湖北省宜昌市宜昌一中2019-2020学年高二上学期期末数学模拟卷
2020年宜昌市高二数学上期末第一次模拟试卷及答案
2020年宜昌市高二数学上期末第一次模拟试卷及答案一、选择题1.如图,一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案,为了估算这个月牙形图案的面积,向这个正方形里随机投入500粒芝麻,经过统计,落在月牙形图案内的芝麻有150粒,则这个月牙图案的面积约为()A.35B.45C.1D.652.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,从中任意取出一个,则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A.B.C.D.3.将1000名学生的编号如下:0001,0002,0003,…,1000,若从中抽取50个学生,用系统抽样的方法从第一部分0001,0002,…,0020中抽取的号码为0015时,抽取的第40个号码为()A.0795B.0780C.0810D.08154.将A,B,C,D,E,F这6个字母随机排成一排组成一个信息码,则所得信息码恰好满足A,B,C三个字母连在一起,且B在A与C之间的概率为()A.112B.15C.115D.2155.执行如图所示的程序框图,若输入8x ,则输出的y值为()A .3B .52C .12D .34-6.执行如图的程序框图,如果输入72m =,输出的6n =,则输入的n 是( )A .30B .20C .12D .87.在半径为2圆形纸板中间,有一个边长为2的正方形孔,现向纸板中随机投飞针,则飞针能从正方形孔中穿过的概率为( ) A .4π B .3πC .2πD .1π8.在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ,作一矩形,邻边长分別等于线段AC 、CB 的长,则该矩形面积小于216cm 的概率为( )A.23B.34C.25D.139.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元, 5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是()A.310B.25C.12D.3510.执行如图的程序框图,如果输出的是a=341,那么判断框()A.4k<B.5k<C.6k<D.7k<11.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”,赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形,它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设DF=2AF,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是( )A.B.C.D.12.有一个容量为200的样本,样本数据分组为[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150),其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为( )A .48B .60C .64D .72二、填空题13.已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束,则恰好检测四次停止的概率为_____(用数字作答).14.为调查某校学生每天用于课外阅读的时间,现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查,所得数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位:分钟)内的学生人数为____.15.如下图,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=22x 与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S :①先产生两组0~1的均匀随机数,a=RAND ( ),b=RAND ( );②做变换,令x=2a ,y=2b ;③产生N 个点(x ,y ),并统计落在阴影内的点(x ,y )的个数1N ,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1 000时,1N =332,则据此可估计S 的值为____.16.某公司的广告费支出x 与销售额y (单位:万元)之间有下列对应数据:由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
2019~2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中高二上学期期末联考数学试题及答案
绝密★启用前湖北省荆州中学、宜昌一中2019~2020学年高二年级上学期期末联考质量检测数学试题2020年1月一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 复数231i z i +=-(i 为虚数单位)的虚部为( ) A .12- B .12i - C .52 D .52i 2. )0,,2(m a =,)1,3,1(-=n b ,若a //b ,则=+n m ( )A . 6B . 7C . 8D . 93. 椭圆2218x y m +=的焦距为4,则m 的值为( ) A .12B .4C .12或4D .10或6 4. 曲线 32313+-=x x y 在点(1,34)处的切线的倾斜角为( ) A .4π B . 3π C .π32 D .π43 5. 已知,αβ是两相异平面,,m n 是两相异直线,则下列结论错误的是( )A .若m ∥n ,α⊥m ,则n α⊥B .若α⊥m ,β⊥m ,则α∥βC .若α⊥m ,β⊂m ,则αβ⊥D .若m ∥α,n =⋂βα,则m ∥n6.数列{}n a 满足112+-+=n n n a a a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,20192,a a 是函数56)(2+-=x x x f 的两个零点,则2020S 的值为( )A .6B .12C .2020D .60607.平面直角坐标系内,到点(2,3)A 和直线:280l x y +-=距离相等的点的轨迹是( )A .直线B .椭圆C .双曲线D .抛物线 8.过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别B A ,,O 为坐标原点,则OAB ∆的外接C AD B 圆方程为( ) A . 222+1=5x y --()() B .22+2++1=20x y ()() C .224+2=5x y --()() D .22+4++2=2x y ()() 9.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ,点0(2,)M y 在抛物线C 上,M 与直线l 相切于点E ,且3EMF π∠=,则M 的半径为( ) A .23 B . 43 C . 83 D .163 10.如图,正方形ABCD 沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ,则二面角B CD A --的余弦值为( )A .2B .12 C .33 D .5511.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,,满足C B a c b cos cos +=+,8sin =Abc ,则ABC ∆的周长的最小值为( )A . 3B .332+C . 4D .442+ 12.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,P 为双曲线C 上一点,Q 为双曲线C 渐近线上一点,,P Q 均位于第一象限,且2QP PF =,120QF QF ⋅=,则双曲线C 的离心率为( )A .15-B .15+C .110-D .110+二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分;把答案填在对应题号的横线上.)13. 如图,已知平行四边形ABCD 中,060,3,4=∠==D CD AD ,⊥PA 平面ABCD ,且6=PA ,则=PC .14.各项均为正数的数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+,且55=a ,则2123a a +的最小值为 .15.已知A 、B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上的两个动点,且4=AB ,点D 为线段AB。
湖北省荆州中学、宜昌一中两校2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
D.若 m ∥ , n ,则 m ∥ n
6 . 数 列 an 满 足 2an an1 an1 , S n 是 数 列 an 的 前 n 项 和 , a2 , a2019 是 函 数
f (x) x 2 6x 5 的两个零点,则 S2020 的值为( )
点 (1, 4) 到直线 AB 的距离 d 4 12 34 18 ,
5
5
( 18.
SABC ) min
15 2
解:(Ⅰ)由 a
b
(18 5
2
2) 4 sin
. cos
9,
得 sin cos
1,
4
4
(sin cos )2 1 2sin cos 1 1 3 , sin cos 6 .
21.(本小题满分
12 分)已知数列an 的前 n 项和为 Sn ,Sn
2an
9 2n
,n N
* , bn
an
3 2n
.
(Ⅰ)求证:数列bn 为等比数列,并求出数列an 的通项公式;
(Ⅱ)是否存在实数
,对任意 m, n N ,不等式 Sm
bn
恒成立?若存在,求出
x0 7 2
y0 2 2
x0
y0
2x 7 2y 2
,
由 (x0 1)2 ( y0 4)2 4 得 (2x 7 1)2 (2 y 2 4)2 4 ,
即 D 点的轨迹方程为 (x 4)2 ( y 3)2 1 .
(Ⅱ)计算得 AB 5 , 直线 AB 为 4x 3y 34 0,
湖北省荆州中学、宜昌一中两校2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
荆州中学、宜昌一中2019年秋季学期高二期末联考数学试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.复数231iz i+=-(i 为虚数单位)的虚部为( ) A. 12-B. 12i - C. 52D.52i 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及复数的概念即可求解.【详解】()()()()231231511122i i i z i i i i +++===-+--+,故复数的虚部为52, 故选:C【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的概念,属于基础题. 2.(2,,0)a m =,(1,3,1)b n =-,若a //b ,则m n +=( ) A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线定理即可求解.【详解】由a //b ,且(2,,0)a m =,(1,3,1)b n =-, 则存在非零实数λ使得λa b =,即()2301m n λλλ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩,解得6m =,1n =,所以7m n +=. 故选:B【点睛】本题考查了空间向量共线定理,需掌握向量共线定理的内容,属于基础题.3.椭圆2218x y m +=的焦距为4,则m 的值为( )A. 12B. 4C. 12或4D. 10或6【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程222a b c =+即可求解.【详解】因为双曲线的焦距为24c =,则2c =, 由222a b c =+,当焦点在x 轴上时, 即28212m =+=,解得12m = 当焦点y 轴上时,即282m =+,解得4m =.故4m =或12. 故选:C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,需熟记,,a b c 之间的关系,属于基础题. 4.曲线31233y x x =-+在点(1,43)处的切线的倾斜角为( )A.4πB.3π C.23π D.34π 【答案】D 【解析】 分析】 首先对函数31233y x x =-+求导,求出()1f '的值,根据导数的几何意义以及倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】由31233y x x =-+,则22y x '=-, 所以21121x y ==-=-',所以切线的斜率为1-,由tan 1k α==-,所以34πα=, 故选:D【点睛】本题考查了导数的计算以及导数的几何意义、倾斜角与斜率的关系,属于基础题. 5.已知α,β是相异两平面;,m n 是相异两直线,则下列命题中假命题的是 ( ) A. 若m n ,m α⊥,则n α⊥ B. 若m α⊥,m β⊥,则αβ∥ C. 若m α,n αβ=,则m nD. 若m α⊥,m β⊂,则αβ⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】在A 中,由直线与平面垂直的判定定理可得真假; 在B 中,由平面与平面平行的判定定理可得真假; 在C 中,m 与n 平行或异面;在D 中,由平面与平面垂直的判定定理可得真假.【详解】解:在A 中:若m n ,m α⊥,则由直线与平面垂直的判定定理得n α⊥,故A 正确; 在B 中:若m α⊥,m β⊥,则由平面与平面平行的判定定理得αβ∥,故B 正确; 在C 中:若m α,n αβ=,则m 与n 平行或异面,故C 错误;在D 中:若m α⊥,m β⊂,则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥,故D 正确.故选C .【点睛】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.6.数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+,n S 是数列{}n a 的前n 项和,22019,a a 是函数2()65f x x x =-+的两个零点,则2020S 的值为( ) A. 6 B. 12C. 2020D. 6060【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断数列{}n a 为等差数列,由函数的零点与方程根的关系可得220196a a +=, 再由等差数列的性质以及等差数列的前n 和的公式即可求解. 【详解】数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+,∴数列{}n a 为等差数列,又22019,a a 是函数2()65f x x x =-+的两个零点,即22019,a a 是方程2650x x -+=的两个根,220196a a ∴+=,()()1202022019202020202020606022a a a a S +⋅+⋅∴===,故选:D【点睛】本题主要考查了等差中项、函数与方程的关系、等差数列的性质以及前n 和的公式,属于基本知识的考查,属于基础题.7.平面直角坐标系内,到点(2,3)A 和直线:280l x y +-=距离相等的点的轨迹是( ) A. 直线 B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】A 【解析】【分析】根据已知判断点A 是否在直线上,即可结合抛物线的定义判断正确选项,据此解答此题,此题属于基础题. 【详解】由题意,点(2,3)A 在直线:280l x y +-=, 即动点到点A 的距离与动点到直线l 的距离相等, 点(2,3)A 满足直线:280l x y +-=方程, 所以动点的轨迹是一条过A 与直线垂直的直线. 故选:A【点睛】本题考查了抛物线的定义,需注意抛物线定义中满足的条件,属于基础题.8.过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别,A B ,O 为坐标原点,则OAB ∆的外接圆方程为( ) A. ()()222+1=5x y -- B. ()()22+2++1=20x y C. ()()224+2=5x y -- D. ()()22+4++2=2x y【答案】A 【解析】 【分析】由题意知OA PA ⊥,BO PB ⊥,四边形AOBP 的四个顶点在同一圆上,此圆的直径是OP ,AOB ∆外接圆就是四边形AOBP 的外接圆.【详解】由题意知,OA PA ⊥,BO PB ⊥,∴四边形AOBP 有一组对角都等于90, ∴四边形AOBP 的四个顶点在同一圆上,此圆的直径是OP ,OP 的中点为()2,1,OP =∴四边形AOBP 的外接圆方程为()()222+1=5x y --,∴AOB ∆外接圆的方程为()()222+1=5x y --.故选:A【点睛】本题考查了圆的标准方程,需熟记圆的标准方程的形式,属于基础题. 9.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ,点0(2,)M y 在抛物线C 上,M 与直线l 相切于点E ,且3EMF π∠=,则M 的半径为( )A.23B.43C.83D.163【答案】C 【解析】 【分析】依据图像运用抛物线的定义及直线与圆相切,可得22222p p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,求出p ,进而得到M 的半径. 【详解】如图所示,连接ME ,依题意ME l ⊥,过点M 作MH x ⊥轴,垂足为H , 在Rt MFH ∆中,||2||MF FH =, 由抛物线定义可得||||ME MF =, 则22222p p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,解得43p =, 故M 的半径为8223p +=, 故选C .【点睛】本题考查抛物线的性质,直线与圆相切,考查逻辑推理,数学运算的核心素养,属于中档题. 10.如图,正方形ABCD 沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ,则二面角B CD A --的余弦值为( )A 2B.12【答案】C 【解析】 【分析】设正方形边长为a ,AC 和BD 的交点为O ,过O 作BC 的平行线OE 交CD 于E ,则二面角B CD A --就是BEO ∠,由平面BAC ⊥平面DAC ,在BEO ∆中即可求解.【详解】设正方形边长为a ,AC 和BD 的交点为O , 过O 作BC 的平行线OE 交CD 于E , 则二面角B CD A --的平面角就是BEO ∠,因2AO a=,12OE a =,且平面BAC ⊥平面DAC ,BO AC ⊥, 所以BO OE ⊥,所以222234BE BO OE a =+=,即BE =,所以cos 3aOE BEO BE ∠===, 故选:C【点睛】本题主要考查面面角,解题的关键是作出二面角,考查了学生的空间想象能力,属于中档题..11.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,满足cos cos b c B C a +=+,8sin bcA=,则ABC ∆的周长的最小值为( )A. 3B. 3+C. 4D. 4+【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角求出角90A =,从而可求出8bc =,然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为cos cos b c B C a +=+,根据正弦定理可得sin sin cos cos sin B CB C A+=+, 所以()()sin sin sin cos sin cos A C A B A B A C +++=+, 所以cos sin cos sin 0A C A B +=,即()cos sin sin 0A C B +=, 在ABC ∆中,sin sin 0C B +≠,故cos 0A =,90A ∴=sin 1A =,则8bc =,所以4a b c b c ++=+≥+当且仅当b c =时取等号,综上ABC ∆的周长的最小值为4+. 故选:D【点睛】本题主要考查正弦定理以及基本不等式求最值,注意在利用基本不等式时需验证等号成立的条件,属于基础题.12.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F P 、为双曲线C 上一点,Q 为双曲线C 渐近线上一点,P Q 、均位于第一象限,且212,?0QP PF QF QF ==,则双曲线C 的离心率为( )A.1 B. C. 1 D. 1【答案】A 【解析】 设12(,),(,0),(,0)b Q t t F c F c a -,则12(,),(,)b bFQ t c t F Q t c t a a=+=-,由题设120QF QF ⋅=可得222220b t c t a-+=,解之得t a =,故(,)Q a b ,又由2QP PF =可知点P 是2QF 中点,则(,)22a c b P +,代入双曲线方程可得22()1144a c a +-=,即22()54a c a +=,所以1e =,应选答案A . 点睛:本题将向量与圆锥曲线的几何性质有机整合在一起,旨在检测双曲线的标准方程与焦点、渐近线、离心率等几何性质.求解时充分借助题设条件,探求三点2,,P Q F 之间的关系,运用代点法将点(,)22a c bP +代入双曲线方程建立关于离心率的方程,通过解方程使得问题获解.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分;把答案填在对应题号的横线上.)13.如图,已知平行四边形ABCD 中,04,3,60AD CD D ==∠=,PA ⊥平面ABCD ,且6PA =,则PC =__________.【答案】7 【解析】 【分析】由向量的加减运算法则,可得PC PA AD DC =++,将其代入2PC PC PC =⋅中计算;结合向量的数量积的运算,即可求出2PC 的值,进而得出PC 的值.【详解】因为PC PA AD DC =++,所以()22PC PC PC PA AD DC=⋅=++222222PA AD DC PA AD PA DC AD DC =+++⋅+⋅+⋅ 2226432cos120611249AD DC =+++⋅=-=,因此7PC =, 故答案为:7【点睛】本题是一道有关向量的题目,解题的关键是掌握向量的数量积公式,属于基础题.14.各项均为正数的数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+,且55a =,则1232a a +的最小值为______. 【答案】245【解析】 【分析】根据21n n n a a a ++=+,且55a =,求得21325a a +=,从而可得2132155a a +=,然后利用基本不等式即可求解. 【详解】21n n n a a a ++=+,且55a =,321a a a ∴=+, 432212a a a a a =+=+, 54321325a a a a a ∴=+=+=,所以2132155a a +=, 数列{}n a 的各项均为正数,120,0a a ∴>>,∴2121121212394323212122455555255a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=+=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 当且仅当2132a a =时,即154a =,256a =取等号,故1232a a +最小值为245. 故答案为:245【点睛】本题主要考查数列的递推关系、基本不等式求最值,注意在利用基本不等式时需验证等号成立的条件,属于基础题.15.已知A 、B 为圆C :22(1)(1)5x y ++-=上的两个动点,且AB 4=,点D 为线段AB 的中点,对于直线l :(1)y k x =-上任-点P ,都有1PD >,则实数k 的取值范围是__________. 【答案】34k > 【解析】的【分析】由题意可求得1CD =,设C 到直线l :(1)y k x =-的距离为d ,由已知可知2>d ,利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】根据题意可得4AB ==,解得1CD =,其中()1,1C -,设C 到直线l :(1)y k x =-的距离为d ,则11d ->,即2d =>,解得34k > 故答案为:34k > 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,需熟记公式,属于基础题.16.若点P 是椭圆22:12516x y C +=上任意一点,点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点,若直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β,则cos()cos()αβαβ-=+______. 【答案】941【解析】【分析】 首先利用两角和与差的公式以及同角三角函数的关系将cos()cos()αβαβ-+化简成1tan tan 1tan tan αβαβ+-,然后设出点P ,求出直线PA 、PB 斜率,再将椭圆方程代入化简即可求解. 【详解】由cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin si 1n tan tan 1tan tan αβααβαβαβαβαββαβ+--+==+-, 设点(),P x y ,由()0,4A ,()0,4B -,直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β, 所以4tan y x α-=,4tan y xβ+=, 所以2222441cos()1644cos()161y y x y x x y y x y x x αβαβ-++⋅-+-==-++-+-⋅,又2212516x y +=可得2212516y x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭,代入上式可得 22222222252516cos()1691625cos()1641251616y y x y x y y y αβαβ-+--+-===+-+--+, 故答案为:941【点睛】本题主要考查了椭圆的性质、直线的斜率、两角和与差的公式以及同角三角函数的关系,综合性比较强,属于中档题.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.若圆M 的方程为22(1)(4)4x y -+-=,ABC ∆中,已知(7,2)A ,(4,6)B ,点C 为圆M 上的动点.(1)求AC 中点D 的轨迹方程;(2)求ABC ∆面积的最小值.【答案】(1)22(4)(3)1x y -+-=;(2)4【解析】【分析】 (1)设00(,),(,)D x y C x y ,根据中点坐标公式得出002722x x y y =-⎧⎨=-⎩,由相关点法即可求出点D 的轨迹方程; (2)利用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】(1)设00(,),(,)D x y C x y 有000072722222x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩, 由2200(1)(4)4x y -+-=得22(271)(224)4x y --+--=,即D 点的轨迹方程为22(4)(3)1x y -+-=.(2)计算得5AB =, 直线AB 为43340x y +-=,点(1,4)到直线AB 的距离412341855d +-==,∴点C 到直线AB 的最小距离为188255-= min 18()5425ABC S ∆∴=⨯⨯=. 【点睛】本题考查了相关点法求点的轨迹方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,需熟记公式,属于基础题.18.设向量()2,sin a θ=,(1,cos )b θ=r ,其中θ为锐角.(1)若94a b ⋅=,求sin cos θθ+的值; (2)若a ∥b ,求22sin sin cos cos θθθθ+-的值.【答案】(1(2)1 【解析】【分析】 (1)利用向量数量积的坐标运算以及同角三角函数的平方关系,结合θ为锐角即可求解.(2)根据向量共线的坐标表示可得tan 2θ=,再由同角三角函数的商的关系以及齐次式即可求解.【详解】(1)由92sin cos 4a b θθ⋅=+⋅=, 得1sin cos 4θθ=, 213(sin cos )12sin cos 122θθθθ+=+=+=, sin cos θθ+=(2)由//a b 得2cos sin 0θθ-=,即tan 2θ=,原式=222222sin sin cos cos tan tan 1sin cos tan 1θθθθθθθθθ+-+-=++22221121+-==+ 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算以及向量共线的坐标表示,考查了同角三角函数的基本关系,属于基础题.19.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ,点P 在椭圆C 上,124PF PF +=,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线3y =+相切. (1)求椭圆C 的方程; .(2)若直线:=l y kx 与椭圆C 相交于A 、B 两点,求实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点O .【答案】(1)22143x y +=;(2)6k =± 【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义以及点到直线的距离公式即可求出,a b ,从而求得椭圆的方程;(2)将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理求出两根之和、两根之积,再由题意可得0OA OB ⋅=,将两根之和、两根之积代入即可求解.【详解】(1)点(0,0)30y -+=的距离为d ==,得b = 由1242PF PF a +==得2a =,椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)联立22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,设1122(,)(,)A x y B x y ,得22(43)40k x ++-=,12243x x k k +=-+ ,122443x x k -=+, 由题意可知:0OA OB ⋅=,即12120x x y y +=,即12123)0x x +++=,得12123)90x x x x +++=,代入解得21,66k k ==±即为所求. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查了学生的计算能力,属于中档题.20.如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA PD =,AB AD =,PA PD ⊥,AD CD ⊥,060BAD ∠=,,M N 分别为,AD PA 的中点.(Ⅰ)证明:平面BMN ∥平面PCD ;(Ⅱ)若4,AD CD ==(1)求平面BMN 与平面BCP 所成锐二面角的余弦值;(2)求点M 到平面BCP 的距离.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)(1(2 【解析】【分析】(Ⅰ)证出BM CD P ,MN PD P ,利用面面平行的判断定理即可证明.(Ⅱ)(1)以M 为坐标原点,,,MB MD MP 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系M xyz -,分别求出平面BMN 的一个法向量、平面BCP 的一个法向量,利用法向量的数量积求出二面角的夹角.(2)由平面BCP 的法向量,(0,0,2)MP =,根据数量积的几何意义即可求解.【详解】(Ⅰ)连接,,60,BD AB AD BAD ABD =∠=︒∴为等边三角形, M 为AD 的中点,BM AD ∴⊥,,,AD CD CD BM ⊥⊂平面ABCD ,BM CD P ,又BM ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,BM ∴平面PCD ,,M N 分别为,AD PA 的中点,MN PD ∴P ,又MN ⊄平面,PCD PD ⊂平面PCD ,MN ∴平面PCD .又,BM MN ⊂平面,BMN BM MN M =,∴平面BMN P 平面PCD .(Ⅱ)(1)连接PM ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面ABCD 平面PAD AD =,PM ⊂平面PAD ,,PM AD PM ⊥∴⊥平面ABCD .又,,,BM AD MB MD MP ⊥∴两两互相垂直.以M 为坐标原点,,,MB MD MP 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -.4,AD CD ==,则(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,1,1),M P A N B C --,设平面BMN 的一个法向量为111(,,)m x y z =,平面BCP 的一个法向量为222(,,)n x y z =, (23,0,0),(0,1,1)MB MN ==-∴由00m MB m MN ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得1110y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,∴取(0,1,1)m =,(3,2,0),(2BC BP =-=-,∴由00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得22222020y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩,∴取(2,3,2n =,3cos m n m n mn ⋅+∴<⋅>=== ∴平面BMN 与平面BCP 成锐二的余弦值为38(2)面BCP 的法向量为(2,3,2n =,(0,0,2)MP=, 22MP nd n ⋅===. 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理、空间向量在求二面角、点到面的距离中的应用,属于中档题. 21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,92,*2n n n S a n N =-∈,32n n nb a =-. (1)求证:数列{}n b 为等比数列,并求出数列{}n a 的通项公式;(2)是否存在实数λ,对任意,m n N *∈,不等式m n S b λ>恒成立?若存在,求出λ的取值范围,若不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析,13322n n n a -=+⋅;(2)存在,272λ< 【解析】【分析】(1)根据n S 与n a 的关系可得1922n n n a a -=-,再由等比数列的定义即可证出,利用{}n b 为等比数列,由等比数列的通项公式求出n b ,进而可求得n a .(2)利用等比数列的前n 项和公式,求出m S ,进而求出m S 的最小值,根据n b 的通项公式求出n b 的最小值,由min ()m n S b λ<⋅即可求解.【详解】(1)当2n ≥时,111992(2)22n n n n n n n a S S a a ---=-=--- , ∴1922n n na a -=-, 11111393222223622n n n n n n n n n n n a a b b a a --------===--.∴数列{}n b 为公比为2的等比数列. 当1n =时,111992,22s a a =-=,11332b a =-=,13322n n n n b a -∴=⋅=- , 13322n n n a -∴=+⋅. (2)011121113()3(222)222m m m S -=⋅+++++++ 011(1)2(12)3223332112212m m m m --=⋅+⋅=⋅---, 假设存在实数λ,对任意*,,m n m n N S b λ∈>函数3322mm m S =⋅-,有min 19()2m S S ==, 132n n b -=⋅ , min 1()3n b b ==, min 27()2m n S b λ∴<⋅=即为所求 【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式,考查了分离参数法求参数的取值范围,属于中档题.22.已知抛物线22y x =,过点(1,1)P 分别作斜率为1k ,2k 的抛物线的动弦AB 、CD ,设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点.(1)若P 为线段AB 的中点,求直线AB 的方程;(2)若121k k +=,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标.【答案】(1)y x =;(2)证明见解析,定点(0,1).【解析】【分析】(1)设()11,A x y ,()22,B x y ,利用“点差法”确定1k 的值,从而求出直线的方程;(2)求出直线MN 的方程,利用韦达定理以及121k k +=探究直线过哪个定点.【详解】(1)设()11,A x y ,()22,B x y ,则2112y x =①,2222y x =②.①-②,得 ()()()1212122y y y y x x -+=- .又因为()1,1P 是线段AB 的中点,所以122y y += 所以,21121212=1y y k x x y y -==-+. 又直线AB 过()1,1P ,所以直线AB 的方程为y x =;(2)依题设(),M M M x y ,直线AB 的方程为()111y k x -=-,即111y k x k =+-,亦即12y k x k =+,代入抛物线方程并化简得 ()2221122220k x k k x k +-+=. 所以,12121222112222k k k k x x k k --+=-= 于是,12211M k k x k -=,12121221111M M k k y k x k k k k k -=⋅+=⋅+=. 同理,12221N k k x k -=,21N y k =. 易知120k k ≠,所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k k k x x k k -==--. 故直线MN 的方程为211221211111k k k k y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪-⎝⎭, 即212111k k y x k k =+-.此时直线过定点()0,1. 故直线MN 恒过定点()0,1.【点睛】本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题,考查数形结合思想、考查运算求解能力,综合分析和解决问题的能力.。
湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)含答案
一个动点,d + PQ 的最小值是A2 5 -1B.2.5 -2C. '万-1宜昌市2019-2020年高二年级上学期期末考试理科数学试题考试时间:120分钟 考试满分:150分 命题人:李海峰审题人:孙红波★祝考试顺利★一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有 项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.… … 1, 〜…1 .右(x +2i )i = y ——(x, y = R ),则 x + y = iA. -1B.1C. -3D. 3D. m-n <0.13.某种商品的广告费支出 x (单位:万元)与销售额y (单位:万元)之间有如下对应数据:x 2 4 5 6 8 y304050m70根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出 y 与x 的线性回归方程为 ? = 6.5x+17.5,则表中m 的值为A. 45B. 50C.55D.604.已知a 、P 是两个平面,直线l <Za ,l 辽P .若以①l _Lc (,②l 〃P ,③a _L P 中两个为条件,另一个为结论构成三个命题,则其中正确命题的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个1 x 1 35 . m W —— ”是V x W R,使得—十——— >m 是真命题”的 2 2 2x 2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)22.6 .已知P 为抛物线y =4x 上一个动点,P 到其准线的距离为 d,Q 为圆x +(y-4) =1上A. m -n <1B. m-n <0.5C. m-n <0.22.执行如图所示的程序框图,若输入m=1,n=3,输出的x = 1.75,则空白判断框内应填的7 .已知一个棱长为 2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所 示,则该截面的面积为A. 9B. 423.3 28.下面给出的命题中:a(1)已知函数 f (a) = \ cosxdx ,贝U(2) “m = —2”是 直线(m+2)x + my +1 =0与直线(m —2)x 十(m 十2)y — 3= 0互相垂直”的必要不充分条件;(3)已知随机变量服从正态分布N(0,。
湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末联考数学(理)试题含答案
宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期末联考高二(理科)数学(全卷满分:150 分 考试用时:120 分钟)一、选择题:(共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
)1、抛物线y=2x 2的焦点坐标是( ) A .(21,0 ) B .(0,21) C .(81,0) D .(0,81) 2、下列说法错误的是( )A.对于命题P :∀x єR,x 2+x+1>0,则⌝P :∃x 0єR,x 02+x 0+1≤0 B.“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.若命题p ∧q 为假命题,则p ,q 都是假命题D.命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x ≠1,则x 2-3x+2≠0” 3、直线(cos6π)x+(sin 6π)y+2=0的倾斜角为( ) A .56π B .23π C .3π D .6π 4、已知向量(1,1,0)a =r ,(1,0,2)b =-r,且ka b +r r 与2a b -r r 互相垂直,则k 的值是( )A .1B .15 C .35 D .755、某中学有学生300人,其中一年级120人,二,三年级各90人,现要利用抽样方法取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一,二,三年级依次统一编号为1,2,…300;使用系统抽样时,将学生统一编号为1,2,…300,并将整个编号依次分为10段.如果抽得的号码有下列四种情况:①7,37,67,97,127,157,187,217,247,277; ②5,9,100,107,121,180,195,221,265,299; ③11,41,71,101,131,161,191,221,251,281; ④31,61,91,121,151,181,211,241,271,300 关于上述样本的下列结论中,正确的是( )A 、①③都可能为分层抽样B 、②④都不能为分层抽样C 、①④都可能为系统抽样D 、②③都不能为系统抽样6、在空间中,两不同直线a 、b ,两不同平面α、β,下列命题为真命题的是( ) A.若//,//a b a α,则//b α B. 若//,//b αβα,则//b βC.若//,a αβα⊂,则//a βD. 若//,//,,a b a b ααββ⊂⊂,则//βα 7、有5根细木棍,长度分别为1、3、5、7、9(cm),从中任取三根,能搭成三角形的概率为( ) A .310 B .25 C .15D .3208、对某商店一个月(30天)内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的 茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A .46,45,56 B .46,45,53 C .47,45,56D .45,47,539、已知双曲线1n y -m x 2222=(m>0,n>0)的离心率为3,则椭圆1ny m x 2222=+的离心率为( )A .12B .3C .3D .2210、如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个 四棱锥的侧面积为 ( )A .2(23)+B .2(23)+2+C .6D .211、已知平面区域1||1{(,)0,{(,)01y x y x x y y M x y y x +⎧⎫-+⎧⎫⎪⎪Ω==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭≤≤≥≥≤,向区域Ω内随机投一点P ,点P 落在区域M 内的概率为( ) A .14 B .13C .12D .23 12、已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为2F ,)0,0)(,(0000>>y x y x M 是双曲线C上的点,),(00y x N --,连接2MF 并延长2MF 交双曲线C 与点P ,连接PN NF ,2,若P NF 2∆是以P NF 2∠为顶点的等腰直角三角形,则双曲线C 的渐近线方程为( )A .2y x =±B .x y 26±=C .4y x =±D .x y 210±=二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)13、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出n 的值 为14、已知直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a -2)x+(a+4)y -7=0垂直, 则a =15、在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,若12AB BB =,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 . 16、某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆.则租金最少为 元. 三、解答题(70分)17、(本小题满分10分)已知0m >,p :()()260x x +-≤,q :22m x m -≤≤+ . (I )若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围;(Ⅱ)若5m =,“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求实数x 的取值范围18、(本小题满分12分)某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),…,第五组[90,100].如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(I )若成绩大于或等于60且小于80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数; (Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为m 、n ,求事件“|m﹣n|>10”概率.19、(本小题满分12分)如图,已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形,AD ∥BC ,CE ∥BG ,且2BCD BCE π∠=∠=,平面ABCD ⊥平面BCEG ,BC=CD=CE=2,AD=BG=1.(Ⅰ)求证:DE ⊥BC ; (Ⅱ)求证:AG ∥平面BDE ; (Ⅲ)求几何体EGABCD 的体积.20、(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上.(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)若圆C 与直线0x y a -+=交于A ,B 两点,且OA⊥OB,求a 的值.21、(本小题满分12分)如图,在三棱锥ABC P -中,CB CA CP ,, 两两垂直且相等,过PA 的中点D 作平面α∥BC ,且α分别交PC PB ,于N M ,,交AC AB ,的延长线于,E F .(Ⅰ)求证:⊥EF 平面PAC ;(Ⅱ)若BE AB 2=,求二面角N DM P --的余弦值.22、(本小题满分12分)已知椭圆中心在坐标原点O,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,且经过点M(2,1),直线l平行OM,且与椭圆交于A、B两个不同的点。
湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)B卷
湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分)下列说法中正确的是()A . =k表示过点P1(x1 , y1),且斜率为k的直线方程B . 直线y=kx+b与 y 轴交于一点B(0,b),其中截距b=|OB|C . 在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是 =1D . 方程(x2﹣x1)(y﹣y1)=(y2﹣y1)(x﹣x1)表示过点P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)的直线2. (2分) (2017高一下·天津期末) 给出如下三对事件:①某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”;②甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中,但乙未射中目标”;③从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球,“没有黑球”与“恰有一个红球”.其中属于互斥事件的个数为()A . 0B . 1C . 2D . 33. (2分) (2017高二下·宜昌期末) 某地区高中分三类,A类学校共有学生2000人,B类学校共有学生3000人,C类学校共有学生4000人,若采取分层抽样的方法抽取900人,则A类学校中的学生甲被抽到的概率为()A .B .C .D .4. (2分)直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是()A . 重合B . 平行C . 垂直D . 相交但不垂直5. (2分) (2015高二下·黑龙江期中) 若X~N(5,1),则P(6<X<7)=()(参考值:P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826;P(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)A . 0.4772B . 0.1574C . 0.2718D . 0.13596. (2分)圆关于直线对称的圆的方程是()A .B .C .D .7. (2分)根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为()A . 61B . 31C . 30D . 258. (2分)(2017·青浦模拟) 已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={(x,y)|y= };②M={(x,y)|y=log2x};③M={(x,y)|y=2x﹣2};④M={(x,y)|y=sinx+1}.其中是“垂直对点集”的序号是()A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ②③④9. (2分)甲同学参加一次英语口语考试,已知在备选的10道题中,甲能答对其中的5道题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2道题才算合格。
2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中两校高二上学期期末考试数学试题(解析版)
【详解】
a
2aaa
数列
满足
,
n
n
1
n1
n
第3页共18页
数列
为等差数列,
a
n
a,a
(x)x6x5
的两个零点,
2
又
即
是函数
f
2
2019
a,a
aa
的两个根,
6
,
2650
是方程x
x
2
2019
2
2019
2020
aa
1
2020aa
S
6060
,
2020
2
2
2019
:y2px(p0)
(2,)
的焦点为F,准线为l,点My在抛物线上,
C
9.已知抛物线C
2
0
M与直线l相切于点,且EMF,则M的半径为(
)
E
3
2
3
4
3
16
3
8
3
A.
B.
C.
D.
【答案】C
p
p
22
2
p
,求出,
【解析】依据图像运用抛物线的定义及直线与圆相切,可得
2
2
进而得到M的半径.
【详解】
如图所示,连接ME,
4
A,B
的两条切线,切点分别,为坐标原点,则OAB
O
y
作圆x2
2
的外接圆方程为(
)
x+2+y+1=20
2+y1=5
A.x
2
2
B.
2019-2020学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高二(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户,为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100户的样本,记作①;某学校高一年级有12名女运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是()A. ①用简单随机抽样法②用系统抽样法B. ①用系统抽样法②用分层抽样法C. ①用分层抽样法②用简单随机抽样法D. ①用分层抽样法②用系统抽样法2.若直线l1:(m-2)x-y-1=0,与直线l2:3x-my=0互相平行,则m的值等于()A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+4x4+x2+20x+16在x=-2时,v2的值为()A. 2 C. 44.执行右面的程序框图,如果输入的N=3,那么输出的S=()A. 15.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件),若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为()A. 3,5B. 5,5C. 3,7D. 5,76.,则( ), B.7.直线l过点(0,2),被圆C:x2+y2-4x-6y+9=0截得的弦长为l的方程是()8.M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为()9.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是()10.椭圆的离心率为k的值为()A. -21B. 21C. 212111.的最大距离是()A. 3 C.12.曲线C,若直线l:y=kx+1-2k的曲线C有公共点,则k的取值范围是()A. 1]B. 1)C. (-∞∪[1,+∞)D. (-∞∪(1,+∞)二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.命题“∀x>0,x2+x>0”的否定是______.14.已求得关于y与x x+0.55,则a的值为______.15.若x,y z=x-2y的最小值为______.16.椭圆Γ:(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,若直线y与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知直线l的方程为2x-y+1=0(Ⅰ)求过点A(3,2),且与直线l垂直的直线l方程;(Ⅱ)求与直线l平行,且到点P(3,0l2的方程.18.设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x(1)若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若¬q是¬p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.19.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;(3)估计居民月均用水量的中位数.20.某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.记两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.21.,求m的取值范围;M,N两点,求m的值.22.已知F1(-1,0)和F2(1,0)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)直线l:y=kx+m(m>0)与椭圆C有且仅有一个公共点,且与x轴和y轴分别交于点M,N,当△OMN面积取最小值时,求此时直线l的方程.---- ---- ----1.答案:C解析:解:对于①,∵社会购买力的某项指标,受到家庭收入的影响,而社区中各个家庭收入差别明显,∴要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法;对于②,由于样本容量不大,且抽取的人数较少,故采用简单随机抽样法故选:C.调查社会购买力的某项指标,受到家庭收入的影响,而社区中各个家庭收入差别明显;由于样本容量不大,且抽取的人数较少,故可得结论.本题考查收集数据的方法,当总体中的个体较少时,一般用简单随机抽样;当总体中的个体较多时,一般用系统抽样;当总体由差异明显的几部分组成时,一般用分层抽样.2.答案:D解析:【分析】本题考查了两条直线相互平行的充要条件,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于基础题.对m分类讨论,利用两条直线相互平行的条件即可得出.【解答】解:m=0时,两条直线方程分别化为:-2x-y-1=0,x=0,此时两条直线不平行,不符合题意;m≠0,由于l1∥l2m=-1或3,当m=-1时,l1:3x+y+1=0,l2:3x+y=0,不重合,符合题意;当m=3时,l1:x-y-1=0,l2:x-y=0,不重合,符合题意.综上可得:m=-1或3.故选D.3.答案:B解析:【分析】本题考查的知识点是秦九韶算法,其中熟练掌握秦九韶算法的运算法则,是解答本题的关键.先将多项式改写成如下形式:入并依次计算v0,v1,v2的值,即可得到答案.【解答】时,,故选B.解析:解:由程序框图知:输入N=3时,K=1,S=0,T=1第一次循环T=1,S=1,K=2;第二次循环T S K=3;第三次循环T S K=4;满足条件K>3,跳出循环,输出S故选:C.根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件K>3,跳出循环,计算输出S的值.本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法,属于基础题.5.答案:A解析:【分析】本题考查的知识点是茎叶图,平均数和中位数,属于基础题.由已知这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,可得x,y的值.【解答】解:由已知可得甲组数据的中位数为65,故乙组数据的中位数也为65,即y=5,则乙组数据的平均数为:故x=3,故选A.6.答案:D解析:【分析】本题考查关于直线对称的点的坐标,中点坐标公式,垂直直线的斜率关系等基础知识,属于简单题.点关于直线对称,两点连线的斜率与对称轴垂直,两点中点在对称轴上,联立两个方程求解即得.【解答】.故选D.解析:【分析】本题考查直线与圆的位置关系,弦心距与半径以及半弦长的关系,考查计算能力,属于中档题.求出圆的圆心与半径,利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理,求出所求直线的斜率,然后求出直线方程.【解答】解:圆C:x2+y2-4x-6y+9=0故圆C的圆心坐标(2,3),半径为2,∵直线l过点(0,2),被圆C:x2+y2-4x-6y+9=0截得的弦长为∴由题意易知,直线斜率存在,故设所求直线为:y=kx+2.即kx-y+2=0,,解得k=0∴所求直线方程为y+2或y=2.故选D.8.答案:D解析:【分析】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系,考查直线的斜率,考查分析与计算能力,属于中档题.在解决弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化,先设出弦的两端点的坐标,分别代入椭圆方程,两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.【解答】解:设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),,=,=,又M(1,2)为弦AB的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=4,=,∴故选D.9.答案:B解析:解:如图所示,设圆的半径为R,则圆的面积为πR2,圆内接正六边形的边长为R,面积为6×R2×则所求的概率为P故选:B.根据题意画出图形,结合图形求出圆的面积与圆内接正六边形的面积,计算面积比即可.本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.10.答案:C解析:解:若a2=9,b2=4+k,则ck若a2=4+k,b2=9,则c=k=21.故选:C.依题意,需对椭圆的焦点在x轴与在y轴分类讨论,从而可求得k的值.本题考查椭圆的简单性质,对椭圆的焦点在x轴,y轴分类讨论是关键,考查推理运算能力,属于中档题.11.答案:D解析:【分析】本题考查直线和椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细求解.P(4cosθ,2sinθ计算可得答案.【解答】P(4cosθ,2sinθ)则点P到直线d;故选:D.12.答案:A解析:表示的是动点P(x,y)到点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为2,即有P的轨迹为线段AB:y=0,(-1≤x≤1),直线l:y=kx+1-2k为恒过定点C(2,1)的直线,k AC k BC,直线l:y=kx+1-2k的曲线C有公共点,等价为k AC≤k≤k BC,k≤1.故选:A.曲线C表示线段AB:y=0,(-1≤x≤1),求得直线l恒过定点(2,1),由直线的斜率公式计算即可得到所求范围.本题考查动点的轨迹方程,同时考查恒过定点的直线与线段相交问题,考查运算能力,属于中档题和易错题.13.答案:∃x>0,x2+x≤0解析:解:由已知为全称命题,它的否定为特称命题,即:∃x>0,x2+x≤0,故答案为:∃x>0,x2+x≤0首先,将全称量词∀改为存在量词∃,然后,将x2+x>0改成x2+x≤0即可.本题重点考查了全称量词和存在量词,全称命题的否定等知识,属于中档题,属于高考热点问题,这类题型是常考题型,求解此类问题关键是,量词否一否,结论否一否.14.答案:2.15解析:【分析】本题主要考查了回归直线方程,属于基础题.首先求出这组数据的横标和纵标的平均数,写出这组数据的样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程求出a的值.【解答】a+2,将(3,a+2)代入方程得:a+2=3.6+0.55,解得:a=2.15,故答案为2.15.15.答案:-5解析:【分析】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题.由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解答】B(3,4).化目标函数z=x-2y为y,由图可知,当直线y-过B(3,4)时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为:3-2×4=-5.故答案为:-5.16.解析:解:如图所示,α=ta nα,∴α=60°.又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,设|MF2|=m,|MF1|=n∴该椭圆的离心率.可得直线的倾斜角α=60°.又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1设|MF2|=m,|MF1|=n解出a,c即可.本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识,考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法.17.答案:解:(Ⅰ)设与直线l:2x-y+1=0垂直的直线l1的方程为:x+2y+m=0,把点A(3,2)代入可得,3+2×2+m=0,解得m=-7.∴过点A(3,2),且与直线l垂直的直线l1方程为:x+2y-7=0;(Ⅱ)设与直线l:2x-y+1=0平行的直线l2的方程为:2x-y+c=0,∵点P(3,0)到直线l2解得c=-1或-11.∴直线l2方程为:2x-y-1=0或2x-y-11=0.解析:本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.(Ⅰ)设与直线l:2x-y+1=0垂直的直线l1的方程为:x+2y+m=0,把点A(3,2)代入解得m即可;(Ⅱ)设与直线l:2x-y+1=0平行的直线l2的方程为:2x-y+c=0,由于点P(3,0)到直线l2的距离为c即可得出.18.答案:解:(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.由实数x得2<x<9,即q为真时实数x的取值范围是2<x<9.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是2<x<3.(2)¬q是¬p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件由a>0所以实数a的取值范围是解析:本题考查了充分必要条件,考查集合的包含关系,是一道中档题.(1)分别求出关于p,q的不等式,根据p真且q真取交集即可;(2)由p是q的充分不必要条件,得到关于a的不等式,解出即可.19.答案:解:(1)由频率分布直方图可知,月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.同理,在[0.5,1),(1,5,2],[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.(2)由(1)知,100位居民月均用水量不低于3吨的频率为:0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为:300000×0.12=36000.(3)设中位数为x吨.∵前5组的频率之和为:0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4组的频率之和为:0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,∴2≤x≤2.5.由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.解析:(1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为1,能求出a.(2)先求出100位居民月均用水量不低于3吨的频率,由此能估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数.(3)设中位数为x吨,利用频率分布直方图列出方程,能估计居民月均用水量的中位数.本题考查实数值的求法,考查频数、中位数的估计,考查频率分布直方图等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.20.答案:解:(Ⅰ)两次记录的数为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,满足xy≤3,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共5个,∴(Ⅱ)满足xy≥8,(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(3,3),(4,4)共6个,∴小亮获得饮料的概率为,∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率.解析:(Ⅰ)确定基本事件的概率,利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率;(Ⅱ)求出小亮获得水杯与获得饮料的概率,即可得出结论.本题考查概率的计算,考查古典概型,确定基本事件的个数是关键.21.答案:解:(1)曲线方程为:x2+y2-2x-4y+m=0.整理得:(x-1)2+(y-2)2=5-m,则5-m>0,解得:m<5.即m的取值范围是(5);(2)直线x+2y-4=0与圆:x2+y2-2x-4y+m=0的交点为M(x1,y1)N(x2,y2).则整理得:5y2-16y+8+m=0,,由OM⊥ON(O为坐标原点),则:x1x2+y1y2=0,x1=4-2y1,x2=4-2y2,则(4-2y1)(4-2y2)+y1y2解得:m故m的值为解析:本题考查的知识要点:圆成立的充要条件,直线与圆的位置关系的应用,直线垂直的充要条件的应用,一元二次方程根和系数的关系的应用.(1)首先利用圆的一般式与标准式的互化得出m的取值范围;(2)利用直线与圆的位置关系,进一步转化成一元二次方程,进一步根据根和系数的关系利用直线垂直的充要条件求出m的值.22.答案:(共13分)解:(Ⅰ)∵F1(-1,0)和F2(1,0C上,∴依题意,c=1a=2.所以b2=3.故所求椭圆C4分)(Ⅱy得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由直线l与椭圆C仅有一个公共点知,△=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,整理得m2=4k2+3.…(6分)由条件可得k≠0N(0,m).①将m2=4k2+3代入①,得因为|k|>0,,即时等号成立,S△OMN因为m2=4k2+3,所以m2=6,又m>011分)…(13分)解析:(Ⅰ)由F1(-1,0)和F2(1,0C上,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(Ⅱ4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质,结合已知条件能求出直线方程.本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,是中档硅化木,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质的合理运用.。
湖北省宜昌市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
数学(全卷满分:150分考试用时:120分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线623=++yx在y轴上的截距为b,则=b( )A.3 B.-2 C.2 D.-32.已知椭圆)0(125222>=+mmyx的左焦点为)0,3(1-F,则=m( )A.3 B.4 C.9 D.163.等比数列}{na的前n项和aS nn+=3,则a的值为( )A.3 B.1 C.-3 D.-14.若原点在圆myx=++-22)4()3(的外部,则实数m的取值范围是( )A.m>25 B.m>5 C.0<m<25 D.0<m<55.数列}{na满足11=a,)(12*1Nnaann∈-=+,则=2019a( )A.1 B.2019 C.2020 D.-16.直线243=++yx与圆0222=-+xyx的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法判断7.等差数列}{na中,484=+aa,610=a,则公差=d( )A.1B.2 C.-1 D.-28.过抛物线xy42=焦点的直线l交抛物线于),(11yxP,),(22yxQ两点,若421=+xx,则||PQ=( )A.8B.7 C.6 D.59.数列}{n a 的前n 项和为nS ,若)1(1+=n n a n ,则=5S ( )A .1B .56C .16D .13010.已知抛物线)0(2>=a ax y 的准线与圆07622=--+x y x 相切,则a 的值为( ) A .12 B .1 C .2 D .411.已知数列}{n a 为等差数列,若101011->>a a ,且它们的前n 项和n S 有最小值,则使得0<nS 的最大值n 为( )A .22B .21C .20D .1912.已知双曲线1C :)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2,若抛物线2C :)0(22>=p py x 的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程是( )A .y x 162= B.y x 82=C .y x 3382=D .y x 33162=二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.已知直线0243:1=-+y x l ,直线022:2=++y x l ,则两条直线的交点坐标为________.14.已知数列}{n a 的通项公式a n =⎩⎪⎨⎪⎧3n +1(n 为奇数)2n -2(n 为偶数),则=+63a a_____.15.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共7升,下面4节的容积共17升,则第5节的容积为_____升.16.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m时,量得水面宽8 m,当水面升高1 m后,水面宽度是_____m.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知定点)3,1(-A,)2,4(B,以A、B为直径的端点作圆.(1)求圆的方程;(2)已知该圆与x轴有交点P,求交点P的坐标.18.(本小题满分12分)(1)已知直线472:1=++yxl与直线23:2=-+ymxl平行,求m的值;(2)已知直线1)1()2(:1=--++yaxal与直线2)32()1(:2=+++-yaxal互相垂直,求a的值.19.(本小题满分12分)已知}{na是首项为1的等比数列,数列}{nb满足21=b,52=b,且11+++=nnnnnababa.(1)求数列}{na的通项公式;(2)求数列}{nb的前n项和.20.(本小题满分12分)设1F 、2F 是椭圆E :)10(1222<<=+b b y x 的左、右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点.(1)若椭圆的离心率21=e ,求椭圆的标准方程;(2)若直线l 的斜率为1,2AF 、AB、2BF 成等差数列,求b 的值.21.(本小题满分12分)已知数列}{n a 和}{n b 中,数列}{n a 的前n 项和为n S .若点),(n S n 在函数x x y 42+-=的图象上,点),(n b n 在函数xy 2=的图象上.(1)求数列}{n a 的通项公式; (2)求数列}{n n b a 的前n 项和nT .22.(本小题满分12分)已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,点M 在抛物线上,且点M 的横坐标为4,5=MF .(1)求抛物线的方程;(2)设l 为过点)0,4(的任意一条直线,若l 交抛物线于A 、B 两点,求证:以AB 为直径的圆必过原点.数学参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(-2,2)14.2015.316.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.[详细分析](1)由题意,圆心C 为AB 的中点)25,23(,圆的直径为26)23()41(22=-+--=AB∴圆的半径2262==AB r∴所求圆的方程为:213)25()23(22=-+-y x (或者写为一般方程:025322=+--+y x y x ) ------5分 (2)方法1.213)25()23(22=-+-y x ∴令0=y ,则213)25()23(22=+-x ,化简得:41)23(2=-x ∴2123=-x 或2123-=-x ∴2=x 或1=x ∴交点P 的坐标为(1,0),(2,0). ------10分方法2.025322=+--+y x y x 令0=y ,则0232=+-x x∴2=x 或1=x ∴交点P 的坐标为(1,0),(2,0). ------10分18.[详细分析] (1)由l 1:2x +7y +4=0. l 2:mx +3y -2=0.∵l 1∥l 2,24372-≠=∴m 解得76=m ------6分(2)方法1: l 1¡Íl 2,∴(a +2)(a -1)+(1-a )(2a +3)=0,解得a =±1. 将a =±1代入方程,均满足题意.故当a =1或a =-1时,直线l 1¡Íl 2. ------12分 方法2:由题意,直线l 1¡Íl 2,¢Ù若1-a =0,即a =1时,直线l 1:3x -1=0与直线l 2:5y +2=0,显然垂直. ¢Ú若2a +3=0,即a =-32时,直线l 1:x +5y -2=0与直线l 2:5x -4=0不垂直.¢Û若1-a ¡Ù0,且2a +3¡Ù0,则直线l 1,l 2的斜率k 1,k 2都存在,k 1=-a +21-a ,k 2=-a -12a +3,当l 1¡Íl 2时,k 1·k 2=-1,即(-a +21-a )·(-a -12a +3)=-1,所以a =-1.综上可知,当a =1或a =-1时,直线l 1¡Íl 2. ------12分 19.[详细分析](1)把1=n 代入已知等式得:21121a b a b a +=,∴1112123a b a b a a =-=. ------3分 ∴}{n a 是首项为1,公比为3的等比数列即:11331--=⋅=n n n a . ------6分(2)由已知得:311==-++nn n n a a b b ------8分∴}{n b 是首项为2,公差为3的等差数列即:13)1(32-=-+=n n b n ------10分232)132(2)(21nn n n b b n S n n +=-+=+=∴ ------12分20.[详细分析](1)求椭圆定义知:21112=-=b e ,解得:432=b . ------2分 ∴所求椭圆的标准方程为:14322=+y x . ------4分(2)由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4,又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB |=43 ------6分设l 的方程式为y =x +c ,其中c =1-b 2,设A (x 1,y 1)、B (x 1,y 1),则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x +c x 2+y 2b 2=1,消去y 化简得:(1+b 2)x 2+2cx +1-2b 2=0. 则x 1+x 2=-2c 1+b 2,x 1x 2=1-2b 21+b 2. ------9分因为直线AB 的斜率为1,所以|AB |=2|x 2-x 1|,即43=2|x 2-x 1|. ------10分则89=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(1-b 2)(1+b 2)2-4(1-2b 2)1+b 2=()224b 1b 8+,解得b =22. ------12分 21.[详细分析](1)由已知得S n=-n 2+4n,------1分∵当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-2n +5, ------3分又当n =1时,a 1=S 1=3,符合上式. ------4分∴a n=-2n + 5.------5分(2)由已知得b n=2n,a nb n=(-2n +5)·2n .------6分T n =3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n +5)×2n , 2T n =3×22+1×23+…+(-2n +7)×2n +(-2n +5)×2n +1.两式相减得T n =-6+(23+24+ (2)+1)+(-2n +5)×2n+ 1------9分=23(1-2n -1)1-2+(-2n +5)×2n +1-6=(7-2n )·2n +1-14.------12分22.[详细分析](1)由题意|MF |=4+p2=5,得p =2,故抛物线方程为y 2=4x .------4分(2)方法1:由题意,直线l 的斜率一定不为0,故可设其方程为4+=my x . ------6分设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由⎩⎨⎧=+=x y my x 442,得01642=--my y∴16,42121-==+y y m y y------9分∴1616161616)(4)4)(4(22212122121=++-=+++=++=m m y y m y y m my my x x -----10分∴x 1x 2+y 1y 2=0.又OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=0,------11分∴OA⊥OB,∴以AB为直径的圆必过原点. ------12分方法2:当直线l 的斜率不存在时,其方程为x =4. 由⎩⎪⎨⎪⎧x =4y 2=4x ,得y =±4.∴|AB |=8,∴|AB |2=4,∴以AB 为直径的圆过原点. ------6分当直线l 的斜率存在时,设其方程为y =k (x -4)(k ¡Ù0).设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -4)y 2=4x,得k 2x 2-(4+8k 2)x +16k 2=0,∴x 1+x 2=4+8k 2k 2,x 1x 2=16.------9分∴y 1y 2=k 2(x 1-4)(x 2-4)=k 2[x 1x 2-4(x 1+x 2)+16]=k 2[16-4×4+8k 2k2+16=k 2(32-16-32k 2k 2)=-16,------10分∴x 1x 2+y 1y 2=0. 又OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=0, ∴OA⊥OB,∴以AB为直径的圆必过原点. ------11分综上可知,以AB为直径的圆必过原点. ------12分。
2019-2020学年人教A版湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高二第一学期(上)期末数学试卷及答案 解析版
2019-2020学年高二第一学期(上)期末数学试卷一、选择题(本题共12小题)1.直线3x+2y+6=0在y轴上的截距为b,则b=()A.3 B.﹣2 C.2 D.﹣32.已知椭圆的左焦点为F1(﹣3,0),则m=()A.16 B.9 C.4 D.33.等比数列{a n}的前n项和,则a的值为()A.3 B.1 C.﹣3 D.﹣14.若原点在圆(x﹣3)2+(y+4)2=m的外部,则实数m的取值范围是()A.m>25 B.m>5 C.0<m<25 D.0<m<55.数列{a n}满足a1=1,,则a2019=()A.1 B.2019 C.2020 D.﹣16.直线3x+4y+2=0与圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法判断7.等差数列{a n}中,a4+a8=4,a10=6,则公差d=()A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣28.过抛物线y2=4x焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=4,则|PQ|=()A.8 B.7 C.6 D.59.数列{a n}的前n项和为S n,若a n=,则S5等于()A.1 B.C.D.10.已知抛物线y2=ax(a>0)的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切,则a的值为()A.B.1 C.2 D.411.已知数列{a n}为等差数列,若,且它们的前n项和S n有最小值,则使得S n<0的最大值n为()A.22 B.21 C.20 D.1912.已知双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p >0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y二、填空题(本大题共4小题)13.已知两直线l1:3x+4y﹣2=0,l2:2x+y+2=0,则l1与l2的交点坐标为.14.已知数列{a n}的通项公式a n=,则a3+a6=.15.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共7升,下面4节的容积共17升,则第5节的容积为升.16.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时,量得水面宽8米.当水面升高1米后,水面宽度是米.三、解答题(本大题共6小题)17.已知定点A(﹣1,3),B(4,2),以A、B为直径的端点作圆.(1)求圆的方程;(2)已知该圆与x轴有交点P,求交点P的坐标.18.(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y﹣2=0平行,求m的值;(2)已知直线l1:(a+2)x+(1﹣a)y﹣1=0与直线l2:(a﹣1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,求a的值.19.已知{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b1=2,b2=5,且a n b n+1=a n b n+a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.20.设F1、F2是椭圆E:的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点.(1)若椭圆的离心率,求椭圆的标准方程;(2)若直线l的斜率为1,|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,求b的值.21.已知数列{a n}和{b n}中,数列{a n}的前n项和记为S n.若点(n,S n)在函数y=﹣x2+4x 的图象上,点(n,b n)在函数y=2x的图象上.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a n b n}的前n项和T n.22.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A点在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB 为直径的圆必过坐标原点.参考答案一、选择题1.直线3x+2y+6=0在y轴上的截距为b,则b=()A.3 B.﹣2 C.2 D.﹣3【分析】化直线方程为斜截式,即可求解在y轴上的截距.解:3x+2y+6=0化为截距式可得,y=﹣﹣3,所以在y轴上的截距为b=﹣3.故选:D.2.已知椭圆的左焦点为F1(﹣3,0),则m=()A.16 B.9 C.4 D.3【分析】利用椭圆的焦点坐标,列出方程求解即可.解:椭圆的左焦点为F1(﹣3,0),可得25﹣m2=9,解得m=4.故选:C.3.等比数列{a n}的前n项和,则a的值为()A.3 B.1 C.﹣3 D.﹣1【分析】根据题意,由数列{a n}的前n项和求出数列的前3项,结合等比数列了的性质可得(3+a)×18=36,解可得a的值,即可得答案.解:根据题意,等比数列{a n}的前n项和,则a1=31+a=3+a,a2=S2﹣S1=(32+a)﹣(3+a)=6,a3=S3﹣S2=(33+a)﹣(32+a)=18,则有(3+a)×18=36,解可得a=﹣1;故选:D.4.若原点在圆(x﹣3)2+(y+4)2=m的外部,则实数m的取值范围是()A.m>25 B.m>5 C.0<m<25 D.0<m<5【分析】根据题意,由圆的标准方程分析可得m>0,结合点与圆的位置关系可得(0﹣3)2+(0+4)2>m,则有m<25,综合即可得答案.解:根据题意,圆(x﹣3)2+(y+4)2=m的圆心为(3,﹣4),半径为,必有m>0,若原点在圆(x﹣3)2+(y+4)2=m的外部,则有(0﹣3)2+(0+4)2>m,则有m<25,综合可得:0<m<25;故选:C.5.数列{a n}满足a1=1,,则a2019=()A.1 B.2019 C.2020 D.﹣1【分析】利用已知条件,推出{a n}是常数数列,然后求解即可.解:数列{a n}满足a1=1,,a2=2×1﹣1=1,a3=2×1﹣1=1,…a n=1,所以a2019=1.故选:A.6.直线3x+4y+2=0与圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法判断【分析】求出圆心到直线的距离d,与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系,即可得到正确答案.解:由圆的方程x2+y2﹣2x=0得到圆心坐标(1,0),半径r=1则圆心(1,0)到直线3x+4y+2=0的距离d==1=r,所以直线与圆的位置关系是相切.故选:B.7.等差数列{a n}中,a4+a8=4,a10=6,则公差d=()A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2【分析】由a4+a8=4求得a6,再由a10=a6+4d求解d.解:在等差数列{a n}中,由a4+a8=4,得2a6=4,即a6=2,又a10=6,∴a6+4d=6,即4d=6﹣a6=6﹣2=4,则d=1.故选:A.8.过抛物线y2=4x焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=4,则|PQ|=()A.8 B.7 C.6 D.5【分析】根据抛物线方程,算出焦点为F(1,0),准线方程为x=﹣1.利用抛物线的定义,得到|PF|+|QF|=(x1+x2)+2,结合条件,计算可得所求弦长.解:由抛物线方程为y2=4x,可得2p=4,即=1,∴抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=﹣1.根据抛物线的定义,得|PF|=x1+=x1+1,|QF|=x2+=x2+1,∴|PF|+|QF|=(x1+1)+(x2+1)=(x1+x2)+2,又∵PQ经过焦点F,且x1+x2=4,∴|PQ|=|PF|+|QF|=(x1+x2)+2=4+2=6.故选:C.9.数列{a n}的前n项和为S n,若a n=,则S5等于()A.1 B.C.D.【分析】利用“裂项求和”即可得出.解:∵,∴…+==.∴.故选:B.10.已知抛物线y2=ax(a>0)的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切,则a的值为()A.B.1 C.2 D.4【分析】先表示出准线方程,然后根据抛物线y2=ax(a>0)的准线与圆(x﹣3)2+y2=16相切,可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到a的值.解:抛物线y2=ax(a>0)的准线方程为x=﹣,因为抛物线y2=ax(a>0)的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0,即(x﹣3)2+y2=16相切,所以3+=4,a=4故选:D.11.已知数列{a n}为等差数列,若,且它们的前n项和S n有最小值,则使得S n<0的最大值n为()A.22 B.21 C.20 D.19【分析】根据题意,分析可得数列{a n}中a1<0,d>0,又由分析可得a10<0,a11>0,a10+a11<0,结合等差数列的前n项和公式分析可得答案.解:根据题意,数列{a n}为等差数列,且它们的前n项和S n有最小值,则有a1<0,d>0,又由,即a11与a10异号,必有a10<0,a11>0,则⇒0<a11<﹣a10,即有a10<0,a11>0,a10+a11<0,则S20==<0,S21==21a11>0,故满足S n<0的最大值n为20,故选:C.12.已知双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p >0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y【分析】利用双曲线的离心率推出a,b的关系,求出抛物线的焦点坐标,通过点到直线的距离求出p,即可得到抛物线的方程.解:双曲线C1:的离心率为2.所以,即:=4,所以;双曲线的渐近线方程为:抛物线的焦点(0,)到双曲线C1的渐近线的距离为2,所以2=,因为,所以p=8.抛物线C2的方程为x2=16y.故选:D.二、填空题(本大题共4小题)13.已知两直线l1:3x+4y﹣2=0,l2:2x+y+2=0,则l1与l2的交点坐标为(﹣2,2).【分析】联立,解得即可.解:联立,解得.∴l1与l2的交点坐标为(﹣2,2).故答案为:(﹣2,2).14.已知数列{a n}的通项公式a n=,则a3+a6=20 .【分析】利用数列的通项公式,转化求解即可.解:数列{a n}的通项公式a n=,则a3=3×3+1=10.a6=2×6﹣2=10.则a3+a6=20.故答案为:20.15.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共7升,下面4节的容积共17升,则第5节的容积为 3 升.【分析】设此等差数列为{a n},公差d>0,由题意可得:a1+a2+a3+a4=7,a6+a7+a8+a9=17,联立解出首项与公差,则答案可求.解:设此等差数列为{a n},公差d>0,由题意可得:a1+a2+a3+a4=7,a6+a7+a8+a9=17,则4a1+6d=7,4a1+26d=17,联立解得a1=1,d=.∴a5=.故答案为:3.16.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时,量得水面宽8米.当水面升高1米后,水面宽度是米.【分析】先建立坐标系,根据题意,求出抛物线的方程,进而利用当水面升高1米后,y =﹣1,可求水面宽度.解:由题意,建立如图所示的坐标系,抛物线的开口向下,设抛物线的标准方程为x2=﹣2py(p>0)∵顶点距水面2米时,量得水面宽8米∴点(4,﹣2)在抛物线上,代入方程得,p=4∴x2=﹣8y当水面升高1米后,y=﹣1代入方程得:x=±2∴水面宽度是米故答案为:三、解答题(本大题共6小题)17.已知定点A(﹣1,3),B(4,2),以A、B为直径的端点作圆.(1)求圆的方程;(2)已知该圆与x轴有交点P,求交点P的坐标.【分析】(1)圆心C为AB的中点,求出圆的半径,然后求解圆的方程.(2)方法1:路圆的方程,令y=0,代入求解即可;方法2.通过圆的一般式方程,令y=0,求解交点P的坐标即可.解:(1)由题意,圆心C为AB的中点,圆的直径为,∴圆的半径,∴所求圆的方程为:;(或者写为一般方程:x2+y2﹣3x﹣5y+2=0).(2)方法1.∵∴令y=0,则,化简得:∴或,∴x=2或x=1,∴交点P的坐标为(1,0),(2,0).方法2.∵x2+y2﹣3x﹣5y+2=0,令y=0,则x2﹣3x+2=0,∴x=2或x=1,∴交点P的坐标为(1,0),(2,0).18.(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y﹣2=0平行,求m的值;(2)已知直线l1:(a+2)x+(1﹣a)y﹣1=0与直线l2:(a﹣1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,求a的值.【分析】(1)由两条直线平行的条件,建立关于m的方程,求出m的值;(2)由两条直线垂直的条件,建立关于a的方程,解之可得实数a的值.解:(1)令2×3=m(m+1),解得m=﹣3或m=2.当m=﹣3时,l1:x﹣y+2=0,l2:3x﹣3y+2=0,显然l1与l2不重合,∴l1∥l2,同理当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y﹣2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,∴m的值为2或﹣3.(2)由直线l1⊥l2,所以(a+2)(a﹣1)+(1﹣a)(2a+3)=0,解得a=±1.19.已知{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b1=2,b2=5,且a n b n+1=a n b n+a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.【分析】(1)令n=1求得a2=3,{a n}是首项为1,公比为3的等比数列,即可得到所求通项公式;(2)求得{b n}是首项为2,公差为3的等差数列,运用等差数列的求和公式,即可得到所求和.解:(1)把n=1代入已知等式得a1b2=a1b1+a2,所以a2=a1b2﹣a1b1=3a1=3,所以{a n}是首项为1,公比为3的等比数列,即;(2)由已知得,所以{b n}是首项为2,公差为3的等差数列,其通项公式为b n=3n﹣1,.20.设F1、F2是椭圆E:的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点.(1)若椭圆的离心率,求椭圆的标准方程;(2)若直线l的斜率为1,|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,求b的值.【分析】(1)利用椭圆的定义,结合离心率求出a,b,即可得到椭圆方程.(2)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=,设l的方程式为y=x+c,其中c=,设A(x1,y1)、B(x1,y1),则A、B两点坐标满足直线方程与椭圆方程,结合韦达定理弦长公式,转化求解即可.解:(1)求椭圆定义知:,解得:,∴所求椭圆的标准方程为:.(2)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=,设l的方程式为y=x+c,其中c=,设A(x1,y1)、B(x1,y1),则A、B两点坐标满足方程组,消去y化简得:(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0,则x1+x2=,x1x2=,因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2﹣x1|,即=|x2﹣x1|.则=(x1+x2)2﹣4x1x2=﹣=,解得b=.21.已知数列{a n}和{b n}中,数列{a n}的前n项和记为S n.若点(n,S n)在函数y=﹣x2+4x 的图象上,点(n,b n)在函数y=2x的图象上.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a n b n}的前n项和T n.【分析】(1)先根据题设知S n=﹣n2+4n,再利用a n=S n﹣S n﹣1求得a n,验证a1是符合,最后答案可得.(2)由题设可知b n=2n,把a n一同代入a n b n然后用错位相减法求和.解:(1)由已知得S n=﹣n2+4n∵当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=﹣2n+5又当n=1是,a1=S1=3,∴a n=﹣2n+5(2)由已知得b n=2n,∴a n b n=(﹣2n+5)2n,∴T n=3×2+1×4+(﹣1)×8…+(﹣2n+5)2n,2T n=3×4+1×8+(﹣1)×16…+(﹣2n+5)2n+1,两式相减得T n=﹣6+(23+24+…+2n﹣1)+(2n+5)n﹣1=(﹣2n+7)2n+1﹣1422.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A点在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB 为直径的圆必过坐标原点.【分析】(1)求出抛物线的焦点和准线方程,再由抛物线的定义,可得p=2,进而得到抛物线方程;(2)设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程,运用韦达定理,结合向量垂直的条件,即可证得以AB为直径的圆必过坐标原点.【解答】(1)解:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线为x=﹣,由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,解得p=2,即有抛物线的方程为y2=4x;(2)证明:设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程y2=4x,可得y2﹣4my﹣16=0,判别式为16m2+64>0恒成立,y1+y2=4m,y1y2=﹣16,x1x2=•=16,即有x1x2+y1y2=0,则⊥,则以AB为直径的圆必过坐标原点.。
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21.(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C : y2=2 px p 0 的焦点为 F ,直线 y 4 与 y 轴的交点为 P ,与抛物线 C 的交点
为 Q ,且 QF =2 PQ . (1)求 p 的值;
(2)已知点T t, 2 为抛物线 C 上一点, M , N 是 C 上异于点T 的两点,且满足直线TM 和直
D. 1
5.若直线 mx ny 4 和圆 O : x2 y2 4 没有交点,则过点 (m, n) 的直线与椭圆 x2 y2 1的 94
交点个数为( )个.
A.至多一个
B. 0
6.下列命题中的假命题是( )
C. 1
A. 对于命题, p : x0 R, x02 x0 0 ,则 p : x R, x2 x 0
次
分绵,年龄小的比年龄大的多 17 斤绵,那么第 8 个儿子分到的绵是( )
A.174 斤
B.184 斤
C.191 斤
D.201 斤
9.已知抛物线
y2
2 px( p
0) 的焦点 F
恰好是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的右焦点,且两条
曲线的交点的连线过点 F ,则该双曲线的离心率为( )
A. 1 9
B. 1 3
C. 3
D. 9
3.设 Sn 为等差数列{an}的前项和,若 S3 3,S6 24 ,则 a9 ( )
A. 15
B. 45
C. 192
D. 27
4.已知函数 f x xlnx a 在点 1, f 1 处的切线经过原点,则实数 a ( )
A.1
B.0
C. 1 e
4 :1,
则 OAB 面积的最大值为( )
5
A.
4
3
B.
2
15
C.
13
9
D.
4
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知向量 a =(4,2),向量 b =( x ,3),且 a // b ,则 b =
.
14.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E 是 A1B1 的中点,则异面直线 AE 与 BC1 所成角的余弦值
已知命题 p : 方程 x2 y2 1表示焦点在 轴上的椭圆,命题 q :双曲线 y2 x2 1 的
2m 9 m
5m
离心率 e ( 6 , 2) ,若命题 p 和命题 q 有且只有一个是真命题,求实数 的取值范围. 2
18.(本小题满分 12 分)
ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 2 cos C(a cos B b cos A) c . (1)求 C ; (2)若 c 7 , ABC 的面积为 3 3 ,求 ABC 的周长.
宜昌市一中 2019-2020 学年高二上学期期末数学模拟卷
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.如果复数 1 ai ( a R , i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则 a 的值为( ) 2i
A.1
B.-1
C.3
D.-3
2.双曲线 x 2 y 2 1 的渐近线的斜率是( ) 9
A. 2 1
B. 2
C. 2
D. 3 1
10.函数
f
(x)
sin(2x
)
(|
|
) 的图象向左平移
2
6
个单位后为偶函数,设数列an 的通项公
式为 an
ห้องสมุดไป่ตู้
f
(
n 6
)
,则数列
an
的前
2019
项之和为(
)
A.0
B.1
C.2
D.-2
x 4,
11.已知函数
f
(x)
x
2
4x
3,
x x ,若函数 f (x) 恰有 2 个零点,则实数 的取值范围是
C(0,1, 0) , D( 3,1, 5) ,则该四面体的外接球的体积为( )
A. 16
B. 9
9
C.
2
32
D.
3
8.中国古代诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每 人 多十七,要将第八数来言”.题意是:把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依
()
A. (1, 3) [4, )
B. (1, 3] (4, )
C. (1, 3]
D.[4, )
12.已知中心在原点 O ,焦点在 y 轴上,且离心率为 5 的椭圆与经过点 C(1, 0) 的直线 l 交于 A, B 3
两点,若点 C 在椭圆内, OAB 的面积被 x 轴分成两部分,且 OAC 与 OBC 的面积之比为
线
TN 的斜率之和为 8 ,证明:直线 MN 恒过定点,并求出定点的坐标. 3
19.(本小题满分 12 分)
在数列 {an } 中,
a1
1,
2an1
(1
1 )2 n
an
.
(1)证明数列{nan2 } 是等比数列,并求{an}的通项公式;
22.(本小题满分 12 分)
设椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1
ab
, F1, F2 为左、右焦点, B 为短轴端点,且 SBF1F2
4,
2
离心率为 2 , O 为坐标原点. 2
(2)令 bn
an1
1 2
an ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn .
是
.
15.已知圆 (x a)2 y2 9 (a 5) 上存在点 M ,使| OM | 2 | MQ | ( O 为原点)成立, Q(2, 0) ,
则实数 a 的取值范围是
.
20.(本小题满分 12 分) 如图所示,四棱锥 P ABCD 中, PA 底面 ABCD , PA 2 , ABC 90 , AB 3 ,
D. 2
B. “ x 3 ”是“ x2 3x 0 ”的充分不必要条件
C. 抛物线 y 8x2 的准线方程是 y 2
D. 若两直线 3x 4 y 3 0 与 6x my 1 0 平行,则它们之间的距离为 1 2
7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是 A(0, 0, 5) , B( 3, 0, 0) ,
16.已知数列an 的前 n 项和 Sn 2an 2n1 ,若不等式 2n2 n 3 (5 )an 对 n N 恒成立,
则整数 的最大值为
.
三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)
BC 1 , AD 2 3 , CD 4 , E 为 CD 的中点. (1)求证: AE∥平面 PBC ; (2)求锐二面角 B PC D 的余弦值.