2012年北京市高考试题集锦理数(含答案)

2012年高考试题 数学(理)【北京市试题卷】

本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作

答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.已知集合{}|320A x x =∈+>R ,()(){}|130B x x x =∈+->R ,则A B =I ( )

A.()1-∞-，

B.213⎧

⎫--⎨⎬⎩

⎭，

C.233⎛⎫

- ⎪⎝⎭

， D.()3+∞，

2.设不等式组0202x y ⎧⎨⎩

≤≤，

≤≤表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原

点的距离大于2的概率是( )

A.

π4

B.

π2

2

- C.

π6

D.

4π

4

- 3.设a b ∈R ，.“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )

A.2

B.4

C.8

D.16

5.如图,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则( )

A.CE CB AD DB ⋅=⋅

B.CE CB AD AB ⋅=⋅

C.2AD AB CD ⋅=

D.2CE EB CD ⋅=

E

B

D

A

C

6.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A.28+

B.30+

C.56+

D.60+8.某棵果树前n 前的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 值为( )

A.5

B.7

C.9

D.11

3

4

4正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.

9直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩

(α为参数)的交点个数为 .

10.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若11

2

a =

,23S a =,则2a = . 11.在ABC △中,若2a =,7b c +=,1

cos 4

B =-,则b = .

12.在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,

其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60︒.则OAF △的面积为 . 13.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅u u u r u u u r

的值

为 ;

DE DC ⋅u u u r u u u r

的最大值为 .

14.已知()()()23f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若同时满足条件:

①x ∀∈R ,()0f x <或()0g x <; ②()()()40x f x g x ∃∈-∞-<，，, 则m 的取值范围是 .

三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共13分)

已知函数()()sin cos sin 2sin x x x f x x

-=

.

(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间. 16.(本小题共14分)

如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,3BC =,6AC =.D ,E 分别是

AC ,AB 上的点,且DE BC ∥,2DE =,将ADE △沿DE 折起到

1A DE △的位置,使1

AC CD ⊥,如图2. (1)求证:1A C ⊥平面BCDE ;

(2)若M 是1A D 的中点,求CM 与平面1A BE 所成角的大小;

A

C

D

E

B

A 1

M

C

B

E D

图1

图2

(3)线段BC 上是否存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由.

17.(本小题共13分)

近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃

圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a b c ，，,其中0a >,600a b c ++=.当数据a b c ，，的方差2s 最大时,写出a b c ，，的值(结论不要求证明),并求此时2s 的值.

(求:()()()

2222121

n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢

⎥⎣⎦L ,其中x 为数据1x ,2x ,…,n x 的平均数)

18.(本小题共13分)

已知函数()()210f x ax a =+>,()3g x x bx =+.

(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,求a ,b 的值; (2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(]1-∞-，上的最大值.

19.(本小题共14分)

已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R (1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围;

(2)设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A B ，(点A 位于点B 的上方),直线4y kx =+与曲线C 交

于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G .求证:A G N ，，三点共线.

20.(本小题共13分)