导数的应用4(两个极值点)求极值和最值

导数的应用4：求极值和最值

一.（2011丰台二模理18）.（本小题共13分）

已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值．

解：（Ⅰ）∵2()ln (2)f x x ax a x =-+-， ∴函数的定义域为(0,)+∞………………1分

∴2112(2)(21)(1)

()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x

-+---+'=-+-==． …

……………3分

∵()f x 在1x =处取得极值，

即(1)(21)(1)0f a '=--+=， ∴1a =-． ………………5分 当1a =-时，在1

(,1)2

内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>，

∴1x =是函数()y f x =的极小值点． ∴1a =-． ………………6分 （Ⅱ）∵2

a a <，∴01a <<． ………………7分

2112(2)(21)(1)

()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x

-+--+'=-+-==-

∵ x ∈(0,)+∞， ∴10ax +>，

∴()f x 在1(0,)2上单调递增；在1

(,)2+∞上单调递减， ………………9分

①当102

a <≤时， ()f x 在2

[,]a a 单调递增，

∴3

2

max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-； ……………10分

②当21212

a a ⎧

>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，

即122a <<时，()f x 在21(,)2a 单调递增，在1(,)2a 单调递减，

∴max 12()()ln 21ln 22424

a a a f x f -==--

+=--； ………………11分

③当

212a ≤1a ≤<时，()f x 在2[,]a a 单调递减， ∴2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-． ……………12分 综上所述，当1

02

a <≤

时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；

当

122

a <<

时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；

当a ≥

时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是532

2ln 2a a a a -+- 二.(2011朝阳二模理18)（本小题满分13分）

设函数2

()ln ()f x x x a =+-，a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；

（Ⅱ）若函数()f x 在1

[, 2]2

上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数)(x f 的极值点.

解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞. ……………………………1分

因为1

()20f x x x

'=

+>，所以()f x 在[1,]e 上是增函数， 当1x =时，()f x 取得最小值(1)1f =.

所以()f x 在[1,]e 上的最小值为1. ……………………………3分

（Ⅱ）解法一：21221

()2()x ax f x x a x x

-+'=+-=

设2()221g x x ax =-+， ……………………………………4分 依题意，在区间1[, 2]2

上存在子区间使得不等式()0g x >成立. ……………5分 注意到抛物线2()221g x x ax =-+开口向上，所以只要(2)0g >，或1()02

g >即可 ……………………………………6分

由(2)0g >，即8410a -+>，得94

a <

， 由1()02g >，即1102a -+>，得32a <，

所以9

4

a <，

所以实数a 的取值范围是9

(, )4

-∞. ……………………………………8分

解法二：21221

()2()x ax f x x a x x

-+'=+-=， ……………………………4分

依题意得，在区间1

[, 2]2

上存在子区间使不等式22210x ax -+>成立.

又因为0x >，所以12(2)a x x

<+. ……………………………………5分

设1()2g x x x

=+，所以2a 小于函数()g x 在区间1

[, 2]2的最大值.

又因为21

()2g x x

'=-，

由21()20g x x '=-

>解得x >；

由21()20g x x '=-

<解得0x <<.

所以函数()g x 在区间( 2)2上递增，在区间1(,

22

上递减. 所以函数()g x 在1

2

x =

，或2x =处取得最大值. 又9(2)2g =，1

()32

g =，所以922a <，94a <

所以实数a 的取值范围是9

(, )4

-∞. ……………………………………8分

（Ⅲ）因为2221

()x ax f x x

-+'=，令2()221h x x ax =-+

①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x 没有极值点； ……………………………………9分 ②当0a >时，

（ⅰ）当0∆≤，即0a <时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，

此时，函数()f x 没有极值点； ……………………………………10分