17年高三-高考真题理科数学
(完整版)2017全国三卷理科数学高考真题及答案,推荐文档
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B CD ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．BCD ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λAB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．C．D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A =，B =，则A B 中元素的个数为{}22(,)1x y x y +=│{}(,)x y y x =│ A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．B C D ．2123．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为x y x y x y A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆22221x y a b-=y x =有公共焦点，则C 的方程为221123x y +=A ．B ．C ．D ．221810x y -=22145x y -=22154x y -=22143x y -=6．设函数f (x )=cos(x +)，则下列结论错误的是3πA ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =对称83πC ．f (x +π)的一个零点为x =D ．f (x )在(,π)单调递减6π2π7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．B ．C ．D ．π3π4π2π49．等差数列的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则前6项的和{}n a {}n a 为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为22221x y a b+=直径的圆与直线相切，则C 的离心率为20bx ay ab -+=A B C D ．1311．已知函数有唯一零点，则a =211()2()x x f x x x a e e --+=-++A ．B ．C ．D ．112-131212．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若= +，则+的最大值为APλAB μAD λμA ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017高考全国3卷理科数学试题与答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题 5分，共 60分）1．已知集合 A ( x, y) x 2 y 2 1 ， B( x, y) y x ，则 AB 中元素的个数为（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0【答案】 B221 上所有点的集合， B 表示直线 yx 上所有点的集合，【解析】 A 表示圆 x y 故 A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即 A B 元素的个数为2，故选 B.2．设复数 z 满足 (1 i) z 2i ，则 z （）1 B ．2 C ． 2D ． 2A ．22【答案】 C2i 2i 1 i 2i 2 122 ，故选 C.【解析】由题， z1 i 1 ii 1 ，则 z 121 i23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D ．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【解析】由题图可知， 2014年8月到 9月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误，故选 A.4． ( x y)(2 x y)5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（）A ．B ．C ． 40D ． 80【答案】 C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x 3 y3的项为x 22 x 23y 33240x 333 3C 5y C 5 2xyy，则 x y 的系数为 40，故选 C.225x ，且与椭圆5．已知双曲线C ：x2y 2 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为 yx 2 y 2ab21 有公共焦点．则 C 的方程为（）123A ． x 2 y 2 1B ． x 2 y 21C ． x 2 y 21D ． x 2 y 218104 55443【答案】 B【解析】 ∵双曲线的一条渐近线方程为y5 x ，则 b5 ① 又∵ 椭圆x 2y 22 a21 与双曲线有公共焦点，易知 c 3 ，则 a 2b 2 c29 ②123x2y2由①② 解得 a 2,b5 ，则双曲线 C 的方程为1，故选 B.456．设函数 f ( x)πcos(x) ，则下列结论错误的是（）38πA ． f (x) 的一个周期为2πB ． y f ( x) 的图像关于直线 x对称3C ． f ( xπ π ) 的一个零点为 xD ． f (x) 在 ( , π) 单调递减【答案】 D 62【解析】函数 fx cos xπ的图象可由 y cosx 向左平移π个单位得到，3 3 如图可知， f x在 π, π 上先递减后递增， D 选项错误，故选 D.2y- Ox67．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于 91，则输入的正整数N的最小值为（） A ． 5 B ．4 C ．3 D ． 2【答案】 D【解析】程序运行过程如下表所示：SM t 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10 2 第2次循环结束 90 1 3此时 S 90 91 首次满足条件，程序需在 t 3 时跳出循环，即 N2 为满足条件的最小值，故选 D.8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π ππ4C ．D ．【答案】 B２41 2【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径23 ， r122则圆柱体体积 Vπ 23πrh，故选 B.49．等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0．若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则a n前 6项的和为（）A ． 24B ． 3C ． 3D ． 8【答案】 A【解析】 ∵ a n为等差数列，且 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，设公差为 d .则 a 32 a 2 a 6 ，即 a 12d 2a 1 d a 15d又∵ a 1 1 ，代入上式可得 d 2 2d 0又∵ d 0 ，则 d 2∴ S 66a 1 6 5 d 1 6 6 5 224 ，故选 A.2 222xya b 0A 1A 2A 1 A 210．已知椭圆 C : a 2 b 21（ ）的左、右顶点分别为， ，且以线段 为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）A ．6B ．3C ．21 33D ．３3【答案】 A【解析】 ∵ 以 A 1 A 2 为直径为圆与直线 bx ay2ab 0 相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴ d2aba22又∵ a0,b0 ，则上式可化简为 a 2 3b 2 ∵ b 2 a 2c 2，可得 a 23 a2c2，即 c22a 23∴ ec 6，故选Aa311．已知函数 f ( x) x 2 2xa(e x 1e x 1 ) 有唯一零点，则a（）1 1 1A ． ２B ． 3C ． 2D ． 1【答案】 C【解析】由条件，f ( x) 22xx 1e x 1x a(e) ，得：f (2x) (2 x) 2 2(2x) a(e 2 x 1e (2 x ) 1 )x 2 4 x 4 42x a(e 1 x e x 1 )22 x x 1e x 1x a(e ) ∴ f (2x) f (x) ，即 x 1 为 f (x) 的对称轴，由题意， f (x) 有唯一零点，∴ f ( x) 的零点只能为 x 1 ，即 f (1) 12 2 1 a(e 1 1e 1 1) 0 ，解得 a 1．212．在矩形 ABCD 中， AB 1， AD2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若APABAD ，则的最大值为（）yA ． 3B ． 2 2P gC ． 5D ． 2BC【答案】 A【解析】由题意，画出右图．设 BD 与 C 切于点 E ，连接 CE ．E以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴，xA(O)DAB 为y轴正半轴建立直角坐标系，则 C 点坐标为 (2,1) ． ∵|CD| 1，|BC | 2．22．∴BD 1 25 ∵ BD 切 C 于点 E ．∴CE ⊥BD ．∴ CE 是 Rt △ BCD 中斜边 BD 上的高 ．1 |BC| |CD|2 S △ BCD 22 2 2|EC ||BD | 5 5|BD |5即 C 的半径为 25 ．5∵P 在 C 上．∴ P 点的轨迹方程为 ( x 2)2( y 1)245 ．设 P 点坐标(x 0, y 0)，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：2x 0 2 5 cos 2y 0 15 sin而 AP (x 0 , y 0 ) ， AB (0,1) ， AD (2,0) ．∵ AP AB AD (0,1) (2,0) (2 , )∴115，y 01 2 5 sin ．x 05cos52两式相加得：1 2 5sin15cos552( 2 5 )2 ( 5 )2 sin( )5 5 2 sin( ) ≤ 3(其中 sin5， cos2 5 )55当且仅当π2 k π， kZ 时，取得最大值 3．2二、填空题：（本题共4小题，每小题 5分，共 20分）x y ≥ 0,13．若 x ， y 满足约束条件xy 2 ≤ 0, 则 z 3x 4 y 的最小值为 ________．y ≥ 0,【答案】 1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为 z 3 x 4 y ，则直线 3 zz 值越小．yx 纵截距越大， 由图可知： z 在 A 1,1 4 4处取最小值，故 z min 3 1 4 1 1 ．x y 2 0yA(1,1)B x(2,0)x y 014．设等比数列 a n满足 a 1 a 21 ， a 1 a 33 ，则 a4 ________．【答案】 8【解析】a n 为等比数列，设公比为 q ．a 1 a 2 1a 1 a 1 q 1 ① a 1 a 33 ，即 a 1 a 1 q 2 3 ② ， 显然 q 1， a 1 0 ，②得 1 q3 ，即 q2 ，代入 ① 式可得 a 1 1 ，①a 4 a 1q 3 138 ．2f (x)x 1,x ≤ 0, f ( x1115．设函数 2x , x 0,则满足 f (x))的 x 的取值范围是 ________．2【答案】1 ,4【解析】fxx 1,x ≤ 0， f x f x1 1 1 1 f x2 x , x 02，即 f x2由图象变换可画出yf x1 与 y1 fx的图象如下：2yyf (x 1)2( 1,1)4 4x1 122y 1 f (x)由图可知，满足 f x1 1 1 f x 的解为,.2416． a ， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边①当直线 AB 与 a 成②当直线 AB 与 a 成AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 60 角时， AB 与 b 成 30 角；60 角时， AB 与 b 成 60 角；③直线 AB 与 a 所成角的最小值为45 ； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为60 ．其中正确的是 ________（填写所有正确结论的编号）【答案】 ②③【解析】由题意知， a 、 b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图 形如图 ．不妨设图中所示正方体边长为 1，故|AC| 1， AB2，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心， 1为半径的圆 ．以 C 为坐标原点，以 CD 为 x 轴正方向， CB 为 y 轴正方向，CA 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系．则 D(1,0,0) ， A(0,0,1) ，直线 a 的方向单位向量 a(0,1,0) ， | a | 1 ．B 点起始坐标为 (0,1,0) ，直线 b 的方向单位向量 b (1,0,0) ， | b | 1 ．设 B 点在运动过程中的坐标B (cos ,sin,0) ， 其中 为 BC 与CD 的夹角， [0,2 π) ． 那么 AB '在运动过程中的向量 AB ( cos, sin ,1) ， | AB | 2 ．设 AB 与 a 所成夹角为[0, π] ，2则cos 故设AB( cos , sin ,1) (0,1,0)2| sin| [0,2] ．a AB22π π[ ,] ，所以③正确，④错误．4 2与 b 所成夹角为π[0, ]，2AB bcosb AB(cos,sin,1) (1,0,0) .b AB2| cos |2当AB与 a 夹角为60π时，即3，sin2cos 2 cos 2 12 ．∵ cos2sin 2322 1，∴ | cos| 2 ．2∴ cos2| cos| 1 ．22π∵[0, ]． 2π∴=，此时AB与b夹角为60．3∴② 正确，①错误．三、解答题：（共70分．第 17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22， 23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（ 12分）ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A 3 cos A 0 ，a 2 7 ，b 2．（ 1）求 c；（ 2）设D为 BC 边上一点，且AD AC ，求△ ABD 的面积．【解析】（1）由 sin A 3 cos A0 得2sin A π0 ，3即 A πkπk Z ，又A0, π，3∴ A ππ，得A2π33.1由余弦定理222.又∵a 27, b 2,cosAa b c 2 bc cos A代入并整理22得 c25 ，故c 4 .1（2）∵ AC2, BC27, AB 4 ，2 2 22 7 .由余弦定理 cosCab c2ab 7∵ AC AD ，即 △ACD 为直角三角形，则 ACCD cosC ，得 CD 7 .由勾股定理 AD CD 223 .AC 又 A2π DAB2π π π，则32 ，36 S △ ABD1AD AB sinπ3 .2618．（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2元的价格当天全部处理完． 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20 ，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10 ，1515 ，2020 ，25 25 ，3030 ，3535 ，40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列； （ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？【解析】 ⑴易知需求量 x 可取 200,300,500P X 2 16 1200 3 530 P X 36 2300 3 530 P X 25 7 4 2500 3 .30 5则分布列为：X 200 300 500P122555⑵① 当 n ≤ 200 时： Y n 6 4 2n ，此时 Y max 400 ，当 n 200 时取到 .②当 2004 2n 1 2 n 200 2 n ≤ 300 时： Y 2005 58 800 2n 6n 800n5 55此时 Y max 520 ，当 n 300 时取到 .③当 300n ≤ 500 时，Y1200 2n200223002n 30022n 25553200 2n5此时 Y 520.④当 n ≥ 500 时，易知 Y 一定小于 ③ 的情况 .综上所述：当 n 300 时， Y 取到最大值为 520 .19．（12分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 形．?ABD ?CBD ，AB= BD．（1）证明：平面 ACD ^ 平面 ABC ；（2）过 AC 的平面交BD于点E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D- AE- C的余弦值．是正三角形，△ACD 是直角三角DECB【解析】⑴取 AC 中点为 O ，连接 BO ， DO ；A DABC 为等边三角形∴ BO AC E∴ AB BC CAB BCOBD BD ABDCBD .B ABDDBC∴ AD CD ,即ACD 为等腰直角三角形，ADC A为直角又 O 为底边 AC 中点∴DO AC令 AB a ，则 AB AC BC BD a易得：OD 2， OB3 a a22222∴ OD OB BD由勾股定理的逆定理可得DOB2即OD OBOD ACOD OB z AC OBO OD平面 ABC D AC平面 ABCOB平面 ABC又∵OD 平面ADC平面 ADC C E由面面垂直的判定定理可得平面 ABC ⑵由题意可知V D ACE V B ACE即B , D 到平面ACE的距离相等即E为 BD中点以 O 为原点， OA 为x轴正方向，OB 为y轴正方向， OD 为 z 轴正方向，设 AC a ，建立空间直角坐标系，则O 0,0,0 ， Aa a3,0,0 ， D 0,0,，B 0,a,0222OB yAx3 a，E 0, a,44a3a a a a易得： AE,a,， AD,0, ， OA,0,0244222设平面 AED的法向量为 n1，平面 AEC 的法向量为n2，AE n 1 03,1, 3则n 1 ，解得 n 1 ADAE n 2 0 0,1, 3OA n 2，解得 n 2若二面角 D AE C 为，易知为锐角，则 cosn 1 n 27n 1 n 272lC于 A ，B 两点，圆 M 是以2012分）已知抛物线 C : y = 2x2 0）的直线 交 ．（，过点（ ， 线段 AB 为直径的圆．（ 1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（ 2）设圆 M 过点 P （ 4， - 2 ），求直线 l 与圆 M 的方程．【解析】 ⑴显然，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设 l : x my 2 ， A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， 联立：y 22 x得 y 22my 40 ，x my24 m216 恒大于 0 ， y 1 y 22m ， y 1 y 24 ．uuruuurOA OBx 1 x 2 y 1 y 2(my 1 2)( my 2 2)(m 2 1)y 1 y 2 2m( y 1 y 2 ) 4 uur uuur 4( m 2 1) 2 m(2 m) 4∴ OA OB ，即O 在圆 M 上．uuur uur⑵若圆 M 过点 P ，则 AP BP(x 1 4)( x 2 4) ( y 1 2)( y 2 2) 0(my 1 2)( my 2 2) ( y 1 2)( y 2 2) 0(m 2 1)y 1 y 2 (2 m 2)( y 1y 2 ) 8 02m 10 解得 m 1或 1化简得 2m21①当 m时， l : 2xy4 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，2y 0y 1y 2 1， x 01y 0 29 ，22249 22半径 r|OQ |142则圆 M : ( x 9 )2 ( y 1 )2 854 2 16②当 m 1 时， l : x y 2 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，y 0 y 1 y 2 1 ， x 0 y 0 2 3 ， 2半径 r|OQ |32 12则圆 M : ( x 3)2 ( y 1)21021．（ 12分）已知函数 f (x)x 1 a ln x ．（ 1）若 f (x) ≥ 0 ，求 a 的值；（ 2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ， (1 + 1 1 1m ，求 m 的最)(1 + 2 ) 鬃?(1 n ) <2 2 2小值．【解析】 ⑴ f (x) x 1 a ln x ， x 0则 f ( x)1 a xa，且 f (1) 0当 a ≤ 0 x x上单调增， 所以 0x 1时， f x 0 ， f x 在 0 ， 时， f x0 ，不满足题意；当 a 0 时，当 0 x a 时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 (0, a) 上单调递减；当 x a 时， f ( x) 0 ，则 f (x) 在 (a,) 上单调递增．①若 a 1 ， f (x) 在 (a,1) 上单调递增 ∴ 当 x (a,1) 时 f ( x) f (1) 0 矛盾 ②若 a 1 ， f (x) 在 (1,a) 上单调递减 ∴ 当 x (1,a) 时 f ( x)f (1) 0 矛盾③若 a1 ， f ( x) 在 (0,1) 上单调递减， 在 (1,) 上单调递增 ∴ f (x) ≥ f (1)0 满足题意综上所述 a 1 ．⑵ 当 a 1 时 f ( x) x 1 ln x ≥ 0 即 ln x ≤ x 1则有 ln( x 1) ≤ x 当且仅当 x0 时等号成立∴ ln(11 1 ， kN *k)k22一方面： ln(11 ) ln(11 ... ln(11 1 1 ...1 1 ，2 2 )n )22n 1n 122222即 (111 1e ．)(122 )...(12 n)2另一方面： (11 11 (1 1 1 )(1 1 1352)(1 2 )...(1 2 n ) )(1 2 2 3 ) 642 2 2 2 当 n ≥3 时， (1 1 1 1 (2,e))(1 2 2 )...(12 n )2 ∵ m *(1 1 1 1 m ，N ， )(1 2 )...(1 2 n )2 2∴ m 的最小值为 3 ．22． [选修 4-4：坐标系与参数方程 ] （ 10分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为x t ,（ t 为参数），直线l的参数方程ykt,xm,为m（ m 为参数），设 l 与 l 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C ．y,k（ 1）写出 C 的普通方程：（ 2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 l : cos( nis ) ，M 为 l 与 C 的交点，求 M 的极径．【解析】 ⑴将参数方程转化为一般方程l 1 : y k x 2⋯⋯ ① l 2 : y1 x2 ⋯⋯ ②k① ② 消 k 可得： x 2y 24即 P 的轨迹方程为 x 2 y 2 4 ； ⑵将参数方程转化为一般方程l 3 : x y 2 0⋯⋯ ③联立曲线 C 和 l 3x y2x2y24x3 22解得2y2x cos5 由sin 解得y即 M 的极半径是 5 ．23． [选修 4-5：不等式选讲 ]（10分）已知函数 f ( x) | x | | x | ．（ 1）求不等式 f ( x) 的解集；（ 2）若不等式 f ( x) x x m 的解集非空，求 m 的取值范围．3, x ≤ 1【解析】 ⑴ f x| x1| | x2| 可等价为 f x2x 1, 1x 2 .由 f x ≥ 1 可得：3,x ≥ 2①当 x ≤ 1 时显然不满足题意； ②当 1 x 2时， 2x 1≥1 ，解得 x ≥1 ；③当 x ≥ 2 时， f x 3 ≥ 1 恒成立 .综上， f x1的解集为 x | x ≥ 1 .⑵不等式 f x ≥ x 2x m 等价为 f xx 2x ≥ m ，令 g xf xx 2 x ，则 g x ≥ m 解集非空只需要g xmax ≥ m .x 2 x 3, x ≤ 1而 g xx 2 3 x 1, 1 x 2 .2x 3, x ≥ 2x①当 x ≤ 1 时， gxmaxg13 1 15 ；2②当 1 x 2 时， g xmaxg 333 3 1 5 ；222 4③当 x ≥ 2 时， g x maxg 22 22 3 1 .综上， g xmax5，故 m5 .44。
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2- 1= - 1= - 1=2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A ={( x , y │) x 2 + y 2 = 1}，B ={( x , y │) y = x }，则 A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数 z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=1 A.B ．C ．D ．2223. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D ．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4．( x + y )(2 x - y )5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80x 2 - y 2= = 55.已知双曲线 C ： 1 (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为 y x ,且与椭圆x 2 y 2a 2b 2 2 + = 12 31有公共焦点，则 C 的方程为 x 2 y 2 - = 1 B.x 2 y 2C.x 2 y 2D.x 2 y 28 104 55 44 36. 设函数 f (x )=cos(x +)，则下列结论错误的是38A ．f (x )的一个周期为?2πB ．y =f (x )的图像关于直线 x =对称3A ．225xy ⎪⎩C ．f (x +π)的一个零点为 x =6D ．f (x )在(,π)单调递减27. 执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28. 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A.πB ． 3π4π π C ．D ．249. 等差数列{a n }的首项为 1，公差不为 0．若 a 2，a 3，a 6 成等比数列，则{a n }前 6 项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．82 2 10.已知椭圆 C ： + = 1，（a >b >0）的左、右顶点分别为 A 1，A 2，且以线段 A 1A 2 为直a2b 2径的圆与直线bx - ay + 2ab = 0 相切，则 C 的离心率为A.6 B.3 C.2 D ． 1333311.已知函数 f (x ) = x 2 - 2x + a (e x -1 + e -x +1) 有唯一零点，则 a =1 11A. -B.C ．D ．1 23 212.在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若AP = λAB + μAD，则λ + μ 的最大值为A ．3B ．2C ．D ．2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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A．3
B．2 2
C． 5
D．2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x y 0 13．若 x ， y 满足约束条件 x y 2 0 ，则 z 3x 4 y 的最小值为__________．
y 0
14．设等比数列 an 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则 a4 = ___________．
15．设函数
x 1，x， 0 f (x) 2x，x， 0
则满足
f (x)
f (x
1) 1的 2
x 的取值范围是_________。
16．a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°； 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
A．3
B．2
2．设复数 z 满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
C．1
D．0
1
A．
2
2
B．
2
C． 2
D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至
2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷与答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合 31x< 则 {|0}AB x x =< A B =R {|1}A B x x => A B =∅如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14 π8 12 π4设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R其中的真命题为13,p p 14,p p 23,p p 24,p p．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 ．．．．．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是．[2,2]-． [1,1]-． [0,4]． [1,3]621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 ，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为右面程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在和两个空白框中，可以分别填入和 和 ≤ 和 ≤ 和已知曲线 ： ， ：2π3，则下面结正确的是 把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线把 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线把 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度，得到曲线已知 为抛物线 ： 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 、两点，直线 与 交于 、 两点，则 的最小值为． ． ． ． 设 为正数，且235xyz==，则． ． ． ．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件 为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了 解数学题获取软件激活码 的活动 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中第一项是 ，接下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，依此类推 求满足如下条件的最小整数 ：且该数列的前 项和为 的整数幂 那么该款软件的激活码是二、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。
2017全国三卷理科数学高考真题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A．12-B．13C．12D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为A．3 B．CD．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017全国高考Ⅱ卷-真题+答案打印版-理科数学
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•新课标Ⅱ）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4．（5分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．96．（5分）（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2B．3C．4D．59．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．C．D．10．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．112．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=．14．（5分）（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．15．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则=．16．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．18．（12分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2=．19．（12分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x 轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．21．（12分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（22．（10分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．参考答案一、选择题1．【解答】解：===2﹣i，故选D．2．【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．3．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．4．【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．5．【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．6．【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选：D．7．【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D．8．【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；7≤6不成立，退出循环输出，S=3；故选：B．9．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．10．【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．11．【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选：A．12．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B三、填空题13．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．14．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：115．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．16．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6．故答案为：6．三、解答题17．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（2）2×2列联表：箱产量＜50kg箱产量≥50kg 总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．19．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．20．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由k OQ=﹣，k PF=，由k OQ•k PF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．21．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．（二）选考题22．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，（2）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．。
2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)(可编辑修改word版)
绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A ={x |x <1}，B ={x | 3x < 1 }，则 A ． A B = {x | x < 0} C ． A B = {x | x > 1}B ． A B = R D ． A B = ∅2. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ． 14C． 123.设有下面四个命题B ． π8D ． π4p ：若复数 z 满足 1∈ R ，则 z ∈ R ； 1zp 2 ：若复数 z 满足 z 2 ∈ R ，则 z ∈ R ；p 3 ：若复数 z 1 , z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ；p4：若复数 z ∈R，则 z∈R .其中的真命题为A.p1 , p3B.p1 , p4C.p2 , p3D.p2 , p44.记S n 为等差数列{a n } 的前n 项和．若a4 +a5 = 24 ，S6 = 48 ，则{a n } 的公差为A．1 B．2 C．4 D．85.函数f (x) 在(-∞, +∞) 单调递减，且为奇函数．若f (1) =-1，则满足-1 ≤f (x - 2) ≤ 1的x 的取值范围是A．[-2, 2]B．[-1,1]C．[0, 4]D．[1, 3]6．(1+ 1)(1+x)6展开式中x2的系数为x2A．15 B．20 C．30 D．357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．168.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000 和n=n+1B．A>1 000 和n=n+2C．A ≤1 000 和n=n+1D．A ≤1 000 和n=n+29.已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ 2π)，则下面结论正确的是1 23⎨ ⎩A. 把 C 1 π 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得6到曲线 C 2B. 把 C 1 π上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得 12 到曲线 C 2C. 把 C 1 1 π 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得26到曲线 C 2D. 把 C 1 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2 π个单位长度，12得到曲线 C 210.已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A 、B 两点， 直线 l 2 与 C 交于 D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011.设 xyz 为正数，且2x = 3y = 5z ，则 A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4， 8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22， 依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数 N ：N >100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2017年高考真题——理科数学(全国Ⅲ卷) Word版含解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B I 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B I 元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A ．12B 2C 2D ．2【答案】C【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z =+ C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．2014年 2015年 2016年根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =，则5b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π23π53-π36πg x y O 7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S M初始状态0 100 1 第1次循环结束100 10- 2 第2次循环结束90 1 3 此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π２D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．8 【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为. 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（） ABCD ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离等于半径，∴d a == 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a == A11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为（） A ．3 B． CD ．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C e 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为轴正半轴， AB 为轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C e 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C e． ∵P 在C e 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 而00(,)AP x y =u u u r ，(0,1)AB =u u u r ，(2,0)AD =u u u r． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=u u u r u u u r u u u r∴0112x μθ==+，01y λθ==． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+=++≤(其中sin ϕ=，cos ϕ当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．()A O DxyB P gCE二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，值越小． 由图可知：在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________． 【答案】8-【解析】{}n a Q 为等比数列，设公比为．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩Q x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：1)2-)由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与，都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与成60︒角时，AB 与成30︒角； ②当直线AB 与成60︒角时，AB 与成60︒角； ③直线AB 与所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD u u u r 为轴正方向，CB u u u r为轴正方向， CA u u u r为轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线的方向单位向量(0,1,0)a =r ，||1a =r． B 点起始坐标为(0,1,0)，直线的方向单位向量(1,0,0)b =r，||1b =r ．设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r ，||2AB '=u u u r ．设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]a AB θθαθ--⋅==∈'r u u u r． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2|cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=u u u r r r u u u rr u u u r .当AB 'u u u r 与夹角为60︒时，即π3α=，12sin 2cos 2cos 232πθα====． ∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ．∴1cos |cos |2βθ=．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB 'u u u r 与夹角为60︒．∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅△18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯.⑵①当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+= 此时max 520Y =，当300n =时取到. ③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n -=此时520Y <.④当500n ≥时，易知一定小于③的情况. 综上所述：当300n =时，取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ??，AB BD =．（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ∆Q 为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点DA B C ED A BC EO∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：2OD a =，OB = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥ OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩I 平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA u u u r 为轴正方向，OB u u u r为轴正方向，OD u u u r为轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC 的法向量为2n u u r，则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得1n =u u r 2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得(20,1,n =u u r 若二面角D AE C --为，易知为锐角，则1212cos n n n n θ⋅==⋅u u r u u r uu r u u r20．（12分）已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线与圆M 的方程．【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+uu r uu u r12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥u u r u u u r，即O 在圆M 上．⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ =则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数，2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<，求m 的最小值． 【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f =当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为．22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+0，M 为与C 的交点，求M 的极径． 【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k=+ ……②①②消可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③ 联立曲线C和224x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ即M．23．选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦. 综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。
2017年高考真题——理科数学(全国Ⅲ卷)+Word版含解析
2．设复数z满足 (1 + i) z = 2i ，则 z =
1 2 答案 C
A．
B．
2 2
C． 2
D．2
解析 由题， z =
2i (1 − i ) 2i 2i + 2 = = = i + 1 ，则 z = 12 + 12 = 2 ，故选C. 1 + i (1 + i )(1 − i ) 2
1 2016
7．执行右图的程序框图，为使输出 S 的值小于91，则输入的正整数 N 的最小值为 A．5 B ．4 C ．3 D．2 答案 D 解析 程序 行过程如 表所示 S M 0 100 1 初始状态 100 −10 2 第1次循环结束 90 1 3 第2次循环结束 时 S = 90 < 91 首次满足条 ， 程序需在 t = 3 时跳出循环， 即 N = 2 为满足条 的最小值，故选D.
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
试题及答案解析
一、选择题： 本题共12小题，每小题5分，共60分
全国
2 2 1．已知集合 A = ( x, y ) x + y = 1 ， B = {( x, y ) y = x} ，则 A I B 中元素的个数为
{
}
B ．2 C ．1 D．0 A．3 答案 B 解析 A 表示圆 x 2 + y 2 = 1 所 点的集合， B 表示直线 y = x 所 点的集合， 故 A I B 表示两直线 圆的交点， 由图可知交点的个数为2， 即 A I B 元素的个数为2， 故选B.
3．某城 为了解游客人数的变化规律，提高旅游服 ，收集并整理了2014 12 期间 接 游客 单 万人 的数据，绘制了 面的折线图．
2017全国三卷理科数学高考真题及答案(最新整理)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A =，B =，则A B 中元素的个数为{}22(,)1x y x y +=│{}(,)x y y x =│ A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．B C D ．2123．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为x y x y x y A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ： (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆22221x y a b -=y x =有公共焦点，则C 的方程为221123x y +=A ．B ．C ．D ．221810x y -=22145x y -=22154x y -=22143x y -=6．设函数f (x )=cos(x +)，则下列结论错误的是3πA ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =对称83πC ．f (x +π)的一个零点为x =D ．f (x )在(,π)单调递减6π2π7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．B ．C ．D ．π3π4π2π49．等差数列的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则前6项的和{}n a {}n a 为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为22221x y a b+=直径的圆与直线相切，则C 的离心率为20bx ay ab -+=A B C D ．1311．已知函数有唯一零点，则a =211()2()x x f x x x a e e --+=-++A ．B ．C ．D ．112-131212．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=AP+，则+的最大值为λAB μADλμA ．3B．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含答案及解析)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整word版)2017全国一卷理科数学高考真题及答案20190418084901,推荐文档
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题 5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
x1 .已知集合 A ={ x | x <1} , B ={x | 31 }，贝"A . AB { x | x 0} B . A B RC. A . B { x | x 1}D. A B2.如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是C.123 .设有下面四个命题其中的真命题为形的中心成中心对称B . n8D .p :若复数 1z 满足P 2 : 若复数 z 满足z 2R ，则 z RP :若复数3zi ,Z 2满足z z R ，则1 2若复数BD7 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A .卩1,卩3B .卩1,卩C.P 2, P 3D .P 2 , P 44.i 记S 为等差数列 n{ a n }的前n 项和.若a 4a s24, S 6 48,则{a n }的公差为A. 1 B . 2C.D . 5 .函数f (x)）单调递减，且为奇函数.若=— —< —f (1) 1 ,则满足 1 f (x 2)1 的 x 的取值范围是A . [2, 2]B . [ 1,1] C. [0, 4]D. [1,3]6.(1)(16x ）展开式中2x 的系数为A . 15B . 20C. 30D. 35A. 10B. 12C. 14D. 16&右面程序框图是为了求出满足n- 2n>1000的最小偶数n,那么在/输钳口）7和两个空白框中，可以分别填入[2°A. A>1 000 和n=n+1B. A>1 000 和n=n+2C. A 1 000 和n=n+1、 2 n9•已知曲线C1：y=cos x, C2：y=sin (2 x+ )，则下面结论正确的是3 D. A 1 000 和n= n+2A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移n个单位长度，得6到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移n个单位长度，12得到曲线C2C.把G上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移到曲线CCD.把C1上各点的横坐标缩短到原来的n个单位长度，得6倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移n个单位长度，12得到曲线C210 .已知F为抛物线C:2y =4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线直线1 2与C交于D E两点，贝U | AB|+|DE|的最小值为A. 16B. 14 C. 1211 .设xyz为正数，且2xyz3 5，则12 .几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件I 1, I 2，直线| 1与C交于A、B两点，D. 10为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，?，其中第一项是 2 0，接下来的两项是 2。
2017年高考真题 理科数学(全国Ⅲ卷)解析版
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【考点】交集运算；集合中的表示方法【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得2i1iz=+，由复数求模的法则可得1121zzz z=，则2i21i2z===+.故选C.【考点】复数的模【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)1212z z z z±=±；(2)1212z z z z⨯=⨯；(3)22z z z z⋅==；(4)121212z z z z z z-≤±≤+；(5)1212z z z z=⨯；(6)1121zzz z=.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】故选A. 【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率分布折线图，频率分布折线图的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，它们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律. 4．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】试题分析：()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=. 故选C.【考点】二项展开式的通项公式【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.5．已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 【解析】【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a bλλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可.6．设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D 【解析】试题分析：函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确；函数()f x 图像的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图像关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【考点】函数()cos y A x ωϕ=+的性质【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】试题分析：阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=； 此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=；此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2. 故选D.【考点】程序框图【名师点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构.当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断.注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用.赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式. 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【考点】圆柱的体积公式【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A. 【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.10．已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B C ．3D ．13【答案】A 【解析】【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝c a； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 11．已知函数211()2(ee )x xf x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】试题分析：函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+， 设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.12．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A 【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 易得圆的半径5r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤，即21514z -≤+，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A. 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年高考真题(全国Ⅰ卷)数学理科含答解析
2017年普通高等学校招生统一考试全国I 卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A 【解析】试题分析：由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}A B x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B.秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B. 【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】试题分析：因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[1,3]，选D. 【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 8．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1 D．A≤1 000和n=n+2【答案】D【考点】程序框图【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【考点】三角函数图象变换【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【考点】抛物线的简单几何性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin pAB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=. 11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=- ，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】23 【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b ，所以|2|1223+==a b . 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，则32z x y =-的最小值为 .【答案】5- 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-. 【考点】线性规划【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .【答案】233【解析】试题分析：如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠= ， 点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||||1b AP b a =+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =， 由222c a b =+得2c b =， 所以22333c b e a b ===.【考点】双曲线的简单几何性质【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为.【答案】415 【解析】试题分析：如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x (x >0)，则1332OG x =⨯36x =.∴356FG SG x ==-， 222233566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3553x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴三棱锥的体积21133553343ABC V S h x x ⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭△451535123x x =-. 设()45353n x x x =-，x >0，则()3453203n x x x '=-， 令()0n x '=，即43403x x -=，得43x =，易知()n x 在43x =处取得最大值.∴max 15485441512V =⨯⨯-=.【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC △的周长为333+.【考点】三角函数及其变换【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【解析】试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2(,0,0)2A ，2(0,0,)2P ，2(,1,0)2B ，2(,1,0)2C -. 所以22(,1,)22PC =-- ，(2,0,0)CB = ，22(,0,)22PA =- ，(0,1,0)AB = .设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2)=--n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m . 则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈，0.0080.09≈．【解析】试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 因此σ的估计值为0.0080.09≈. 【考点】正态分布，随机变量的期望和方差【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则. 20．（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，242t -），（t ，242t --）.则22124242122t t k k t t---++=-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简. 21．（12分）已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则0000()e (e2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.当4a ≥-时，d 的最大值为917a +.由题设得91717a +=，所以8a =； 当4a <-时，d 的最大值为117a -+.由题设得11717a -+=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-. 【考点】坐标系与参数方程【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决. 23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2–4()x ax f x =++，11()x x g x =++-||||.（1）当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出不等式的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.若()()f xg x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.则()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而得11a -≤≤.试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤.- 21 - 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-≤≤.【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.。
2017年高考真题全国2卷理科数学(附答案解析)
说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因
为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲
是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点睛】
本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
属于中档题． 8．B
2x + 3y − 3 ≤ 0 作出 2x − 3y + 3 ≥ 0 表示的可行域，如图，
y + 3 ≥ 0
2x + 3y − 3 =0 x = −6
由
可得
，
2x − 3y + 3 =0 y = −3
将=z 2x + y 变形为 y =−2x + z ， 平移直线 y =−2x + z ，
由图可知当直 y =−2x + z 经过点 (−6, −3) 时，
4 − 2i
＝2－i.
2
参考答案
故选 D. 【点睛】 这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上
uuur 的点 Z(a，b)、平面向量 OZ 都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点)；复平面内，实
轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地， 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 z 的共轭
a2 b2
截
得的弦长为 2，则 C 的离心率为
（）
A．2
B． 3
C． 2
D． 2 3 3
10．已知直三棱柱 ΑΒC − Α1Β1C1 中， ∠ΑΒC = 120o， ΑΒ = 2 ， ΒC= CC=1 1，则
2017年高考全国Ⅲ卷理数试题(Word版含答案)
2017年高考全国Ⅲ卷理数试题（Word版含答案）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为A．3B．2C．1D．02．设复数z满足(1+i)z=2i，则OzO=A．B．C．D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为A．-80B．-40C．40D．805．已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为A．B．C．D．6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为?2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．B．C．D．9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为A．-24B．-3C．3D．810．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．11．已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为A．3B．2中/华-资*源%库C．D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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理科数学 2017年高三2017年全国乙卷理科数学单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则( )A. B. C. D.2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.3．设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为( )A. B. C. D.4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为()( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 85．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是( )A. B. C. D.6．展开式中的系数为( ) A. 15 B. 20 C. 30 D. 357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A. 10B. 12C. 14D. 168．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A. A>1 000和n=n+1B. A>1 000和n=n+2C. A 1 000和n=n+1D. A 1 000和n=n+29．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是( )A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为( ) A. 16 B. 14 C. 12 D. 1011．设x、y、z为正数，且，则( )A. 2x<3y<5zB. 5z<2x<3yC. 3y<5z<2xD. 3y<2x<5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A. 440 B. 330 C. 220 D. 110填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=____.14．设x，y满足约束条件则的最小值为____.15．已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为____.16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为____.简答题（综合题）（本大题共7小题，每小题____分，共____分。
）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为. （1）求sin B sin C;（2）若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长.18.（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.929.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.0410.05 9.9520.（12分）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.21.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.22．选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.23．选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数，.（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.答案单选题1. A2. B3. B4. C5. D6. C7. B8. D9. D 10. A 11. D 12. A填空题13. 14. 15. 16.简答题17. （1）；（2）18. （1）见解析；（2）19.20. （1）C的方程为；（2）见解析21. （1）见解析；（2）22. （1）或.（2）或.23. （1）；（2）解析单选题1.由可得，则，即，所以，，故选A.2. 设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.3. 令，则由得，所以，正确；由，知，不正确；由知不正确；显然正确，故选B.4. 设公差为，，，联立解得，故选C.5. 因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D.6. 因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.7. 由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.8. 由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.9. 因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.10. 设直线方程为取方程得∴同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知当且仅当（或）时，取得等号.11. 令，则，，∴，则，，则，故选D.12. 由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.填空题 13. ，所以.14. 不等式组表示的可行域如图所示，易求得，由得在轴上的截距越大，就越小，所以，当直线过点时，取得最小值，所以的最小值为.15. 如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，而，所以，点到直线的距离，在中，，代入计算得，即，由得，所以.16. 如下图，设正三角形的边长为x，则.，三棱锥的体积. 令，则，令，，，.简答题17.（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即. 所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.18.（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.19.20.（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此解得故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得.由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，于是l：，即，所以l过定点（2，）.21.（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.22.（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.23.（1）当时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.。