分式经典例题及答案

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分式方程计算题100道及答案

分式方程计算题100道及答案

分式方程计算题100道及答案篇1:分式方程练习题及答案分式方程练习题及答案分式方程练习题及答案一选择1.下面是分式方程的是()a. b.c. d.2.若得值为-1,则x等于( )a. b. c. d.3.一列客车已晚点6分钟,如果将速度每小时加快10千米,那么继续行驶20千米便可正点运行,如果设客车原来行驶的速度是x千米/小时,可列出分式方程为()a. b.c. d.4.分式方程的解为()a.2b.1c.-1d.-25.若分式方程的解为2,则a的值为()a.4b.1c.0d.26.分式方程的解是()a.无解b.x=2c. x=-2d. x=2或x=-27.如果关于x的方程无解,则m等于()a.3b. 4c.-3d.58.解方程时,去分母得( )a.(x-1)(x-3)+2=x+5b. 1+2(x-3)=(x-5)(x-1)c. (x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1)d.(x-3)+2(x-3)=x-5二、填空9.已知关于的分式方程的根大于零,那么a的取值范围是 .10.关于的分式方程有增根 =-2,那么k= .11.若关于的方程产生增根,那么m的值是 .12.当m= 时,方程的解与方程的解互为相反数.13.为改善生态环境,防止水土流失,某村拟定在荒坡地上种植960棵树,由于青年团员的支援,每日比原计划多种20课,结果提前4天完成任务,原计划每天种植多少棵树?设原计划每天种植x棵树,根据题意列方程为 .14.如果,则a= ;b= .三、解答题15.解分式方程16.已知关于的方程无解,求a的值?17.已知与的.解相同,求m的值?18.近年来,由于受国际石油市场的影响,汽油价格不断上涨.下面是小明与爸爸的对话:小明:“爸爸,听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊!”爸爸:“是啊,今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的倍,用元给汽车加的油量比去年少升.”小明:“今年5月份每升汽油的价格是多少呢?”聪明的你,根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格?19.武汉一桥维修工程中,拟由甲、乙两各工程队共同完成某项目,从两个工程队的资料可以知道,若两个工程队合作24天恰好完成,若两个工程队合作18天后,甲工程队再单独做10天,也恰好完成,请问:⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天?⑵又已知甲工程队每天的施工费用是0.6万元,乙工程队每天的施工费用是0.35万元,要使该项目总的施工费用不超过22万元,则乙工程队至少施工多少天?参考答案一、选择1.d2.c3.b4.a5.a6.b7.a8.c二、填空9.a<2 10.1 11.1 12.m=-3 13. 14.3, 2三、解答题15.⑴ 解:方程变形为两边同时乘以(x2-9)得,x-3+2x+6=12,x=3,经检验x=3是原方程的增根,故原方程无解.⑵ 解:两边同时乘以(x2-4)得x(x+2)-(x+14)=2x(x-2)-(x2-4);整理得,5x=18, ,经检验是原方程的解.(3)解:方程两边同时乘以想x(x2-1)得,5x-2=3x,x=1,经检验x=1是原方程的增根,故原方程无解.(4).解:两边同乘以(2x+3)(2x-3)得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)整理得4x=-12,x=-3,经检验x=-3是原方程的根.16.解:因为原方程无解,所以最简公分母x(x-2)=0,x=2或x=0;原方程去分母并整理得a(x-2)-4=0;将x=0代入得a(0-2)-4=0,a=-2;将x=2代入得a0-4 =0,a无解,故综上所述a=-2.17. 解:,x=2,经检验x=2是原方程的解,由题意可知两个方程的解相同,所以把x=2代入第二个方程得,故m=10.18. 解:设去年5月份汽油的价格为x元/升,则今年5月份的价格为1.6x元/升,依题意可列方程为,解得x=3,经检验x=3是原方程的解也符合题意,所以1.6x=4.8,故今年5月份汽油的价格是4.8元/升.19.解:⑴设甲工程队单独完成该项目需要天,乙单独完成该项目需要天,依题意可列方程组为解得,经检验是原方程组的解,也符合题意.⑵设甲、乙两工程队分别施工a天、b天,由于总施工费用不超过22万元,可得,解得,b取最小值为40.故⑴甲、乙两工程队单独完成此项目分别需40天、60天.⑵乙工程度至少要施工40天.篇2:分式方程应用题及答案分式方程应用题及答案一、a、b两地相距48千米,一艘轮船从a地顺流航行至b 地,又立即从b地逆流返回a地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程求解。

分式习题精讲含详细解答答案

分式习题精讲含详细解答答案

1.分式的定义及性质1-1.若分式mx x +-212不论x 取任何实数总有意义,则m 的取值范围为( D ) A. 1≥m B. m >1 C. 1≤m D.m ≠1分析:分式有意义的条件是分母不为0.只要m x x +-22≠0,即可,而m x x +-22=()1122-++-m x x =()112-+-m x ,要使()112-+-m x ≠0,因为()012≥-x ,所以只需要m -1≠0,即m ≠1。

1-2.若()()30622----x x 有意义,那么x 的范围是( D )。

A. x >2B. x <3C. x ≠3或x ≠2D. x ≠3且x ≠2 1-3.已知分式的值为正或负,或1,-1,或0.求字母的取值。

① 当x 时,分式21+x 的值为正。

解:由题意得21+x >0,根据实数运算法则,同号两数相除得正,异号两数相除得负,可知x+2与1同号,所以x+2>0,所以x >-2. ② 当x 时,分式112+-x x的值为负。

解:由题意得112+-x x <0,因为x 2+1>0,根据实数运算法则,同号两数相除得正,异号两数相除得负,可知1-x 与x 2+1异号,所以1-x <0,所以x >1. ③ 当x 时,分式22-+x x 的值为-1。

解:由题意得22-+x x =-1,所以x+2与x -2互为相反数,所以x+2+x -2=0,所以x =-x ,所以x ≤0总结:以上题型为:已知分式的值为正或负,或为1,-1等常数,求x 的值。

这种题型的解法是:运用转化的思想。

A.若分式的值为正或负,则转化成解分式不等式,解分式不等式的方法是运用实数运算法则将分式不等式转化成整式不等式,再解整式不等式。

B.或分式的值为1,-1等常数时,则转化成求解分式方程,解分式方程的方法是先转化成整式方程,再解整式方程。

最后记得要检验是否有增根。

附加练习:④ 当x >5 时,分式52-x 的值为正。

初二分式方程练习题含答案

初二分式方程练习题含答案

初二分式方程练习题含答案问题一:求方程3x + 5 = 17的解。

解:根据题目所给的方程3x + 5 = 17,我们可以通过移项和合并同类项的方法求解。

首先我们将5从等式左边移到右边,得到3x = 17 - 5,即3x = 12。

然后我们将等式两边都除以3,得到x = 12 ÷ 3,即x = 4。

所以方程3x + 5 = 17的解为x = 4。

问题二:求方程2(3x - 1) = 4x + 3的解。

解:根据题目所给的方程2(3x - 1) = 4x + 3,我们可以通过分配律、移项和合并同类项的方法求解。

首先我们将分配律运用到方程的左边,得到6x - 2 = 4x + 3。

然后我们将2从等式左边移到右边,得到6x - 2 + 2 = 4x + 3 + 2,即6x = 4x + 5。

接下来我们将4x从等式右边移到左边,得到6x - 4x = 5,即2x = 5。

最后我们将等式两边都除以2,得到x = 5 ÷ 2,即x = 2.5。

所以方程2(3x - 1) = 4x + 3的解为x = 2.5。

问题三:求方程4(x + 1) - 2(x - 3) = 10的解。

解:根据题目所给的方程4(x + 1) - 2(x - 3) = 10,我们可以通过分配律、移项和合并同类项的方法求解。

首先我们将分配律运用到方程的左边,得到4x + 4 - 2x + 6 = 10。

然后我们将4x和-2x合并,4x - 2x = 2x,并将4和6合并,4 + 6 = 10。

接下来得到2x + 10 = 10。

然后我们将10从等式左边移到右边,得到2x = 10 - 10,即2x = 0。

最后我们将等式两边都除以2,得到x = 0 ÷ 2,即x = 0。

所以方程4(x + 1) - 2(x - 3) = 10的解为x = 0。

问题四:求方程5(2x - 1) + 3(4x + 2) = 2(7x - 1) - 2x的解。

分式专题(含答案)

分式专题(含答案)

.分式专题一、分式定义,注意:判别分式的依据是分母中还有字母,分母不等于零。

1、在式子y x y x x c ab y a 109,87,65,43,20,13+++π中,分式的个数是( )个2.下列式子:x y a y x ab x 73),(51,89,97222++-,yx 2915-中,是分式的有( )个 二、分式基本性质1、填空:()yx xy ba -=---..............;2.在括号内填入适当的代数式,使下列等式成立:2xy =22()2ax y; 322()x xy x y --=()x x y -. 3、把分式xyyx -中的x 、y 的值都扩大2倍,则分式的值( )A 不变B 扩大2倍C 扩大4倍D 缩小一半4、已知31=b a ,分式ba ba 52-+的值为 ;5、若32,234a b c a b ca b c-+==++则=_______. 6、不改变分式52223x y x y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) 三、分式无意义与有意义,1、当x 时,分式3213+-x x 无意义;2.在分式2242x x x ---中,当x ______时有意义.3.当x____时,分式||2x x -有意义.4.2(3)--x 的取值范围是_______.5. 当x_____________时,式子23+x x ÷322--x x 有意义 四、分式值为零,1、当x 时,分式392--x x 的值为0;2.使分式234x ax +-的值等于零的条件是x____.3.在分式2242x x x ---中,当x ____时分式值为零..__01||87.42=---x x x x ,则的值为若分式五、分式约分1.约分:34522748a bx a b x , 532164abc bc a - 22923a a a ---, xx x 52522--2.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中,最简分式有( )个六、通分 1、分式222439xx x x --与的最简公分母是___ ___________. 2、分式yx 21,323x y,232xy x +的最简公分母是( ) 3、把下列各组分式通分 (1)243,2bac bd c (2),412-a 21-a七、分式运算 1、化简xy x x 1⋅÷的结果是( ) 2、22332p mn p n nm÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅; 3、aa a -+-21422; 4、112---x x x ; 5、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-x y xy x x y x 2222, 6.339322++--m m m m7 、先化简,再对a 取一个你喜欢的数,代入求值.221369324a a a a a a a +--+-÷-+-.8、先化简:⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-aa a aa 121 并任选一个你喜欢的数a 代入求值.9、先化简,再求值:1312-÷+x xx x ,其中31+=x .10、已知220x -=,求代数式222(1)11x x x x -+-+的值.11、 先化简,再求值: 3x +3 x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1 x -1 + 1 x +1 ÷ 6x ,其中x =1.12、先化简,再求值:232224xx x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭,其中3x =.八、分式方程,易错点:分式方程检验 1、解方程: (1)256x x x x -=--. (2)21411x x x +---=1. (3)12212+=++-x xxx x ,(4)6122x x x +=-+. (5)14143=-+--x x x ,(6)22333x x x -+=--,2、已知23(1)(2)12x A Bx x x x -=+-+-+,求A ,B 的值.3、已知分式方程21x ax +-=1的解为非负数,求a 的范围.4、已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数,求a 的取值范围。

分式化简练习题精选及答案

分式化简练习题精选及答案

分式化简练习题精选及答案分式是数学中的基本概念,它在数学中起到了非常重要的作用。

在分式化简练习中,我们需要掌握基本的分式化简原理,并且需要广泛练习各种类型的分式化简题目。

下面是一些常见的分式化简练习题目以及解答方法,希望对大家的学习有所帮助。

一、简单的分式化简题目1. 将 $\frac{2x+4}{x+2}$ 化简为最简分式。

解:这个分式可以化简为 $\frac{2(x+2)}{x+2}$,然后可以简化为 $2$。

2. 将 $\frac{x^2-4}{x+2}$ 化简为最简分式。

解:这个分式可以化简为 $\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$,然后可以简化为 $x-2$。

3. 将 $\frac{x^2+4x+4}{x^2-4x+3}$ 化简为最简分式。

解:这个分式可以化简为 $\frac{(x+2)^2}{(x-1)(x-3)}$,然后可以简化为 $\frac{(x+2)^2}{(x-1)(x-3)}$。

二、含有多项式的分式化简题目1. 将 $\frac{x^3+8}{x^2-2x-24}$ 化简为最简分式。

解:这个分式可以化简为$\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x-6)(x+4)}$,然后可以简化为 $\frac{x^2-2x+4}{x-6}$。

2. 将 $\frac{x^3-4x^2-7x+10}{x^2+4x+4}$ 化简为最简分式。

解:这个分式可以化简为 $\frac{(x-2)(x+1)^2}{(x+2)^2}$,然后可以简化为 $\frac{x-2}{x+2}$。

三、复杂的分式化简题目1. 将$\frac{1}{x^2+4x+3}+\frac{1}{x^2+2x}$ 化简为最简分式。

解:首先找到这两个分式的公共分母,它是$(x+1)(x+3)x(x+2)$。

然后将每个分式乘以合适的因数得到通分式,最后将通分式加起来得到最简分式。

2. 将 $\frac{x+1}{x^3-1}-\frac{1}{x^2-x}$ 化简为最简分式。

分式专题(含答案)

分式专题(含答案)

分式专题一、分式定义,注意:判别分式的依据是分母中还有字母,分母不等于零。

1、在式子y x y x x c ab y a 109,87,65,43,20,13+++π中,分式的个数是( )个2.下列式子:x y a y x ab x 73),(51,89,97222++-,yx 2915-中,是分式的有( )个 二、分式基本性质1、填空:()yx xy ba -=---..............;2.在括号内填入适当的代数式,使下列等式成立:2xy =22()2ax y ; 322()x xy x y --=()x x y -.3、把分式xyyx -中的x 、y 的值都扩大2倍,则分式的值( )A 不变B 扩大2倍C 扩大4倍D 缩小一半4、已知31=b a ,分式b a b a 52-+的值为 ;5、若32,234a b c a b ca b c-+==++则=_______. 6、不改变分式52223x yx y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) 三、分式无意义与有意义,1、当x 时,分式3213+-x x 无意义;2.在分式2242x x x ---中,当x ______时有意义.3.当x____时,分式||2x x -有意义.4.2(3)--中x 的取值范围是_______.5. 当x_____________时,式子23+x x ÷322--x x 有意义 四、分式值为零,1、当x 时,分式392--x x 的值为0;2.使分式234x ax +-的值等于零的条件是x____.3.在分式2242x x x ---中,当x ____时分式值为零..__01||87.42=---x x x x ,则的值为若分式五、分式约分1.约分:34522748a bx a b x , 532164abc bc a - 22923a a a ---,xx x 52522--2.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中,最简分式有( )个六、通分 1、分式222439xx x x --与的最简公分母是___ ___________. 2、分式yx 21,323xy,232xy x +的最简公分母是( ) 3、把下列各组分式通分 (1)243,2bac bd c (2),412-a 21-a七、分式运算 1、化简xy x x 1⋅÷的结果是( ) 2、22332p mnp n nm÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅; 3、aa a -+-21422; 4、112---x x x ; 5、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-x y xy x x y x 2222, 6.339322++--m m m m7 、先化简,再对a 取一个你喜欢的数,代入求值.221369324a a a a a a a +--+-÷-+-.8、先化简:⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-aa a aa 121 并任选一个你喜欢的数a 代入求值.9、先化简,再求值:1312-÷+x xx x ,其中31+=x .10、已知220x -=,求代数式222(1)11x x x x -+-+的值.11、 先化简,再求值: 3x +3 x ·⎝⎛⎭⎫ 1 x -1 + 1 x +1 ÷ 6x ,其中x =1.12、先化简,再求值:232224xx x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭,其中3x =.八、分式方程,易错点:分式方程检验 1、解方程: (1)256x x x x -=--. (2)21411x x x +---=1. (3)12212+=++-x xxx x ,(4)6122x x x +=-+. (5)14143=-+--x x x ,(6)22333x x x -+=--,2、已知23(1)(2)12x A Bx x x x -=+-+-+,求A ,B 的值.3、已知分式方程21x ax +-=1的解为非负数,求a 的范围.4、已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数,求a 的取值范围。

分式运算典型例题精解

分式运算典型例题精解

分式性质及运算【基础精讲】 一、分式的概念1、正确理解分式的概念: 【例1】有理式(1)x 1; (2)2x ; (3)yx xy +2; (4)33y x -;(5)11-x ;(6)π1中,属于整式的有: ;属于分式的有: 。

.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零. (1) 例如,当x 为 时,分式()()()322-++x x x 有意义.错解:3≠x 时原分式有意义. (2) 不要随意用“或”与“且”。

例如 当x____时,分式有意义?错解:由分母,得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.当x 时,分式11-x x +有意义.当x 时,分式11-x x +无意义.当x 时,分式112-x x -值为0.二、分式的基本性质:1、分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. (1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据,它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础,因此,我们要正确理解分式的基本性质,并能熟练的运用它.理解分式的基本性质时,必须注意:①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式. ②在分式的基本性质中,M ≠0.③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0),不要只乘分子(或分母).④性质中“分式的值不变”这句话的实质,是当字母取同一值(零除外)时,变形前后分式的值是相等的。

但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的. (2)注意:①根据分式的基本性质有:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式 【例3】下列变形正确的是( ).A .a b a b c c -++=-; B .a a b c b c -=--- C .a b a ba b a b-++=--- D .a b a b a b a b --+=-+-【例4】 如果把分式52xx y-中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) .A.扩大3倍B.扩大9倍C. 扩大6倍D.不变 2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】(1)化简222a b a ab -+的结果为( )A .b a - B .a b a - C .a b a + D .b -(2)化简2244xy y x x --+的结果()A .2x x + B .2x x - C .2y x + D .2yx -(3)化简62962-+-x x x 的结果是()A .23+x B .292+x C .292-xD .23-x3、通分通分的依据是分式的基本性质,通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定:(1)最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数; (2)最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算 1、分式运算时注意:(1)注意运算顺序.例如,计算aaa a +-⋅+÷-31)3(11,应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行.错解:原式2)1(1)1(11a a a -=-÷-=(2)通分时不能丢掉分母.例如,计算11---x x x,出现了这样的解题错误:原式=11-=--x x .分式通分是等值变形,不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆; (3)忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时,若分子是多项式,其括号不能省略. (4)最后的运算结果应化为最简分式.2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法;(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解,当然有乘方运算要先算乘方,然后同其它分式进行约分;(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘; (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式. 3、加减的加减1)同分母分式加减法则:分母不变,分子相加减。

北师大版八下数学《分式的乘除法》典型例题1(含答案)

北师大版八下数学《分式的乘除法》典型例题1(含答案)

《分式的乘除法》典型例题例1 下列分式中是最简分式的是( )A .264ab B .b a a b --2)(2 C .y x y x ++22 D .yx y x --22 例2 约分(1)36)(12)(3a b a b a ab -- (2)44422-+-x x x (3)b b 2213432-+ 例3 计算(分式的乘除)(1)22563ab cd c b a -⋅- (2)422643mn n m ÷- (3)233344222++-⋅+--a a a a a a (4)22222222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算(1))()()(4322xy xy y x -÷-⋅- (2)xx x x x x x --+⨯+÷+--36)3(446222 例5 化简求值22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+⋅-,其中32=a ,3-=b . 例6 约分(1)3286b ab ; (2)222322xy y x y x x --例7 判断下列分式,哪些是最简分式?不是最简分式的,化成最简分式或整式.(1)44422-+-x x x ; (2)36)(4)(3a b b a a --; (3)222yy x -; (4)882122++++x x x x 例8 通分:(1)223c a b, ab c 2-,cb a 5 (2)a 392-,a a a 2312---,652+-a a a参考答案例1 分析:(用排除法)4和6有公因式2,排除A .2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -,排除B ,22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -,排除D.故选择C.解 C例2 分析(1)中分子、分母都是单项式可直接约分.(2)中分子、分母是多项式,应该先分解因式,再约分.(3)中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数,把分子、分母中的最高次项系数化为正整数,再约分.解:(1)36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-⋅--⋅-=b a a b b a b a a 3)(41b a b --= (2)44422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x (3)原式2123486)221(6)3432(bb b b -+=⋅-⋅+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析(1)可以根据分式乘法法则直接相乘,但要注意符号.(2)中的除式是整式,可以把它看成164mn .然后再颠倒相乘,(3)(4)两题都需要先分解因式,再计算.解:(1)22563ab cd c b a -⋅-2253)6(ab c cd b a ⋅--=bad 52= (2)422643mn n m ÷-743286143n m mn n m -=⋅-= (3)原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 122--=a a (4)原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2222))((b b a b b a b a -=-+= 说明:(1)运算的结果一定要化成最简分式;(2)乘除法混合运算,可将除法化成乘法,而根据分式乘法法则,是先把分子、分母相乘,化成一个分式后再进行约分.在实际运算时,可以先约分,再相乘,这样简便易行,可减少出错.例4 分析:(1)对于含有分式乘方,乘除的混合运算,运算顺序是先乘方后乘除,一般首先确定结果的符号,再做其他运算,(2)进行分式的乘除混合运算时,要注意,当分子、分母是多项式时,一般应分解因式,并在运算运程中约分,使运算简化,因式,除式(或被除式)是整式时,可以看作分母是“1”的式子,然后按照分式的乘除法法则计算,这样可以减少错误.解:(1)原式2436221)1()(x xy x y y x =-⋅-⋅= (2)原式x x x x x x --+⨯+⨯--=3)2)(3(31)2()3(22 x-=22 例5 分析 本题要求先化简再求值,实际上就是先将分子、分母分别分解因式,然后约分,把分式化为最简分式以后再代入求值.解 原式=)())((23223b a b b a b a b b a ab a b a b +-+÷-+⋅- ))(()()(32b a b a b a b b b a a b a b -++⨯-⨯-= ba -= 当3,32-==b a 时, 原式92332-=-= 例6 解 (1).4328268623232ba b b b ab b ab =÷÷= (2)222322xy y x y x x --)2()2(2y x xy y x x --=(分子、分母分解因式) yx =(约去公因式)说明 1.当分子、分母是单项式时,其公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积.2.当分子、分母是多项式时,先分解因式,再约去公因式.例7 分析 (1)∵44422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x ,分子、分母有公因式)2(-x ,所以它不是最简分式;(2)显然也不是最简分式;(3)中))((22y x y x y x -+=-与2y 没有公因式;(4)中22)1(12+=++x x x ,222)2(2)44(2882+=++=++x x x x x ,分子、分母中没有公因式.解 222y y x -和8821222++++x x x x 是最简分式; 44422-+-x x x 和63)(4)(3a b b a a --不是最简分式; 化简(1)44422-+-x x x .22)2)(2()2(2+-=-+-=x x x x x (2)63)(4)(3a b b a a --336)(43)(4)(3a b a a b a b a -=--= 例8 分析 (1)中各分母的系数的绝对值的最小公倍数为30,各字母a 、b 、c 因式的最高次幂分别是2a 、2b 、2c ,所以最简公分母是22230c b a .(2)中分母为多项式,因而先把各分母分解因式,)3(339a a -=-;)3)(1(232-+=--a a a a ;)3)(2(652--=+-a a a a ,因而最简公分母是).3)(2)(1(3--+a a a解 (1)最简公分母为23230c b a .223ca b 23243223301010310c b a b b c a b b =⋅⋅=, abc 2-232322222301515215c b a c ab c ab ab c ab c -=⋅⋅-=cba 52323232306656cb ac a c a cb c a a -=⋅⋅= (2)最简公分母是)3)(2)(1(3--+a a aa 392-)2)(1()3(3)2)(1(2)3(33-+⋅--+⋅-=-=a a a a a a )3)(2)(1(3)2)(1(2--+-+-=a a a a a aa a 2312---)2(3)3)(1()2(3)1()3)(1(1-⋅-+-⋅-=-+-=a a a a a a a a )3)(2)(1(3)2)(1(3--+--=a a a a a 652+-a a a )1(3)3)(2()1(3)3)(2(+⋅--+⋅=--=a a a a a a a a )3)(2)(1(3)1(3--++=a a a a a 说明 1.通分过程中必须使得化成的分式与其原来的分式相等.2.通分的根据是分式的基本性质,分母需要乘以“什么”,分子也必须随之乘以“什么”,且不漏乘.3.确定最简公分母是通分的关键,当公分母不是“最简”时,虽然也能达到通分的目的,但会使运算变得繁琐,因而应先择最简公分母.。

专题5.31 分式方程的应用(题型分类专题)(例题讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题5.31 分式方程的应用(题型分类专题)(例题讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题5.31分式方程的应用(题型分类专题)(例题讲解)列分式方程解应用题中考中是必考内容之一,下面结合近几年中考题型举例进行巩固:类型一、直接列分式方程求解1.(2022·辽宁丹东·统考中考真题)为推动家乡学校篮球运动的发展,某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校.实际购买时,每个篮球的价格比原价降低了20元,结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球,每个篮球的原价是多少元?【答案】每个篮球的原价是120元.【分析】设每个篮球的原价是x元,则每个篮球的实际价格是(x﹣20)元,根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答.解:设每个篮球的原价是x元,则每个篮球的实际价格是(x﹣20)元,根据题意,得12000x=1000020x-.解得x=120.经检验x=120是原方程的解.答:每个篮球的原价是120元.【点拨】本题考查了分式方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.举一反三:【变式1】(2022·贵州铜仁·统考中考真题)科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一,某口罩生产厂家接到一公司的订单,生产一段时间后,还剩280万个口罩未生产,厂家因更换设备,生产效率比更换设备前提高了40%.结果刚好提前2天完成订单任务.求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩?【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只,更换设备后每天生产口罩56万只.【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只,则该厂家更换设备后每天生产口罩(1+40%)x万只,利用工作时间=工作总量÷工作效率,结合提前2天完成订单任务,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.解:设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只,则该厂家更换设备后每天生产口罩(1+40%)x万只,依题意得:2802(140%2)80x x-=+,解得:x=40,经检验,x=40是原方程的解,且符合题意.答:该厂家更换设备前每天生产口罩40万只,更换设备后每天生产口罩56万只.【点拨】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.【变式2】(2022·贵州贵阳·统考中考真题)国发(2022)2号文发布后,贵州迎来了高质量快速发展,货运量持续增加.某物流公司有两种货车,已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨,且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同.每辆大、小货车货运量分别是多少吨?【答案】每辆大货车货运量是16吨,每辆小货车货运量是12吨【分析】设每辆小货车货运量x 吨,则每辆大货车货运量()4x +吨,根据题意,列出分式方程,解方程即可求解.解:设每辆小货车货运量x 吨,则每辆大货车货运量()4x +吨,根据题意,得,80604x x=+,解得12x =,经检验,12x =是原方程的解,412416x +=+=吨,答:每辆大货车货运量是16吨,每辆小货车货运量是12吨.【点拨】本题考查了分式方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.类型二、分式方程✮✮不等式(组)2.(2021·山东济南·统考中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元,购进乙种粽子的金额是800元,购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个,甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍.(1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元?(2)为满足消费者需求,该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个,若总金额不超过1150元,问最多购进多少个甲种粽子?【答案】(1)乙种粽子的单价为4元,则甲种粽子的单价为8元;(2)最多购进87个甲种粽子【分析】(1)设乙种粽子的单价为x 元,则甲种粽子的单价为2x 元,然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元,购进乙种粽子的金额是800元,购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解;(2)设购进m 个甲种粽子,则购进乙种粽子为(200-m )个,然后根据(1)及题意可列不等式进行求解.解:(1)设乙种粽子的单价为x 元,则甲种粽子的单价为2x 元,由题意得:1200800502x x+=,解得:4x =,经检验4x =是原方程的解,答:乙种粽子的单价为4元,则甲种粽子的单价为8元.(2)设购进m 个甲种粽子,则购进乙种粽子为(200-m )个,由(1)及题意得:()842001150m m +-≤,解得:87.5m ≤,∵m 为正整数,∴m 的最大值为87;答:最多购进87个甲种粽子.【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用,熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键.举一反三:【变式1】(2022·辽宁营口·一模)某单位计划选购甲,乙两种物品,已知甲物品单价比乙物品单价高20元,用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍.(1)求甲,乙两种物品的单价分别是多少元?(2)如果该单位计划购买甲,乙两种物品共80件,且总费用不超过4060元,求最多能购买甲物品多少件?【答案】(1)甲物品的单价是60元,乙物品的单价是40元(2)43件【分析】(1)设乙物品的单价是x 元,则甲物品的单价是()20x +元,利用数量=总价÷单价,结合用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍,可得出关于x 的分式方程,解之经检验后,可得出乙物品的单价,再将其代入()20x +中,可求出甲物品的单价;(2)设购买m 件甲物品,则购买()80m -件乙物品,利用总价=单价×数量,结合总价不超过4060元,可得出关于m 的一元一次不等式,解之取其中的最大值,即可得出结论.解:(1)设乙物品的单价是x 元,则甲物品的单价是()20x +元,根据题意得:24080220x x=⨯+,解得:40x =,经检验,40x =是所列方程的解,且符合题意,∴20402060x +=+=.答:甲物品的单价是60元,乙物品的单价是40元.(2)设购买m 件甲物品,则购买()80m -件乙物品,根据题意得:()6040804060m m +-≤,解得:43m ≤,又∵m 为正整数,∴m 的最大值为43.答:最多能购买甲物品43件.【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是正确分析题目中的等量关系.【变式2】(2023·山东济南·一模)为有效落实双减工作,切实做到减负提质,很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目.体育用品商店得知后,第一次用900元购进乒乓球若干盒,第二次又用900元购进该款乒乓球,但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍,购进数量比第一次少了30盒.(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元?(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元,则每盒乒乓球的售价至少是多少元?【答案】(1)5元(2)7元【分析】(1)设第一次每盒乒乓球的进价是x 元,则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元,根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可;(2)设每盒乒乓球的售价为y 元,根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可.(1)解:设第一次每盒乒乓球的进价是x 元,则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元,由题意得:900900301.2x x=+解得:x =5,经检验:x =5是原分式方程的解,,且符合题意,答:第一次每盒乒乓球的进价是5元;(2)解:设每盒乒乓球的售价为y 元,第一次每盒乒乓球的进价为5元,则第二次每盒乒乓球的进价为5 1.26⨯=(元),由题意得:()()9009005651056y y ⨯-+-≥,解得:7y ≥.答:每盒乒乓球的售价至少是7元.【点拨】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用,解题关键是准确理解题意,根据题目中的数量关系列出方程和不等式.类型三、分式方程✮✮一次函数增减性3.(2022·山东东营·统考中考真题)为满足顾客的购物需求,某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解,甲水果的进价比乙水果的进价低20%,水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克,已知甲,乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少?(2)若水果店购进这两种水果共150千克,其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍,则水果店应如何进货才能获得最大利润,最大利润是多少?【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克,乙种水果的进价是5元/千克;(2)水果店购进甲种水果100千克,乙种水果50千克时获得最大利润,最大利润是350元.【分析】(1)设乙种水果的进价是x 元/千克,根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%,水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程,解方程检验后可得出答案;(2)设水果店购进甲种水果a 千克,获得的利润为y 元,则购进乙种水果(150-a )千克,根据利润=(售价-进价)×数量列出y 关于a 的一次函数解析式,求出a 的取值范围,然后利用一次函数的性质解答.(1)解:设乙种水果的进价是x 元/千克,由题意得:()1000120010120%x x=+-,解得:5x =,经检验,5x =是分式方程的解且符合题意,则()120%0.854x -=⨯=,答:甲种水果的进价是4元/千克,乙种水果的进价是5元/千克;(2)解:设水果店购进甲种水果a 千克,获得的利润为y 元,则购进乙种水果(150-a )千克,由题意得:()()()6485150450y a a a =-+--=-+,∵-1<0,∴y 随a 的增大而减小,∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍,∴()2150a a -≥,解得:100a ≥,∴当100a =时,y 取最大值,此时100450350y =-+=,15050a -=,答:水果店购进甲种水果100千克,乙种水果50千克时获得最大利润,最大利润是350元.【点拨】本题考查了分式方程的应用,一次函数与一元一次不等式的应用,正确理解题意,找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键.举一反三:【变式1】(2020·新疆·统考中考真题)某超市销售A 、B 两款保温杯,已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元,用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同.(1)A 、B 两款保温杯的销售单价各是多少元?(2)由于需求量大,A 、B 两款保温杯很快售完,该超市计划再次购进这两款保温杯共120个,且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的两倍.若A 款保温杯的销售单价不变,B 款保温杯的销售单价降低10%,两款保温杯的进价每个均为20元,应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大,最大利润是多少元?【答案】(1)A 款保温杯的销售单价是30元,B 款保温杯的销售单价是40元(2)进货方式为购进B 款保温杯数量为40个,A 款保温杯数量为80个,最大利润是1440元【分析】(1)设A 款保温杯的销售单价是x 元,B 款保温杯的销售单价是(x +10)元,根据用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同列分式方程解答即可;(2)设购进B 款保温杯数量为y 个,则A 款保温杯数量为(120-y )个,根据题意求出0<y ≤40,设总销售利润为W 元,列出一次函数,根据一次函数的性质求解即可.(1)解:设A 款保温杯的销售单价是x 元,B 款保温杯的销售单价是(x +10)元,48036010x x=+,解答x =30,经检验,x =30是原方程的解,∴x +10=40,答:A 款保温杯的销售单价是30元,B 款保温杯的销售单价是40元;(2)B 款保温杯销售单价为40×(1-10%)=36元,设购进B 款保温杯数量为y 个,则A 款保温杯数量为(120-y )个,120-y ≥2y ,解得y ≤40,∴0<y ≤40,设总销售利润为W 元,W =(30-20)(120-y )+(36-20)y =6y +1200,∵W 随y 的增大而增大,∴当y =40时,利润W 最大,最大为6×40+1200=1440元,进货方式为购进B 款保温杯数量为40个,A 款保温杯数量为80个,最大利润是1440元.【点拨】此题考查了分式方程的实际应用,一次函数的实际应用,正确理解题意是解题的关键.【变式2】(2022·广东深圳·统考中考真题)某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元,且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样.(1)求甲乙两种类型笔记本的单价.(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件,且购买的乙的数量不超过甲的3倍,则购买的最低费用是多少【答案】(1)甲类型的笔记本电脑单价为11元,乙类型的笔记本电脑单价为12元(2)最低费用为1100元【分析】(1)设甲类型的笔记本电脑单价为x 元,则乙类型的笔记本电脑为()10x +元.列出方程即可解答;(2)设甲类型笔记本电脑购买了a 件,最低费用为w ,列出w 关于a 的函数,利用一次函数的增减性进行解答即可.解:(1)设甲类型的笔记本电脑单价为x 元,则乙类型的笔记本电脑为()10x +元.由题意得:1101201x x =+解得:11x =经检验11x =是原方程的解,且符合题意.∴乙类型的笔记本电脑单价为:11112+=(元).答:甲类型的笔记本电脑单价为11元,乙类型的笔记本电脑单价为12元.(2)设甲类型笔记本电脑购买了a 件,最低费用为w ,则乙类型笔记本电脑购买了()100a -件.由题意得:1003a a -≤.∴25a ≥.()1112100111200121200w a a a a a =+-=+-=-+.∵100-<,∴当a 越大时w 越小.∴当100a =时,w 最小,最小值为110012001100-⨯+=(元).答:最低费用为1100元.【点拨】此题考查了分式方程的应用,以及一次函数的应用,掌握分式方程的应用,以及一次函数的应用是解题的关键.类型四、分式方程✮✮不等式(组)✮✮一次函数增减性➽➼方案问题4.(2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题)某工厂准备生产A 和B 两种防疫用品,已知A 种防疫用品每箱成本比B 种防疫用品每箱成本多500元.经计算,用6000元生产A 种防疫用品的箱数与用4500元生产B 种防疫用品的箱数相等.请解答下列问题:(1)求A ,B 两种防疫用品每箱的成本;(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A 和B 两种防疫用品共50箱,且B 种防疫用品不超过25箱,该工厂有几种生产方案?(3)为扩大生产,厂家欲拿出与(2)中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备(两种都买).若甲种设备每台2500元,乙种设备每台3500元,则有几种购买方案?最多可购买甲,乙两种设备共多少台?(请直接写出答案即可)【答案】(1)A 种防疫用品2000元/箱,B 种防疫用品1500元/箱(2)共有6种方案(3)4种,33台【分析】(1)设B 种防疫用品成本x 元/箱,A 种防疫用品成本()500x +元/箱,根据题意列出分式方程解得即可;(2)设B 种防疫用品生产m 箱,A 种防疫用品生产()50m -箱,根据题意列得不等式解得即可;(3)先根据(2)求得最低成本,设购进甲和乙两种设备分别为a ,b 台,根据题意列得方程,解得正整数解即可.(1)解:设B 种防疫用品成本x 元/箱,A 种防疫用品成本()500x +元/箱,由题意,得45006000500x x =+,解得x =1500,检验:当x =1500时,()5000x x +≠,所以x =1500是原分式方程的解,50015005002000x +=+=(元/箱),答:A 种防疫用品2000元/箱,B 种防疫用品1500元/箱;(2)解:设B 种防疫用品生产m 箱,A 种防疫用品生产()50m -箱,()150020005090000m m +-≤,解得20m ≥,∵B 种防疫用品不超过25箱,∴2025m ≤≤,∵m 为正整数,∴m =20,21,22,23,24,25,共有6种方案;(3)解:设生产A 和B 两种防疫用品费用为w ,w =1500m +2000(50-m )=-500m +100000,∵k <0,∴w 随m 的增大而减小,∴当m =25时,w 取得最小值,此时w =87500,设购进甲和乙两种设备分别为a ,b 台,∴2500a +3500b =87500,∴17575b a -=,∵两种设备都买,∴a ,b 都为正整数,∴285a b =⎧⎨=⎩,2110a b =⎧⎨=⎩,1415a b =⎧⎨=⎩,720a b =⎧⎨=⎩,∴一共4种方案,最多可购买甲乙两种设备共28+5=33台.【点拨】本题考查了分式方程、一元一次不等式组、二元一次方程的实际应用,根据题意列出等式或不等式是解题的关键.举一反三:【变式1】(2022·贵州黔东南·统考中考真题)某快递公司为了加强疫情防控需求,提高工作效率,计划购买A 、B 两种型号的机器人来搬运货物,已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天少搬运10吨,且A 型机器人每天搬运540吨货物与B 型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同.(1)求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨?(2)每台A 型机器人售价1.2万元,每台B 型机器人售价2万元,该公司计划采购A 、B 两种型号的机器人共30台,必须满足每天搬运的货物不低于2830吨,购买金额不超过48万元.请根据以上要求,完成如下问题:①设购买A 型机器人m 台,购买总金额为w 万元,请写出w 与m 的函数关系式;②请你求出最节省的采购方案,购买总金额最低是多少万元?【答案】(1)每台A 型机器人每天搬运货物90吨,每台B 型机器人每天搬运货物为100吨.(2)①0.860w m =-+;②当购买A 型机器人17台,B 型机器人13台时,购买总金额最少,最少金额为46.4万元.【分析】(1)设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨,则每台B 型机器人每天搬运货物为(x +10)吨,然后根据题意可列分式方程进行求解;(2)①由题意可得购买B 型机器人的台数为()30m -台,然后由根据题意可列出函数关系式;②由题意易得()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩,然后可得1517m ≤≤,进而根据一次函数的性质可进行求解.(1)解:设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨,则每台B 型机器人每天搬运货物为(x +10)吨,由题意得:54060010x x =+,解得:90x =;经检验:90x =是原方程的解;答:每台A 型机器人每天搬运货物90吨,每台B 型机器人每天搬运货物为100吨.(2)解:①由题意可得:购买B 型机器人的台数为()30m -台,∴()1.22300.860w m m m =+-=-+;②由题意得:()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩,解得:1517m ≤≤,∵-0.8<0,∴w 随m 的增大而减小,∴当m =17时,w 有最小值,即为0.8176046.4w =-⨯+=,答:当购买A 型机器人17台,B 型机器人13台时,购买总金额最少,最少金额为46.4万元.【点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用,熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键.【变式2】(2022·湖南怀化·统考中考真题)去年防洪期间,某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣(单位:件)和雨鞋(单位:双),其中购买雨衣用了400元,购买雨鞋用了350元,已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元.(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元?(2)为支持今年防洪工作,该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%,并按套(即一件雨衣和一双雨鞋为一套)优惠销售.优惠方案为:若一次购买不超过5套,则每套打九折:若一次购买超过5套,则前5套打九折,超过部分每套打八折.设今年该部门购买了a 套,购买费用为W 元,请写出W 关于a 的函数关系式.(3)在(2)的情况下,今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套?【答案】(1)每件雨衣40元,每双雨鞋35元(2)()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩(3)最多可购买6套【分析】(1)根据题意,设每件雨衣()5+x 元,每双雨鞋x 元,列分式方程求解即可;(2)根据题意,按套装降价20%后得到每套60元,根据费用=单价×套数即可得出结论;(3)根据题意,结合(2)中所求,得出不等式4830320a +≤,求解后根据实际意义取值即可.(1)解:设每件雨衣()5+x 元,每双雨鞋x 元,则4003505x x=+,解得35x =,经检验,35x =是原分式方程的根,540x ∴+=,答:每件雨衣40元,每双雨鞋35元;(2)解:根据题意,一套原价为354075+=元,下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元,则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩;(3)解:320270> ,∴购买的套数在5a ≥范围内,即4830320a +≤,解得145 6.04224a ≤≈,答:在(2)的情况下,今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套.【点拨】本题考查实际应用题,涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识,熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”,根据题意得出相应关系式是解决问题的关键.。

分式乘除法计算练习题及答案

分式乘除法计算练习题及答案

分式乘除法计算练习题及答案x?2x2?6x?93xy28z2问题1 计算:.; 2x?3x?44zy名师指导这道例题就是直接应用分式的乘法法则进行运算.值得注意的是运算结果应约分到不好约分为止,同时还应注意在计算时跟整式运算一样,先确定符号,再进行相关计算,求出结果.这道例题中分式的分子、分母是多项式,应先把分子、分母中的多项式分解因式,再进行约分.解题示范3xy28z224xy2z2解:6xy;z2y4yz2x?2x2?6x?9x?222x?3. 2x?3x?4x?3x?2归纳提炼类比分数的乘法运算不难理解,分式的乘法运算就是根据分式乘法法则,将各式分子、分母分别相乘后再进行约分运算,值得注意的地方有三点:一是要确定好运算结果的符号;二是计算结果中分子和分母能约分则要约分;三是有时计算结果的分母不一定是单一的多项式,而是多个多项式相乘,这时也不必把它们展开. a2b?2axa?2a2?4??问题计算:;. a?3a2?6a?93cd6cd名师指导分式除法运算,根据分式除法法则,将分式除法变为分式乘法运算,注意点同分式乘法.解题示范a2b?2axa2b6cd6a2bcdab;解:3cd6cd3cd2ax6acdxxa?2a2?4a?222a?3. ?2a?3a?6a?9a?3a?2a3b?a2b2a2?ab?2问题已知:a?2b?2?2的值.2a?2ab?ba?b名师指导完成这类求值题时,如果把已知条件直接代入,计算将会较为繁杂,容易导致错误产生.解决这种问题,一般应先将代数式进行化简运算,然后再把已知条件代入化简后的式子中进行计算,这样的处理方式可以使运算量少很多.解题示范解:化简代数式得,a3b?a2b2a2?ab?222a?2ab?ba?ba2b ?2aa2b2 ?2aab.把a?2b?2ab,所以原式?·2xy. x?y2y22.计算:?3xy?.x33.计算:?9ab____. b3x2yxy?..计算:a3am2?4m?3?25.若m等于它的倒数,则分式的值为m?2m?3mA.-1B.3C.-1或D.?6.计算?21 x?y的结果是 xA.2B.x2?yC.x2D.x7.计算32的结果是A.3a2-1 B.3a2-C.3a2+6a+ D.a2+2a+1 8.已知x等于它的倒数,则x2?x?6x?3x?3x2?5x?6的值是A.- B.-C.-1 D.09.计算a2?1a2?aa2?2a?1÷a?1.10.观察下列各式:x?1x2?x?1x3?x2?x?1x4?x3?x2?x?1你能得到一般情况下?的结果吗?根据这一结果计算:1?2?22?23??22006?22007.) xn?1?n?2?x?1,22008ax??17.B.A分数乘除法计算题专项练习1一、直接写出得数57?34=79?97=5?43=7?152=?354=1= 191591120?38= 10?32==7×1= 1+17= 1953×0=?778=3?9= 134?5 =4÷34=10÷10%= 12÷23=1.8×15926=?10?5= 1715×60=二、看谁算得又对又快58?167?141135248?6?351926?3855?511 12?35?32533545×4÷×48?3+8?458÷71521÷ 10 ÷×姓名:6÷310-310÷ 13353×4÷[523713133-]÷314÷ 16718×14+34×7114×57÷14×5 736× ×9+2312×3.2+5.6×0.5+1.2×50%211?3?2?5955711[2-]×12三、解方程78x=218239x?4=15x+215x=23 56x=308x-113=6x+5×4.4=40÷x =5122x+215x=20四、求下面各比的比值1052:8467:46.7106345:0.610:140 19:12五、化简下面各比65:1 123: 1.1:114.9:0.152:15:0.12六、列式计算1.4个131的和除以8,商是多少?.112减去2乘23的积,差是多少?3.一个数的比它的34多,求这个数。

《分式》典型例题及解析

《分式》典型例题及解析

《分式》典型例题及解析例1.分式中,当x = a时,下列说法正确的是( )A.分式的值为零 B.分式无意义C.当a≠时,分式的值为零D.当a≠−时,分式无意义答案:C说明:当x = a时,分子x−a = 0,但需满足分式有意义,即分母2x−3≠0,x≠∴当a≠时,分式值为0,因此,答案为C.例2.分式有意义,则x的值为( )A.x≠−1 B.x≠−2 C.x≠1 D.x ≠−1,x≠−2且x≠1答案:D说明:有意义,需满足x+1≠0且x−≠0,得x≠−1且≠0,即,所以当x≠−1,x≠−2且x≠1时分式有意义,答案为D.例3.下列各式从左到右变形错误的是( )A.=B.=C.=D.=答案:D说明:选项A、B中的变形都是将左边的分式分子、分母同乘以−1,即得到右边的分式,变形过程都是正确的;选项C左边的分式隐含条件a≠0,因此,分子、分母可以同时除以a,即得到右边的分式,变形过程也是正确的;只有选项D中的变形需附加条件b ≠0,因此,答案为D.例4.当=时,A应为( )A.x−1 B.x+1 C.3(x+1)D.3(x−1)答案:D说明:由=得=,因为分式的分母x+2乘以(x−1)才能化为x2+x−2,所以根据分式的基本性质,分子3也应乘以(x−1)得3(x−1),所以A = 3(x−1),答案为D.例5.下列命题中不正确的是( )A.不论x取任何实数时,分式都有意义B.x = 0时,分式的值为0C.(2x+y)÷(y−x) =D.当x<0时,分式<0答案:B说明:不论x取任何实数,x2+1始终不会为0,所以分式有意义,选项A命题成立;选项B中命题显然错误;选项C、D中的命题不难看出都是正确的,所以答案为B.例6.分式与是同一个分式吗?分析:分式=它有意义的条件是(x+2)(x−3)≠0即x≠−2且x≠3,而分式有意义的条件是x−3≠0即x≠3,当x = −2时,分式有意义.答:由于两分式有意义的条件不同,所以与不是同一个分式.。

分式的运算(含例题)

分式的运算(含例题)

1.分式的乘除(1)分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的__________,分母的积作为积的__________. (2)分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式__________. 用式子表示为a c a c a c a d a db d b d b d bc b c⋅⋅⋅=÷=⋅=⋅⋅, 【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似,可类比分数的乘法学习.(1)分式与分式相乘时,①若分子、分母是单项式,可先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式;②若分子、分母是多项式,先分解因式,看能否约分,然后再相乘.(2)当整式与分式相乘时,要把整式(看作是分母为1的式子)与分式的分子相乘作为积的分子,分式的分母作为积的分母.当整式是多项式时,同样要先分解因式,看能否约分,然后再相乘. (3)分式除以分式,可以先确定商的符号,再转化为分式的乘法.也可先转化为分式的乘法后,再确定符号,这与实数的除法运算法则是一致的.当除式(或被除式)是整式时,可以看作是分母是“1”的式子,然后依照分式除法法则计算.(4)分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式. (5)分式的乘除混合运算,如果没有其他附加条件(如括号等),则应按照由左到右的顺序进行计算.2.分式的乘方分式乘方的法则:分式乘方要把分子、分母分别__________.【注意】(1)进行分式的乘方运算时,一定要把分子、分母分别乘方,不要把()n n n a a b b =写成()nn a a b b=.(2)分式乘方时,先确定乘方结果的符号,它和实数乘方确定符号的方法相同:正数的任何次方都是正数;负数的偶次方为正数,负数的奇次方为负数. (3)分式乘方时,应把分子、分母分别看作一个整体.3.分式的加减(1)同分母分式相加减法则:同分母分式相加减,分母__________,把分子相加减.用式子表示为a bc c±=__________. (2)异分母分式相加减法则:异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减. 用式子表示为a c ad bcb d bb bd±=±=__________. 【注意】(1)分式加减运算的结果要化成最简分式或整式.(2)同分母分式相加减时要注意:“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减,“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母. (3)异分母分式相加减的一般步骤: ①通分:将异分母分式转化成同分母分式; ②加减:写成分母不变,分子相加减的形式; ③合并:分子去括号,合并同类项;④约分:分子、分母约分,将结果化成最简分式或整式.因此,异分母分式加减运算的关键是通分.4.分式的混合运算(1)分式的混合运算,关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算__________,有括号要先算括号里面的,在运算过程中要注意正确地运用运算法则,灵活地运用运算律,使运算尽量简便.(2)分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理,结果中分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式的前边.5.整数指数幂与科学记数法(1)整数指数幂:若m ,n 为正整数,a ≠0,则1=m mm nm n n a a aa a a+÷=⋅. 又因为()=m m n m m n n a a a a +-+-÷=,所以n a -=__________. 一般地,当n 是正整数时,1(0)nn a a a-=≠,这就是说,(0)n a a -≠是n a 的倒数. 整数指数幂的运算性质①m n m n a a a +⋅=;②()m n mn a a =;③()n n n ab a b =; ④(0)mnm na a aa -÷=≠;⑤()nn n a a b b=.上述式子中,m ,n 均为任意整数. (2)科学记数法用科学记数法表示小于1的正数时,可表示为a ×10-n 的形式,其中n 为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前的那个0),1≤a <10.K 知识参考答案:1.分子,分母,相乘2.乘方3.不变,a b c ±,ad bc bd ±4.加减5.1n aK —重点 分式的加减乘除的运算,整数指数幂的运算,科学记数法的应用 K —难点 分式的混合运算K —易错分式的减法运算中,忽视减号一、分式的乘除分式的乘除运算应注意的“四类问题”(1)理解法则并能正确运用,若是除法运算,则先转化为乘法运算. (2)分子、分母能分解因式的先分解因式,然后约分. (3)运算的结果要化为最简分式或整式.(4)自选数值的代入求值问题,不要忽视分母不为0的条件. 【例1】计算2211(2)x x x x -+⋅+-的结果是 A .12x - B .12-C .yD .x【答案】A 【解析】2211(2)x x x x -+⋅+-=12x -,故选A . 【例2】下列计算正确的是A .3522()22b b a a = B .22239()24b b a a --= C .33328()327y y x x=--D .222239()x x x a x a=-- 【答案】C【例3】化简211m mm m--÷是 A .mB .-mC .1mD .-1m【答案】B【解析】原式211m m m m m -=⨯=--.故选B .二、分式的加减异分母分式相加减,化异分母分式为同分母分式是解此类题的关键.在整式与分式进行加减运算时,把整 式看作分母为1的式子,并按照异分母分式相加减的法则完成计算. 【例4】计算23211x xx x +-++的结果为 A .1B .3C .31x + D .31x x ++ 【答案】C【解析】原式=232311x x x x +-=++.故选C .【例5】计算37444a a b ba b b a a b ++----得 A .264a b a b+--B .264a ba b+-C .2-D .2【答案】D 【解析】37444a a b b a b b a a b ++----=37444a a b b a b a b a b +-----=374a a b b a b ----=284a b a b --=2(4)4a b a b-- =2.故选D .三、分式的混合运算分式混合运算应根据式子的特点,选择灵活简便的方法计算或化简,注意使用运算律,寻求合理的运算途径.【例6】化简11()()x y y x-÷-的结果是 A .1B .xyC .y xD .-1【答案】B【解析】11()()x y y x -÷-=11xy xy y x --÷=1·1xy x y xy --=x y .故选B . 【例7】计算4()222x x x x x x -÷-+-的结果是 A .-12x + B .12x + C .-1 D .1 【答案】A四、整数指数幂与科学记数法用科学记数法表示小于1的正数时,要注意小数点位置的变化,即小数点向右移了几位,10的指数就是负 几.【例8】某桑蚕丝的直径用科学记数法表示为1.6×10-5米,则这个数的原数是 A .0.0000016 B .0.000016 C .0.00016 D .0.0016【答案】B【解析】根据科学记数法的定义1.6×10-5=0.000016.故选B . 【例9】百合花的花粉的直径约0.000000087米,这里0.000000087用科学记数法表示为 A .8.7×10-7B .8.7×10-8C .8.7×10-9D .0.87×10-8【答案】B【解析】80.0000000878.710-=⨯.故选B . 【例10】计算: (1)32222()()x y x y --;(2)212123(3)(2)x yz x y ---; (3)3212232(3)(5)x y z xy z ---; (4)32232()(2)m n m n ----.五、分式的化简求值分式化简求值的三种类型(1)将分式化简后直接代入数据求值.(2)利用“整体”思想,将式子的值整体代入化简后的式子,再求值. (3)通过引入参数,以参数为媒介减少字母的个数,实现问题转化的目的.【例11】先化简22()339x x xx x x -÷-+-,再选取一个既使原式有意义,又是你喜欢的数代入求值. 【解析】22()339x x xx x x-÷-+- =2(3)(3)(3)(3)(9)(3)(3)(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x+---+-+-+-⋅=⋅+-+-9x =--,∵30x -≠,30x +≠,0x ≠, ∴x 取1,代入得:原式1910=--=-.。

分式的通分经典练习例题

分式的通分经典练习例题

分式的通分经典练习例题1. 例题一已知分式 $\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$,求其最小公倍数和通分结果。

解答:最小公倍数是两个数的公共倍数中最小的那个数,可通过找到它们的公倍数并选择最小的一个来确定。

对于分式,可以通过将其转化为分子和分母的最小公倍数的倍数来完成通分。

是两个数的公共倍数中最小的那个数,可通过找到它们的公倍数并选择最小的一个来确定。

对于分式,可以通过将其转化为分子和分母的最小公倍数的倍数来完成通分。

先求最小公倍数:- 分式 $\frac{1}{2}$ 的分子为 1,分母为 2。

它的倍数为:2, 4, 6, 8, 10, ...- 分式 $\frac{2}{3}$ 的分子为 2,分母为 3。

它的倍数为:3, 6, 9, 12, 15, ...可以观察到,它们的最小公倍数是 6。

通分结果:- $\frac{1}{2}$ 通分得到分子为 1,分母为 2 的分式。

- $\frac{2}{3}$ 通分得到分子为 2,分母为 3 的分式。

因此,最小公倍数为 6,通分结果分别为 $\frac{3}{6}$ 和$\frac{4}{6}$。

例题一解答如下:最小公倍数:6通分结果:$\frac{3}{6}$ 和 $\frac{4}{6}$2. 例题二已知分式 $\frac{3}{4}$、$\frac{5}{6}$,求其最小公倍数和通分结果。

解答:同样,先求最小公倍数:- 分式 $\frac{3}{4}$ 的分子为 3,分母为 4。

它的倍数为:4, 8, 12, 16, 20, ...- 分式 $\frac{5}{6}$ 的分子为 5,分母为 6。

它的倍数为:6, 12, 18, 24, 30, ...可以观察到,它们的最小公倍数是 12。

通分结果:- $\frac{3}{4}$ 通分得到分子为 9,分母为 12 的分式。

- $\frac{5}{6}$ 通分得到分子为 10,分母为 12 的分式。

分式方程20道例题

分式方程20道例题

分式方程20道例题一、基础题型例1:解方程(2)/(x + 1)=(1)/(x - 1)解析:1. 首先去分母,给方程两边同时乘以(x + 1)(x-1)(最简公分母),得到: - 2(x - 1)=x + 1。

2. 然后展开括号:- 2x-2=x + 1。

3. 接着移项:- 2x-x=1 + 2。

- 解得x = 3。

4. 最后检验:- 当x = 3时,(x + 1)(x - 1)=(3+1)×(3 - 1)=4×2 = 8≠0。

- 所以x = 3是原分式方程的解。

例2:解方程(x)/(x - 2)-1=(4)/(x^2)-4解析:1. 先将方程右边的分母因式分解,x^2-4=(x + 2)(x - 2)。

2. 去分母,方程两边同时乘以(x + 2)(x - 2),得到:- x(x + 2)-(x + 2)(x - 2)=4。

3. 展开括号:- x^2+2x-(x^2-4)=4。

- x^2+2x - x^2+4 = 4。

4. 化简得:- 2x=0,解得x = 0。

5. 检验:- 当x = 0时,(x + 2)(x - 2)=(0 + 2)×(0 - 2)=-4≠0。

- 所以x = 0是原分式方程的解。

例3:解方程(3)/(x)+(6)/(x - 1)=(x + 5)/(x(x - 1))解析:1. 去分母,方程两边同时乘以x(x - 1),得到:- 3(x - 1)+6x=x + 5。

2. 展开括号:- 3x-3+6x=x + 5。

3. 移项合并同类项:- 3x+6x - x=5 + 3。

- 8x=8,解得x = 1。

4. 检验:- 当x = 1时,x(x - 1)=1×(1 - 1)=0。

- 所以x = 1是增根,原分式方程无解。

二、有增根问题的分式方程例4:若关于x的分式方程(2)/(x - 2)+(mx)/(x^2)-4=(3)/(x + 2)会产生增根,求m的值。

8年级下册分式典型例题及解析

8年级下册分式典型例题及解析

分式部分典型例题分析1. 已知实数a 满足a 2+4a -8=0,求1a +1-a +3a 2-1·a 2-2a +1a 2+6a +9的值.分析:先化简,原式=4a 2+4a+3,从已知条件可知a 2+4a=8,∴原式=48+3=411注:不需要解出a 的值,要有整体的思想,把a 2+4a 看做一个整体,整体带入即可。

类型题1:已知a 2-3a +1=0,则分式a 2a 4+1的值是( )。

此题需要把a 4+1看做一个整体,所以根据已知条件凑出a 4+1这个整体来,其过程是把已知条件变形为a 2+1=-3a ,再两边同时平方得,a 4+2a 2+1=9a 2,即a 4+1=7a 2,这样即可得到答案(1/7)。

类型题2:已知x −1x =3,求4−x 22+3x 2的值待求表达式中出现了x 的平方,而已知条件中没有x 的平方,∴把已知条件的左右两边同时乘以x(∵x ≠0),整理得x 2-3x=1,4−x 22+3x 2=4−12(x 2−3x).同样把(x 2-3x )看做整体。

2. 已知2x -3y +z =0,3x -2y -6z =0,且z≠0,求x 2+y 2+z22x 2+y 2-z2的值分析:两个方程是无法解出三个未知数的,∴只能考虑消元带入。

观察已知两个方程的特点,可以考虑把它们相加,因为它们相加后的系数都为5.这样相加后得到x=y+z ①,再把①带入已知条件的任意一个方程可得到y=3z ②,把②带入①得到x=4z ③,最后再把②③带入待求的表达式即可算出结果(13/20)。

注:这里我们把x 和y 都用z 来表示,这样待求的表达式中就只含有未知数z 了,但是分子分母的每一个项都是含有z 2,所以可以约分。

类型题1:已知1a +1b =4,则4a +3ab +4b-3a +2ab -3b =________。

同样一个方程也无法解出两个未知数a,b 来,只能考虑带入。

观察待求表达式可变形为3ab+4(a+b)2ab−3(a+b)①,所以如果能把a+b 用ab 的乘积来表示,则问题就解决了。

100道解分式方程及答案

100道解分式方程及答案

100道解分式方程练习题(带答案)解答:一、复习例解方程:(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;(3)2(1x+1x+3)+x-2x+3=1.解(1)方程两边都乘以x(3+3),去分母,得2(x+3)+x2=x2+3x,即2x-3x=-6所以x=6.检验:当x=6时,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根.(2)方程两边都乘以x(x+12),约去分母,得15(x+12)=30x.解这个整式方程,得x=12.检验:当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.(3)整理,得2x+2x+3+x-2x+3=1,即2x+2+x-2 x+3=1,即2x+xx+3=1.方程两边都乘以x(x+3),去分母,得2(x+3)+x2=x(x+3),即2x+6+x2=x2+3x,亦即2x-3x=-6.解这个整式方程,得x=6.检验:当x=6时,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根.二、新课例1 一队学生去校外参观,他们出发30分钟时,学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍,这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米,问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?请同学根据题意,找出题目中的等量关系.答:骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米);骑车的速度=步行速度的2倍;骑车所用的时间=步行的时间-0.5小时.请同学依据上述等量关系列出方程.答案:方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时,依题意列方程为15x=2×15 x+12.方法2 设步行速度为x千米/时,骑车速度为2x千米/时,依题意列方程为15x-15 2x=12.解由方法1所列出的方程,已在复习中解出,下面解由方法2所列出的方程.方程两边都乘以2x,去分母,得30-15=x,所以x=15.检验:当x=15时,2x=2×15≠0,所以x=15是原分式方程的根,并且符合题意.所以骑车追上队伍所用的时间为15千米30千米/时=12小时.答:骑车追上队伍所用的时间为30分钟.指出:在例1中我们运用了两个关系式,即时间=距离速度,速度=距离时间.如果设速度为未知量,那么按时间找等量关系列方程;如果设时间为未知量,那么按速度找等量关系列方程,所列出的方程都是分式方程.例2 某工程需在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成;若由乙队去做,要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天,剩下的工程由乙独做,恰好在规定日期完成,问规定日期是多少天?分析;这是一个工程问题,在工程问题中有三个量,工作量设为s,工作所用时间设为t,工作效率设为m,三个量之间的关系是s=mt,或t=sm,或m=st.请同学根据题中的等量关系列出方程.答案:方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数,设为x天,那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天,设工程总量为1,甲的工作效率就是x1,乙的工作效率是1x+3.依题意,列方程为2(1x+1x3)+x2-xx+3=1.指出:工作效率的意义是单位时间完成的工作量.方法2 设规定日期为x天,乙与甲合作两天后,剩下的工程由乙单独做,恰好在规定日期完成,因此乙的工作时间就是x天,根据题意列方程2x+xx+3=1.方法3 根据等量关系,总工作量—甲的工作量=乙的工作量,设规定日期为x天,则可列方程1-2x=2x+3+x-2x+3.用方法1~方法3所列出的方程,我们已在新课之前解出,这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.三、课堂练习1.甲加工180个零件所用的时间,乙可以加工240个零件,已知甲每小时比乙少加工5个零件,求两人每小时各加工的零件个数.2.A,B两地相距135千米,有大,小两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2:5,求两辆汽车的速度.答案:1.甲每小时加工15个零件,乙每小时加工20个零件.2.大,小汽车的速度分别为18千米/时和45千米/时.四、小结1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同,不同点是,解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根,另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.2.列分式方程解应用题,一般是求什么量,就设所求的量为未知数,这种设未知数的方法,叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量,而是设另外的量为未知量,这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时,设间接未知数,有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题,若题目的条件不变,把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间,如果设直接未知数,即设,小汽车从A地到B地需用时间为x小时,则大汽车从A地到B地需(x+5-12)小时,依题意,列方程135 x+5-12:135x=2:5.解这个分式方程,运算较繁琐.如果设间接未知数,即设速度为未知数,先求出大、小两辆汽车的速度,再分别求出它们从A地到B地的时间,运算就简便多了.五、作业1.填空:(1)一件工作甲单独做要m小时完成,乙单独做要n小时完成,如果两人合做,完成这件工作的时间是______小时;(2)某食堂有米m公斤,原计划每天用粮a公斤,现在每天节约用粮b公斤,则可以比原计划多用天数是______;(3)把a千克的盐溶在b千克的水中,那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.2.列方程解应用题.(1)某工人师傅先后两次加工零件各1500个,当第二次加工时,他革新了工具,改进了操作方法,结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍,求他第二次加工时每小时加工多少零件?(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米,如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等,求他步行40千米用多少小时?(3)已知轮船在静水中每小时行20千米,如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同,那么此江水每小时的流速是多少千米?(4)A,B两地相距135千米,两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5:2,求两辆汽车各自的速度.答案:1.(1)mn m+n; (2)m a-b-ma; (3)ma a+b.2.(1)第二次加工时,每小时加工125个零件.(2)步行40千米所用的时间为40 4=10(时).答步行40千米用了10小时.(3)江水的流速为4千米/时.课堂教学设计说明1.教学设计中,对于例1,引导学生依据题意,找到三个等量关系,并用两种不同的方法列出方程;对于例2,引导学生依据题意,用三种不同的方法列出方程.这种安排,意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题,激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯.这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例1是行程问题,其中距离是已知量,求速度(或时间);例2是工程问题,其中工作总量为已知量,求完成工作量的时间(或工作效率).这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系,以及列方程求解的思路,以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另别,让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答,求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业,则是识别问题类型,能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系,探求解题思路.3.通过列分式方程解应用题数学,渗透了方程的思想方法,从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容.如何通过设直接未知数或间接未知数的方法,假设所求的量为x,这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程,此时是把已知量与假设的未知量平等看待,这就是“以假当真”.通过解方程求得问题的解,原先假设的未知量x就变成了确定的量,这就是“弄假成真”.解分式方程的例题及答案第2 篇一认识分式知识点一分式的概念1、分式的概念从形式上来看,它应满足两个条件:(1)写成的形式(A、B表示两个整式)(2)分母中含有这两个条件缺一不可2、分式的意义(1)要使一个分式有意义,需具备的条件是(2)要使一个分式无意义,需具备的条件是(3)要使分式的值为0,需具备的条件是知识点二、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个分式的值不变用字母表示为= (其中M是不等于零的整式)知识点三、分式的约分1、概念:把一个分式的分子和分母中的公因式约去,这种变形称为分式的约分2、依据:分式的基本性质注意:(1)约分的关键是正确找出分子与分母的公因式(2)当分式的分子和分母没有公因式时,这样的分式称为最简分式,化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式。

中考《分式方程》经典例题及解析

中考《分式方程》经典例题及解析

分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.注意:“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别,也是判定一个方程为分式方程的依据.2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是去分母,即方程两边同乘以各分式的最简公分母.(2)解分式方程的步骤:①找最简公分母,当分母是多项式时,先分解因式;②去分母,方程两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程;③解整式方程;④验根.注意:解分式方程过程中,易错点有:①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体,记得不要漏乘整式项;②忘记验根,最后的结果还要代回方程的最简公分母中,只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.3.增根在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的增根.由于可能产生增根,所以解分式方程要验根,其方法是将根代入最简公分母中,使最简公分母为零的根是增根,否则是原方程的根.注意:增根虽然不是方程的根,但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根.若这个整式方程本身无解,当然原分式方程就一定无解.4.分式方程的应用(1)分式方程的应用主要涉及工程问题,有工作量问题、行程问题等.每个问题中涉及到三个量的关系,如:工作时间=工作量工作效率,时间=路程速度等.(2)列分式方程解应用题的一般步骤:①设未知数;②找等量关系;③列分式方程;④解分式方程;⑤检验(一验分式方程,二验实际问题);⑥答.经典例题解分式方程1.解方程:2211xx x+=--;【答案】x=0;【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解;【解析】解:(1)2211x x x+=-- 去分母得:x 2=2x 2-- 解得x=0, 经检验x=0是分式方程的解;【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解一元一次不等式组要注意不等号的变化.2.代数式31x -与代数式23x -的值相等,则x =_____. 【答案】7【分析】根据题意列出分式方程,去分母,解整式方程,再检验即可得到答案.【解析】解:根据题意得:3213x x =--,去分母得:3x ﹣9=2x ﹣2,解得:x =7, 经检验x =7是分式方程的解.故答案为:7.【点睛】本题考查的是解分式方程,掌握分式方程的解法是解题的关键.1.分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______,方程228122-=--x x x x的解是____________. 【答案】()2x x - x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果,再解分式方程,检验,得解.【解析】解:∵()222x x x x -=-,∴分式22x x -与282x x -的最简公分母是()2x x -, 方程228122-=--x x x x,去分母得:()2282x x x -=-,去括号得:22282x x x -=-, 移项合并得:2280x x +-=,变形得:()()240x x -+=,解得:x=2或-4,∵当x=2时,()2x x -=0,当x=-4时,()2x x -≠0,∴x=2是增根,∴方程的解为:x=-4.【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程,解题的关键是掌握分式方程的解法.2. 解方程:24111x x x =+-- 【答案】x=3.【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1),去分母,转化为整式方程求解,结果要检验.【解析】解:24111x x x =+--去分母得,2(1)41x x x +=+- 解得,x=3, 经检验,x=3是原方程的根,所以,原方程的根为:x=3.【点睛】(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解;(2)解分式方程一定注意要检验.经典例题 分式方程的解1.关于x 的分式方程2m x -﹣32x -=1有增根,则m 的值( ) A .m =2B .m =1C .m =3D .m =﹣3 【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程有增根,确定出m 的值即可.【解析】解:去分母得:m +3=x ﹣2,由分式方程有增根,得到x ﹣2=0,即x =2,把x =2代入整式方程得:m +3=0,解得:m =﹣3,故选:D .【点睛】此题考查了分式方程的增根,增根确定后可按如下步骤进行:①化分式方程为整式方程;②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.2.若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解,则m 的值为__. 【答案】-1或5或13-【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.【解析】去分母得:()443x m x m ++-=+,可得:()151m x m +=-,当10m +=时,一元一次方程无解,此时1m =-,当10m +≠时,则5141m x m -==±+, 解得:5m =或13-.故答案为:1-或5或13-.【点睛】此题主要考查了分式方程的解,正确分类讨论是解题关键.1.若关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根,则m =_________. 【答案】3. 【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程,然后由分式方程有增根求出x 的值,代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m 的值.【解析】解:去分母得:()332x m x =++-,整理得:21x m =+,∵关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根,即20x -=,∴2x =, 把2x =代入到21x m =+中得:221m ⨯=+,解得:3m =,故答案为:3.【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值,增根就是使最简公分母为零的未知数的值;解决此类问题的步骤:①化分式方程为整式方程;②让最简公分母等于零求出增根的值;③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值.2.若分式方程无解,则【答案】±1 【解析】去分母得:x-a=ax+a ,整理得:所以a-1=2a ,解得a=-1;②整式方程无解考点:分式方程的解.1.若关于x 的分式方程32x x -=2m -A .m <﹣10 B .m ≤﹣10 【答案】D【分析】分式方程去分母化为整式方程,【解析】解:去分母得35(x m =-+由方程的解为正数,得到100m +>,且则m 的范围为10m >-且6≠-m ,故选【点睛】本题主要考查了分式方程的计算程的分母不可为零是做对题目的关键.2.已知关于x 的分式方程1x k k x x +-=+【答案】12k >且1k ≠. 分析:分式方程去分母得:()(x k +【解析】∵分式方程解为负数,∴-+由211k -+≠±得0k ≠和1k ≠∴k 的取值考点:1.分式方程的解;2.分式有意义的条1.已知关于x 的分式方程21m x +-A .3B .4【答案】B 【分析】根据解分式方程,可得分式方程的【解析】解:去分母,得:m+2(x-1)=3,的值为 .:(1-a )x=2a ,由于分式方程无解,所以由两种情程无解,即1-a=0,解得a=1;综上a=±1.经典例题x+5的解为正数,则m 的取值范围为( ) C .m ≥﹣10且m ≠﹣6 D .m >﹣10且,表示出方程的解,由分式方程的解为正数求出2)x -,解得102m x +=, 且2x ≠,104m +≠,故选:D .计算,去分母化为整式方程,根据方程的解求出m11-的解为负数,则k 的取值范围是 . )()(211121211x k x x x k k --+=-⇒=-+-+≠±12102k k ⇒. 的取值范围是12k >且1k ≠. 义的条件;3.解不等式;4.分类思想的应用.31x =--的解为非负数,则正整数m 的所有个数为C .5 D .6 方程的解,根据分式方程的解为负数,可得不等式,移项、合并,解得:x=52m -, 两种情况:①分母为0,即x=-1,m ≠﹣6求出m 的范围即可.的范围,其中考虑到分式方).数为( ) 等式,解不等式,即可解题.∵分式方程的解为非负数,∴52m -≥0且52m -≠1,解得:m≤5且m≠3, ∵m 为正整数∴m=1,2,4,5,共4个,故选:B .【点睛】本题考查了分式方程的解,先求出分式方程的解,再求出符合条件的不等式的解.2.已知关于x 的分式方程433x k x x -=--的解为非正数,则k 的取值范围是( ) A .12k ≤-B .12k -≥C .12k >-D .12k <- 【答案】A【分析】表示出分式方程的解,由解为非正数得出关于k 的不等式,解出k 的范围即可.【解析】解:方程433x k x x-=--两边同时乘以(3)x -得:4(3)x x k --=-, ∴412x x k -+=-,∴312x k -=--,∴43k x =+, ∵解为非正数,∴403k +≤,∴12k ≤-,故选:A . 【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式,熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键.经典例题1.已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+的解满足41x -<<-,且k 为整数,则符合条件的所有k 值的乘积为( )A .正数B .负数C .零D .无法确定 【答案】A【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k -,代入41x -<<-求出k 的取值,即可得到k 的值,故可求解. 【解析】关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+得x=217k -, ∵41x -<<-∴21471k --<<-解得-7<k <14 ∴整数k 为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中,含负整数6个,正整数13个,∴k 值的乘积为正数,故选A .【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合,解题的关键是熟知分式方程的求解方法.1.若关于x 的分式方程21m x x =-有正整数解,则整数m 的值是( ) A .3B .5C .3或5D .3或4 【答案】D 【分析】解带参数m 的分式方程,得到2122m x m m ==+--,即可求得整数m 的值. 【解析】解:21m x x=-,两边同时乘以()1x x -得:()21x m x =-, 去括号得:2x mx m =-,移项得:2x mx m -=-,合并同类项得:()2m x m -=-,系数化为1得:2122m x m m ==+--, 若m 为整数,且分式方程有正整数解,则3m =或4m =,当3m =时,3x =是原分式方程的解;当4m =时,2x =是原分式方程的解;故选:D .【点睛】本题考查分式方程的解,始终注意分式方程的分母不为0这个条件.经典例题 分式方程的应用1.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x 千米/小时,则所列方程正确的是( )A .10x -102x =20B .102x -10x =20C .10x -102x =13D .102x -10x =13【答案】C【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,可以列出相应的方程,从而可以得到哪个选项是正确的.【解析】由题意可得,10x -102x =13,故选:C . 【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程,解题的关键是明确题意,找出题目中的等量关系,列出相应的方程. 2.某体育用品商店出售毽球,有批发和零售两种售卖方式,小明打算为班级购买键球,如果给每个人买一个毽球,就只能按零售价付款,共需80元;如果小明多购买5个毽球,就可以享受批发价,总价是72元.已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同,则小明班级共有多少名学生?设班级共有x 名学生,依据题意列方程得( )A .807250405x x ⨯=⨯+ B .807240505x x ⨯=⨯+ C .728040505x x ⨯=⨯- D .728050405x x ⨯=⨯- 【答案】B 【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系,分别找到零售价与批发价即可列出方程.【解析】设班级共有x 名学生,依据题意列【点睛】本题主要考查列分式方程,读懂题1.数学家斐波那契编写的《算经》中有如元钱,则第二次每人所得与第一次相同,【答案】10406x x =+ 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相【解析】解:根据题意得,1040x x =【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用2.如图,著名旅游景区B 位于大山深处增强景区的吸引力,发展壮大旅游经济,BC =100≈1.4等数据(1)公路修建后,从A 地到景区B 旅游可(2)为迎接旅游旺季的到来,修建公路时结果提前50天完成了施工任务.求施工队【答案】(1)从A 地到景区B 旅游可以少【解析】解:(1)过点C 作AB 的垂线在直角△BCD 中,AB ⊥CD ,sin30°=CD ∴CD =BC•sin30°=100×=50(千米)在直角△ACD 中,AD =CD =50(千米∴AB =50+50(千米),∴AC+BC ﹣AB =50+100﹣(50+50答:从A 地到景区B 旅游可以少走35千米(2)设施工队原计划每天修建x 千米,解得x =0.14,经检验x =0.14是原分式方题意列方程得,807240505x x ⨯=⨯+故选:B . 读懂题意找到等量关系是解题的关键.中有如下问题:一组人平分10元钱,每人分得若干,求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为一次相同,”列分式方程即可得到结论. 06+,故答案为:10406x x =+ 际应用,找出等量关系,列出分式方程,是解题的关深处,原来到此旅游需要绕行C 地,沿折线A→C→B,修建了一条从A 地到景区B 的笔直公路.请结合等数据信息,解答下列问题: 旅游可以少走多少千米? 路时,施工队使用了新的施工技术,实际工作时每天的施工队原计划每天修建多少千米?可以少走35千米;(2)施工队原计划每天修建0.14线CD ,垂足为D ,BC,BC =1000千米, ),BD =BC•cos30°=100×=50(千米),千米),AC ==50(千米), )=50+50﹣50≈35(千米).千米; ,依题意有,﹣=50,分式方程的解. 若干;若再加上6人,平分40数为x 人,则可列方程_____.题的关键.C→B 方可到达.当地政府为了请结合∠A =45°,∠B =30°,每天的工效比原计划增加25%,.14千米. ),答:施工队原计划每天修建0.14千米.点评:(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角△BCD中,解直角三角形求出CD的长度和BD的长度,在直角△ACD中,解直角三角形求出AD的长度和AC的长度,再求出AB的长度,进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米;(2)本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间=50,然后列出方程可求出结果,最后检验并作答.。

初二数学上册:分式方程10道经典例题专练

初二数学上册:分式方程10道经典例题专练

初二数学上册:分式方程10道经典例题专练1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材,甲单独整理需要40分完工;若甲、乙共同整理20分钟后,乙需要再单独整理20分才能完工。

问:乙单独整理需多少分钟完工?解:设乙单独整理需x分钟完工,则解,得x=80经检验:x=80是原方程的解。

答:乙单独整理需80分钟完工。

2、有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜900千克和1500千克,已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克?解:设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克,则解,得x=450经检验:x=450是原方程的解。

答:第一块试验田每亩收获蔬菜450千克。

3、甲、乙两地相距19千米,某人从甲地去乙地,先步行7千米,然后改骑自行车,共用了2小时到达乙地。

已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。

求步行的速度和骑自行车的速度。

解:设步行速度是x千米/时,则解,得x=5经检验:x=5是原方程的解。

进尔4x=20(千米/时)答:步行速度是5千米/时,骑自行车的速度是20千米/时。

4、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶,但她在百货商场食品自选室发现,同样的酸奶,这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元,因此,当第二次买酸奶时,便到百货商场去买,结果用去18.40元钱,买的瓶数比第一次买的瓶数多,问:她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶?解:⑴设她第一次在供销大厦买了x瓶酸奶,则解,得x=5经检验:x=5是原方程的解。

答:她第一次在供销大厦买了5瓶酸奶。

5、某商店经销一种纪念品,4月份的营业额为2000元,为扩大销售,5月份该商店对这种纪念品打九折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元。

⑴求这种纪念品4月份的销售价格。

⑵若4月份销售这种纪念品获利800元,问:5月份销售这种纪念品获利多少元?解:⑴设4月份销售价为每件x元,则解,得x=50经检验:x=50是原方程的解。

⑵4月份销售件数:2000÷50=40(件)每件进价:(2000-800)÷40=30(元)5月份销售这种纪念品获利:(2000+700)-30×(40+20)=900(元)答:4月份销售价为每件50元,5月份销售这种纪念品获利900元。

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分式的性质
一、知识回顾
1、分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子A/B叫做分式。

2、分式有意义、无意义的条件:
①分式有意义的条件:分式的分母不等于0;
②分式无意义的条件:分式的分母等于0。

3、分式值为零的条件:当分式的分子等于0且分母不等于0时,分式的值为0。

4、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。

5、分式的通分:和分数类似,利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。

6、分式的约分:和分数一样,根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式,这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

二、典型例题
A.x=-2B.x=0
C.x=1或2D.x=1
分析:先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组,求出x的值即可.这种题一定要考虑到分母不为0.
解答:
∴{ x-1=0①
{ x+2≠0②,解得x=1.
故选D.
_______________________________________________________________________________ ______
A.x=1B.x=-1
C.x=±1
D.x≠1
分析:要使分式的值为0,一定要分子的值为0并且分母的值不为0.
解答:由x2-1=0解得:x=±1,
又∵x-1≠0即x≠1,
∴x=-1,
故选B.
_______________________________________________________________________________ ______
A.x≠5 B.x≠-5 C.x>5 D.x>-5
分析:要使分式有意义,分式的分母不能为0.
解答:∵x-5≠0,∴x≠5;
故选A.
_______________________________________________________________________________ ______
A.x<2 B.x<2且x≠-1 C.-1<x<2 D.x>2
分析:易得分母为非负数,要使分式为正数,则应让分子大于0,分母不为0.
解答:根据题意得:2-x>0,且(x+1)2≠0,
∴x<2且x≠-1,
故选B.
_______________________________________________________________________________ ______
A.x>0 B.x≥0 C.x≥0且x≠1 D.无法确定
分析:分母x2-2x+1=(x-1)2,为完全平方式,分母不为0,则:x-1≠0时,要使分式的值为非负数,则3x≥0,由此列不等式组求解.
解答:依题意,得
{ 3x≥0①
{ x-1≠0②,
解得x≥0且x≠1,
故选C.
_______________________________________________________________________________ ______
例6:下列说法正确的是()
A.只要分式的分子为零,则分式的值为零
B.分子、分母乘以同一个代数式,分式的值不变
C.分式的分子、分母同时变号,其值不变
分析:根据分式的值为0的条件是:(1)分子为0;(2)分母不为0.
分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
解答:A、分式的分子为零,分母不为0,则分式的值为零,故错误;
B、分子、分母乘以同一个不等于0的代数式,分式的值不变,故错误;
C、正确;
D、当x取任意实数时,分式(|2-x|+x)/2 有意义,故错误.
故选C.
_______________________________________________________________________________ ______
A.-7/2 B.7/2C.2/7 D.-2/7
分析:先把分式的分子、分母都除以xy,就可以得到已知条件的形式,再把1/x-1/y=3代入就可以进行计算.
解答:根据分式的基本性质,分子分母都除以xy得,
故选B.
_______________________________________________________________________________ ______
分析:根据已知条件求出(a-b)与ab的关系,再代入所求的分式进行求值.
_______________________________________________________________________________ ______
分析:设恒等式等于一个常数,求出x,y,z与这个常数的关系式,再进行证明.解答:解:
则x=ka-kb,y=kb-kc,z=kc-ka,
x+y+z=ka-kb+kb-kc+kc-ka=0,
∴x+y+z=0.
三、解题经验
本节题目变化多端,我们要多做练习以积累经验,牢记分式有无意义的条件。

分式的性质是分式变化的依据,要灵活运用。

对于例8、9两个例子,都采用的整体带入得方法,很常见。

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