正比例函数和反比例函数的基本性质；4、会用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式。
过程与方法：1、通过采取学习交流心得、小节体会等多种多样的形式，进行自主性评价2、利用图象直观的研究函数性质，通过研究解决问题，引导学生逐步认识，深入体会，初步掌握有关的数学思想和方法3、鼓励学生积极探究，大胆发表意见，认真参加操作实践活动。
情感态度与价值观：从数学的角度去思考问题，能通过数学的操作实验或理性活动进行合情推理;关心现实世界中的数学现象并具有积极探索的兴趣，能从数学的角度提出问题和进行研究。
对应课标1．函数(1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。
初中数学《反比例函数》单元教学设计以及思维导图
情感态度：与价值观通过学习反比例函数，培养学生合作交流意识和 探索能力； 在探究反比例函数性质的过程中，让学生初步感知反比例函数图像的
对称性， 运用反比例函数解决实际问题的过程中，体验数学的应用性，提高学 习数学的兴趣。 ：
对应课标 1. 理解反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例 函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数， 2. 能描点画出反比例函数的图像，会用待定系数法法求反比例函 数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法 和图像法的各自特点； 3. 能根据图像数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和 性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题； 4. 再次经历函数建模的过程，进一步体会函数是刻画现实世界中 变化规律的重要数学模型 5. 能用反比例函数解决简单实际问题。
1.什么是反比例函数？如何判断一个给定函数是否为反
比例函数？如何确定反比例函数解析式？ 专题问题
2.反比例函数图像是什么？它有哪些性质？ 设计
3.用到了哪些数学思想？
所需教学环境和教学资源
信息化 课件、常见问题解答、计算机、课外书、学案
资源
常规资 纸、粉笔、黑板
源
教学支 多媒体教室
撑环境
其 练习用的纸，笔等
主题单元学习目标 知识与技能：理解反比例函数的意义，能够根据已知条件确定反比例 函数的解析式； 会用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质； 运用反比例函数的概念解决实际问题
过程与方法：经历从实际问题抽象出反比例函数模型的过程，体会反 比例函数来源于实际； 通过动手画图，观察图像，分析、探究反比例函数的性质，培养学生 的探究、归纳及概括能力；经历“实际问题-建立模型—拓展应用” 的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力。
反比例函数思维导图
点坐标的变换
概念
(k≠0） 其他形式
k=xy
图像与性质
图像在第一三象限
在每个象限，y随x增大而减小
k>0
中心对称图形，对称中心是原点
图像与性质
对称轴图形
对称轴
图像在第二四象限
直线y=x 直线y=-x
在每个象限内，y随x增大而增大
k<0
中心对称图形，对称中心是原点
对称轴图形
对称轴
直线y=x 直线y=-x
反比例函数思维导图如下：
反比例函数思维导图
关于x轴对称：（m,-n)
关于y轴对称：（-m,n)
关于原点对称（-m,-n)
关于直线y=x对称：（n,m)
关于直线y=-x对称：（-n,-m）
关于原点旋转90°（n,m)(注意根据象限判断符号）
（km,kn) (-km,-kn)
Hale Waihona Puke 关于原点位似，位似比为k已知点（m,n)
求取值范围、已知三点横坐标大小，比较纵坐标大小
从双曲线上任意一点向x轴y轴作垂线，两垂线与坐标轴所围成的 矩形面积=
双曲线
双曲线与直线综合 反比例函数的应用
求双曲线与直线交点
联立方程组
求双曲线与直线的两个交点与原点构成的三角形的面积
单一的应用 与直线、抛物线的综合应用
交点在同一象限 交点在不同象限
补形法 分割法
人教版 九年级数学下册第二十六章反比例函数小结课件 (共19张PPT)
．
4．若点（－5，y1），（－3，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝
象上，则y1，y2，y3的大小关系（从小到大）为
+
−
的图
．
5．已知正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝ 的图象交于点A（1，2），则正比例
函数与反比例函数图象的另一个交点的坐标是
．
研究的视角及结论：
课堂练习
4－2m＜0
= ，
的解．
= +
3
2
（3）因为点A的坐标为（－4， ），
（－4， ）
点B的坐标为（1，－6），
A
x
O
所以方程组的解为:
= −4，
= 1，
3
或
= −6.
=
{
B
（1，－6）
2
{
例题讲解
例2 如图，反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象与一次函数y＝ax＋b（a，b
2
x
又S△AOE＋S四边形OEBF＋S△COF＝S矩形OABC，
1
1
得 k＋4＋ k＝2k，解得k＝4．
2
2
例题讲解
例1 如图，已知反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过矩形OABC边AB的中点E，交
边BC于点F．若四边形OEBF的面积为4，则k＝
思路2：
y
（ ， ）
（0， ）
为常数，a≠0）的图象交于点A（－4， ），B两点，其中点B的纵坐标为－6．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式．
y
A
x
O
中考总复习数学13-第一部分 第13讲 反比例函数及其应用
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第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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续表
在每个象限内,y随x的增大
增减性
而⑤ 减小
对称性
是轴对称图形,对称轴为直线y=⑦
⑧ 原点O
在每个象限内,y随x的增大
而⑥增大
±x
; 是中心对称图形,对称中心是
图象由分别位于两个象限的双曲线组成,图象无限接近坐标轴,但不与
图象特征
坐标轴相交.
第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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考点 4 反比例函数的应用
1.判断同一坐标系中反比例函数图象和一次函数图象的方法
(假设法)假设反比例函数正确,即可确定 k的取值范围,再根据 k 的取值范围
确定一次函数图象,无矛盾,则正确.
2.已知两个函数图象,求交点坐标
(1)求一次函数图象与反比例函数图象的交点,将两个函数解析式联立方程组
位置关系,依据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大 ,在各区域
内找对应的x的取值范围.
4.求图形面积
(1)当图形有一边在坐标轴上时,通常将坐标
轴上的边作为底边,再利用点的坐标求出底边上的高,最后用面积公式求解.
(2)当图形三边都不在坐标轴上时,一般用“割补法”.
第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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2.与反比例函数中k的几何意义有关的面积计算
S△AOP=⑩
S△APP‘=
|k|
2|k|
S△OBP= |k|
S△ABC=
|k|
S矩形OAPB=|k|
S▱ABCD=
|k|
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初中数学《反比例函数》单元教学设计以及思维导图
所需教学环境和教学资源
信息化资源 常规资源
电脑、ppt 软件、几何画板软件、电子白板、 实物投影仪 问题实例、课本、笔、直尺
学习活动设计
活动一 创设情境 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全迅速 通过，它们沿着前进的路线铺垫了若干块木板， 构筑成一条临时的通道，从而完成了任务你能解释他们这样做的道理 吗？引出新课 活动二 新课讲授 分小组讨论完成问题 1、在野外时遇到烂泥湿地，为了安全通过，为什么要在上面铺上若 干块木板哪？你能做出相应的图象吗？ 2、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与电阻之间的函数关 系你能做出相应的图象吗？（课本图 5-8） 活动三 巩固练习 1、某储水池的排水管每小时排水 8m3，6h 可将满池水全部排空。 （1） 蓄水池的容积是多少？ （2） 如果增加排水管，使每小时排水量达到 Q（m3），那么将满 池水排空所需的时间 t（h）将如何变化？ 活动四 小结
整，有收
无感想和收
尽，记录了 记录了收获
获和感想
获的记录
收获
优秀
良好
合格
不及格
专题二 反比例函数图象和性质 所需课时 1 课时 专题学习目标 1、 进一步熟悉作函数图象的步骤，会画反比例函数的图象。 2、 体会函数的三种表示方法的相互转化，对函数进行认识上的整合。 3、 逐步提高从函数图象上获取信息的能力，探索并掌握反比例函数 的主要性质。
性质。 专题三：经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型， 进而解决问题的过程。体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意 识，提高运用代数方法解决问题的能力。 这三个专题都源于课本，立足于新课程标准，而又不拘泥于教材，适 当进行了拓展和延伸，提高了学生对学习的兴趣。 主题单元规划思维导图
人教版九下中考知识点梳理第11讲 反比例函数
第11讲反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE ＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。
思维导图数学篇
知识点思维导图
知识点思维导图
知识点思维导图
知识点思维导图
课堂练习
做出函数单调性的知识点思维导图
习题课
案例：
ห้องสมุดไป่ตู้
以下两个函数中：
(1)
f
(x)
1 1
x x
2 2
;
(2) f (x) (1 x) 1 x . 1 x
非奇非偶的函数是______________.
解题思维导图
四 开发右脑
思维导图极大地激发我们的右脑。因为我们在创 作导图的时候还使用颜色、形状和想象力。根据科 学研究发现人的大脑是由两部分组成的。左大脑负 责逻辑、词汇、数字，而右大脑负责抽象思维、直 觉、创造力和想象力。巴赞说：“传统的记笔记方 法是使用了大脑的一小部分，因为它主要使用的是 逻辑和直线型的模式。”所以，图像的使用加深了 我们的记忆，因为使用者可以把关键字和颜色、图 案联系起来，这样就使用了我们的视觉感官。
三 同化记忆
思维导图具有极大的可伸缩性，它顺应了我们大脑 的自然思维模式。从而，可以使我们的主观意图自 然地在图上表达出来。它能够将新旧知识结合起来。 学习的过程是一个由浅入深的过程，在这个过程中， 将新旧知识结合起来是一件很重要的事情，因为人 总是在已有知识的基础上学习新的知识，在学习新 知识时，要把新知识与原有认知结构相结合，改变 原有认知结构，把新知识同化到自己的知识结构中， 能否具有建立新旧知识之间的联系是学习的关键。
二、思维导图在复习中的应用
课后复习是巩固知识、提高运用知识解决问题的能力的重要环节。学生对运用思维导图这 种方式进行复习总结都表现出一定的兴趣。在复习中，首先，学生独立对整章知识进行总 结，根据自己的理解，理清数学概念、规律及其区别、联系，区分重点难点，画出思维导 图。其次，教师批阅学生交上来的作品，把握学生对整个章节知识的掌握情况，同时对其 在思维导图中体现的思维错误进行一定程度的修改。第三，在复习课堂上抽取部分典型的 作品，先由大家讨论该思维导图的优劣，进行补充与深化，最后教师进行总结与提升，由 于初中生的思维水平有限，教师的提高主要是将本章知识与已有知识进行联系，将新知识 融入已有的知识体系中，形成知识网络，便于提取。各章、各单元间不是孤立的，而是互 相联系的，让学生自己找出联系，把所有的思维导图编织成自己的知识网，整个过程也是 其乐无穷的。图2为学生学完直角三角形全等后，将直角三角形的知识与已有的三角形全 等的知识相结合绘制的思维导图，加强了对课程内容的整体认识，形成了一个清晰的知识 框架。 除了按章节复习之外，还可以按照知识分类复习，如函数知识，分一次函数、反比例 函数、二次函数三个主要分支，每个主要分支再细分为函数概念、函数图像、函数性质及 应用等，这样当思维导图完成时，学生也有了一个十分清晰的函数知识框架。
反比例函数的定义
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反比例函数（全章）知识结构图
现实世界中 的反比例关系
反比例函数 的定义
实际应用
反比例函数的 图象和性质
反比例函数的意义
重点：1、能正确理解反比例函数的定义。 2、能运用反比例的定义找出一些问 题中的函数关系。 3、会用待定系数法确定反比例函数 的解析式。
难点：
一、问题引入
思考1 京沪线铁路全程为1463km，某次列车
包权
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人版初三下反比例函数常见题型解法思维导图
1.反比例函数定义 【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线.且在第二.四象限内.那么K 的值是多少？函数的解析式？思维导图练习1当k 为何值时22(1)k y k x -=-是反比例函数？练习2．已知y=（a ﹣1）是反比例函数.则a= ． 练习3.如果函数y=（k+1）是反比例函数.那么k= ．练习4.如果函数y=x 2m ﹣1为反比例函数.则m 的值是2. 增减性问题【例2】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x .)1y .(2x .)2y .(3x .)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>思维导图练习1.若A （－）.B （－）.C （－）三点都在函数y ＝－x1的图象上.则的大小关系是（ ）． A.y 1＞y 2＞y 3 ＜y 2＜y 3 ＝y 2＝y 3 ＜y 3＜y 2K=-1<0Y 1>y 2<0 Y 3>0函数在二四象限且递曾X 1>X 2>0 X 3<0213y y y >>双曲线K ≠0 2K 2+K-2=-1二，四象限K<0K=-1练习2.已知反比例函数y ＝x m21-的图象上有A （）、B （）两点.当x 1＜x 2＜0时.y 1＜y 2.则m 的取值范围是（ ）．A. m ＜0 ＞0 ＜21＞3、交点问题【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数xmn y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，）.那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）思维导图练习1.若反比例函数y ＝xb 3-和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点.且有一个交点的纵坐标为6.则b ＝____ 4、反比例函数解析式【例4】已知12y y y =+.1y 与x 成正比例.2y 与x 成反比例.且当x ＝1时.y ＝7；当x ＝2时.y ＝8．(1) y 与x 之间的函数关系式； 思维导图练习1 正比例函数y=2x 与双曲线的一个交点坐标为A （）.求反比例函数关系式。
人版初三下反比例函数常见题型解法思维导图(原创)
1.反比例函数定义 【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线.且在第二.四象限内.那么K 的值是多少？函数的解析式？思维导图练习1当k 为何值时22(1)k y k x -=-是反比例函数？练习2．已知y=（a ﹣1）是反比例函数.则a= ． 练习3.如果函数y=（k+1）是反比例函数.那么k= ．练习4.如果函数y=x 2m ﹣1为反比例函数.则m 的值是2. 增减性问题【例2】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x .)1y .(2x .)2y .(3x .)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>思维导图练习1.若A （－3.y 1）.B （－2.y 2）.C （－1.y 3）三点都在函数y ＝－x1的图象上.则y 1.y 2.y 3的大小关系是（ ）．A.y 1＞y 2＞y 3 B.y 1＜y 2＜y 3 C.y 1＝y 2＝y 3 D.y 1＜y 3＜y 2练习2.已知反比例函数y ＝x m21-的图象上有A （x 1.y 1）、B （x 2.y 2）两点.当x 1＜x 2＜0时.y 1＜y 2.则m 的取值范围是（ ）．A.m ＜0 B.m ＞0 C.m ＜21D.m ＞3、交点问题【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数xmn y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，）.那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）思维导图练习1.若反比例函数y ＝xb 3-和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点.且有一个交点的纵坐标为6.则b ＝____ 4、反比例函数解析式【例4】已知12y y y =+.1y 与x 成正比例.2y 与x 成反比例.且当x ＝1时.y ＝7；当x ＝2时.y ＝8．(1) y 与x 之间的函数关系式； 思维导图练习1 正比例函数y=2x 与双曲线的一个交点坐标为A （2.m ）.求反比例函数关系式。
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第 28 章 锐角三角函数
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第 29 章 投影与视图
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人教版 9 年级下册思维导图（全）
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第 26 章 反比例函数
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第 27 章 相似
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九年级下册数学人教版思维导图
第二十六章反比例函数概念图象应用解析式求法性质一般地形如为常数的函数叫做反比例函数形状特征双曲线双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交既是中心对称图形，又是轴对称图形画法描点法位置当k>0时，双曲线的两个分支分别在第一、第三象限当k<0时，双曲线的两个分支分别在第二、第四象限待定系数法当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大建立反比例函数模型，运用反比例函数的图象和性质解答第二十七章相似相似图形相似三角形位似图形相似多边形形状相同的图形叫做相似图形定义两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形性质对应角相等，对应边成比例定义三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例判定平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似性质对应角相等，对应边成比例对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方应用利用影长测量物高利用标杆测量物高利用平面镜测量物高构造相似三角形测距离定义不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点的两个图形叫做位似图形画图步骤确定位似中心，找关键点，作关键点的对应点，顺次连接所作各点坐标变化规律一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）第二十九章投影与视图投影视图定义一般地，用光照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影分类平行投影中心投影光线是平行的同一时刻，不同物体的高度与其影长成正比光线是相交的，交点为点光源影子随物体位置的变化而变化视图的定义当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图三视图主视图在正面内得到的由前向后观察物体的视图左视图在侧面内得到的由左向右观察物体的视图俯视图在水平面内得到的由上向下观察物体的视图三视图的画法长对正，高平齐，宽相等看得见部分的轮廓线为实线，看不见部分的轮廓线为虚线应用由三视图确定几何体的形状。
人教版数学九年级下册思维导图
人教版数学九年级下反比例函数反比例函数定义 形如y=k/x （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其他形式xy=k ，y=kx^(-1) 取值范围k ≠0 x ≠0y ≠0 函数图像反比例函数的图像为双曲线反比例函数的图像既是轴对称图形又是中心对称图形有两条对称轴：直线 y=x 和 y=-x 对称中心是：原点函数性质增减性 当k>0时，图像分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随着x 的增大而减小 当k<0时，图像分别位于第二、四象限，同一个象限内，y 随着x 的增大而增大 在y=k/x （k≠0）中，x 不能为0，y 也不能为0，所以图像既不与x 轴相交，也不与y 轴相交 在一个反比例函数图像上任取两点P 、Q ，过点P 、Q 分别作X 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围城的矩形面积分别为S1，S2，则S1=S2=|k|k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交|k|越大，反比例函数的图像离坐标轴的距离越远实际问题与反比例函数生活中的反比例关系锐角三角函数锐角三角函数正弦 在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正 弦，记作sinA ，即sinA=∠A 的对边/斜边=a/c余弦 在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=∠A 的邻边/斜边=b/c正切 在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=∠A 的对边/邻边=a/b余切 在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边=b/a 一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切记住特殊角的三角函数值解直角三角形及其应用概念 在直角三角形中，由除直角外的两个已知元素（至少有一条边），求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形依据三边之间的关系：勾股定理a²+b²=c²两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°边角之间的关系：三角函数应用仰角、俯角、坡度、坡角和方向角投影与视图投影定义 一般的，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫作物体的投影分类中心投影 光线是相交的，交点为光源，影子随物体的位置变化而变化平行投影光线是平行的同一时刻物体的高度与影长成正比(相似三角形)正投影投影线垂直于投影面视图定义 当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图三视图在正面内得到的从前向后观察物体的视图在侧面内得到的从左向右观察物体的视图在水平面内得到的由上向下后观察物体的视图三视图的画法长对正，高平齐，宽相等看得见的罗廓线为实线，看不到的轮廓线用虚线应用由三视图确定几何体的形状三视图→立体图→展开图制作立体模型相似图形的相似 定义 如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似。
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1.反比例函数定义 【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线.且在第二.四象限内.那么K 的值是多少？函数的解析式？思维导图练习1当k 为何值时22(1)k y k x -=-是反比例函数？练习2．已知y=（a ﹣1）是反比例函数.则a= ． 练习3.如果函数y=（k+1）是反比例函数.那么k= ．练习4.如果函数y=x 2m ﹣1为反比例函数.则m 的值是2. 增减性问题【例2】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x .)1y .(2x .)2y .(3x .)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>思维导图练习1.若A （－3.y 1）.B （－2.y 2）.C （－1.y 3）三点都在函数y ＝－x1的图象上.则y 1.y 2.y 3的大小关系是（ ）．A.y 1＞y 2＞y 3 B.y 1＜y 2＜y 3 C.y 1＝y 2＝y 3 D.y 1＜y 3＜y 2K=-1<0Y 1>y 2<0 Y 3>0函数在二四象限且递曾X 1>X 2>0 X 3<0213y y y >>双曲线K ≠0 2K 2+K-2=-1二，四象限K<0K=-1练习2.已知反比例函数y ＝x m21-的图象上有A （x 1.y 1）、B （x 2.y 2）两点.当x 1＜x 2＜0时.y 1＜y 2.则m 的取值范围是（ ）．A.m ＜0 B.m ＞0 C.m ＜21D.m ＞213、交点问题【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数xmn y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，）.那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）思维导图练习1.若反比例函数y ＝xb 3-和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点.且有一个交点的纵坐标为6.则b ＝____ 4、反比例函数解析式【例4】已知12y y y =+.1y 与x 成正比例.2y 与x 成反比例.且当x ＝1时.y ＝7；当x ＝2时.y ＝8．(1) y 与x 之间的函数关系式； 思维导图练习1 正比例函数y=2x 与双曲线的一个交点坐标为A （2.m ）.求反比例函数关系式。
1y 与x 成正比例 2y 与x 成反比例y 1=k 1x y 2=k 2x -1解出k 1k 212y y y =+交点（21，2） 在联立两个函数即可求解分别代入两个函数得到方程组解出m,n当x ＝1时，y ＝7 当x ＝2时，y ＝85、面积问题如图反比例函数(k≠0).P、Q是图上任意两点.过P作x轴y轴的垂线.垂足分别为A,B.过Q作x轴的垂线.垂足为C。
分别求四边形APBO.三角形CQO的面积。
（用k表示）思维导图三角形CQO的面积的求法同上。
练习1如图.在AOBRt∆中.点A是直线mxy+=与双曲线xmy=在第一象限的交点.且2=∆AOBS.则m的值是_____.练习2 已知点A(0.2)和点B(0.－2).点P在函数1yx=-的图象上.如果△PAB的面积是6.求P点的坐标．S APBO=AP×BO设P点坐标（x，y）S APBO=lxl×lyl=lkl图形过二四象限S APBO=-ko y x y x o y x o y x o A B C D1.点A(－2.y 1)与点B(－1.y 2)都在反比例函数y ＝－x2的图像上.则y 1与y 2的大小关系为（ ）A.y 1＜y 2B.y 1＞y 2C.y 1＝y 2D.无法确定2.若点(3.4)是反比例函数y ＝221m m x+-图象上一点.则此函数图象必经过点（ ）A.(2.6)B.(2.－6)C.(4.－3)D.(3.－4)3.在函数y ＝x2.y ＝x+5.y ＝－5x 的图像中.是中心对称图形.且对称中心是原点的图像的个数有（ ）A.0B.1C.2D.34.已知函数y ＝kx(k ＜0).又x 1.x 2对应的函数值分别是y 1.y 2.若x 2＞x 1＞0对.则有（ ）A.y 1＞y 2＞0B.y 2＞y 1＞0C.y 1＜y 2＜0D.y 2＜y 1＜05.如图1.函数y ＝a(x －3)与y ＝ax.在同一坐标系中的大致图象是（ ）6.若y 与x 成反比例.x 与z 成正比例.则y 是z 的（ ）A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、不能确定7.如果矩形的面积为6cm 2.那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）8.（2014山东青岛一模）某气球内充满了一定质量的气体.当温度不变时.气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3) 的反比例函数.其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时.气球将爆炸．为了安全起见.气球的体积应（ ）A 、不小于54m 3 B 、小于54m 3 C 、不小于45m 3 D 、小于45m 3图1y9．如图 .A、C是函数xy1=的图象上的任意两点.过A作x轴的垂线.垂足为B.过C 作y轴的垂线.垂足为D.记RtΔAOB的面积为S1.RtΔCOD的面积为S2则（）A.S1＞S2 B． S1<S2C． S1=S2 D． S1与S2的大小关系不能确定10.（2014浙江金华月考）下列函数中.图象经过点(11)-，的反比例函数解析式是（）A．1yx=B．1yx-=C．2yx= D．2yx-=11.（2014湖北孝感一模）在反比例函数3kyx-=图象的每一支曲线上.y都随x的增大而减小.则k的取值范围是（）A．k＞3 B．k＞0 C．k＜3 D． k＜012.（2014河北省二模）如图1.某反比例函数的图像过点M2-表达式为（）A.2yx=B．2yx=-C．12yx=D．12yx=-13.（2014山东临沂一模）已知反比例函数xky=的图象在第二、第四象限内.函数图象上有两点A(72.y1)、B(5.y2).则y1与y2的大小关系为（）。
A、y1＞y2B、y1＝y2C、y1＜y2D、无法确定1.反比例函数y＝xn5+图象经过点（2.3）.则n的值是（）．A.－2B.－1C.0D.12.若反比例函数y＝xk（k≠0）的图象经过点（－1.2）.则这个函数的图象一定经过点（）．A.（2.－1）B.（－21.2） C.（－2.－1） D.（21.2）3.已知甲、乙两地相距s（km）.汽车从甲地匀速行驶到乙地.则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（）x-2M1yOt/h t/h t/h t/hO4.若y 与x 成正比例.x 与z 成反比例.则y 与z 之间的关系是（ ）．A.成正比例B.成反比例C.不成正比例也不成反比例D.无法确定 5.一次函数y ＝kx －k.y 随x 的增大而减小.那么反比例函数y ＝xk满足（ ）．A.当x ＞0时.y ＞0B.在每个象限内.y 随x 的增大而减小C.图象分布在第一、三象限D.图象分布在第二、四象限6.如图.点P 是x 轴正半轴上一个动点.过点P 作x 轴的垂线PQ 交双曲线y ＝x1于点Q.连结OQ.点P 沿x 轴正方向运动时.Rt △QOP 的面积（ ）．A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定7.在一个可以改变容积的密闭容器内.装有一定质量m 的某种气体.当改变容积V 时.气体的密度ρ也随之改变．ρ与V 在一定范围内满足ρ＝Vm.它的图象如图所示.则该 气体的质量m 为（ ）．A.1.4kgB.5kgC.6.4kgD.7kg8.使函数y ＝（2m 2－7m －9）xm2－9m ＋19是反比例函数.且图象在每个象限内y 随x 的增大而减小.则可列方程（不等式组）为_______________．9.过双曲线y ＝xk（k ≠0）上任意一点引x 轴和y 轴的垂线.所得长方形的面积为______． 10.如图.直线y ＝kx(k ＞0)与双曲线xy 4交于A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）两点.则2x 1y 2－7x 2y 1＝___________．11.如图.长方形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上.点B 的坐标为B （－320.5）.D 是AB 边上的一点.将△ADO 沿直线OD 翻折.使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处.若点E 在一反比例函数的图象上.那么该函数的解析式是_________．12.点A(－2.y 1)与点B(－1.y 2)都在反比例函数y ＝－x2的图像上.则y 1与y 2的大小关Q p x yo系为（ ）A.y 1＜y 2B.y 1＞y 2C.y 1＝y 2D.无法确定13.若点(3.4)是反比例函数y ＝221m m x+-图象上一点.则此函数图象必经过点（ ）A.(2.6)B.(2.－6)C.(4.－3)D.(3.－4)14.在函数y ＝x2.y ＝x +5.y ＝－5x 的图像中.是中心对称图形.且对称中心是原点的图像的个数有（ ）A.0B.1C.2D.315.已知函数y ＝kx(k ＜0).又x 1.x 2对应的函数值分别是y 1.y 2.若x 2＞x 1＞0对.则有（ ）A.y 1＞y 2＞0B.y 2＞y 1＞0C.y 1＜y 2＜0D.y 2＜y 1＜016.如图1.函数y ＝a (x －3)与y ＝ax.在同一坐标系中的大致图象是（ ）课程顾问签字： 教学主管签字：图1。