2015年上海市闵行区高考数学一模试卷(文科)含解析答案

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(文)试题含精解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷(文史类)一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为_________.2.设全集R U =．若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{≤≤=x x B ，则=B C A U ______.3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 为虚数单位，则=z ___________．4.设)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f __________.5.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c ______． 6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ．7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p _____． 8.方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为________．9. 若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x f 2+=的最大值为________.10.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为__________(结果用数值表示)．9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为x y 3±=，则2C 的渐近线方程为．10.设)(1x f -为22)(2x x f x +=-，]2,0[∈x 的反函数，则)()(1x f x f y -+=的最大值为_________．11.在62)12(x x +的二项展开式中，常数项等于________(结果用数值表示)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x .若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为______________．13.已知平面向量a 、b 、c 满足⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=，则||++的最大值是________.14.已知函数x x f sin )(=．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤≤≤≤≤m x x x ，且),2(12|)()(||)()(||)()(|*13221N m m x f x f x f x f x f x f m m ∈≥=-++-+-- ，则m 的最小值为________．二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设1z ，C z ∈2，则“1z ,2z 均为实数”是“21z z -是实数”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是( ) A.2)32)(8(2<+++x x x B.)32(282++<+x x x C.823212+<++x x x D.218322>+++x x x 17．已知点A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为( ) A.233 B.235 C.211 D.213 18.设),(n n n y x P 是直线)(12*N n n n y x ∈+=-与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11lim n n n x y ( ) A.1- B.21-C.1D.2三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.(本题满分12分)如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA .求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为常数. (1)根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；(2)若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3=OP 千米，4=PQ 千米，5=OQ 千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为)((t f 单位：千米).甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地.(1)求1t 与)(1t f 的值； (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当21t t t ≤≤时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在],[21t t 12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC ∆的面积为S .(1)设),(11y x A ，),(22y x C .用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||211221y x y x S -=； (2)设1l :kx y =，)33,33(C ，31=S ，求k 的值； (3)设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变.23.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*N n ∈.(1)若53+=n b n ，且11=a ，求}{n a 的通项公式；(2)设}{n a 的第0n 项是最大项，即)(*0N n a a n n ∈≥.求证：}{n b 的第0n 项是最大项；(3)设031<=λa ，)(*N n b n n ∈=λ.求λ的取值范围，使得对任意m ，*N n ∈，0≠n a ，且)6,61(∈n m a a .这样看来，一般来说，生活中，若如果我们听到坏消息怎么样出现了，我们就不得不考虑它出现了的事实。

2015年上海市闵行区高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一.填空题1．（3分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝．2．（3分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝．3．（3分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝．4．（3分）计算＝．5．（3分）若x满足4x＝8，则x＝．6．（3分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．7．（3分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．8．（3分）口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是．9．（3分）已知正方形ABCD的边长为2，M是正方形四边上的动点，则的最大值为．10．（3分）函数y＝|log22x|+|log2x|的最小值为．11．（3分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则方程h（x）＝2的解为．12．（3分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．13．（3分）在△ABC中，记角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若＜0，则下列结论中：①△ABC是钝角三角形；②a2＞b2+c2；③cos B cos C＞sin B sin C；④sin B＞cos C；其中错误结论的序号是．14．（3分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，写出一个满足条件的a1的值为．二.选择题15．（3分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（3分）（2﹣x）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256 17．（3分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点18．（3分）数列{a n}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据，，，…，的方差为λ2，则（）A．λ1＞λ2B．λ1＝λ2C．λ1＜λ2D．与的大小关系与公差的正负有关三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，三棱锥A1﹣ABC的体积为，求直线A1B与CC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．21．椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，已知椭圆Γ上的点P（，）到F1、F2的距离之和为2；（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求直线CD的方程．22．已知函数f（x）＝sin2x+（sin2x﹣cos2x）+；（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＝0，求实数m的取值范围；（3）求证：任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立．23．已知数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1＝4n+2（n∈N*），其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意n∈N*的恒成立；（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝392成立，若存在，求出所有满足条件的p，q，若不存在，说明理由；（3）记集合M＝{n|≥λ，n∈N*}，若M中共有5个元素，求实数λ的取值范围．2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝[﹣1，4]．【解答】解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U＝R，∴∁U A＝[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]2．（3分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝﹣1+i．【解答】解：由（z+2）（1+i）＝2i，得，∴z＝﹣1+i．故答案为：﹣1+i．3．（3分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝﹣．【解答】解：∵f（x）＝x cos x，f（a）＝，∴f（a）＝a cos a＝，∴f（﹣a）＝﹣a cos（﹣a）＝﹣a cos a＝．故答案为：﹣．4．（3分）计算＝．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．5．（3分）若x满足4x＝8，则x＝．【解答】解：∵x满足4x＝8，∴22x＝23，∴2x＝3，解得x＝．故答案为：．6．（3分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．【解答】解：∵θ∈（，π），sin﹣cos＝，∴1﹣sinθ＝，∴sinθ＝，∵θ∈（，π），∴cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：．7．（3分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π＝．故答案为．8．（3分）口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是．【解答】解：口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，基本事件总数n＝＝6，摸出的两球颜色不相同，包含的基本事件个数m＝＝3，∴摸出的两球颜色不相同的概率是p＝＝＝．故答案为：．9．（3分）已知正方形ABCD的边长为2，M是正方形四边上的动点，则的最大值为4．【解答】解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴负方向建立坐标系，∵正方形ABCD的边长为2，∴＝（2，0），M为正方形边界一点，设M（x，y），则0≤x≤2，0≤y≤2，＝（x，y），则＝2x≤4，当M在BC上时取得最大值4；故答案是：4．10．（3分）函数y＝|log22x|+|log2x|的最小值为1．【解答】解：函数y＝|log22x|+|log2x|＝|1+log2x|+|﹣log2x|≥|1+log2x﹣log2x|＝1．故答案为：1．11．（3分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则方程h（x）＝2的解为x＝．【解答】解：记f（x）与g（x）的图象交点的横坐标为x＝x0，∵f（）＝＝＜1＝，∴x0∈（，1），函数h（x）的图象如图所示：∴h（x）＝2＝，解得：x＝，故答案为：x＝．12．（3分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c＝2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝s2+t2﹣2st cos60°即s2+t2﹣st＝16，由椭圆的定义可得s+t＝2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t＝2n（n＞0），解得s＝m+n，t＝m﹣n．即有16＝（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）＝m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m＝n，取得最大值．故答案为：．13．（3分）在△ABC中，记角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若＜0，则下列结论中：①△ABC是钝角三角形；②a2＞b2+c2；③cos B cos C＞sin B sin C；④sin B＞cos C；其中错误结论的序号是④．【解答】解：△ABC中，∵＜0，则∠A为钝角，故①、②正确．再根据cos A＝﹣cos（B+C）＝﹣cos B cos C+sin B sin C＜0，化简可得cos B cos C＞sin B sin C，故③正确．根据B+C＜，可得0＜B＜﹣C＜，∴sin B＜sin（﹣C）＝cos C，即sin B ＜cos C，故④错误，故答案为：④．14．（3分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，写出一个满足条件的a1的值为﹣1．【解答】解：取a2＝﹣7，a3＝5，得5＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣2，∴a4＝﹣2×5﹣3×2﹣3＝﹣19，a5＝﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3＝29，∴﹣7＝﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1＝﹣1．故答案为：﹣1．二.选择题15．（3分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，∴k＝±1，∴k＝1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．16．（3分）（2﹣x）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256【解答】解：令二项式（2﹣x）8中的x＝1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8＝1．∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．17．（3分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【解答】解：①y＝x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A 不正确，②y＝x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）＝﹣1，f（b）＝1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选：D．18．（3分）数列{a n}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据，，，…，的方差为λ2，则（）A．λ1＞λ2B．λ1＝λ2C．λ1＜λ2D．与的大小关系与公差的正负有关【解答】解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为＝a1008，所以λ1＝[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]＝•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2＝[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2015﹣a1﹣d）2]＝•（12+22+…+10072）．所以λ1＞λ2，故选：A．三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，三棱锥A1﹣ABC的体积为，求直线A1B与CC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：根据已知条件；∴AA1＝4；又AB＝；AA1⊥AB；∴在Rt△ABA1中tan；；∵AA1∥CC1；∴∠AA1B是直线A1B和CC1所成角，并且该角为．20．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【解答】解：（1）当10＜x＜100时，W＝xR（x）﹣（40+16x）＝4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x＝50．21．椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，已知椭圆Γ上的点P（，）到F1、F2的距离之和为2；（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求直线CD的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Γ上的点P（，）到两焦点F1、F2的距离之和为2，∴＝1，2a＝2，a2＝b2+c2，解得a＝，b＝1，c＝1．∴椭圆Γ的方程为；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），设P是直线CD上的任意一点，可得＝1，＝，＝（x≠1）．∵＝1，＝1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）＝1，∴1+＝0，（x1≠x2）．∴＝0，化为x+y﹣＝0，当x＝1时也成立．∴直线CD的方程为x+y﹣＝0．22．已知函数f（x）＝sin2x+（sin2x﹣cos2x）+；（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＝0，求实数m的取值范围；（3）求证：任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin2x+（sin2x﹣cos2x）+＝＝sin（2x﹣）+，所以函数的最小正周期为；T＝π；（2）由于，所以：，设：F（x）＝[f（t）]2﹣2f（t）＝（f（t）﹣）2﹣2∈[﹣2，﹣1]，存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＝0，所以：m的取值范围为：m∈[﹣2，﹣1]（3）对任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）＝1成立，当时，使f（x1）f（x2）＝1成立．当时，，所以：，）+．则：∈[﹣1，1]，设：（a∈[﹣1，1]），由．解得：或，所以x2的解集为：{x2|或}（k∈Z）．由于，所以：，由于函数在此区间内有严格的单调性．所以：存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）＝1成立．23．已知数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1＝4n+2（n∈N*），其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意n∈N*的恒成立；（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝392成立，若存在，求出所有满足条件的p，q，若不存在，说明理由；（3）记集合M＝{n|≥λ，n∈N*}，若M中共有5个元素，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1＝4n+2（n∈N*），得，解得d＝2，a1＝2，∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．由a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n＝（n﹣1）•2n+1，可得a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1＝（n﹣2）•2n﹣1+1（n≥2），两式相减可得a n b n＝n•2n﹣1，∴b n＝＝2n．（2）假设存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝392成立．∵（a2p+2）2﹣b q＝392，∴（4p+4）2﹣2q＝392，∴16（p+1）2＝392+2q，∴（p+1）2＝，∵，∴p＝4，q＝3．（3）∵d＝2，a1＝2，∴＝n2+n，M＝{n|≥λ，n∈N*}，∵M＝{n|，n∈N*}中共有5个元素，∴当n＝1时，λ≤＝1，当n＝2时，λ≤＝，当n＝3时，λ≤＝，当n＝4时，λ≤＝，当n＝5时，λ≤＝，当n＝6时，λ＞＝，∴．。

2015年高考文科数学上海卷-答案

【解析】()1f x =【提示】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期【考点】二倍角公式，三角函数的周期【答案】{}1,4 【解析】{UB x =<{}1,4UAB =【提示】由A 与B ，找出两集合的交集即可. 【考点】集合交集及其基本运算11【解析】()2f x =【提示】由原函数解析式把【考点】反函数.1sin 60=162a a ⎫⎪⎭【考点】立体几何的基本运算. 【解析】抛物线上的动点到焦点的距离等于动点到准线的距离【解析】12log (9x -且又2log (95)-1433x --+g【解析】条件要求男、女教师都有142332363636C +C C +C C 4515=+数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案. 242246621(2)()C 2240x x ==. 求得r 值，则答案可求. 【解析】双曲线又C【解析】2a b c ++222a b c =++222a b a c b c +++22222a b c a c b c =++++2222()a b c c a b ++++,142cosc a b c a b c a b<+>=+++,1465cosc a b c a b<+>=++.2a b c ++的最大值为1465+. a b c ++的最大值为【提示】分别以a b ，所在的直线为【考点】平面向量的基本运算【解析】()sin 1f x x =当且仅当223())()f x x f x -+-m x ，满足120x x <<L 11【解析】22x x ++直接可得82(x +<它们的解集是相同的3112n b a +-)n λ-，。

[历年真题]2015年上海市高考数学试卷(文科)

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．2．（4分）设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数,则f﹣1（2）=．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2=．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．9．（4分）若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中,常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为﹣y2=1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则|++|的最大值是．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2,m ∈N*）,则m的最小值为．二、选择题（本大题共4小题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分. 15．（5分）设z1、z2∈C,则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中,与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．（5分）已知点A的坐标为（4,1）,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．18．（5分）设P n（x n,y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+,其中a为常数（1）根据a的不同取值,判断函数f（x）的奇偶性,并说明理由；（2）若a∈（1,3）,判断函数f（x）在[1,2]上的单调性,并说明理由．21．（14分）如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f（t）（单位:千米）．甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时,乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地,t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t1≤t≤t2时,求f（t）的表达式,并判断f（t）在[t1,t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S．（1）设A（x1,y1）,C（x2,y2）,用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=|；（2）设l1:y=kx,,S=,求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）,n∈N*．（1）若b n=3n+5,且a1=1,求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项,即a n0≥a n（n∈N*）,求证:{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0,b n=λn（n∈N*）,求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,a n≠0,且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分）1．（4分）（2015•上海）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解:∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x,∴函数的最小正周期为=π,故答案为:π．【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题．2．（4分）（2015•上海）设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩B= {2,3} ．【分析】由A与B,找出两集合的交集即可．【解答】解:∵全集U=R,A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},∴A∩B={2,3},故答案为:{2,3}【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=．【分析】设z=a+bi,则=a﹣bi（a,b∈R）,利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解:设z=a+bi,则=a﹣bi（a,b∈R）,又3z+=1+i,∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i,化为4a+2bi=1+i,∴4a=1,2b=1,解得a=,b=．∴z=．故答案为:．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题．4．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数,则f﹣1（2）=﹣．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示,x,y互换求出原函数的反函数,则f﹣1（2）可求．【解答】解:由y=f（x）=,得,x,y互换可得,,即f﹣1（x）=．∴．故答案为:．【点评】本题考查了函数的反函数的求法,是基础的计算题．5．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到,是方程组的解,解方程组即可．【解答】解:由题意知,是方程组的解,即,则c1﹣c2=21﹣5=16,故答案为:16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解,根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a= 4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16,由此求得a的值．【解答】解:由题意可得,正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形,面积为•a•a•sin60°,正棱柱的高为a,∴（•a•a•sin60°）•a=16,∴a=4,故答案为:4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式,属于基础题．7．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小,即可得出结论．【解答】解:因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,所以=1,所以p=2．故答案为:2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础．8．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程,解出并验证即可．【解答】解:∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2,∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x ﹣1﹣2）],∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2）,化为（3x）2﹣12•3x+27=0,因式分解为:（3x﹣3）（3x﹣9）=0,∴3x=3,3x=9,解得x=1或2．经过验证:x=1不满足条件,舍去．∴x=2．故答案为:2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法,考查了计算能力,属于基础题．9．（4分）（2015•上海）若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值．【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时,直线y=﹣x+z的截距最大,此时z最大．由,解得,即B（1,1）,代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为:3．【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意,运用排除法分析,先在9名老师中选取5人,参加义务献血,由组合数公式可得其选法数目,再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解:根据题意,报名的有3名男老师和6名女教师,共9名老师,在9名老师中选取5人,参加义务献血,有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为:120．【点评】本题考查排列、组合的运用,本题适宜用排除法（间接法）,可以避免分类讨论,简化计算．11．（4分）（2015•上海）在（2x+）6的二项式中,常数项等于240（结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项,由x的指数为0求得r值,则答案可求．【解答】解:由（2x+）6,得=．由6﹣3r=0,得r=2．∴常数项等于．故答案为:240．【点评】本题考查了二项式系数的性质,关键是对二项展开式通项的记忆与运用,是基础题．12．（4分）（2015•上海）已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为﹣y2=1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率,可得C2的一条渐近线的斜率,利用双曲线C1、C2的顶点重合,可得C2的方程．【解答】解:C1的方程为﹣y2=1,一条渐近线的方程为y=,因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,所以C2的一条渐近线的方程为y=x,因为双曲线C1、C2的顶点重合,所以C2的方程为．故答案为:．【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础．13．（4分）（2015•上海）已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则|++|的最大值是3+．【分析】分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,分类讨论:当{||,||}={1,2},||=3,设,则x2+y2=9,则++=（1+x,2+y）,有||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点（x,y）与定点（﹣1,﹣2）的距离的最大值；其他情况同理,然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解:分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,①当{||,||}={1,2},||=3,则,设,则x2+y2=9,∴++=（1+x,2+y）,∴||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点（x,y）与定点（﹣1,﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||,||}={1,3},||=2,则,x2+y2=4,∴++=（1+x,3+y）∴||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=4上点（x,y）与定点（﹣1,﹣3）的距离的最大值为2+=2+,③{||,||}={2,3},||=1,则,设,则x2+y2=1∴++=（2+x,3+y）∴||=的最大值,其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x,y）与定点（﹣2,﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵,故|++|的最大值为3+．故答案为:3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解,解题的关键是圆的性质的应用:在圆外取一点,使得其到圆上点的距离的最大值:r+d（r为该圆的半径,d为该点与圆心的距离）．14．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈N*）,则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m的最小值为8．故答案为:8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质,考查分析问题和解决问题的能力,考查数学转化思想方法,正确理解对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键,是难题．二、选择题（本大题共4小题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分. 15．（5分）（2015•上海）设z1、z2∈C,则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解:若z1、z2均为实数,则z1﹣z2是实数,即充分性成立,当z1=i,z2=i,满足z1﹣z2=0是实数,但z1、z2均为实数不成立,即必要性不成立,故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件,故选:A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）（2015•上海）下列不等式中,与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0,可得不等式＜2,等价于x+8＜2（x2+2x+3）,从而得出结论．【解答】解:由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0,不等式＜2,等价于x+8＜2（x2+2x+3）,故选:B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用,体现了等价转化的数学思想,属于基础题．17．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4,1）,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义,求出∠xOA的三角函数值,利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解:∵点A的坐标为（4,1）,∴设∠xOA=θ,则sinθ==,cosθ==,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则OB的倾斜角为θ+,则|OB|=|OA|=,则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=,故选:D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算,根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）（2015•上海）设P n（x n,y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2【分析】当n→+∞时,直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1,1）,利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解:当n→+∞时,直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1,1）,而可看作点P n（x n,y n）与（1,1）连线的斜率,其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1,1）处的切线的斜率,其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选:A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小．又容易得到,从而带【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高,底面积S△AOC入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC,从而找到异面直线PA,OE所成角为∠PAC,可取AC中点H,连接PH,便得到PH⊥AC,从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC,从而得到∠PAC．【解答】解:∵PO=2,OA=1,OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°,又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中,AC=,；如图,取AC中点H,连接PH,则PH⊥AC,AH=；∴在Rt△PAH中,cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义,圆锥的高和母线,等弧所对的圆心角相等,能判断两直线平行,以及异面直线所成角的定义及找法、求法,能用反三角函数表示角．20．（14分）（2015•上海）已知函数f（x）=ax2+,其中a为常数（1）根据a的不同取值,判断函数f（x）的奇偶性,并说明理由；（2）若a∈（1,3）,判断函数f（x）在[1,2]上的单调性,并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断,需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解:（1）当a=0时,f（x）=,显然为奇函数,当a≠0时,f（1）=a+1,f（﹣1）=a﹣1,f（1）≠f（﹣1）,且f（1）+f（﹣1）≠0,所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1,3）,f（x）=ax2+,∴f′（x）=2ax﹣=,∵a∈（1,3）,x∈[1,2],∴ax＞1,∴ax3＞1,∴2ax3﹣1＞0,∴f′（x）＞0,∴函数f（x）在[1,2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题．21．（14分）（2015•上海）如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f（t）（单位:千米）．甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时,乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地,t=t2时乙到达Q 地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t1≤t≤t2时,求f（t）的表达式,并判断f（t）在[t1,t2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=,当乙到达P点时,可设甲到达A点,连接AP,放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP,也就得出f（t1）；（2）求出t2=,设t,且t小时后甲到达B地,而乙到达C地,并连接BC,能够用t表示出BQ,CQ,并且知道cos,这样根据余弦定理即可求出BC,即f（t）,然后求该函数的最大值,看是否超过3即可．【解答】解:（1）根据条件知,设此时甲到达A点,并连接AP,如图所示,则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得,f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得,设t小时后,且,甲到达了B点,乙到达了C点,如图所示:则BQ=5﹣5t,CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得,f（t）=BC==；即f（t）=,；设g（t）=25t2﹣42t+18,,g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为,则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1,t2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用,以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S．（1）设A（x1,y1）,C（x2,y2）,用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=|；（2）设l1:y=kx,,S=,求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变．【分析】（1）依题意,直线l1的方程为y=x,利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=,再利用|AB|=2|AO|=2,可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得:S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=,进而得到答案；（3）方法一:设直线l1的斜率为k,则直线l1的方程为y=kx,联立方程组,消去y解得x=±,可求得x1、x2、y1、y2,利用S=|x1y2﹣x2y1|=•,设=c（常数）,整理得:k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2],由于左右两边恒成立,可得,此时S=；方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、,则=m,则mx1x2=﹣y1y2,变形整理,利用A（x1,y1）、C（x2,y2）在椭圆x2+2y2=1上,可求得面积S的值．【解答】解:（1）依题意,直线l1的方程为y=x,由点到直线间的距离公式得:点C到直线l1的距离d==,因为|AB|=2|AO|=2,所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1,y1）,C（x2,y2）,S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=,由x12+2y12=1,解得A（,﹣）或（,﹣）或（﹣,）或（﹣,）,由k=,得k=﹣1或﹣；（3）方法一:设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为,直线l1的方程为y=kx,联立方程组,消去y解得x=±,根据对称性,设x1=,则y1=,同理可得x2=,y2=,所以S=|x1y2﹣x2y1|=•,设=c（常数）,所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2）,整理得:k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2],由于左右两边恒成立,所以只能是,所以,此时S=,综上所述,m=﹣,S=．方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、,则=m,所以mx1x2=y1y2,∴m2==mx1x2y1y2,∵A（x1,y1）、C（x2,y2）在椭圆x2+2y2=1上,∴（）（）=+4+2（+）=1,即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1,所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2,是常数,所以|x1y2﹣x2y1|是常数,所以令2m++2=0即可,所以,m=﹣,S=．综上所述,m=﹣,S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力,属于难题．23．（18分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）,n∈N*．（1）若b n=3n+5,且a1=1,求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项,即a n0≥a n（n∈N*）,求证:{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0,b n=λn（n∈N*）,求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,a n≠0,且．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6,由此得到{a n}是等差数列,则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1,结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1,求得,进一步得到得答案；（3）由（2）可得,然后分﹣1＜λ＜0,λ=﹣1,λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m,再由∈（）列式求得λ的范围．﹣a n=2（b n+1﹣b n）,b n=3n+5,【解答】（1）解:∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6,∴a n+1∴{a n}是等差数列,首项为a1=1,公差为6,则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1,∴,∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得,①当﹣1＜λ＜0时,单调递减,有最大值；单调递增,有最小值m=a1=3λ＜0,∴的最小值为,最大值为,则,解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时,a2n=1,a2n﹣1=﹣3,∴M=3,m=﹣1,不满足条件．③当λ＜﹣1时,当n→+∞时,a2n→+∞,无最大值；→﹣∞,无最小值．当n→+∞时,a2n﹣1综上所述,λ∈（﹣,0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了数列的函数特性,训练了累加法求数列的通项公式,对（3）的求解运用了极限思想方法,是中档题．参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz；sllwyn；沂蒙松；sxs123；maths；刘长柏；danbo7801；吕静；wkl197822；whgcn；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。

2015高考试题——数学文(上海卷)Word版含答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文2015年上海市文科试题一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为.2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U .3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 5.若线性方程组的增广矩阵为⎝⎛0213⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a .7.抛物线)0(22>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p . 8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为.9.若y x ,满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为.10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）. 11.在62)12(xx +的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）. 12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),12(*∈≥N m m ，则m的最小值为二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（）. A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x 17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（）.A.233 B. 235 C. 211 D. 213 18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2,1PO OA ==，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数 (1)根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； (2)若(1,3)a ∈，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地，2t t =时，乙到达Q 地.(1)求1t 与1()f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC ∆的面积为S .(1)设1122(,),(,)A x y C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-；（2）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值; (3)设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变. 23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112(),*n n n n a a b b n N ++-=-∈. (1)若35,n b n =+且11a =,求{}n a 的通项公式;(2)设{}n a 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n N ≥∈,求证:{}n b 的第0n 项是最大项; (3)设130a λ=<,(*)n n b n N λ=∈,求λ的取值范围,使得对任意,*m n N ∈，0n a ≠，且1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭答案一、（第1题至第14题） 1.π 2.{1.4} 3.1142i + 4. 23- 5.16 6. 4 7. 2 8. 29. 3 10. 120 11.240 12. 22144x y -=13. 3+ 14.8 二、（第15题至第18题）15 .A 16.B 17.D 18.A 三、（第19题至第23题） 19.[解] 1112323P AOC V -=⨯⨯= 因为AC OE ,所以PAC ∠为异面直线PA 与OE 所成的角或其补角由2,1PO OA OC ===,得PA PC ==,AC =在PAC中，由余弦定理得cos PAC ∠=,故异面直线PA 与OE所成的角的大小为20.[解]（1）()f x 的定义域为{0,}x x x R ≠∈,关于原点对称，2211()()f x a x ax x x-=-+=--，当0a =时，()()f x f x -=-为奇函数当0a ≠时，由(1)1,(1)1f a f a =+-=-，知(1)(1)f f -≠-，故()f x 即不是奇函数也不是偶函数。

上海市闵行区2015届高三数学下学期质量调研考试(一模)试卷文

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷〔文科〕〔总分为150分，时间120分钟〕考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、某某号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题〔本大题总分为56分〕本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否如此一律得0分．1．集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，如此UA =．2．假设复数z 满足(2)(1)2z i i ++=〔i 为虚数单位〕，如此z = ．3．函数()cos f x x x =,假设1()2f a =，如此()f a -=．4．计算221lim 4n n n n →∞+=+．5．假设x 满足48x =,如此x = . 6．2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sincos22θθ-=，如此cos θ= ．7. 假设圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，如此该圆锥的体积为 . 8．口袋中有形状、大小都一样的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，如此摸出的两球颜色不一样的概率是．9．正方形ABCD 的边长为2，M 是正方形ABCD 四边上的动点，如此AB AM ⋅的最大值为． 10．函数22|log 2||log |y x x =+ 的最小值为．11．函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x =,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，如此方程()2h x =的解为 .12．12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n n Γ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，如此mn 的最大值为 .13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，假设0AB AC ⋅<，如此如下结论中：①ABC △是钝角三角形； ②222a b c >+； ③cos cos sin sin B C B C >； ④．其中错误结论的序号是．14．数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-〔p 为常数，0p ≠且1p ≠〕，假设{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，写出一个满足条件的1a 的值为．二．选择题〔本大题总分为20分〕本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否如此一律得0分．15．圆22:1O x y +=和直线:l y kx =+1k =是圆O 与直线l 相切的〔〕 (A)充要条件. (B)充分不必要条件. (C)必要不充分条件.(D)既不充分也不必要条件.16． 8(2)x -展开式中各项系数的和为 ( )(A)1-. (B)1. (C)256. (D)256-.17．()y f x =是定义在R 上的函数，如下命题正确的答案是 ( )(A)假设()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，如此有()()0f a f b ⋅<.(B)假设()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，如此其在(),a b 内没有零点.(C)假设()f x 在区间(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，如此其在(),a b 内有零点.(D) 如果函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，如此其在区间(),a b 内有零点.18．数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为nS ，假设记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ.如此 ( ) (A)12λλ>. (B)12λλ=.(C) 12λλ<. (D)1λ与2λ的大小关系与公差d 的正负有关.三.解答题〔本大题总分为74分〕本大题共有5题，解答如下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．〔此题总分为12分〕如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠===，三棱锥1A ABC -的体积为83．求直线B A 1与1CC 所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕.20．〔此题总分为14分〕此题共有2个小题，第(1)小题总分为6分，第(2)小题总分为8分．某公司生产电饭煲，每年需投入固定本钱40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动CB1C 1B1AA本钱．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x x x =-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元).〔注：利润=销售收入-本钱〕(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．〔此题总分为14分〕此题共有2个小题，每一小题总分为各7分．椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，椭圆Γ上的点41,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到12F F 、的距离之和为〔1〕求椭圆Γ的方程；〔2〕假设椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求直线CD 的方程．22．〔此题总分为16分〕此题共有3个小题，第(1)小题总分为4分，第(2)小题总分为6分，第(3) 小题总分为6分．函数221()2(sin cos 22f x x x x =+-〔1〕求函数()f x 的最小正周期；〔2〕假设存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m --=，求实数的取值范围；〔3〕求证：任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立.23．〔此题总分为18分〕此题共有3个小题，第(1)小题总分为4分，第(2)小题总分为6分，第(3)小题总分为8分．数列{}n a 为等差数列，满足142()n n a a n n *++=+∈N ，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立.〔1〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；〔2〕是否存在,p q *∈N ，使得222()392p q a b +-=成立，假设存在，求出所有满足条件的,p q ；假设不存在，说明理由；〔3〕记集合|,n n S M n n b λ*⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭N ，假设M 中共有5个元素，求实数λ的取值范围.闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题1．[]1,4-； 2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5．〔理〕1，〔文〕32； 6．54-；7．33π；8．(理)58，(文)12；9．(理，(文)4； 10．(理)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(文)1； 11．〔理〕5，(文)14x =；12．； 13．(文理)④；14．〔理〕{}1,3,67---，〔文〕1-或3-或67-二. 选择题15． B ； 16．B ； 17．D ； 18． A ．三. 解答题19．〔文〕11111183323A ABC BC V S AA BC AC AA -=⋅=⋅⋅⋅⋅=△A 11822411323AA AA =⋅⋅⋅⋅=⇒=………………………………4分11//BB CC ， 11A BB ∴∠是直线B A 1与直线1CC 所成的角……6分11111tan A B A BB BB ∴∠===………………………10分11arctan2A BB ∴∠=所以直线B A 1与1CC所成的角为arctan2………………12分19．〔理〕法一：1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．…………………4分设1CC y =1BC ==11111tan 4AC A BC y BC ∴∠===⇒=，……………8分所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CC y =．得点(020)B ，，1(00)C y ，，，1(20)A y ，，．如此1(22)A B y =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． …………………4分设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，如此，……………8分所以111111111111183323C A BC A C BCC BC V V V S A C BC CC A C --===⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分20． (1)40000()(1640)164360W xR x x x x =-+=--+……6分(2) 解400001643602760W x x =--+≥………………12分得2(50)0x -≤时，所以50x =.答：为了让年利润W 不低于2760万元，年产量50x =.…………………14分 21．〔文〕〔1〕2a a =⇒=3分将点P 的坐标代入方程22212x y b +=得281199b +=⇒21b =………6分所以椭圆Γ的方程为2212x y +=．…………………………………7分〔2〕法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、如此2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+=………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分法二：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、设直线CD 的方程为1(1)2y k x =-+………………9分将1(1)2y k x =-+代入2222x y +=得22223(21)(42)2202k x k k x k k +--+--=由212242221k kx x k -+==+得1k =-………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分21．〔理〕(1)因为椭圆Γ过点4(,)33b P ,所以2161199a +=,解得22a =……3分又以AP 为直径的圆恰好过右焦点2F ，所以220F A F P ⋅=又24(,),(,0),(0,)33bP F c A b得2(,)F A c b =-，24(,)33bF P c =-，所以24()033b c c --+=而22222b a c c =-=-，所以2210c c -+=得1c =………………6分故椭圆Γ的方程是2212x y +=． ………………………………7分〔2〕法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，如此2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+=………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--所以CD 所在直线的方程为32y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||3CD x x =-===………14分法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分如此2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-=两等式相减得1132y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||3CD x x =-===．……14分22．〔1〕〔文理〕221()cos 22sin cos 2f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，……………2分函数()f x 的最小正周期T π=………………………………4分〔2〕当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=--∈--…………………8分〔理〕存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数的取值范围为(),1-∞-.……10分〔文〕存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m -=的实数的取值范围为[]2,1--.……10分〔3〕〔理〕存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立. ………………12分〔文理〕当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==-+ ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒--- ⎪⎝⎭………………14分设11()a f x =，如此[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a⎛⎫- ⎪⎝⎭ 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立. 16分 23．〔文〕〔1〕法1：由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+=所以31242a a d d -==⇒=，所以12a =故2,n a n =……………………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+①对任意的n *∈N 恒成立如此1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+〔2n ≥〕 ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2nn b =……………………………4分法2：由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，又142()n n a a n n *++=+∈N ，所以(1)2242()kn b k n b kn b k n k *++++=++=+∈N 所以24,222,0k k b k b =+=⇒==故2n a n =………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+①对任意的n *∈N 恒成立如此1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+〔2n ≥〕 ②①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2nn b =……………………………4分〔2〕假设存在,p q *∈N 满足条件，如此244)2392q p +-=（化简得2324472q p p -+-=……………………………6分由p *∈N 得22447p p +-为奇数，所以32q -为奇数，故3q = 得22244712240p p p p +-=⇒+-=……………………8分故46()p p ==-或舍去所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ． ……………………………10分〔3〕易得2n S n n =+，如此22n n n S n n b +=， ……………………12分下面考察数列2()2n n n f n +=的单调性，因为2211(1)1(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=……………14分所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f ==，5(4),4f =15(5),16f =21(6),32f =……………………………16分因为M 中的元素个数为5，所以不等式,n n S n b λ*≥∈N 解的个数为5，故λ的取值范围是2115,3216⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………18分23．〔理〕〔1〕法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。

2015年上海市高考数学试卷(文科)

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1．（4分）函数f （x ）=1﹣3sin 2x 的最小正周期为．2．（4分）设全集U=R ，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x ≤3}，则A ∩B= ． 3．（4分）若复数z 满足3z+=1+i ，其中i 是虚数单位，则z= ． 4．（4分）设f ﹣1（x ）为f （x ）=的反函数，则f ﹣1（2）= ．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c 1﹣c 2= ． 6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16，则a= ．7．（4分）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．8．（4分）方程log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2的解为． 9．（4分）若x ，y 满足，则目标函数z=x+2y 的最大值为．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为﹣y 2=1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为． 13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是．14．（4分）已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z 1、z 2∈C ，则“z 1、z 2均为实数”是“z 1﹣z 2是实数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A ．（x+8）（x 2+2x+3）＜2B ．x+8＜2（x 2+2x+3）C ．＜D ．＞17．（5分）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则点B 的纵坐标为（） A ．B ．C ．D ．18．（5分）设 P n （x n ，y n ）是直线2x ﹣y=（n ∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（） A ．﹣1 B ．﹣ C ．1 D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧的中点，E 为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P ﹣AOC 的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变．23．（18分）已知数列{an }与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn =3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；（2）设{an }的第n项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，an≠0，且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B= {2，3} ．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）= ﹣．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求．【解答】解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=．∴．故答案为：．【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= 16 ．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= 4 ．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为 2 ．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为 3 ．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 （结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240 （结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程．【解答】解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+．【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x 2+y 2=1∴++=（2+x ，3+y ） ∴||=的最大值，其几何意义是在圆x 2+y 2=1上取点（x ，y ）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+．故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d （r 为该圆的半径，d 为该点与圆心的距离）．14．（4分）已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为 8 ．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m ）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m 值．【解答】解：∵y=sinx 对任意x i ，x j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m ）取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意xi ，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi ）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜ D．＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）设 P n （x n ，y n ）是直线2x ﹣y=（n ∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（） A ．﹣1 B ．﹣ C ．1D ．2【分析】当n→+∞时，直线2x ﹣y=趋近于2x ﹣y=1，与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x ﹣y=趋近于2x ﹣y=1，与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点 P n （x n ，y n ）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x 2+y 2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1． ∴=﹣1．故选：A ．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧的中点，E 为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P ﹣AOC 的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小．【分析】由条件便知PO 为三棱锥P ﹣AOC 的高，底面积S △AOC 又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t=，当乙到达P点时，可设甲1）；到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并（2）求出t2连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；）∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C 点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=．综上所述，m=﹣，S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．23．（18分）已知数列{an }与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn =3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；（2）设{an }的第n项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，an≠0，且．【分析】（1）把bn =3n+5代入已知递推式可得an+1﹣an=6，由此得到{an}是等差数列，则an可求；（2）由an =（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n =2bn+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{an }是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵an =（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（bn ﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2bn +a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{bn }的第n项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时，a2n =1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．。

2015年高考文科数学上海卷及答案

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于（结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值；（Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N .（Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学答案解析1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.【考点】二元线性规划求目标函数最值.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，。

2015年上海市高考数学试卷文科【推荐】

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3} ．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=﹣．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求．【解答】解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=．∴．故答案为：．【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240（结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程．【解答】解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+．【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+．故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S又容易得到，从而△AOC带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH ⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；（2）求出t2=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C 点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=．综上所述，m=﹣，S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴a n+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；→﹣∞，无最小值．当n→+∞时，a2n﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．。

2015高考真题——数学文(上海卷)Word版含答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文 2015年上海市文科试题一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1.函数的最小正周期为. 2.设全集.若集合，，则. 3.若复数满足，其中是虚数单位，则. 4.设为的反函数，则. 5.若线性方程组的增广矩阵为解为，则. 6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则. 7.抛物线上的懂点到焦点的距离的最小值为1，则. 8. 方程的解为. 9.若满足，则目标函数的最大值为. 10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）. 11.在的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）. 12.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为. 13.已知平面向量、、满足，且，则的最大值是. 14.已知函数 .若存在，，，满足，且，则的最小值为. 二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15. 设、，则“、均为实数”是“是实数”的（）.A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 16. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（）. A. B. C. D. 17. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）. A. B. C. D. 18. 设时直线与圆在第一象限的交点，则极限( ). A. B. C. D.。

2015年上海市高考数学试卷文科-真题

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3} ．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=﹣．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求．【解答】解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=．∴．故答案为：．【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240（结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程．【解答】解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+．【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+．故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，c osθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S又容易得到，从而△AOC带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH ⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；（2）求出t2=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C 点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=．综上所述，m=﹣，S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴a n+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；→﹣∞，无最小值．当n→+∞时，a2n﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题精品解析(上海卷)

更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年2015年高考上海卷文数试题解析（精编版）（解析版）一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为. 【答案】π2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U I . 【答案】}4,1{【解析】因为}32|{<≤=x x B ，所以2|{<=x x B C U 或}3≥x ，又因为}4,3,2,1{=A ，所以}4,1{)(=B C A U I . 【考点定位】集合的运算.3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . 【答案】i 2141+ 【解析】设),(R ∈+=b a bi a z ，则bi a -=，因为i z z +=+13，所以i bi a bi a +=-++1)(3，即i bi a +=+124，所以⎩⎨⎧==1214b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a ，所以i z2141+=.【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设)(1xf-为12)(+=xxxf的反函数，则=-)2(1f .【答案】32-5.若线性方程组的增广矩阵为⎝⎛213⎪⎪⎭⎫21cc解为⎩⎨⎧==53yx，则=-21cc . 【答案】166.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则=a .【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯aaa，解得4=a.【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年7.抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p. 【答案】2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值.8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.9.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 .【答案】3更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）. 【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在62)12(xx的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【答案】240【解析】由r r r r rrrx C xxC T 366626612)1()2(---+⋅⋅=⋅⋅=，令036=-r ，所以2=r ，所以常数项为2402426=⋅C .【考点定位】二项式定理.【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量、、满足⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=，则||++的最大值是 . 【答案】53+更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】平向量的模，向量垂直.【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量a 、b 、c的坐标，用坐标表示c b a ++，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得||c b a ++的最大值.14.已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为. 【答案】8更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（）. A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】设),(11111R ∈+=b a i b a z ，),(22222R ∈+=b a i b a z ，若1z 、2z 均为实数，则021==b b ，所以21212121)(a a i b b a a z z -=-+-=-是实数；【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（）.A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D.218322>+++x x x 【答案】B更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（）. A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2 【答案】A更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点.已知2=PO ，1=OA ，求三棱锥AOC P -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角的大小.【答案】1010arccos更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增. 【解析】（1）当0=a 时，xx f 1)(=，显然是奇函数；当0≠a 时，1)1(+=a f ，1)1(-=-a f ，)1()1(-≠f f 且0)1()1(≠-+f f ，所以此时)(x f 是非奇非偶函数.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】函数的奇偶性、单调性. 21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.（1）求1t 与)(1t f 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【答案】（1）h 83，8413千米；（2）超过了3千米. 【解析】（1）h v AC t 831==乙，设此时甲运动到点P ，则8151==t v AP 甲千米，所以=⋅⋅-+==A AP AC AP AC PC t f cos 2)(22184135381532)815(322=⨯⨯⨯-+=千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年已知椭圆1222=+yx ，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，设AOC ∆的面积为S .（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ，求k 的值；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；（3）21-=m .由（1）得2111221216|1|3|3333|21||21kk kx x y x y x S +-=-=-= 由题意知31216|1|32=+-k k ，解得1-=k 或51-=k . （3）设kx y l =:1，则x k m y l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C ，由⎩⎨⎧=+=1222y x kxy ，的221211kx +=，同理2222222)(211m k k k m x +=+=，更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年由（1）知，||||||21||21||2121212111221x x k m k kx x k mx x y x y x S ⋅-⋅=⋅-⋅=-= 22222212||mk k m k +⋅+-=，整理得0)18()2164()18(22222242=-++++-m S k m m S S k S ，由题意知S 与k 无关，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-021*********m m S S S ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21812m S . 所以21-=m . 【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；（3）设130aλ=<，nnbλ=)N(*∈n，求λ的取值范围，使得对任意m，*∈Nn，0na≠，且1(,6)6mnaa∈.【答案】（1）56-=nan；（2）详见解析；（3）)0,4(-.（3）因为nnbλ=，所以)(211nnnnaaλλ-=-++，当2≥n时，112211)()()(aaaaaaaannnnn+-+⋅⋅⋅+-+-=---λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---nnnnλλ+=n2，更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ，由题意，n m a a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ，由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ，综上所述，λ的取值范围是)0,41(-. 【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.。

2015年上海市高考数学试卷及解析(文科)

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1、（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为、2、（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=、3、（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=、4、（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=、5、（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=、6、（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=、7、（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=、8、（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为、9、（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为、10、（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）、11、（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）、12、（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为、13、（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是、14、（4分）已知函数f（x）=sinx、若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为、二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15、（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件16、（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A、（x+8）（x2+2x+3）＜2B、x+8＜2（x2+2x+3）C、＜D、＞17、（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A、B、C、D、18、（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A、﹣1B、﹣C、1D、2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小、20、（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由、21、（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）、甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待、设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地、（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由、22、（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S、（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变、23、（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*、（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且、参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1、（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π、题目分析：由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期、试题解答解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π、点评：本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题、2、（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3} 、题目分析：由A与B，找出两集合的交集即可、试题解答解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键、3、（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=、题目分析：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出、试题解答解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=、∴z=、故答案为：、点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题、4、（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=﹣、题目分析：由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求、试题解答解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=、∴、故答案为：、点评：本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题、5、（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16、题目分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可、试题解答解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16、点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键、6、（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4、题目分析：由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值、试题解答解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4、点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题、7、（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2、题目分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论、试题解答解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2、故答案为：2、点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础、8、（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2、题目分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可、试题解答解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2、经过验证：x=1不满足条件，舍去、∴x=2、故答案为：2、点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题、9、（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3、题目分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值、试题解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）、由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大、由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3、点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法、10、（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）、题目分析：根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案、试题解答解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120、点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算、11、（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240（结果用数值表示）、题目分析：写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求、试题解答解：由（2x+）6，得=、由6﹣3r=0，得r=2、∴常数项等于、故答案为：240、点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题、12、（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为、题目分析：求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程、试题解答解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为、故答案为：、点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础、13、（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+、题目分析：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可、试题解答解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+、故答案为：3+点评：本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）、14、（4分）已知函数f（x）=sinx、若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为8、题目分析：由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值、试题解答解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8、故答案为：8、点评：本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题、二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15、（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件题目分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可、试题解答解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键、16、（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A、（x+8）（x2+2x+3）＜2B、x+8＜2（x2+2x+3）C、＜D、＞题目分析：根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论、试题解答解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B、点评：本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题、17、（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A、B、C、D、题目分析：根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可、试题解答解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D、点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键、18、（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A、﹣1B、﹣C、1D、2题目分析：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出、试题解答解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1、∴=﹣1、故选：A、点评：本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小、题目分析：由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S又容易得到，从△AOC而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积、根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC、试题解答解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos、点评：考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角、20、（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由、题目分析：（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断、试题解答解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数、（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增、点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题、21、（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）、甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待、设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地、（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由、题目分析：（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；（2）求出t2=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可、试题解答解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C 点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3、点评：考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法、22、（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S、（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S 保持不变、题目分析：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值、试题解答解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=、所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=、方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=、综上所述，m=﹣，S=、点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题、23、（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*、（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且、题目分析：（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围、﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，试题解答（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴a n+1∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴、∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得∴λ∈（）②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；→﹣∞，无最小值当n→+∞时，a2n﹣1综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题。