浙教版八年级数学培优试卷专题29 几何变换

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几何复习专题卷(含答案)初中数学浙教版八年级上册

几何复习专题卷题号一二三总分得分一、选择题(每题3分，共30分)1．[母题·教材P41目标与评定T1 2024·温州期末]用三根木棒首尾相接围成△ABC，其中AC＝6 cm，BC＝9 cm，则AB的长可能是( )A．2 cm B．3 cm C．14 cm D．15 cm2．[新考向知识情境化]如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是( )(第2题)A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS3．如图，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E．若BC＝10 cm，则△ODE 的周长为( )(第3题)A．10 cm B．8 cmC．12 cm D．20 cm4．[2024·宁波奉化区期末]下列命题的逆命题是假命题的是( ) A．直角三角形的两个锐角互余B．两直线平行，内错角相等C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形D．同角的余角相等5．过直线l外一点P作直线l的垂线PQ，下列尺规作图错误的是( )A B C D 6．[2024·杭州西湖区期末]如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1＋S2＝9，且AC＋BC＝10，则AB的长为( )(第6题)A．6B．7C．8D．627．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④CD平分∠ACB．其中正确的有( )(第7题)A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，AD＝AB，则有( )(第8题)A．若AC＝2AB，则∠C＝30°B．若3AC＝4AB，则7BD＝18CDC．若∠B＝2∠C，则AC＝2ABD．若∠B＝2∠C，则S△ABD＝2S△ACD9．[2024·宁波奉化区期末]如图，在△ABC中，AB＝23，∠B＝60°，∠A＝45°，D为BC上一点，点P，Q分别是点D关于AB，AC的对称点，则PQ的最小值是( )(第9题)A．6B．8C．32D．310．[2023·金华]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q．若HF＝FG，则S四边形PCQE的值是( )S正方形ABEF(第10题)A．14B．15C．312D．625二、填空题(每题4分，共24分)11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝6，BC ＝8，则CD＝．(第11题)12．如图，在△ABC的边AB上取点D，以D为圆心，DA长为半径画圆弧，交AC于点E；以E为圆心，ED长为半径画圆弧，交AB 于点F．若∠CEF＝∠BFE，则∠A＝ °．(第12题)13．[2024·温州期末]如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC 上的高线，CE⊥AB于点E，交AD于点F．若∠BAC＝45°，AF ＝6，则BD的长为．(第13题)14．如图，D为等边三角形ABC的AB边的中点，P是BC上的一个动点，连结DP，将△DBP沿DP翻折，得到△DEP，连结AE，若∠BAE＝40°，则∠BDP的度数为．(第14题)15．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，长方形内有一个点P，连结AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP＝CB，延长CP交AD于点E，则AE等于．(第15题)16．[新考法分类讨论法]如图①是一副直角三角板，已知在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠F＝30°，点B，D，C，F在同一直线上，点A在DE上．如图②，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α(0°＜α＜135°)，得到△E'DF'，当直线E'F'与直线AC，BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为．(第16题)三、解答题(共66分)17．(6分) [新视角·动手操作题2024·金华月考]如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题(仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹)：(1)在AB上找一点D，使CD⊥AB；(2)在AC上找一点E，使BE平分∠ABC．18．(6分)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．(1)求证：∠EBD＝∠EDB；(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．19．(6分)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：测量示意图的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15 m，AB＝17 m，求线段AD的长．(2)如果小明想要风筝沿DA方向再上升12 m，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？20．(8分) [新考法构造全等三角形法]如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，CE＝CF．(1)求证：CB＝CD；(2)若AE＝CE＝5，AB＝AD＝8，求线段EF的长．21．(8分)[2024·杭州西湖区期中]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．(1)若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；(2)设∠ACD＝α，∠ABE＝β，求α与β之间的数量关系，并说明理由．22．(10分)[2023·宁波七中期中]如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°．D为BC边的中点，E，F分别在边AB，AC上，DE⊥DF．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)求EF的最小值．23．(10分)[2024·衢州月考]如图①，在等腰三角形ABC中，AD是BC边上的中线，延长BC至点E，使AD＝DE，连结AE．(1)求证：△ADE是等腰直角三角形；(2)如图②，过点B作AC的垂线交AE于点P，试判断△ABP的形状，并说明理由；(3)如图③，在(2)的条件下，AD＝4，连结CP，若△CPE是直角三角形，求CE的长．24．(12分)如果两个顶角相等的等腰三角形具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连结起来得到两个全等三角形，那么我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图①，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD ≌△ACE．(1)请证明图①的结论成立；(2)如图②，△ABC和△ADE是等边三角形，连结BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图③，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BCD的数量关系．答案一、1．C 2．A 3．A 4．D 5．C 6．C7．C 【点拨】∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ．∴∠DAC ＝∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，{AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAE ，AC ＝AE ，∴△ADC ≌△ABE (SAS )．∴CD ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ．又∵∠AFD ＝∠BFO ，∴∠DOB ＝∠DAB ＝50°，故①②③正确．现有条件无法得到CD 平分∠ACB ．8．B 【点拨】A ．若AC ＝2AB ，则BC ＝AB 2＋AC 2＝5AB ，若∠C ＝30°，则易得BC ＝2AB ，故A 选项错误．B ．若3AC ＝4AB ，则AC ＝43AB ，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝53AB ．作AE ⊥BC ，则S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AE ，可得AE ＝AB ·AC BC ＝45AB ．∵AD ＝AB ，∴BE ＝DE ＝AB 2－AE 2＝35AB ．∴BD ＝65AB ．∴DC ＝BC －BD ＝715AB ．∴7BD ＝18CD ，故B 选项正确．C ．若∠B ＝2∠C ，∵∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠C ＝90°．∴∠C ＝30°，∠B ＝60°．∴易得BC ＝2AB ．∴AC ＜2AB ，故C 选项错误．D ．若∠B ＝2∠C ，由选项C 可得∠C ＝30°，∠B ＝60°．∵AD ＝AB ，∴△ABD 为等边三角形．∴∠ADB＝60°．∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝30°＝∠C．∴AD＝DC＝BD，即AD为△ABC的中线．∴S△ABD＝S△ACD，故D选项错误．9．C　【点拨】连结AD，AP，AQ．∵点P，Q分别是点D关于AB，AC的对称点，∴AD＝AP，AD＝AQ，∠PAD＝2∠DAB，∠QAD＝2∠DAC．∴AD＝AP＝AQ，∠PAQ＝2(∠BAD＋∠CAD)＝2∠BAC＝90°．∴△PAQ是等腰直角三角形．∴易知PQ＝2AP＝2AD．∵D为BC上一点，∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，此时PQ取得最小值．当AD⊥BC时，∠ADB＝90°．∵∠ABD＝60°，∴∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝30°．AB＝3．∴AD＝AB2－BD2＝3．∴易得BD＝12∴PQ＝2AD＝32．∴PQ的最小值为32．10．B　【点拨】设AC＝b，AB＝c，BC＝a，HF＝FG＝x，则a2＋b2＝c2．∵四边形ACGH，四边形BCMN，四边形ABEF都是正方形，∴AC＝AH＝HG＝b，AB＝AF，∠H＝∠G＝∠EBA＝∠AFE＝∠BCM＝90°．∴b＝2x．在Rt△AHF与Rt△ACB中，∵AH＝AC，AF＝AB，∴Rt△AHF≌Rt△ACB(HL)．∴HF＝BC＝FG＝a＝x，∠HFA＝∠ABC，S△AHF＝S△ACB．∵∠HFA＋∠GFP＝180°－90°＝90°＝∠ABC＋∠CBQ，∴∠GFP ＝∠CBQ．在△GFP与△CBQ中，∵∠G＝∠BCQ＝90°，FG＝BC，∠GFP＝∠CBQ，∴△GFP≌△CBQ(ASA)．∴S△GFP＝S△CBQ．∵S正方形ACGH＝S△AHF＋S△PFG＋S四边形ACPF＝b2，∴S正方形ACGH＝S△ABC＋S△BCQ＋S四边形ACPF＝b2．∴S四边形PCQE＝S正方形ABEF－(S△ABC＋S△BCQ＋S四边形ACPF)＝S正方形ABEF－S正方形ACGH＝c2－b2＝a2．在Rt△ABC中，由勾股定理得c2＝b2＋a2＝(2x)2＋x2＝5x2．∴S四边形PCQE S正方形ABEF ＝a2c2＝x25x2＝15．二、11．5　12．3613．3　【点拨】在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，∴AD⊥BC，BD＝CD．∴∠ADC＝90°．∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°．又∵∠BAC＝45°，∴∠ACE＝45°＝∠BAC．∴AE＝CE．∵∠ADC＝∠AEF＝90°，∠AFE＝∠CFD，∴∠BAD＝∠BCE．∴△AEF≌△CEB(ASA)．∴AF＝BC＝6．∴BD＝3．14．40°　【点拨】∵D为等边三角形ABC的AB边的中点，∴AD＝BD，将△DBP沿DP翻折，得到△DEP，∴BD＝DE＝AD，∠BDP＝∠PDE．∴∠BAE＝∠AED＝40°．∴∠BDE＝40°＋40°＝80°．∠BDE＝40°．∴∠BDP＝12　【点拨】延长AP交CD于点F．15．43∵∠APB＝90°，∴∠FPB＝90°，∠OAB＋∠ABP＝90°．∴∠CPF＋∠CPB＝90°．∵四边形ABCD是长方形，∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，CD＝AB＝4，BC＝AD＝3．∴∠EAP＋∠BAP＝∠ABP＋∠BAP＝∠ABP＋∠CBP＝90°．∴∠EAP＝∠ABP．∵CP＝CB＝3，∴∠CPB＝∠CBP．∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP．又∵∠EPA＝∠CPF，∴∠EAP＝∠APE．∴AE＝PE．在Rt△CDE中，CD2＋DE2＝CE2，．∴42＋(3－AE)2＝(3＋AE)2，解得AE＝4316．7．5°或75°或97．5°或120°【点拨】设直线E'F'与直线AC，BC分别交于点P，Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角．①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ＝∠CQP，若∠PCQ为钝角，如图①，∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠ACB＝45°．∴∠CPQ＋∠CQP＝∠ACB＝45°．∴∠CQP＝22．5°．∵∠E'F'D＝30°，∴∠F'DQ＝∠E'F'D－∠CQP＝30°－22．5°＝7．5°，即α＝7．5°．若∠PCQ为锐角，如图②，则∠CPQ＝∠CQP＝67．5°．∵∠E'DF'＝90°，∠F'＝30°，∴∠E'＝60°．∴∠E'DQ＝∠CQP－∠E'＝67．5°－60°＝7．5°．∴α＝90°＋7．5°＝97．5°．②当∠CPQ为顶角时，∠CQP＝∠PCQ＝45°，如图③．∵∠DE'F'＝∠CQP＋∠QDE'，∴∠QDE'＝∠DE'F'－∠CQP＝60°－45°＝15°．∴α＝90°－15°＝75°．③当∠CQP为顶角时，∠CPQ＝∠PCQ＝45°，如图④，∴∠CQP＝90°．∴∠QDF'＝90°－∠DF'E'＝60°．∴∠QDE'＝∠E'DF'－∠QDF'＝30°，∴α＝90°＋30°＝120°．综上所述，α的大小为7．5°或75°或97．5°或120°．三、17．【解】(1)如图，点D即为所求．(2)如图，点E即为所求．18．(1)【证明】∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD．∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB．∴∠EBD＝∠EDB．(2)【解】CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC．∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．∴CD＝BE．由(1)得∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE．∴CD＝ED．19．【解】(1)由题易知CD＝1．7 m．∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15 m，AB＝17 m，∴AC＝AB2－BC2＝172－152＝8(m)．∴AD＝AC＋CD＝8＋1．7＝9．7(m)．(2)∵风筝沿DA方向再上升12 m后，AC＝8＋12＝20(m)，∴此时风筝线的长为202＋152＝25(m)．25－17＝8(m)．答：他应该再放出8 m线．20．(1)【证明】如图，连结AC．在△AEC与△AFC中，{AC＝AC，CE＝CF，AE＝AF，∴△AEC≌△AFC(SSS)．∴∠CAE＝∠CAF．又∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD．(2)【解】如图，过F作FG⊥AB，垂足为G．∵AE＝CE＝5，AB＝8，∴EB＝3，AF＝5，∠ACE＝∠CAE．由勾股定理得BC＝4．由(1)知△AEC≌△AFC，∴∠ECA＝∠FCA．∴∠FCA＝∠CAE．∴AE∥CF．∴FG＝BC＝4．易知AG＝3，∴EG＝2．在Rt△EFG中，易知EF＝20．21．【解】(1)∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，∴∠ABC＝80°．＝50°．在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝180°－80°2∴∠ACD＝∠BDC－∠A＝20°．(2)2α＝β．理由：设∠BCD＝x，则∠BDC＝x，∴∠DBC＝180°－2x．∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE＝α＋x．∴∠EBC＝180°－2(α＋x)．∴∠DBC－∠EBC＝180°－2x°－[180°－2(α＋x)]＝2α．又∵∠DBC－∠EBC＝∠ABE＝β，∴2α＝β．22．(1)【证明】如图，连结AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°．∵D 为BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝45°＝∠B ．∴AD ＝BD ＝12BC ，∠ADB ＝90°．∵DE ⊥DF ，∴∠EDF ＝90°．∴∠ADF ＝90°－∠ADE ＝∠BDE ．在△ADF 和△BDE 中，{∠DAF ＝∠B ，AD ＝BD ，∠ADF ＝∠BDE ，∴△ADF ≌△BDE (ASA )．∴DF ＝DE ．∴△DEF 是等腰三角形．(2)【解】∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22＋22＝8．∴AD ＝12BC ＝12×8＝82．如图，取EF 的中点G ，连结AG ，DG ．∵∠EAF ＝∠EDF ＝90°，∴AG ＝DG ＝12EF ．∴EF ＝2AG ＝AG ＋DG ．又∵AG ＋DG ≥AD ，∴EF ≥82．∴EF 的最小值为82．23．(1)【证明】∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ．∴∠ADC ＝90°．又∵AD ＝DE ，∴△ADE 是等腰直角三角形．(2)【解】△ABP 是等腰三角形．理由如下：∵∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠DCA ＝90°．∵BP ⊥AC ，∴易得∠PBE ＋∠DCA ＝90°．∴∠CAD＝∠PBE．∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠BAD＝∠PBE．∵△ADE是等腰直角三角形∴∠DAE＝∠E．∴∠BAD＋∠DAE＝∠PBE＋∠E，即∠BAP＝∠BPA．∴BA＝BP．∴△ABP是等腰三角形．(3)【解】①如图①，若∠PCE＝90°．在△ABD和△BPC中，{∠BDA＝∠BCP=90°，∠BAD＝∠PBC，AB＝BP，∴△ABD≌△BPC(AAS)(证△ACD≌△BPC亦可)．∴BC＝AD＝DE ＝4．∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD．设CE＝x，则CD＝4－x，∴BD＝4－x．∴BC＝8－2x．∴8－2x＝4，解得x＝2，即CE＝2．②如图②，若∠CPE＝90°．作PF⊥CE于点F，同理可证△ABD≌△BPF，∴BF＝AD＝4．设EF＝x，易知∠E＝45°，∴易得CF＝EF＝x．∴CD＝4－2x．∴BD＝4－2x．∴BC＝8－4x．∴BF＝8－3x．∴8－3x ＝4，解得x ＝43．∴CE ＝2x ＝83．综上，CE 的长为2或83．24．(1)【证明】∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，{AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )．(2)【解】由题意可知△ABD ≌△ACE ．∴∠ADB ＝∠AEC ．在等边三角形ADE 中，∠DAE ＝60°．记AD 与CE 的交点为G ．∵∠AGE ＝∠DGO ，∴∠DOE ＝∠DAE ＝60°．∴∠BOC ＝∠DOE ＝60°．(3)【解】如图，延长DC 至点P ，使DP ＝DB ．∵∠BDC ＝60°，∴△BDP 是等边三角形．∴BD ＝BP ，∠DBP ＝60°．∵∠ABC ＝60°＝∠DBP ，∴∠ABD ＝∠CBP ．∵AB ＝CB ，∴△ABD ≌△CBP (SAS )．∴∠BCP ＝∠A ．又∵∠BCD＋∠BCP＝180°，∴∠A＋∠BCD＝180°．21。

初二数学图形与变换试题答案及解析

初二数学图形与变换试题答案及解析1.如图所示，在正方形网格中，若点的坐标为，按要求回答下列问题：【1】在图中建立正确的平面直角坐标系；【2】根据所建立的坐标系，写出点和点的坐标；【3】作出关于轴的对称图形.(不用写作法)2.点A（－3，2）关于轴对称的点的坐标为．【答案】（-3．-2）【解析】根据平面直角坐标系的特点可知：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为其相反数，因此可求得对称点为（-3，-2）．【考点】轴对称3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】D．【解析】轴对称是沿某条直线翻折图形两部分完全重合；中心对称是沿某点旋转180度与它本身重合，符合条件的只有D，故选D．【考点】轴对称图形和中心对称图形．4.将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（）．A．（2，3）B．（2，－１）C．（4，1）D．（0，1）【答案】D．【解析】左右平移纵坐标不变，横坐标加减，左减右加，∴左平移2个单位后的坐标是（0,1），故选D．【考点】平面直角坐标系中点的平移规律．5.已知△ABC的面积是1，、、分别是△ABC三边上的中点，△的面积记为；、、分别是△三边上的中点，△的面积记为；以此类推，则△的面积是（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】由题意可知：△的面积是△ABC面积的，△的面积是△面积的，以此类推，△的面积是△的，=1×=．故选D．【考点】三角形中点意义及面积计算．6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．【答案】D．【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，D图既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：D．【考点】轴对称图形；中心对称图形．7.平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，﹣3）和点B（1，﹣2），则线段AB的长为．【答案】．【解析】已知点A（﹣1，﹣3）和点B（1，﹣2），由勾股定理可得AB=．【考点】坐标与图形性质；勾股定理．8.（4分）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．【解析】根据中垂线和轴对称及三角形的三边关系求解．试题解析：解：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，则点P能满足AP+PB最小，理由：连接AP，AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的．【考点】作图—应用与设计作图9.如图，，，点在上，且＝3，点在上运动，连接，若△AMN 与△ABC相似，则＝．【答案】AN=2或4．5．【解析】分两种情况，•当△AMN∽△ABC时，，即，解得AN=2；当△ANM∽△ABC时，，即，解得AN=4．5．所以当AN=2或4．5时，△AMN与△ABC相似．【考点】相似三角形的判定及性质．10.（本题满分16分）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB·AF＝CB·CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点．设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2．①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．【答案】（1）详见解析；（2）y＝3x＋27（x＞0）；（3）当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝．【解析】（1）由已知条件易证△DCF∽△ABC，可得，即可得AB·AF＝CB·CD；（2）由勾股定理求得AC=12，即可得CF＝AF＝6，根据四边形BCDP的面积=△DCP的面积+△BCP的面积即可得y关于x的函数关系式；（3）由题意可知△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小，当当P、A、B三点共线时PB＋PA最小．这时求得x、y的值即可．试题解析：（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC∴AF＝CF，∠DFA＝∠DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF．∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B∴△DCF∽△ABC∴，即．∴AB·AF＝CB·CD（2）解①∵AB＝15 BC＝9 ∠ACB＝90°∴AC＝＝＝12∴CF＝AF＝6∴y=（x+9）×6＝3x＋27（x＞0）②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小．由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小．显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小．此时DP＝DE，PB＋PA＝AB．由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC．由EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝．∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10．Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．∴DE＝DF＋FE＝8＋＝．∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝【考点】三角形相似的综合题．11.点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是．【答案】（3，﹣5）．【解析】根据关于y轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数即可得点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（3，﹣5）．【考点】关于y轴对称点的坐标特点．12.已知点O为平面直角坐标系的原点，点A（5，0），点B（x，），若△AOB是直角三角形，则x取值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A.【解析】△AOB是直角三角形分三种情况，•O为直角顶点，符合条件的点B只有一个（如图中的B1）；‚A为直角顶点，符合条件的点B只有一个（如图中的B2）；ƒB为直角顶点，以OA为直径作圆，因2.5＞，所以这个圆与直线y=有两个交点，即符合条件的点B有2个（如图中的B3，B4，），所以当△AOB是直角三角形，符合条件的x值有4个，故答案选A.【考点】分类讨论；直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．13.在平面直角坐标系中，点A（2，0）到动点P（x，x+2）的最短距离是．【答案】2【解析】∵点P坐标为（x，x+2），∴点P在直线y=x+2上，如图，设直线交x轴于点B，过A作直线的垂线交直线于点P，则AP的长即为最短距离，在y=x+2中，令y=0可知x=﹣2，∴B点坐标为（﹣2，0），又点B在直线y=x+2上，∴∠PBA=45°，∵OA=2，∴AB=4，在Rt△ABP中，则AP=AB•sin45°=4×=2，故答案为：2．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短14.如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：，使△AOB∽△COD．【答案】∠OAB=∠OCD，∠ODC=∠OBA，∠OAB=∠ODC，∠OCD=∠OBA，AB∥CD中的任意一个即可.【解析】由图形可得∠COD=∠AOB，根据相似三角形的判定方法可得只要∠OAB=∠OCD，∠ODC=∠OBA，∠OAB=∠ODC，∠OCD=∠OBA，AB∥CD等等，其中一项符合即可，答案不唯一．【考点】相似三角形的判定．15.（3分）如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC边上点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）A．（﹣a，b﹣2）B．（﹣a，b+2）C．（﹣a+2，﹣b）D．（﹣a+2，b+2）【解析】本题考查了坐标与图形变化，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．根据已知三对对应点的坐标，得出变换规律，再让点P的坐标也做相应变化即可．解：∵A（﹣3，﹣2），B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），A′（3，0），B′（2，2），C′（1，﹣1），∴横坐标互为相反数；纵坐标增加了0﹣（﹣2）=2﹣0=﹣1﹣（﹣3）=2；∵△ABC边上点P的坐标为（a，b），∴点P变换后的对应点P′的坐标为（﹣a，b+2）．故选B．【考点】1.坐标与图形变化-平移；2.坐标与图形变化-对称．16.如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A1，B1，C1的坐标．【答案】（1）6．（2）作图见解析．（3）A1（2，5），B1（1，0），C1（4，3）．【解析】（1）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可；（2）首先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（3）根据坐标系写出各点坐标即可．试题解析：（1）如图所示：△ABC的面积：3×5﹣；（2）如图所示：（3）A1（2，5），B1（1，0），C1（4，3）．【考点】作图-轴对称变换．17.在平面直角坐标系中有一点P（﹣3，4），则点P到原点O的距离是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】本题利用勾股定理可以求出答案．OP==5【考点】点的坐标18.（11分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD相交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：AD2=AE•AC；（2）若AB⊥AC，CE=2AE，F是BC的中点，连接AF，判断△ABF的形状，并说明理由．【答案】（1）证明详见解析；（2）△ABF为等边三角形，理由详见解析．【解析】（1）由AB=AD，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠ABD=∠ACB，再由一对公共角，得到三角形BAE与三角形CAB相似，由相似得比例，等量代换即可得证；（2）△ABF为等边三角形，理由为：设AE=x，表示出CE，根据（1）的结论表示出AB，利用勾股定理表示出BC，根据AF为直角三角形斜边上的中线得到AF=BF=CF，等量代换得到AF=BF=AB，即可得证．试题解析：（1）证明：∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABD=∠ACB，∵∠BAE=∠CAB，∴△BAE∽△CAB，∴，即AB2=AC•AE，∵AB=AD，∴AD2=AC•AE；（2）△ABF为等边三角形，理由为：证明：设AE=x，则CE=2AE=2x，∵AB2=AC•AE，∴AB2=x（x+2x）=3x2，∴AB=x，∵AB⊥AC，∴BC==2x，∵F为BC的中点，∴BF=AB=x，∵AB⊥AC，F为BC的中点，∴AF=BF=CF，∴AF=BF=AB，则△ABF为等边三角形．【考点】相似三角形的判定与性质．19.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）．A．B．C．D．【答案】A．【解析】A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．【考点】中心对称图形；轴对称图形．20.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）【答案】B．【解析】由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．故选B．【考点】中心对称图形．21.（6分）如图, 已知A（－4，－1），B（－5，－4），C（－1，－3），△ABC经过平移得到的△A′B′C′,△ABC中任意一点P（x1,y1）平移后的对应点为P′（x1+6,y1+4）。

一次函数的图象- 2022-2023学年八年级上册数学同步培优题库(浙教版)(解析卷)

专题 5.4 一次函数的图象模块一：知识清单知识点1-4 一次（正比例）函数的图象与性质1）一次函数图象是一条直线；2）已知两点可以作图，也可求出解析式；3）交y 轴于点（0，b ），交x 轴于点（b k -，0）； 4）过象限、增减性 0b >（过一、二象限） 0b <（过三、四象限） 0b =（过原点）0k >（过一、三象限） y 随x 的增大而增大经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限 0k <（过二、四象限） y 随x 的增大而减小经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x 、y 的值组成的（x 、y ），x 的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x 的值相对应的y 的值，因此，观察x 或y 的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x 的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。

6）一次函数的平移与位置关系1）一次函数11y k x b =+与22y k x b =+的位置关系：两直线平行⇔12=k k 且12b b ≠ 两直线垂直⇔12=1k k ⋅-2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。

模块二：同步培优题库全卷共24题测试时间：80分钟试卷满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·河南·洛阳市第二外国语学校八年级期中）当0x >时，y 与x 之间的函数解析式为2y x =，当0x ≤时，y 与x 之间的函数解析式为2y x =-，则在同一直角坐标系中y 与x 之间的函数关系图象大致为图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据正比例函数的图象和性质判断即可；【详解】解：∵当0x >时，2y x =，∴此时函数在第一象限，∵当0x ≤时，2y x =-，∴此时函数过原点及第二象限，故选： C ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质：在y =kx （k ≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，直线经过原点及第一、三象限，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，直线经过原点及第二、四象限． 2．（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）下列函数中，y 随x 的增大而减小的是( )A ．42y x =-B ．23y x =-C ．13y x =D ．1y x =- 【答案】A【分析】根据一次函数的增减性进行判断即可．【详解】解：A. 42y x =-，∵k =-2<0，∴y 随x 的增大而减小，故该选项符合题意；B. 23y x =-，∵k =2>0，∴y 随x 的增大而增大，故该选项不符合题意；C. 13y x =，∵k =13>0，∴y 随x 的增大而增大，故该选项不符合题意；D. 1y x =-，∵k =1>0，∴y 随x 的增大而增大，故该选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的增减性，熟记当k >0时，y 随x 的增大而增大；当k <0时，y 随x 的增大而减小是解题关键．3．（2022•陇县一模）若正比例函数y ＝4x 的图象经过点A （2，3﹣m ），则m 的值为（）A ．6B ．﹣6C ．5D ．﹣5【思路点拨】根据正比例函数y ＝4x 的图象经过点A （2，3﹣m ），可以得到3﹣m ＝4×2，从而可以求得m 的值．【答案】解：∵正比例函数y ＝4x 的图象经过点A （2，3﹣m ），∴3﹣m ＝4×2，解得m ＝﹣5，故选：D ．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．4．（2022·广东梅州·八年级期末）若点A （1x ，－1），B （2x ，－3），C （3x ，4）在一次函数y ＝－2x ＋m （m 是常数）的图象上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（）A ．1x ＞2x ＞3xB ．2x ＞1x ＞3xC ．1x ＞3x ＞2xD ．3x ＞2x ＞1x【答案】B【分析】利用一次函数的增减性判定即可．【详解】解：由y =-2x +m 知，函数值y 随x 的增大而减小，∵4＞-1＞-3，A （x 1，-1），B （x 2，-3），C （x 3，4），∴x 2＞x 1＞x 3．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是通过a =-2＜0得知函数值y 随x 的增大而减小，反之x 随y 的增大也减小．5．（2022·河北清河·八年级期末）若0kb <，0b k ->，则一次函数y kx b =+与y bx k =+在同一坐标系中的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由于k b 、的符号不能确定，只能对每个选项逐次分析．【详解】由0kb <可得：k b 、异号，由0b k ->得：0b >，从而：0k <．A.下面的直线：k b 、同号，故错误；B.上面的直线：k b 、同号，故错误；C.两条直线，一条直线直线k b 、同号、一条直线k b 、异号，故错误；D.两条直线k b 、都异号，故正确；故选：D ．【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系，重点是掌握根据k b 、的取值，确定图像． 6．（2022·湖南常德·八年级期末）关于一次函数21y x =-+的图象和性质，下列结论不正确的是（） A ．图象与直线2y x =-平行B ．图象与y 轴的交点坐标是(01)，C ．图象经过第一、二、四象限D ．y 随自变量x 的增大而增大【答案】D【分析】根据一次函数的图象和性质，斜率相同，直线平行；当0x =时，1y =，得图象与y 轴的坐标；0k <，0b >，图像经过第一、二、四象限；0k <，y 随自变量x 的增大而减小，即可．【详解】∵两直线比例系数相同，直线平行又∵21y x =-+，2k =-，直线2y x =-，2k =-∴一次函数21y x =-+的图象与直线2y x =-平行∴A 正确；∵0x =时，1y =∴图像与y 轴的交点坐标是0,1∴B 正确；∵21y x =-+中20k =-<，10b =>∴图象经过第一、二、四象限∴C 正确；∵0k <，y 随自变量x 的增大而减小∴21y x =-+中20k =-<∴一次函数21y x =-+中，y 随自变量x 的增大而减小∴D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．7．（2022•雁塔区模拟）若直线y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A （﹣1，1）．且与y 轴的交点在x 轴的下方．则k 的取值范围是（）A ．k ＜﹣1B ．k ＞﹣1C ．k ＜1D ．k ＞1【思路点拨】由直线y ＝kx +b （k ≠0）的图象与y 轴的交点在x 轴的下方，可得出b ＜0，由直线y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A （﹣1，1），可得出1＝﹣k +b ，结合b ＜0，即可求出k 的取值范围．【答案】解：∵直线y ＝kx +b （k ≠0）的图象与y 轴的交点在x 轴的下方，∴b ＜0，∵直线y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A （﹣1，1），∴1＝﹣k +b ，∴b ＝1+k ＜0∴k ＜﹣1．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y ＝kx +b 是解题的关键．8．（2022•台江区校级期中）若点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）是一次函数y ＝ax +2图象上不同的两点，记m ＝（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2），当m ＜0时，a 的取值范围是（）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ＜1D ．a ＞1【思路点拨】由已知条件可判断出y 随x 的增大而减小，根据一次函数图象增减性与一次项系数的关系，可得a ＜0．【答案】解：∵点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）是一次函数y ＝ax +2图象上不同的两点，m ＝（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0，∴x 1﹣x 2与y 1﹣y 2异号，∴该图象是y 随x 的增大而减小，∴a ＜0．故选：B ．【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是要根据函数的增减性进行推理．9．（2022•鼓楼区校级期中）如果M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是一次函数y ＝kx ﹣2的图象的两点，且x 1﹣x 2＝﹣1，y 1﹣y 2＝3，那么k 的值为（）A ．1B ．2C ．﹣3D ．【思路点拨】将M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）代入一次函数y ＝kx ﹣2的解析式，结合x 1﹣x 2＝﹣1，y 1﹣y 2＝3，即可求解．【答案】解：∵M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是一次函数y ＝kx ﹣2的图象的两点，∴y 1＝kx 1﹣2，y 2＝kx 2﹣2，∴y 1﹣y 2＝kx 1﹣2﹣（kx 2﹣2）＝k （x 1﹣x 2 ），∵y 1﹣y 2＝3，∴k （x 1﹣x 2 ）＝3，∵x 1﹣x 2＝﹣1，∴﹣k ＝3，解得k ＝﹣3．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式整体思想，解决本题关键是代入后的变形．10．（2022•郑州期中）已知关于x 的一次函数为y ＝ax +2a ﹣2，下列说法中正确的个数为（） ①若函数图象经过原点，则a ＝1； ②若a ＝，则函数图象经过第一、三、四象限；③函数图象与y 轴交于点（0，﹣2）；④无论a 取任何实数，函数的图象总经过点（﹣2，﹣2）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】把（0，0）代入即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；令x ＝0，即可求得函数图象与y 轴交于点（0，2a ﹣2），即可判断③；把x ＝﹣2代入解析式求得y ＝﹣2，即可判断④．【答案】解：①∵函数图象经过原点，∴2a ﹣2＝0，∴a ＝1，故正确；②∵a ＝＞0，∴2a ﹣2＝﹣1＜0，∴函数图象经过第一、三、四象限，故正确；③当x ＝0时，y ＝2a ﹣2，∴函数图象与y 轴交于点（0，2a ﹣2），故错误；④∵y ＝ax +2a ﹣2＝a （x +2）﹣2，∴x ＝﹣2时，y ＝﹣2，∴函数的图象总经过（﹣2，﹣2），故正确．故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·河南·八年级期末）甲，乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点()0,2-；乙：y 随x 的增大而减小；根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为______．【答案】2y x =--【分析】设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，根据函数的性质得出2b =-，k < 0，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．【详解】解：设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，∵函数的图象经过点(0,-2)，∴2b =- ，∵y 随x 的增大而减小，∴k ＜0，当取k =−1时，一次函数表达式为：2y x =--，∴满足上述性质的一个函数表达式为：2y x =--（答案不唯一）．故答案为：2y x =--．【点睛】本题主要考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键，属于开放型的题型．12．（2022•海陵区一模）将一次函数y ＝3x +2的图象向下平移3个单位，则平移后一次函数的图象与y 轴的交点坐标是．【思路点拨】先求出该函数图象向下平移3个单位后的直线解析式，再令x ＝0，求出y 的值即可．【答案】解：由“上加下减”的原则可知：将一次函数y ＝3x +2的图象向下平移3个单位，则平移后一次函数的解析式为：y ＝3x +2﹣3，即y ＝3x ﹣1，∴当x ＝0时，y ＝﹣1，∴平移后与y 轴的交点坐标为（0，﹣1），故答案为（0，﹣1）．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．13．（2022•鼓楼区校级期中）若一次函数y ＝（2m ﹣1）x +3﹣m 的图象经过一、二、四象限，则m 的取值范围是．【思路点拨】根据一次函数的性质可知（2m ﹣1）＜0，3﹣m ＞0，即可求出m 的取值范围．【答案】解：∵y ＝（2m ﹣1）x +3﹣m 的图象经过一、二、四象限∴，解得m ＜∴m 的取值范围是m ＜．故答案为：m ＜．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，关键是熟练掌握一次函数的性质． 14．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知一次函数11y kx k =-，当46x -≤≤时，39y ≤≤，则k 的值为_______．【答案】35##-0.6 【分析】由x 与y 的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出k 的值即可．【详解】解：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴x ＝−4，y ＝3，∴−4k −11k ＝3，解得：15k =-（不合题意，舍去），当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴x ＝−4时，y ＝9；x ＝6时，y ＝3，∴−4k −11k ＝9，∴35k =-．故答案为：35．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15．（2022•海安市模拟）一次函数y ＝（2a ﹣3）x +a +2（a 为常数）的图象，在﹣1≤x ≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是．【思路点拨】根据一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2的图象在﹣1≤x≤1的一段都在x轴的上方，由一次函数的性质，则有2a﹣3≠0，再分2a﹣3＞0和2a﹣3＜0来讨论，解得即可．【答案】解：因为y＝（2a﹣3）x+a+2是一次函数，所以2a﹣3≠0，a≠，当2a﹣3＞0时，y随x的增大而增大，由x＝﹣1得：y＝﹣2a+3+a+2，根据函数的图象在x轴的上方，则有﹣2a+3+a+2＞0，解得：＜a＜5．当2a﹣3＜0时，y随x的增大而减小，由x＝1得：y＝2a﹣3+a+2，根据函数的图象在x轴的上方，则有：2a﹣3+a+2＞0，解得：＜a＜，故答案为：＜a＜5或＜a＜．【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，属于基础题，转化为解不等式的问题是解决本题的关键．16．（2022·黑龙江绥化·八年级期末）下列对于一次函数y=﹣3x＋6的说法，正确的有________（填写序号）．①图象经过一、二、四象限；②图象与两坐标轴围成的面积是6；③y随x的增大而增大；④当x＞2时，﹣3x＋6＞0；⑤对于直线y=﹣3x＋6上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．【答案】①②⑤【分析】根据一次函数图象的性质进行逐一分析解答即可．【详解】解：①∵﹣3＜0，6＞0，∴一次函数y=﹣3x＋6的图象在一、二、四象限，故①正确，符合题意；②当y=0时，0=﹣3x＋6，解得x=2，当x=0时，y=6，∴一次函数y＝﹣3x＋6的图象与x轴交于点（2，0），与y轴的交点为（0，6），∴图象与两坐标轴围成的面积是1262⨯⨯=6，故②正确，符合题意；③∵﹣3＜0，∴一次函数y=﹣3x＋6的图象y随x的增大而减小，故③错误，不符合题意；④当x＞2时，﹣3x＋6＜0，故④错误，不符合题意；⑤∵﹣3＜0，∴一次函数y=﹣3x＋6的图象y随x的增大而减小，∴对于直线y=﹣3x＋6上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．故⑤正确，符合题意．故答案为：①②⑤．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象与系数的关系，都是基础知识，需熟练掌握．17．（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）已知直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有_________．①当m=2，图象经过一、三、四象限；②当m＞0时，y随x的增大而减小；③直线必过定点（2，1）；④坐标原点到直线的最大距离是5．【答案】①③④【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可．【详解】解：当m＝2时，y＝（2-1）x+3﹣2×2＝x－1，此时一次函数y＝x－1，经过一、三、四象限，故①正确；对于直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）来说，当m－1＞0时，即m＞1时，y随x的增大而减小；故②错误；当x＝2时，y＝（m-1）x+3﹣2m＝2（m－1）＋3－2m＝2m－2＋3－2m＝1，∴直线必过定点（2，1）；故③正确；设原点到直线的距离为d，∵由③知直线y＝（m-1）x+3﹣2m必过定点（2，1），设点P（2，1），∴d≤｜OP｜＝22，1+25∴坐标原点到直线的最大距离是5．故④正确．故答案为：①③④【点睛】此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．18．（2022•莲都区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4经过点A（3，0），与y轴交于点B．（1）k的值为；（2）y轴上有点M（0，），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，则符合条件的点P的坐标为．【思路点拨】（1）根据点的坐标求出k；（2）分两种情况分别讨论，①过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，用面积法求出OQ，证明△OPM≌△OPQ，从而得P点纵坐标，代入一次函数解析式求出横坐标；当OB＝BP，OM＝PQ，如图②，过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，证明△MOP≌△QPO推这两个三角形面积相等，推出PF＝OE＝，从而得P点横坐标，代入一次函数解析式求出纵坐标．【答案】解：（1）把（3，0）横纵坐标代入y＝kx+4，得k＝﹣，y＝﹣x+4，故答案为：﹣；（2）①过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，如图①，∴∠PMO＝∠OQP＝90°，令x＝0，y＝4，y＝0，x＝3，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∵×AB•OQ＝×OA•OB，∴OQ＝，∴OQ＝OM，在Rt△OPM和Rt△OPQ中，，∴△OPM≌△OPQ（HL），∴P点纵坐标是，∵点P在y＝﹣x+4，∴x＝，∴P（，），②当OB＝BP，OM＝PQ，如图②，过点P作PF⊥OB于F，过点O作OE⊥AB于E，∵OB＝BP，∴∠BOP＝∠BPO在△MOP和△QPO中，，∴△MOP≌△QPO（SAS），∴S△MOP＝S△OPQ，∵OM＝PQ．∴PF＝OE＝，∵点P在y＝﹣x+4，∴把x＝代入y＝﹣x+4，解得y＝，∴P（，），综上所述：P（，）或P（，）．故答案为：P（，）或P（，）．【点睛】本题考查了过定点的直线、一次函数的性质、全等三角形判定，掌握一次函数图象上点的坐标特点，性质、判定的熟练应用，分情况讨论和辅助线的做法是解题关键．三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022•金安区校级月考）已知一次函数的图象经过点（3，5）和（﹣4，﹣9）．（1）求此一次函数的表达式．（2）若点（a，2）在函数图象上，求a的值．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把点（a，﹣2）代入一次函数的解析式，求出a的值即可．【答案】解：（1）设一次数解析式为y＝kx+b，把点（3，5），（﹣4，﹣9）分别代入解析式得，解得，∴一次函数解析式为y＝2x﹣1；（2）把A（a，﹣2）在该函数的图象上，可得：2a﹣1＝﹣2，解得：a＝﹣0.5．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．20．（2022春•潮阳区期末）已知y﹣2与x成正比例，且当x＝﹣2时，y＝4．（1）求y与x的函数表达式；（2）在坐标系中画出（1）中的函数图象．【思路点拨】（1）根据正比例的定义设y﹣2＝kx（k≠0），然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；（2）利用描点法法作出函数图象即可；【答案】解：（1）∵y﹣2与x成正比例．∴设y﹣2＝kx．∵当x＝﹣2时，y＝4．∴4﹣2＝﹣2k．∴k＝﹣1．∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+2；（2）由两点法取点（0.2），（2，0）通过描点，连线，函数图象如图：．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的作法，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键．21．（2022•淮北月考）已知一次函数y＝ax﹣（a﹣2）．（1）若图象经过点（0，3），则a的值是多少？．（2）若图象经过第一、二、四象限，则a的取值范围是多少？（3）若直线不经过第四象限，则a的取值范围是多少？【思路点拨】（1）根据一次函数y＝ax﹣（a﹣2）的图象过点（0，3），即可求得a的值；（2）根据一次函数y＝ax﹣（a﹣2）的图象经过一、二、四象限，可以得到，从而可以求得a的取值范围；（3）根据一次函数y＝ax﹣（a﹣2）的图象不经过第四象限，可以得到，即可得到a 的取值范围．【答案】解：（1）∵一次函数y＝ax﹣（a﹣2）的图象过点（0，3），∴3＝﹣（a﹣2），解得a＝﹣1；（2）∵一次函数y＝ax﹣（a﹣2）的图象经过一、二、四象限，∴，解得a＜0，即a的取值范围是a＜0；（3）∵一次函数y＝ax﹣（a﹣2）的图象不经过第四象限，∴，解得0＜a≤2，即a的取值范围是0＜a≤2．【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．22．（2022•沂水县期末）已知，如图，一次函数的图象经过了点P（3，2）和B（0，﹣2），与x 轴交于点A．（1）求一次函数的解析式；（2）点M在y轴上，且△ABM的面积为，求点M的坐标．【思路点拨】（1）把P点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b即可得到一次函数解析式；（2）利用x轴上点的坐标特征求出A点坐标，根据三角形面积公式列等式求解．【答案】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，把点P（3，2）和B（0，﹣2）代入y＝kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y＝x﹣2；（2）当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝，则A（，0），∵点M在y轴上，且△ABM的面积为，∴S△ABM＝BM•x A＝，即BM×＝，∴BM＝5，∵B（0，﹣2），∴M（0，3）或（0，﹣7）．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23．（2022•西湖区校级二模）一次函数y＝ax﹣a+1（a为常数，且a＜0）．（1）若点（2，﹣3）在一次函数y＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值2，求a的值．【思路点拨】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把（2，﹣3）代入y＝ax﹣a+1中可求出a的值；（2）a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣1时，y有最大值2，然后把x＝﹣1代入函数关系式可计算对应a的值．【答案】解：（1）把（2，﹣3）代入y＝ax﹣a+1得2a﹣a+1＝﹣3，解得a＝﹣4；（2）∵a＜0时，y随x的增大而减小，则当x＝﹣1时，y有最大值2，把x＝﹣1代入函数关系式得2＝﹣a﹣a+1，解得a＝﹣，所以a＝﹣．【点睛】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x 的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．24．（2021春•陇县期末）如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线AB上一点，另一直线l2：y＝kx+4经过点P．（1）求点A、B坐标；（2）求点P坐标和k的值；（3）若点C是直线l2与x轴的交点，点Q是x 轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标．【思路点拨】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2，即可求得点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2）；（2）点P（m，3）在直线AB上，则﹣m+2＝3，解得：m＝﹣1，故点P（﹣1，3）；将点P的坐标代入y＝kx+4，即可求得k的值；（3）求得C的坐标，然后根据三角形面积求得CQ，结合C的坐标即可求得点Q的坐标．【答案】解：（1）y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2，故点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2）；（2）点P（m，3）为直线AB上一点，则﹣m+2＝3，解得：m＝﹣1，故点P（﹣1，3）；将点P的坐标代入y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；故点P的坐标为（﹣1，3），k＝1；（3）∵直线y＝x+4与x轴的交点为C，∴C（﹣4，0），∵P（﹣1，3），△CPQ的面积等于3，∴CQ•y P＝3，即CQ×3＝3，∴CQ＝2，∴Q点的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、面积的计算等，求得交点坐标是解题的关键。

浙教版数学八年级竞赛培优资料第二讲图形的变换

第二讲图形的变换———平移和轴对称1、①、代数式4)4(122+-++x x 最小值为。

②、代数式9)12(422+-++x x 的最小值为。

2、①、已知点A （1，3），B （4，-1），在x 轴上找一点P ，使得AP BP -最大.那么P 点的坐标是_______________.②、已知点A （1，3），B （5，－2），在x 轴上找一点P ，使│AP －BP │最大，则满足条件的点P 的坐标是____________．3、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90,6,8B C AB CD ︒∠+∠===，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则MN 等于。

4、已知点A(0,2)、B(4,0),点C 、D 分别在直线x=1与x=2上，且CD ∥x 轴，则AC+CD+DB 的最小值为____________。

5、将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上，设此点为F ，若AB ：BC=4：5，则DC:DF 的值是__________.B D M AC ND A B C EF6、矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于．7、将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G(如图)．如果DM：MC=3：2，则DE：DM：EM=( )(A)7：24：25 (B)3：4：5 (C)5：12：13 (D)8：15：178、如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化．(1)计算：O1D= ，O2F= ；(2)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ；(3)随着中心O2在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)．9、如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，1l ∥2l 表示小河甲，3l ∥4l 表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米?10、图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）：在图a 中，将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2,得到封闭图形A 1A 2B 1B 2（即阴影部分）；在图b 中，将折线A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2A 3B 1B 2B 3（即阴影部分）；（1）在图c 中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S 1= ，,S 2= ，S 3= ；（3）联想与探索：如图d ，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．11、已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）.（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由.12、已知：△ABC中，AB＝AC,过点A的直线MN∥BC，点P是MN上的任意点求证：PB＋PC≥2AB。

八年级数学几何三大变换(平移、旋转)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换.几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________.问题2：平移的思考层次分别是什么？问题3：旋转的思考层次分别是什么？几何三大变换（平移、旋转）一、单选题(共9道，每道8分)1.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )cm．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为( )cm2．A.28B.35C.42D.56答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( )A. B.C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图所示直角三角板ABC，斜边AB=6，∠A=30°，现将其绕点C沿顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上．则三角板向左平移的距离为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质9.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图二、填空题(共3道，每道9分)10.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着BC平移得到△A′B′C′，若重叠部分的面积为1cm2，则平移的距离AA′=____cm．答案：1解题思路：试题难度：知识点：平移的性质11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，如果cm，则四边形ABCD的面积为____cm2.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图—旋转变换12.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是____.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图。

初二数学图形与变换试题答案及解析

初二数学图形与变换试题答案及解析1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】D．【解析】轴对称是沿某条直线翻折图形两部分完全重合；中心对称是沿某点旋转180度与它本身重合，符合条件的只有D，故选D．【考点】轴对称图形和中心对称图形．2.一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是．【答案】16或17【解析】①当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16．②当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．3.（10分）如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．【答案】3或【解析】作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠AMN=∠B，利用相似可得MN的长．试题解析：解：①图1，当△AMN∽△ABC时，有，∵M为AB中点，，AB＝，∴AM＝，∵BC＝6∴MN＝3；②图2，当△ANM∽△ABC时，有，∵M为AB中点，AB＝，∴AM＝，∵BC＝6，AC＝，∴MN＝∴MN的长为3或．【考点】相似三角形的性质4.（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．【答案】（2，4）或（3，4）或（8，4）．【解析】当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，分三种情况，①当PD=OD=5，点P在点D的左侧（如图①），过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理可求得DE=3，又因OE=OD﹣DE=5﹣3=2，所以点P坐标为（2，4）；②当OP=OD=5时，（如图②），过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4，在Rt△POE中，由勾股定理可求得OE=3，所以点P坐标为（3，4）；③当PD=OD=5，点P在点D的右侧（如图③），过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4，在Rt△PDE中，由勾股定理可求得DE=3，又因OE=OD+DE=5+3=8，所以点P坐标为（8，4）．综上，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．5.点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是．【答案】（3，﹣5）．【解析】根据关于y轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数即可得点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（3，﹣5）．【考点】关于y轴对称点的坐标特点．6.（8分）（1）问题发现：如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）（2）解决问题：如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）②求这个最短距离．（3）应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）图见解析，2；（2）图见解析，25．【解析】（2）根据等边三角形的对称性可知B和点C关于直线AD对称，连接CE，交AD于P，所以点P即为所求，再根据勾股定理即可求出点B，E到点P的最短距离和；（3）作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．，则折线ABCD的最短长度转化为一条线段的长度．然后运用勾股定理求出其值．试题解析：解：（2）如图2所示：点P为所求，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=4，∵E为AB的中点，∴AE=BE=2，∴CE==2，∵AD⊥BC，因为等边三角形ABC关于直线AD对称∴BP=CP，∴BP+PE=CP+PE=CE=2；（3）如图3所示：解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离．连接DD′，AA′，OA′，OD′．∵OA=OA′，∠AOA′=60°，∴∠OAA′=∠OA′A=60°，∴△OAA′是等边三角形．同理△ODD′也是等边三角形．∴OD'=OD=24，OA′=OA=7，∠D′OA′=90°．∴A′D′==25．【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理．7.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）．A．B．C．D．【答案】B．【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：B．【考点】中心对称图形；轴对称图形．8.点P在第四象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标（）A．（3，-4）B．（-4，3）C．（-3，4）D．（4，-3）【答案】A．【解析】∵点P在第四象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，∴点P的横坐标为3，纵坐标为-4，∴点P的坐标为（3，-4）．故选A．【考点】点的坐标．9.如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是三角形．【答案】等腰．【解析】试题解析：∵所给图形是长方形，∴∠1=∠2，∵∠2=∠ABC，∴∠1=∠ABC，∴AC=BC，即△ABC为等腰三角形．【考点】1．等腰三角形的判定,2．翻折变换（折叠问题）10.下列图形中，轴对称图形的是（）．【答案】D【解析】轴对称图形是指将图形沿某条直线折叠，直线两边的图形能够完全重叠的图形．【考点】轴对称图形11.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A’B’C’（2）在直线l上找一点P（在图中标出），使PB+PC的长最短，这个最短长度是．【答案】（1）作图见解析；（2）．【解析】（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据轴对称确定最短路线，连接B′C，与对称轴l的交点即为所求点P，再利用勾股定理求出即可．试题解析：（1）如图所示：（2）连接B′C，交直线l与点P，此时PB+PC的长最短，可得BP=B′P，则B′C=BP+CP=．【考点】1．作图-轴对称变换；2．轴对称-最短路线问题．12.下列四个图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】根据轴对称图形的定义可得，第一个图形和第二个图形有2条对称轴，是轴对称图形，；第三个图形找不到对称轴，则不是轴对称图形；第四个图形有1条对称轴，是轴对称图形．所以轴对称图形共有3个，故答案选C．【考点】轴对称图形的定义．13.（6分）如图，在正方形网格上的一个△ABC．（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（2）以P为一个顶点作与△ABC全等的三角形（规定点P与点B对应，另两顶点都在图中网格交点处），则可作出____________个三角形与△ABC全等．（3）在直线MN上找一点Q，使QB+QC的长最短．【答案】详见解析．【解析】（1）分别作A、B、C关于MN的对称点，顺次连接即可；（2）将△ABC平移，使顶点B位于P的位置．然后旋转图形，如图，符合条件的三角形有3个；（3）连接CB′交MN于点Q，点Q即为所求．试题解析：（1）如图2；（2）如图1；（3）如图2．【考点】轴对称作图．14.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠AOF的度数是（）A．105°B．110°C．115°D．120°【答案】A．【解析】如图，连接OB，∵OD垂直平分AB，∴AO=BO，∴∠OAB=∠OBA．∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵OA平分∠BAC，∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°，∴∠OBA=25°，∴∠OBC=40°．在△ABO和△ACO中，∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO，∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=40°．∵△EOF与△ECF关于EF对称，∴△EOF≌△ECF，∴OF=CF，∴∠FCO=∠FOC=25°，∴∠AFO=50°，∴∠AOF=180°﹣∠OAF﹣∠AFO=105°．故选A．【考点】翻折变换（折叠问题）．15.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边，符合条件的点C有4个；②AB为等腰△ABC的一条腰，符合条件的C点有4个．故选C【考点】等腰三角形的判定16.如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．则∠C的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B．【解析】∵∠BAO=45°，∠MON=90°，∴∠ABN=∠BAO+∠MON=90°+45°=135°，∵BE平分∠NBA，∴∠ABE=×135°=67.5°，又∵AC平分∠BAO的平分线，∴∠BAC=22.5°，∴∠C=∠ABE﹣∠BAC=67.5°﹣22.5°=45°，故选B．【考点】三角形的外角性质．17.在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）关于y轴对称的点A′的坐标是（）A．（－2，6）B．（2，3）C．（－2，－3）D．（2，－3）【答案】B【解析】关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等．【考点】点关于y轴对称18.角的对称轴是．【答案】角平分线所在的直线【解析】因为角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线．【考点】轴对称图形19.如图，△ABC是正方形网格上的格点三角形（顶点A、B、C在正方形网格的格点上）．（1）画出△ABC关于直线l的对称图形；（2）画出以P为顶点且与△ABC全等的格点三角形（规定：点P与点B对应）．【答案】见解析【解析】（1）根据轴对称的意义，直接找到三角形的对称点，然后连接即可；（2）根据全等三角形的判定，然后再图形中找到对应相等的边，然后连接即可．试题解析：解：（1）根据题意，可作如下图形：A1B1C1即是所求的关于l对称的图形．（2）△A2PC2是所求作图形．【考点】轴对称，三角形全等20.平面内点A（-1，2）和点B（-1，-2）的对称轴是（）1教育网A．x轴B．y轴C．直线y=4D．直线x=-1【答案】A．【解析】观察两坐标的特点，发现横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得点A（-1，2）和点B （-1，-2）关于x轴对称，故答案选A．【考点】坐标与图形变化--对称特．21.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【答案】（1）证明详见解析；（2）70°．【解析】（1）应用“边角边”证得△BDE≌△CEF，所以DE=EF，即△DEF是等腰三角形；（2）应用角的和差和三角形外角的性质可得∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，由△BDE≌△CEF 可得∠BDE=∠CEF，进而证得∠DEF=∠B，在△ABC中求得∠B的度数，即可得到∠DEF的度数．试题解析：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CEF中：∵BD=CE，∠B=∠C，BE=CF，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：∵∠DEC=∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，由（1）知△BDE≌△CEF，则∠BDE=∠CEF，∴∠DEF=∠B，∵∠A=40°，∴∠B=∠C==70°，∴∠DEF=70°．【考点】全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理．22.按下列要求确定点的坐标．（1）已知点A在第四象限，且到x轴距离为1，到y轴距离为5，求点A的坐标；（2）已知点B（a－1，－2a+8），且点B在第一、三象限的角平分线上，求a；（3）试判断（1）、（2）中的点A、B与坐标原点O围成的△ABO是何种特殊三角形？并说明理由．【答案】（1）A（5，-1）；（2）a=3；（3）直角三角形【解析】（1）根据第四象限点的特点直接写出点A的坐标；（2）根据角平分线的性质，可知一三象限的横纵坐标相等，然后列式解答即可；（3）根据勾股定理及勾股定理的逆定理判断．试题解析：（1）A（5，-1）；（2）a－1=－2a +8，解得a=3；（3）由勾股定理得OB2=8，AB2=18，OA2=26，所以OB2+AB2=OA2，所以∠B=90°；△ABO是直角三角形【考点】角平分线，勾股定理及勾股定理的逆定理23.根据下列表述，能确定位置的是（）A．某电影院2排B．泗州大桥C．北偏东30°D．东经118°，北纬40°【答案】D．【解析】试题解析：A、需用几排几号确定位置，故A错误；B、一个数据无法确定位置，故B错误；C、角度、距离确定位置，故C错误；D、经、纬确定位置，故D正确．故选D．【考点】坐标确定位置．24.小手盖住的点的坐标可能为（）A．（3，-4）B．（-6，3）C．（5，2）D．（-4，-6）【答案】A．【解析】试题解析：由图可知，小手盖住的点在第四象限，∵点（3，-4）在第四象限，点（-6，3）在第二象限，点（5，2）在第一象限，点（-4，-6）在第三象限．故选A．【考点】点的坐标．25.在平面直角坐标系中，点（2，﹣4）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】第一象限中点的坐标为（+，+）；第二象限中点的坐标为（－，+）；第三象限中点的坐标为（－，－）；第四象限中点的坐标为（+，－）．【考点】象限中的点26.下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）【答案】B．【解析】试题解析：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选B．【考点】轴对称图形．27.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系?并加以证明．【答案】AB+BD=DE【解析】AB+BD=DE，根据线段的垂直平分线的性质可得AB=AC，AC=EC，然后由AC+CD=AB+BD，可得EC+CD=AB+BD，即AB+BD=DE．试题解析：解：AB+BD=DE．理由是：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC．又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=EC．∵AC+CD=AB+BD，∴EC+CD=AB+BD．即AB+BD=EC+CD=DE．【考点】线段的垂直平分线的性质28.点A（1，-2）关于X轴对称的点的坐标是（）A．（1，-2）B．（-1，2）C．（-1，-2）D．（1，2）【答案】D．【解析】在平面直角坐标系中任意一点P（a,b）关于x轴对称点的坐标P（a,-b）；关于横轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．故选D．【考点】关于x轴、y轴对称点的坐标．29.如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选_______点（C或D）．【答案】C．【解析】此题考查了最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，∵A′B与直线a交于点C，∴点P应选C点．故答案为：C．【考点】轴对称-最短路线问题．30.点P（－2，1）关于y轴的对称点的坐标为（）A．（2，1）B．（－2，－1）C．（2，－1）D．（1，－2）【答案】A．【解析】点P（－2，1）关于y轴的对称点的坐标是（2，1），故选A．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．31.点A（2，﹣3）关于x轴的对称点A′的坐标是．【答案】（2，3）【解析】两点关于x轴对称，则两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．【考点】对称点的坐标32.如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-3，1），C（-6，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）写出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2顶点A2、B2、C2的坐标．【答案】（1）作图见解析；（2）A2（-1，-5）、B2（-3，-1）、C2（-6，-3）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）A2（-1，-5）、B2（-3，-1）、C2（-6，-3）．【考点】作图-轴对称变换．33.如图，有分别过A、B两个加油站的公路、相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路、的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析．【解析】试题分析: 到A、B两个加油站的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上；到两条公路的距离相等的点在两条公路的夹角的角平分线上．试题解析：如图：【考点】作图—应用与设计作图．34.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=15°，则∠A的度数是．【答案】50°．【解析】试题解析：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．【考点】2．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．35.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=5，BC=9，以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积等于．【答案】10．【解析】试题解析：过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，∵AD∥BC，∠C=90°，∴∠C=∠ADC=∠ANC=90°，∴四边形ANCD是矩形，∴∠DAN=90°=∠ANB=∠MAN，AD=NC=5，AN=CD，∴BN=9-5=4，∵∠M=∠EAB=∠MAN=∠ANB=90°，∴∠EAM+∠BAM=90°，∠MAB+∠NAB=90°，∴∠EAM=∠NAB，∵在△EAM和△BNA中，，∴△EAM≌△BNA（AAS），∴EM=BN=4，∴△ADE的面积是×AD×EM=×5×4=10．【考点】1．直角梯形；2．全等三角形的判定与性质；3．旋转的性质．36.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若DC=7，则D点到AB的距离为__________【答案】7．【解析】试题解析：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=DC=7．【考点】角平分线的性质．37.如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B 的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【答案】B【解析】根据旋转图形可以得到△ACA′为等腰直角三角形，根据∠1的度数可以求出∠CA′B′=25°，从而得到∠CAB=25°，所以∠B=90°－25°=65°【考点】旋转图形的性质38.如图，在直角坐标系中，长方形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，点的坐标为，将长方形沿对角线翻折，点落在点的位置．那么点的坐标是．【答案】（，）．【解析】试题解析：如图，过点D作DM⊥y轴于点M；DP⊥x轴于点N；由题意得：∠NAC=∠BAC；AD=AB；∵四边形ABCO为矩形，且点B的坐标为（8，-4），∴NC∥AB，AO=BC=4，OC=AB=8；∴∠NCA=∠BAC，∠NAC=∠NCA，∴NA=NC（设为λ），ON=8-λ；由勾股定理得：（8-λ）2+42=λ2，解得：λ=5；∵S=×AD•DC，△ADC=×NC•AO+NC•DP，S△ADC∴×8×4=×5×4+×5×DP，解得：DP=；OM=DP=，∴AM=；由勾股定理得：DM2=AD2-AM2，而AD=8，∴DM=，故点D的坐标为（，）．【考点】1．翻折变换（折叠问题）；2．坐标与图形性质．39.如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．【解析】试题解析：美和善都是轴对称图形，祥和洋不是对称图形．共2个．故选B．【考点】轴对称图形．40.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示（顶点在格点上）．现将△ABC沿某直线翻折，使点A变换为点A′，A点坐标为（-2，3），A′的坐标为（4，3）．（1）指出其对称轴，画出翻折后的△A′B′C′，直接写出点B′，C′的坐标．对称轴是：，B′（，）C′（，）（2）若△ABC内部一点P的坐标（a，b），则点P的对称点P′的坐标是（，）（3）求△A′B′C′的面积．【答案】（1）直线x=1；3；-1；0；2．（2）2-a；2-b．（3）．【解析】（1）连接AA′，作线段AA′的垂线即为对称轴，根据图形翻折变换的性质画出翻折后的△A′B′C′，写出点B′，C′的坐标即可；（2）根据图形翻折变换的性质即可得出结论；（3）利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．试题解析：（1）如图所示，对称轴是直线x=1，B′（3，-1）C′（0，2）．（2）∵P的坐标（a，b），对称轴是直线x=1，∴P′的横坐标=2-a，纵坐标=2-b，∴P′（2-a，2-b）．（3）S=4×4-×1×4-×1×4-×3×3=16-2-2-=．△A′B′C′【考点】作图-轴对称变换．41.如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直与地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．【解析】由题意得，OD∥AC，又因为点O是AB的中点，所以点D是BC的中点，所以AC=2OD=50×2=100cm．故选：D．【考点】平行线分线段成比例定理；三角形的中位线定理．42.在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上每一点移动的角度相同C．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等D．图形上可能存在不动的点【答案】A．【解析】试题解析：A、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，所以A选项的说法错误；B、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，所以B选项的说法正确；C、图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等，所以C选项的说法正确；D、图形上可能存在不动的，所以D选项的说法正确．故选A．【考点】旋转的性质．43.（2013•广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，B、C、D都是轴对称图形，故选：A．【考点】轴对称图形．44.（2015秋•鄂州校级月考）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的底角的度数．【答案】等腰三角形底角的度数为70°或20°【解析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数．解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=50°，∴∠A=90°﹣50°=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）=70°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣50°=40°，∴∠BAC=180°﹣40°=140°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣140°）=20°；综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°【考点】等腰三角形的性质．45.在平面直角坐标系中，点P（1，-3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D．【解析】试题解析：∵1＞0，-3＜0，∴点P（1，-3）在第四象限．故选D．【考点】点的坐标．46.平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（，1），将OA绕原点按逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为（）A．（1，）B．（－1，）C．（0，2）D．（2，0）【答案】B．【解析】试题解析：如图，过A做AC⊥x轴，BE⊥x轴，∵∠AOB=90°，∴∠BOE+∠AOC=90°，∵∠A+∠AOC=90°，∴∠A=∠BOE，在△OCA和△BEO中，，△OCA≌△BEO中，∴OE=AC=1，BE=OC=，∴点B坐标为（-1，）．故选B．【考点】坐标与图形变化-旋转．47.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．直角三角形C．角D．线段【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，此选项错误；B、不是轴对称图形，此选项正确；C、是轴对称图形，此选项错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形；故选项错误．故选B．【考点】轴对称图形．48.（2015秋•常州期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；（2）画出△ABC绕原点O旋转180°后得到的图形△A2B2C2，并写出B2点的坐标；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．【答案】（1）B1（﹣4，2）；（2）B2（﹣4，﹣2）；（3）P（2，0）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕原点O旋转180°后的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（3）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．解：（1）△A1B1C1如图所示，B1（﹣4，2）；（2）△A2B2C2如图所示，B2（﹣4，﹣2）；（3）△PAB如图所示，P（2，0）．【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题；作图-旋转变换．49.如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则（）A．1：4B．2：3C．1：3D．1：2【答案】A【解析】因为在△ABC 中，两条中线BE 、CD 相交于点O ，所以DE 是△ABC 中位线，所以DE//BC ，，所以△DOE ∽△COB ，且相似比是，所以1：4，故选：A ．【考点】1．三角形的中位线2．相似三角形的判定与性质．50. （2015秋•莘县期末）已知：如图，已知△ABC ，（1）分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；（2）写出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2各顶点坐标；（3）求△ABC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）A 1（0，2），B 1（2，4），C 1（4，1），A 2（0，﹣2），B 2（﹣2，﹣4），C 2（﹣4，﹣1）．（3）5【解析】（1）根据关于x 、y 轴对称的点的坐标特点画出图形即可；（2）根据各点在坐标系内的位置写出各点坐标；（3）根据S △ABC =S 四边形CDEF ﹣S △ACD ﹣S △ABE ﹣S △BCF 即可得出结论．解：（1）如图所示：（2）由图可知，△A 1（0，2），B 1（2，4），C 1（4，1），A 2（0，﹣2），B 2（﹣2，﹣4），C 2（﹣4，﹣1）．（3）S △ABC =S 四边形CDEF ﹣S △ACD ﹣S △ABE ﹣S △BCF =3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3 =12﹣2﹣3﹣2=5．【考点】作图-轴对称变换．51.（2015秋•扬州校级月考）三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（）A．到三边距离相等B．到三顶点距离相等C．不在第三边的垂直平分线上D．以上都不对【答案】B【解析】画出图形，根据线段垂直平分线性质求出OA=OB=OC，即可得出选项．解：如图：连接OA、P\OB、OC，∵O为△ABC两边BC、AC的垂直平分线的交点，∴OB=OC，OA=OC，∴OA=OB=OC，∴O也在AB的垂直平分线上，且O到△ABC三顶点的距离相等，三角形的三角的平分线的交点到三角形的三边距离相等，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选B．【考点】线段垂直平分线的性质．52.下面有4个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念结合4个汽车标志图案的形状求解．解：由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形．第4个不是轴对称图形，是中心对称图形．故选D．【考点】轴对称图形．53.（2015秋•太原期中）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】根据各象限内点的坐标特征解答．解：点（﹣3，4）在第二象限．故选B．【考点】点的坐标．54.（2013•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．【答案】15【解析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，故答案为：15．【考点】角平分线的性质．55.（2015秋•靖江市期末）如图所示4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据轴对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，故正确；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、不是轴对称图形，故错误．故选A．【考点】轴对称图形．56.（2015秋•南京期中）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ACB=90°，点D、E在AB上，将△ACD、△BCE分别沿CD、CE翻折，点A、B分别落在点A′、B′的位置，再将△A′CD、△B′CE分别沿A′C、B′C翻折，点D与点E恰好重合于点O，则∠A′OB′的度数是（）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】B【解析】如图所示，延长CO到F，由翻折的性质可知：∠A′CF=，，∠CA′O=∠DA′O=∠A=45°，∠OB′C=∠CB′E=∠ECB=45°，最后利用三角形外角的性质可求得∠A′OB′的度数．解：如图所示：延长CO到F．∵AB=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°．由翻折的性质可知：∠A′CF=，，∠CA′O=∠DA′O=∠A=45°，∠OB′C=∠CB′E=∠ECB=45°．∴∠A′CB′=∠A′CF+∠B′CF==30°．∴∠A′OB′=∠A′CB′+∠CA′O+∠OB′C=30°+45°+45°=120°．故选：B．【考点】翻折变换（折叠问题）．57.（2015秋•衡阳校级期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=AD∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合∵∠ADC=∠B=90°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线根据SAS，易证△AFG≌，从而可得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．请写出推理过程：【答案】（1）△AFE；（2）∠B+∠D=180°．【解析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；解：（1）理由是：如图1，∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，则∠DAG=∠BAE，AE=AG，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°﹣45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG，在△EAF和△GAF中，，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF=FG=BE+DF；故答案为：△AFE；（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF，故答案为：∠B+∠D=180°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．58.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为40°，则∠B= ．【答案】65°或25°【解析】根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，∵∠AMD=90°，∴∠A=90°﹣40°=50°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）=65°；（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，∴∠DAB=90°﹣40°=50°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=∠DAB=25°．故答案为65°或25°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．59.若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于x轴对称的点为．【答案】（1，0）．。

八年级数学上册几何变换法练习试题

轧东卡州北占业市传业学校第四十讲几何变换法利用几何图形的变换解答几何题的方法叫做几何变换法。

在实际生产和生活中，几何形体往往不是以HY的形状出现，而是以比较复杂的组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。

如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。

〔一〕添辅助线法有些组合图形按一般的思考方法好似条件缺乏，很难解答。

如果在图形中添加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。

辅助线一般用虚线表示。

*例1 求图40-1阴影局部的面积。

〔单位：平方米〕解：图40-1中，右边两个局部的面积分别是20平方米和30平方米，所以可如图40-2那样添上三条辅助线，把整个长方形分成5等份。

这样图中右边的五个小长方形的面积相等。

同时，左边五个小长方形的面积也相等。

左边每个小长方形的面积是：25÷2=1〔平方米〕所以，阴影局部的面积是：1×3=3〔平方米〕答略。

*例2 如图40-3，一个平行四边形被分成两个局部，它们的面积差是10平方厘米，高是5厘米。

求EC的长。

〔单位：厘米〕解：如图40-4，过E点作AB的平行线EF，那么△AEF与△ABE是等底等高的三角形。

所以，△AEF 的面积与△ABE的面积相等。

小平行四边形EFDC的面积就是10平方厘米。

因为它的高是5厘米，所以，EC=10÷5=2〔厘米〕答：EC长2厘米。

*例3 如图40-5，图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。

〔单位：厘米〕解：这是一个不规那么的四边形，无法直接计算它的面积。

如图40-6，把AD和BC两条线段分别延长，使它们相交于E点。

这样，四边形ABCD的面积就可以转化为△ABE的面积与△DCE的面积之差。

在△ABE中，∠A是直角，∠B=45°，所以∠E=45°，即△ABE是等腰直角三角形。

所以AB=AE=7〔厘米〕，那么△ABE的面积是：7×7÷2=2〔平方厘米〕在△DCE中，∠DCE是直角，∠E=45°，所以，∠CDE=45°，即△DCE是等腰直角三角形。

初二数学图形与变换试题答案及解析

初二数学图形与变换试题答案及解析1.小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是．【答案】10点45分．【解析】根据轴对称的性质可得，小明从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针与分针的位置跟实际的位置恰好相反，所以指示时间是反过来是10点45分．【考点】轴对称的性质．2.将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（）．A．（2，3）B．（2，－１）C．（4，1）D．（0，1）【答案】D．【解析】左右平移纵坐标不变，横坐标加减，左减右加，∴左平移2个单位后的坐标是（0,1），故选D．【考点】平面直角坐标系中点的平移规律．3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】B【解析】由轴对称图形与中心对称图形的概念可知：平行四边形不是轴对称图形，是不是中心对称图形，所以选项A错误；圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以选项B正确；正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以选项C错误；等腰三角形不是轴对称图形，不是中心对称图形，所以选项D错误；故选：B．【考点】1．中心对称图形；2．轴对称图形．4.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）【答案】B【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形；将一个图形绕着某一点旋转180°后，所得的图形能够和原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。

因此可知A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C是轴对称图形，但不是中心对称图像；D是中心对称图形，但不是轴对称图形．故选B【考点】轴对称图形和中心对称图形5.已知△ABC的面积是1，、、分别是△ABC三边上的中点，△的面积记为；、、分别是△三边上的中点，△的面积记为；以此类推，则△的面积是（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】由题意可知：△的面积是△ABC面积的，△的面积是△面积的，以此类推，△的面积是△的，=1×=．故选D．【考点】三角形中点意义及面积计算．6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C．【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知，第一个图形是中心对称图形不是轴对称图形；第二、三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形不是中心对称图形，故答案选C．【考点】轴对称图形和中心对称图形的概念．7.（3分）已知△ABC的顶点A的坐标为（1，2），经过平移后的对应点A′的坐标为（﹣1，3），则顶点B（﹣2，1）平移后的对应点B′的坐标为．【答案】（﹣4，2）【解析】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，然后有点A（1，2）与A的坐标（﹣1，3）得出平移变换的规律：平移变换规律为向左平移2个单位，向1上平移1个单位，再根据此规律可得B（﹣2，1）平移后的对应点B′的坐标为（﹣4，2）．【考点】坐标与图形变化-平移8.（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点：（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的对应△A2B2C2，并画出△A1B1C1与△A2B2C2，的对称轴；（3）（2）中△ABC向右平移个单位时，OA2+OB2的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）．【解析】本题是作图题．考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可，再根据轴对称的性质确定出对称轴；（3）设平移的距离为x，表示出A2、B2的坐标，再根据轴对称确定最短路线问题，点A2与B2关于y轴的对称点所在的直线经过点O时，OA2+OB2的值最小，然后列出方程求解即可．试题解析：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；直线l为△A1B1C1与△A2B2C2的对称轴；（3）设平移的距离为x，则A2（x，4），B2（﹣2+x，2），由轴对称确定最短路线问题，点A2与B2关于y轴的对称点所在的直线经过点O时，OA2+OB2的值最小，此时，点B2关于y轴的对称点为（2﹣x，2），所以，=，解得x=，即平移距离为．故答案为：．【考点】1.作图-轴对称变换；2.作图-平移变换．9.已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）．A．B．C．D．【答案】C．【解析】点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点为（1﹣2m，1﹣m），∵其对称点在第二象限，∴，解得0．5＜m＜1，在数轴上表示为：．故选：C．【考点】在数轴上表示不等式的解集；点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．10.若把一次函数y=2x﹣3的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（）．A．y="2x"B．y=2x﹣6C．y=5x﹣3D．y=﹣x﹣3【答案】A．【解析】求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．原直线的k=2，b=﹣3；向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的k=2，b=﹣3+3=0．所以新直线的解析式为y=2x．故选：A．【考点】一次函数图象与几何变换．11.（8分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为,点B坐标为满足.（1）若没有平方根，判断点A在第几象限并说明理由；（2）若点A到轴的距离是点B到轴距离的3倍，求点B的坐标；（3）点D的坐标为（4，－2），△OAB的面积是△DAB面积的2倍，求点B的坐标.【答案】（1）点A在第二象限（2）B点坐标为（3，1）或（6，-2）；（3）B点坐标为（，）或（8，-4）．【解析】（1）根据平方根的意义得到a＜0，然后根据各象限点的坐标点的特征可判断点A在第二象限；（2）先利用方程组，用a表示b、c得b=a，c=4-a，则B点的坐标为（a，4-a），再利用点A到x轴的距离是点B到x轴的距离的3倍得到，则a=3（4-a），则a=3（4-a）或a=-3（4-a）。

八年级数学竞赛培优专题及答案 29 几何变换

专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 21.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.O【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CP A的大小之比是5:6:7，则以P A，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）B C解题思路：解本例的关键是如何构造以P A，PB，PC为边的三角形，若把△P AB，△PBC，△PCA中的60，就可以把P A，PB，PC有效地集中在一起.任一个，绕一个顶点旋转0【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.C【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1）如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.A图2图1MA B B能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）B(第1题) （第2题）（第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDABDA'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的1. 其中正确的结论有（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CB9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）DB10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）A B C A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）B12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1ACBBCA15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）B专题29 几何变换例1 210例2 A 提示：将ABP ∆绕B 点顺时针旋转︒60得CBD ∆，则ABP ∆≌CBD ∆，BPD ∆为等边三角形. 例3 提示:延长BD 至E ,使AB BE =,连接AE ,E ABC ∠=∠2.例4 提示:过E 作ER ∥,CD 过C 作CP ∥AB ,过A 作AQ ∥EF ,则PQR ∆为等边三角形.例5 (1)如图a ，由DCM ∆≌ACM ∆则AM DM AC DC ==,,,ACM DCM ∠=∠A CDM ∠=∠.又由CB CA =，得CB CD =.由DCM DCN ∠-︒=∠45,得BCN DCN ∠=∠,又CN CN =,则DCN ∆≌BCN ∆,有BN DN =,B CDN ∠=∠, ∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ∴222DN MD MN +=即222BN AM MN +=(2)关系式: 222BN AM MN +=仍成立,方法同上,如图b 例6 如图,作ACD ∆关于AD 所在直线的轴对称图形,APD 则,12,60,APD ACD PAD CAD PAB AP AB AC ∠=∠∠=∠=∠===，连接PB ，则PAB 为正三角，得12PBD ∠=.123648,,,DAB DBA AD BD PAD PBD ∠=+==∠∴=∴≅故30.30APD BPD ACD APD ∠=∠=∴∠=∠=能力训练1. 452. 1503. 12 提示: 如图, 设4(,)3A a a 过A 作AD x ⊥轴, 交于点D , 过B 作BE x ⊥轴, 交于点E由,2AO AD OD AOD BCE BC BE CE ∴===, 则2912,,(,)23223a CE BE a B a a ==+ ,A B 都在双曲线上, 4291()3322a a a a ∴=+, 解得 123,0a a ==(舍去) 3412k ∴=⨯=4. 15 提示: 分别以,AB AC 为对称轴作D 点的对称点,E F , 连接,FC EB 相交于G , 证明四边形AFGE 为正方形5. B6. C7. B8. D9. 提示: 延长FD 至G , 使DG FD =, 连接EG10. 提示: 作//,//,//EQ FG PG KH KR DE ，交成等边三角形PQR11. 提示: 作//CD BQ , 连,PD CD ，∴四边形QBCD 为菱形, DQ QB = , 由,AP QB CD AQ PC === ,A PCD ∠=∠ 得,,DCP PAQ PD PQ QB QD ≅=== QPD ∴为等边三角形,又,CDP A PQA ∠=∠=∠2,QPC A ∠=∠360QPD A ∠=∠=20,A ∴∠=80B ACB ∠=∠=又,QB BC = 50QCB ∴∠= 30PCQ ∠=12. 提示: (1) 作(4,1)B -关于x 轴对称点'(4,1)B ,连','AB AB 交x 轴于P ,PAB 周长最短, (3.5,0)P ∴ (2) 将点(4,1)B -向左平移3个单位得1(1,1)B -，再作1B 关于x 的对称点2(1,1)B ，连2AB 交x 轴于C ，再将C 向右平移3个单位得点D ，(1.25,0), 1.25C a ∴= (3) 作点A 关于y 轴对称点'(2,3)A --,作点B 关于x 轴的对称点'(4,1)B ,连''A B 交x 轴于M , 交y 轴于N 5(2.5,0),(0,)3M N ∴-13. 提示: 过N 作'//NQ DF ,作'//,NP AE 作//,//.NS DC NR AB 由','PP N LNR RN AB AE P N ∠=∠=== 则''Rt PP N Rt LNR PP LN ≅∴= 同理可证: ''PP QQ =又 '//,'//EP AN FQ ND , 又''AN ND EP FP =∴= 从而'',''PE PP P E FQ FQ QQ =+=+则 PE FQ =(1) 11,,22BM EC DM EC BM DM ==∴= 由2BME BCM ∠=∠ 2,DME DCM ∠=∠ 2()90BMD BME DME BCM DCM ∴∠=∠+∠=∠+∠= BM DM ∴⊥(2) 延长DM 至点F ,使DM FM =,连,,BD BF FC . 可证:EMD CMF ≅,ED AD CF DEM FCN ∴==∠=∠ //ED CF延长AD ,交BC 于T ,交CF 延长线于S 90EDS CST ∠=∠= 又BTA CTS ∠=∠BAD BCF ∠=∠,,,AB CB ABD CBF BD BF ABD CBF =∴≅∴=∠=∠,又90ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠=, BDF ∴为等腰三角形, ,BM DM BM DM ∴=⊥15. 如图, 以AB 为对称轴作ADB 的对称AGB ,以AC 为对称轴作ADC 的对称AFC ,并延长,GB FC 交于点E ,则易知四边形AGEF 是正方形, 不妨设AD h =,则2,3,BE h CE h =-=-由2222222(2)(3)5560BC BE CE h h h h =+⇒-+-=⇒--=116561522ABCh S BC AD ⇒=⇒==⨯⨯=。

浙江省中考数学图形的变换课时训练29尺规作图练习新版浙教版

课时训练(二十九) 尺规作图|夯实基础|1.[2018·安顺] 已知△ABC(AC<BC),用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是()图K29-12.[2018·郴州] 如图K29-2,∠AOB=60°,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB于点C,D,分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点P,以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则M点到OB的距离为()图K29-2A.6B.2C.3D.33.[2018·潍坊] 如图K29-3,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;(3)连结BD,BC.图K29-3下列说法不正确的是()A.∠CBD=30°B.S△BDC=AB2C.点C是△ABD的外心D.sin2A+cos2D=14.[2018·荆州] 已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是.图K29-45.[2018·山西] 如图K29-5,直线MN∥PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径作弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F.若AB=2,∠ABP=60°,则线段AF的长为.图K29-56.[2018·仙桃] 图K29-6①,②都是由边长为1的小菱形构成的网格,每个小菱形的顶点称为格点.点O,M,N,A,B 均在格点上,请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图.(1)在图①中,画出∠MON的平分线OP;(2)在图②中,画一个Rt△ABC,使点C在格点上.图K29-67.[2018·广东] 如图K29-7,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°.(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,连结BF,求∠DBF的度数.图K29-78.如图K29-8,已知锐角三角形ABC.(1)过点A作BC边的垂线AM,交BC于点D(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,若BC=5,AD=4,tan∠BAD=,求DC的长.图K29-8|拓展提升|9.用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AC=b,∠B=35°,若这样的三角形只能作一个,则a,b满足的关系式是.10.[2018·常州] (1)如图K29-9①,已知EK垂直平分BC,垂足为D,AB与EK相交于点F,连结CF.求证:∠AFE=∠CFD.(2)如图②,在Rt△GMN中,∠M=90°,P为MN的中点.①用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹,不要求写作法).②在①的条件下,如果∠G=60°,那么Q是GN的中点吗?为什么?图K29-911.(1)如图K29-10,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2BC.现以C为圆心,CB长为半径画弧交边AC于点D,再以A为圆心,AD长为半径画弧交边AB于点E,求证:=(比值叫做AE与AB的黄金比);图K29-10(2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请以图K29-11中的线段AB为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形ABC(不要求写作法,但要保留作图痕迹,并对所作图中涉及的点用字母进行标注).图K29-11参考答案1.D[解析] 选项A,该作图痕迹表示AB=PB,不符合题意;选项B,该作图痕迹表示作线段AC的垂直平分线交BC于点P,即PA=PC,不符合题意;选项C,该作图痕迹表示AC=PC,不符合题意;选项D,该作图痕迹表示作线段AB的垂直平分线交BC 于点P,即PA=PB,故PA+PC=BC,符合题意.故选D.2.C[解析] 由题意得OP是∠AOB的平分线,过点M作ME⊥OB于E,∵∠AOB=60°,∴∠MOB=30°,在Rt△MOE中,OM=6,∴EM=OM=3,故选C.3.D[解析] 由(1)可知,AB=AC=BC,∴△ABC为等边三角形,∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°,S△ABC=AB2.又由(2)可知CD=AC=BC=AB,∴∠CBD=∠D=∠ACB=30°,S△BDC=S△ABC=AB2,点C是△ABD的外心.故选项A,B,C正确,故选择D.4.SSS [解析] 由作图可得OM=ON,MC=NC,而OC=OC,∴根据“SSS”可判定△MOC≌△NOC.5.2[解析] 过点A作AG⊥PQ交PQ于点G,由作图可知,AF平分∠NAB.∵MN∥PQ,AF平分∠NAB,∠ABP=60°,∴∠AFG=30°,在Rt△ABG中,∠ABP=60°,AB=2,∴AG=.在Rt△AFG中,∠AFG=30°,AG=,∴AF=2.6.解:(1)如图①,OP即为所求.(2)如图②所示,△ABC或△ABC1均可.7.解:(1)如图,直线EF为所求.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,AD∥BC.∵∠DBC=75°,∴∠ADB=75°,∴∠ABD=75°,∴∠A=30°.∵EF为AB的垂直平分线,∴∠FBE=∠A=30°,∴∠DBF=45°.8.解:(1)如图所示,AM为所作垂线.(2)在Rt△ABD中,tan∠BAD==,∴=,∴BD=3,∴DC=BC-BD=5-3=2.9.b=a sin35°或b≥a10.解:(1)证明:∵EK垂直平分BC,点F在EK上,∴FC=FB,且∠CFD=∠BFD.∵∠AFE=∠BFD,∴∠AFE=∠CFD.(2)①如图所示,点Q为所求作的点.②Q是GN的中点.理由:∵∠G=60°,∠GMN=90°,∴∠GNM=30°.连结HN,HP,由①作图可知,PN=HN,∠HNG=∠GNP=30°,可得△HPN为等边三角形.又∵P为MN的中点,∴HP=PN=PM,∴∠QMN=30°=∠QNM,∴MQ=QN,∠GQM=60°,∠GMQ=60°,∴△GMQ为等边三角形,因而MQ=GQ,∴GQ=QN,即Q为GN的中点.11.解:(1)证明:设BC=a,则AB=2a,CD=a,AC=a, ∴AE=AD=(-1)a,∴==.(2)如图所示.△ABC即为所求.。

【八年级数学几何培优竞赛专题】专题2 全等三角形判定方法的选择【含答案】

专题2 全等三角形判定方法的选择知识解读三角形全等判定方法的选择已知条件可供选择的判定方法一边和这边邻角对应相等选边：只能选角的另一边（SAS ）选角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ，ASA ）一边及它的对角对应相等只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ）两边对应相等选边；只能选剩下的一边（SSS ）选角：只能选两边的夹角（SAS ）两角对应相等只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AAS ．ASA ）典例示范一、从变换的角度理解“全等”1．轴对称变换例1如图1－2－1，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，且AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE ．【提示】从结论“BD ＝CE ”来看，有两种思路，思路一：通过证明△BOD ≌△COE 得到对应边相等；思路二：通过证明“△ACD ≌△ABE ”得到AD ＝AE ，然后运用等式性质证得．从题设看，由“AB ＝AC ，∠B ＝∠C ”加上公共角∠A ，可得△ACD ≌△ABE ，所以我们考虑使用思路二给出证明过程．图1-2-1B【技巧点评】哪些情况下，可考虑利用全等的性质来证明线段相等和角相等呢？本题中，这个图形很显然是轴对称图形，而BD 和CE 也是轴对称的，这时候就可以考虑把BD 和CE 置于一对轴对称的三角形中，且BD 和CE 恰好是一对对应边.跟踪训练1．如图1－2－2，已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CE ＝F B ．求证：AF ＝DE ．图1-2-22．旋转变换例2如图1－2－3，AD 是△ABC 的中线，在AD 及其延长线上截取DE ＝DF ，连接CE ，BF ，试判断△BDF 与△CDE 全等吗？BF 与CE 有何位置关系？【提示】若△BDF 与△CDE 全等，需要寻找三个相等的要素，题中已知一对对顶角相等，由中线可得到BD ＝CD ，加上DE ＝DF ，即可根据“SAS ”得到两个三角形全等．图1-2-3B【技巧点评】本题是一个简单的全等证明题，本题意在说明图中△BDF 与△CDE 是中心对称的图形．，其中一个三角形可以看作另一个三角形绕点D 旋转180°得到．从中心对称的角度寻找相等的线段和相等的角，可以为证明全等提供方便．跟踪训练2．如图1－2－4，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，求证：BC ＝E D ．图1-2-4二、线段和角度相等，常考虑证全等例3如图1－2－5，AC 交BD 于点O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，求证：∠C ＝∠B ．【提示】要证明∠C ＝∠B ，可考虑将∠C 和∠B 置于一对三角形中，证明两个三角形全等，由于本题图中△AOB 和ACOD 全等不容易证明，可考虑连接AD ，证明△ACD 与△DBA 全等．图1-2-5跟踪训练3．已知，如图1－2－6，AD ⊥DB ，BC ⊥CA ，AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，求证：AD ＝B C ．图1-2-6B【技巧点评】由于全等三角形的对应角相等，对应边相等，因此证明两个三角形全等是证明两个角相等和两条线段相等常用的方法．利用全等三角形证明线段相等和角相等的思路：对应边（角）相等→两个三角形全等→线段相等或者角相等，可以看出全等三角形类似于一个桥梁，建立起角度相等与线段相等、线段相等与另两条相等的线段、角相等与另一对相等的角之间的联系．跟踪训练4．如图1－2－7，A ，D ，B 三点在同一条直线上，△ADC ，△BDO 均为等腰三角形，AO ，BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论．图1-2-7三、借助“同角的余角相等”寻找相等的角例4如图1－2－8，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 是BD 上一点，BF ＝AC ，G 是CE 延长线一点，CG ＝AB ，连接AG ，AF ．（1）求证：∠ABD ＝∠ACE ；（2）探求线段AF ，AG 有什么关系，并证明．【提示】（1）∠ABD ，∠ACE 都和∠BAC 互余，根据“同角的余角相等”可证明∠ABD ＝∠ACE ；（2）由已知条件“BF ＝AC ”“CG ＝AB ” “∠ABD ＝∠ACE ”可证明△ABF ≌△GCA ，AF ，AG 恰好是这对全等三角形的对应边，所以这两条线段的大小关系是相等．又由于∠G ＝∠BAF ，∠G ＋∠GAE ＝90°，因此∠GAF ＝90°，所以AF 和AG 的位置关系是垂直．图1-2-8B 【技巧点评】（1）当已知两条边相等，要证明两个三角形全等时，“同角的余角相等”是常用的证明夹角相等的手段．（2）要证明两直线垂直，证明夹角等于90°也是常用思路，当夹角是由两个角的和组成的时候，常考虑证明这两个角的和等于90°．跟踪训练5．如图1－2－9，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB ＝F C ．图1-2-9A四、从等腰、等边、正方形中获取全等所需的元素例5如图1－2－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：DB ＝BF ．【提示】要证明DB ＝BF ，由于D 为BC 的中点，所以CD ＝BD ，因此本题可转证CD ＝BF ，将这两条线段放置到三角形中，可证明△ACD ≌△CBF ．图1-2-10A【技巧点评】本题证明△ACD ≌△CBF 需要的三个要素AC ＝BC ，∠CAD ＝∠BCF ，∠ACD ＝∠CBF 都和△ABC 是等腰直角三角形相关．当题目中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等条件时，往往图形中隐含着一对全等三角形，这对全等三角形的一对对应边往往和等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形的边长相等有关．跟踪训练6．如图1－2－11，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A ，D 重合，连接BE ，E C ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系和位置关系，并证明你的猜想．图1-2-11B拓展延伸五、AAS 华丽变全等例6 如图1-2-12，在△ABC 中，∠DBC ＝∠ECB ＝∠A ，求证：BE ＝CD ．21ABCD E F【提示】要证明BE ＝CD ，一般考虑证明两个三角形全等，而△DCF 和△EBF 显然不全等，本题有三种构造全等的方法，如图1-2-13①②③．图1-2-12GFE D CBAHFE D CBAFE D CBAH G 【技巧点评】本题△BEF 和△CDF 虽然不全等，但是∠BFE ＝∠CFD ，加之可证FB ＝FC 以及待证的BE ＝CD ，可见这两个三角形虽然不全等，但也有3对相等的要素．构造全等三角形可将小三角形补上一部分，或者将大三角形截去一部分．跟踪训练7．如图1-2-14，OC 平分∠AOB ，点D 、E 分别在OA 、OB 上，点P 在OC 上，且有PD ＝PE ，求证：∠PDO ＝∠PEB ．(有三种解法)P OD C BA E竞赛链接图1-2-13图1-2-14②③①例7 (全国初中数学竞赛浙江赛区题)如图1-2-15，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，E 是AD 延长线上一点，若DE ＝AB ＝3cm ，CE ＝4cm ，则AD 的长是．2【提示】如图1-2-16，连接CA ，构造△BAC ≌△DEC ，利用勾股定理求出AE 的长．EDCB AAB CDE【技巧点评】勾股定理——如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．跟踪训练8．(希望杯竞赛题)如图1-2-17，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，那么图中的全等三角形共有()A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对F OABCDE 培优训练1．如图1-2-18，AC ，BD 交于点E ，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝BD ．4321ABCED2．如图1-2-19，已知AD ＝AE ，AB ＝AC ．求证：BF ＝FC ．图1-2-17图1-2-15图1-2-16图1-2-18ABCDEF3．如图1-2-20，已知△ABD 、△AEC 都是等边三角形，AF ⊥CD 于F ，AH ⊥BE 于H ，问：(1)BE 与CD 有何数量关系?为什么?(2)AF 、AH 有何数量关系?O HFEDCBA 4．如图1-2-21，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD ＝∠BCE ＝90°，AE 交DC 于点F ，BD分别交CE ，AE 于点G ，H 试猜测线段AE 和BD 的位置关系和数量关系，并说明理由．DBCFH AE G 5．将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1-2-22①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ．(1)求证：AF ＋EF ＝DE ；(2)若将图1-2-22①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角，且0°＜＜60°，其他条件不变，请在αα图1-2-22②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．AC BABCE FD①图1-2-19图1-2-20图1-2-21②图1-2-226．如图1-2-23，AD 是△ABC 的高，作∠DCE ＝∠ACD ，交AD 的延长线于点E ，点F 是点C 关于直线AE 的对称点，连接AF ．(1)求证：CE ＝AF(2)在线段AB 上取一点N ，使∠ENA ＝∠ACE ，EN 交BC 于点M ，连接AM 请你判断∠B 与∠MAF 21的数量关系，并说明理由．DBEAF CN M直击中考7．★★(2017江苏常州)如图1-2-24，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，∠BCE ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠D ，BC ＝CE ．(1)求证：AC ＝CD ；(2)若AC ＝AE ，求∠DEC 的度数．ECDBA 8．(凉山州中考题)如图1-2-25，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF ＝CE ．求证：FD ＝BE ．FBECDAO9．(内江中考题)如图1-2-26，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：AE ＝BD ．图1-2-23图1-2-24图1-2-25CDEBA10．(重庆中考题)如图1-2-27，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ．CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG ．求证：(1)AF ＝CG ；(2)CF ＝2DE ．GCDFEBA挑战竟赛11．(希望杯竞赛题)如图1-2-28，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠BAC ＝75°，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 交于H ，则∠CHD ＝．HBCE ADBGF E ADC12．(希望杯竞赛题)如图1-2-29，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FG ∥BC 交AB 于G ．AE ＝4，AB ＝14，则BG ＝．图1-2-26图1-2-27图1-2-28图1-2-29。

初二数学图形与变换试题答案及解析

初二数学图形与变换试题答案及解析1.如图，下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B．【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念可得，第一、三、四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，第二个图形是轴对称图形，故答案选B．【考点】轴对称图形和中心对称图形的概念．2.下列四个图形中哪些图中的一个矩形是由另一个矩形按顺时针方向旋转90°后所形成的？（）．A．①②B．②③C．①④D．②④【答案】D．【解析】根据旋转的定义可知，题目中的①④的一个矩形是由另一个矩形按顺时针方向旋转90°后所形成的．故选：D．【考点】图形的旋转．3.点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是．【答案】（3，0）【解析】因为点P（a，b）关于y轴的对称点的坐标是（-a，b），所以点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是（3，0），故答案为：（3，0）【考点】关于y轴对称的点的坐标．4.一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是．【答案】16或17【解析】①当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16．②当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．5.已知ABC∽A1B1C1，AB:A1B1=2:3，若SABC=12，则= ．【答案】27【解析】根据相似三角形形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此面积比为4:9，然后可求得=12×9÷4=27．【考点】相似三角形的性质6.（10分）如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．【答案】3或【解析】作MN∥BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠AMN=∠B，利用相似可得MN的长．试题解析：解：①图1，当△AMN∽△ABC时，有，∵M为AB中点，，AB＝，∴AM＝，∵BC＝6∴MN＝3；②图2，当△ANM∽△ABC时，有，∵M为AB中点，AB＝，∴AM＝，∵BC＝6，AC＝，∴MN＝∴MN的长为3或．【考点】相似三角形的性质7.如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】C．【解析】符合要求的图形有以下6种，故答案选C．【考点】轴对称图形．8.平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，﹣3）和点B（1，﹣2），则线段AB的长为．【答案】．【解析】已知点A（﹣1，﹣3）和点B（1，﹣2），由勾股定理可得AB=．【考点】坐标与图形性质；勾股定理．9.（10分）提出问题：如图①，在正方形ABCD中，点P，F分别在边BC、AB上，若AP⊥DF于点H，则AP=DF．类比探究：（1）如图②，在正方形ABCD中，点P、F．、G分别在边BC、AB、AD上，若GP⊥DF于点H，探究线段GP与DF的数量关系，并说明理由；（2）如图③，在正方形ABCD中，点P、F、G分别在边BC、AB、AD上，GP⊥DF于点H，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF，若四边形DFEP为菱形，探究DG和PC的数量关系，并说明理由．【答案】（1）GP=DF，理由见解析；（2）DG=2PC，理由见解析．【解析】（1）如图1，过点A作AM⊥DF交BC于点M，易证△BAM≌△ADF，根据全等三角形的对应边相等可得AM=DF，再由平行四边形的性质推知AM=GP，即可得GP=DF；（2）如2，过点P作FN⊥AD与点N．根据菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”的性质可证得DG=2DN，再由矩形DNPC的性质即可得DG=2PC．试题解析：解：（1）GP=DF．理由如下：如图1，过点A作AM⊥DF 交BC于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠B═90°，∴∠BAM=∠ADF，在△BAM与△ADF中，，∴△BAM≌△ADF（ASA），∴AM=DF又∵四边形AMPG为平行四边形，∴AM=GP，即GP=DF；（2）DG=2PC．理由如下：如图2，过点P作FN⊥AD与点N．若四边形DFEP为菱形，则DP=DF，∵DP=DF，∴DP=GP，即DG=2DN．∵四边形DNPC为矩形，∴PC=DN，∴DG=2PC．【考点】四边形综合题．10.（本题满分12分）如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．【答案】（1）当BD＝时，△ABC∽△CDB；（2）详见解析．【解析】（1）由∠ABC＝∠CDB＝90°，当＝时，根据相似三角形的判定可得△ABC∽△CDB．代入即可得BD与a、b之间的关系；（2）由△ABC∽△CDB，可得∠ACB＝∠CBD．再证得∠ACD＝90°，∠E＝90°，即可得四边形AEDC为矩形．试题解析：（1）∵∠ABC＝∠CDB＝90°，∴当＝时，△ABC∽△CDB．即＝．∴ BD＝．即当BD＝时，△ABC∽△CDB．（2）∵△ABC∽△CDB，∴∠ACB＝∠CBD．∴ AC∥ED．又∠D＝90°∴∠ACD＝90°∴∠E＝90°∴四边形AEDC为矩形．【考点】相似三角形的判定及性质；矩形的判定．11.如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（）A．（2，0）B．（，0）C．（，0）D．（1，0）【答案】B．【解析】△ABO是等腰三角形，可分两种情况，•AB是底边，由两种情况，B点为（，0），（，0）；‚AB为腰时，有三种情况，当B点为（1，0），（2，0）．四个选项中只有选项B不符合要求，故答案选B．【考点】等腰三角形的性质；坐标与图形性质；分类讨论.12.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12．36 cm B．13．6 cm C．32．36 cm D．7．64 cm【答案】A【解析】根据黄金分割的比值约为0．618列式进行计算即可得解．∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，∴书的宽约为20×0．618=12．36cm．【考点】黄金分割13.如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，连接AA′，若∠1=22°，则∠B的度数是（）．A．67°B．62°C．82°D．72°【答案】A．【解析】先根据旋转的性质得CA=CA′，∠ACA′=90°，∠CB′A′=∠B，则可判断△CAA′为等腰直角三角形，所以∠CAA′=45°，所以∠CB′A′=∠B′AA′+∠1=45°+22°=67°，所以∠B=67°．故选：A．【考点】旋转的性质．14.如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为□ABCD，由AB∥CD可得，由AB∥CD和AD=BC可得；BC∥AD，可得．故C错误.【考点】平行四边形的性质平行线分线段成比例定理15.下列图形中，不是轴对称图形的是（）【答案】A．【解析】A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【考点】轴对称图形．16.若点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（）A．x轴正半轴上B．x轴负半轴上C．y轴正半轴上D．y轴负半轴上【答案】A.【解析】由点P（m，1）在第二象限内，得m＜0，-m＞0，点Q（-m，0）在x轴的正半轴上，故选A.【考点】点的坐标.17.如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定点P的方法正确的是（）．A．P为∠A、∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点【答案】B．【解析】由点P到∠A的两边的距离相等，可得点P在∠A的角平分线上；又因PA=PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上．即P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．故答案选B．【考点】角平分线及线段垂直平分线的判定定理．18.在平面直角坐标系中，A（﹣4，3），点O为坐标原点，则线段OA的长为．【答案】5．【解析】∵A（﹣4，3），点O为坐标原点，∴OA==5，故答案为：5．【考点】勾股定理；坐标与图形性质．19.在平面镜里看到背后墙上,电子钟示数如图所示，这时的实际时间应该是__ ___．【答案】21：05．【解析】试题解析：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05．【考点】镜面对称20.（本题6分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出相应的三角形．（1）在图1中，画一个直角三角形，使它有两边长是有理数，一边长是无理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（4）在图4中，画一个钝角三角形，使它的面积是3．【答案】详见解析．【解析】（1）（2）（3）根据勾股定理作图即可．（4）根据三角形的面积公式作图即可．试题解析：解：如图，【考点】格点三角形；勾股定理．21.（本题6分）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求BD的长度．【答案】BD=cm．【解析】：设BD="x" cm,则CD=8-x,由折叠的性质可得AD=BD=x，在RT△ACD中，再由勾股定理可得，解得x的值即为BD的长．试题解析：解：设BD="x" cm,则CD=8-x由折叠得：AD=BD=x，在RT△ACD中，即BD=cm．【考点】折叠的性质；勾股定理．22.如图B为原点，A在-1上，线段BC垂直于数轴，且BC为一个单位长度，以A为圆心，AC 长为半径画圆弧，与数轴相交于点D，则点D表示的数为（）A．0.4B．C．D．【答案】D．【解析】由图可知，AD=AC==，所以，D表示的数为：．故选D．【考点】实数与数轴．23.下列说法不正确的是（）A．两个关于某直线对称的图形一定全等B．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧C．两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称【答案】B．【解析】A．两个关于某直线对称的图形一定全等，本选项正确，故不符合题意；B．对称图形的对称点不一定在对称轴的两侧，如可能在对称轴上，故本选项错误，符合题意；C．两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，本选项正确，故不符合题意；D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，本选项正确，故不符合题意．故选B．【考点】轴对称的性质．24.平面内点A（-1，2）和点B（-1，-2）的对称轴是A．x轴B．y轴C．直线y=4D．直线x=-1【解析】试题解析：∵点A（-1，2）和点B（-1，-2）对称，∴AB平行与x轴，∴对称轴是直线x=（-2+2）=0．故选A．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．25.白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平直线L（L表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离是4，则AP+PB最小值= ．【答案】5．【解析】作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时AP+PB最小；则PA=PA′，∴AP+PB=PA′+PA=A′B，过点B作BC⊥AA′于点C，则OA′=OA=2，OC=1，BC=4，∴A′C=OA′+OC=2+1=3，∴A′B==5，∴AP+PB最小值=5．故答案为：5．【考点】1．轴对称-最短路线问题；2．应用题．26.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠AOF的度数是（）A．105°B．110°C．115°D．120°【答案】A．【解析】如图，连接OB，∵OD垂直平分AB，∴AO=BO，∴∠OAB=∠OBA．∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵OA平分∠BAC，∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°，∴∠OBA=25°，∴∠OBC=40°．在△ABO和△ACO中，∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO，∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=40°．∵△EOF与△ECF关于EF对称，∴△EOF≌△ECF，∴OF=CF，∴∠FCO=∠FOC=25°，∴∠AFO=50°，∴∠AOF=180°﹣∠OAF﹣∠AFO=105°．故选A．【考点】翻折变换（折叠问题）．27.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线对称，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【答案】D．【解析】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°，∴∠B=180°﹣80°=100°．故选D．【考点】1．轴对称的性质；2．三角形内角和定理．28.在如图所示的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线成轴对称的△AB′C′；（2）线段C C′被直线．【答案】（1）答案见试题解析；（2）垂直平分．【解析】（1）由网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）由轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线．试题解析：解：（1）如图所示，△AB′C′即为所求作的三角形；（2）线段CC′被直线l垂直平分．【考点】1．作图-轴对称变换；2．作图题．29.（1）阅读理解：如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数。

初二奥数之几何变换

2020年数学竞赛初二奥数之几何变换专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.1.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.l图3图2图1F 1F 2O【例2】如图，P 是等边△ABC 的内部一点，∠APB ，∠BPC ，∠CP A 的大小之比是5:6:7，则以P A ，PB ，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）解题思路：解本例的关键是如何构造以P A ，PB ，PC 为边的三角形，若把△P AB ，△PBC ，△PCA 中的任一个，绕一个顶点旋转060，就可以把P A ，PB ，PC 有效地集中在一起.【例3】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD 翻折造全等.【例4】如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥FE ，CD ∥AF ，对边之差BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.BCC【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1）如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.A图2图1MA B B能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）(第1题) （第2题）（第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 01506.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的长1. 其中正确的结论有（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个B（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDADA'7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）l第8题图第7题图CBBA B C A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）B14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）图2图1ACBBCAB专题29 几何变换例1 210例2 A 提示：将ABP ∆绕B 点顺时针旋转︒60得CBD ∆，则ABP ∆≌CBD ∆，BPD ∆为等边三角形. 例3 提示:延长BD 至E ,使AB BE =,连接AE ,E ABC ∠=∠2.例4 提示:过E 作ER ∥,CD 过C 作CP ∥AB ,过A 作AQ ∥EF ,则PQR ∆为等边三角形.例5 (1)如图a ，由DCM ∆≌ACM ∆则AM DM AC DC ==,,,ACM DCM ∠=∠A CDM ∠=∠.又由CB CA =，得CB CD =.由DCM DCN ∠-︒=∠45,得BCN DCN ∠=∠,又CN CN =,则DCN ∆≌BCN ∆,有BN DN =,B CDN ∠=∠, ∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ∴222DN MD MN +=即222BN AM MN +=(2)关系式: 222BN AM MN +=仍成立,方法同上,如图b 例6 如图,作ACD ∆关于AD 所在直线的轴对称图形,APD 则,12,60,APD ACD PAD CAD PAB AP AB AC ∠=∠∠=∠=∠===，连接PB ，则PAB 为正三角，得12PBD ∠=.123648,,,DAB DBA AD BD PAD PBD ∠=+==∠∴=∴≅故30.30APD BPD ACD APD ∠=∠=∴∠=∠=能力训练1. 452. 1503. 12 提示: 如图, 设4(,)3A a a 过A 作AD x ⊥轴, 交于点D , 过B 作BE x ⊥轴, 交于点E由,2AO AD OD AOD BCE BC BE CE ∴===, 则2912,,(,)23223a CE BE a B a a ==+ ,A B 都在双曲线上, 4291()3322a a a a ∴=+, 解得 123,0a a ==(舍去) 3412k ∴=⨯=4. 15 提示: 分别以,AB AC 为对称轴作D 点的对称点,E F , 连接,FC EB 相交于G , 证明四边形AFGE 为正方形5. B6. C7. B8. D9. 提示: 延长FD 至G , 使DG FD =, 连接EG10. 提示: 作//,//,//EQ FG PG KH KR DE ，交成等边三角形PQR11. 提示: 作//CD BQ , 连,PD CD ，∴四边形QBCD 为菱形, DQ QB = , 由,AP QB CD AQ PC === ,A PCD ∠=∠ 得,,DCP PAQ PD PQ QB QD ≅=== Q P D ∴为等边三角形, 又,CDP A PQA ∠=∠=∠2,QPC A ∠=∠360QPD A ∠=∠= 20,A ∴∠=80B ACB ∠=∠=又,QB BC = 50QCB ∴∠= 30PCQ ∠=12. 提示: (1) 作(4,1)B -关于x 轴对称点'(4,1)B ,连','AB AB 交x 轴于P ,PAB 周长最短, (3.5,0)P ∴ (2) 将点(4,1)B -向左平移3个单位得1(1,1)B -，再作1B 关于x 的对称点2(1,1)B ，连2AB 交x 轴于C ，再将C 向右平移3个单位得点D ，(1.25,0), 1.25C a ∴=(3) 作点A 关于y 轴对称点'(2,3)A --,作点B 关于x 轴的对称点'(4,1)B ,连''A B 交x 轴于M , 交y 轴于N 5(2.5,0),(0,)3M N ∴-13. 提示: 过N 作'//NQ DF ,作'//,NP AE 作//,//.NS DC NR AB 由','PP N LNR RN AB AE P N ∠=∠=== 则''Rt PP N Rt LNR PP LN ≅∴= 同理可证: ''PP QQ =又 '//,'//EP AN FQ ND , 又''AN ND EP FP =∴= 从而'',''PE PP P E FQ FQ QQ =+=+则 PE FQ =14. 提示:(1)11,,BM EC DM EC BM DM ==∴= 由2BME BCM ∠=∠ 2,DME DCM ∠=∠2()90BMD BME DME BCM DCM ∴∠=∠+∠=∠+∠= B M D M ∴⊥(2) 延长DM 至点F ,使DM FM =,连,,BD BF FC . 可证:EMD CMF ≅,ED AD CF DEM FCN ∴==∠=∠ //ED CF延长AD ,交BC 于T ,交CF 延长线于S 90EDS CST ∠=∠= 又BTA CTS ∠=∠BAD BCF ∠=∠ ,,,AB CB ABD CBF BD BF ABD CBF =∴≅∴=∠=∠, 又90ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠=, BDF ∴为等腰三角形, ,BM DM BM DM ∴=⊥15. 如图, 以AB 为对称轴作ADB 的对称AGB ,以AC 为对称轴作ADC 的对称AFC ,并延长,GB FC 交于点E ,则易知四边形AGEF 是正方形, 不妨设AD h =,则2,3,BE h CE h =-=-由2222222(2)(3)5560BC BE CE h h h h =+⇒-+-=⇒--=116561522ABC h SBC AD ⇒=⇒==⨯⨯=。

浙教版八年级数学培优试卷专题28整体与完形

专题28整体与完形阅读与思考许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：例题与求解【例1】如图，已知CD〃AF, ZCDE=ZBAF, AB±BC, NE=80。

，ZC=124 0,则NAFE=度. 。

匕京市竞赛试题）解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.[例2] 设5b,c分别是△ ABC的三边长，且满足;D a bFT,则它的内角NA、ZB的关系是A.ZB>2ZAB.ZB=2ZAC.NBV2NAD.不确定【例3】如图1, BD, CE分别是△ ABC的外角平分线，过点A作AFLBD, AG±CE,垂足分别为F, G, 连结FG,延长AF, AG,与直线BC相交，易证FG_L AB BC AC .2若（1） BD, CE分别是△ ABC的内角平分线（如图2）; （2） BD为NABC的内角平分线；（3） CE为△ ABC的外角平分线（如图3）,贝曲固2、图3两种情况下，线段FG与△ ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.（黑龙江省中考试题）解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形.B C图1 图2【例4】如图，四边形ABCD 中，NABC = 135。

，/B CD=120°, A®=BC=5 3,CD = ,求AD的长. （全国初中数学竞赛试题）解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形，所以直接求AD比较困难，应设法将AD转化为特殊三角形的边.试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.（山东省竞赛试题）解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形.【例6】如图，在△ ABC中，NABC=45。

初二数学上册培优练习题

初二数学上册培优练习题一、选择题1. 下列选项中，不是图像的几何变换的是（）。

A. 平移B. 旋转C. 缩放D. 折射2. 以下哪个式子代表了一个比例关系？（）A. 3x + 4 = 10B. 2x - 7 = 5C. 5x = 20D. x + 2 = 33. 铅垂线是指（）。

A. 与水平线垂直的线B. 与直线平行的线C. 与某线段垂直的线D. 与某线段平行的线4. 下列等式中，哪一个属于二元一次方程？（）A. 2x - 3 = 0B. 4x^2 + 5 = 0C. 3x - 2y = 5D. 2x - 3y + 4z = 105. 在平行四边形中，对角线互相平分对方的是（）。

A. 对立边B. 相邻边C. 对称边D. 反对称边二、填空题1. 已知AB是⊙O的直径，如果∠ACB = 45°，则∠ABC =___________度。

2. 三个数的比是3：5：7，如果最小的数是15，则最大的数是__________。

3. 直线l与平面P交于点A，若点A在线段BC的中点上，则BC的位置关系是__________。

4. 等边三角形的内角度数是__________度。

5. 在一组数据中，若减去最大的数后，剩下的数的平均数是15，那么在这组数据中最大的数是__________。

三、解答题1. 如下图所示，在△ABC中，AD是边BC的中线，若AD = 6cm，BC = 10cm，求AB的长度。

2. 用两个相同的正方形拼成一个长方形，其中正方形的边长为2cm，长方形的周长是多少？3. 某商品的原价是200元，现以8折的优惠活动进行促销，求打折后的价格是多少？4. 找出满足下列等式的x与y的值：3x + 5y = 23，x - 2y = 45. 甲、乙两个人一起种了一块地，甲种的速度是每小时15亩，乙种的速度是每小时12亩，如果两人同时种，种完这块地需要多少时间？文章结尾。

以上是初二数学上册的培优练习题，包括选择题、填空题和解答题。

初二数学图形与变换试题答案及解析

初二数学图形与变换试题答案及解析1.如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分）是轴对称图形，其中涂法有（）A．6种B．7种C．8种D．9种【答案】D【解析】根据对折后能够完全重合的图形是轴对称图形，可作出如下图：因此共9种．故选D【考点】轴对称图形2.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1．（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出相应的△AB1C1；（2）将△AB1C1沿射线AA1平移到△A1B2C2处，画出△A1B2C2；【答案】图形详见解析．【解析】（1）根据旋转的性质，分别找到点B、C顺时针旋转90°后的对应点B1、C1，顺次连接得到△AB1C1；（2）根据平移的性质，分别找到点A、B1、C1沿射线AA1平移后的对应点A1、B2、C2，顺次连接得到△A1B2C2．试题解析：（1）如图；（2）如图．（可不画虚线）【考点】图形的平移；图形的旋转．3.将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（）．A．（2，3）B．（2，－１）C．（4，1）D．（0，1）【答案】D．【解析】左右平移纵坐标不变，横坐标加减，左减右加，∴左平移2个单位后的坐标是（0,1），故选D．【考点】平面直角坐标系中点的平移规律．4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】B【解析】由轴对称图形与中心对称图形的概念可知：平行四边形不是轴对称图形，是不是中心对称图形，所以选项A错误；圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以选项B正确；正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以选项C错误；等腰三角形不是轴对称图形，不是中心对称图形，所以选项D错误；故选：B．【考点】1．中心对称图形；2．轴对称图形．5.如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（0，3），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，（1）△AOB的面积是；（2）三角形（2013）的直角顶点的坐标是．【答案】6；(8052,0)．【解析】根据点A、B的坐标求出OA、OB，再根据三角形的面积列式计算即可得解；观察不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2013除以3，根据商是671可知三角形是第671个循环组的最后一个三角形，直角顶点在x轴上，再根据一个循环组的距离为12，进行计算即可得解．【考点】坐标与图形变化-旋转；三角形的面积6.如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=7．8cm，则点D到AB的距离为（）A．5．2cm B．3．9cm C．2．6cm D．4．8cm【答案】C．【解析】由BD=2CD，BC=7．8cm可得CD=2．6cm，过D作出DE⊥AB，根据角平分线的性质可得CD=DE2．6cm，即点D到AB的距离为2．6cm．故答案选C．【考点】角平分线的性质．7.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C．【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知，第一个图形是中心对称图形不是轴对称图形；第二、三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形不是中心对称图形，故答案选C．【考点】轴对称图形和中心对称图形的概念．8.（2分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为．【答案】2【解析】过P作PE⊥OM于E，根据垂线段最短，得出当Q与E重合时，PQ最小，根据角平分线性质由PE⊥OM，PA⊥ON，OP平分∠MON，求出PE=PA=2，即可求出PQ的最小值是2．【考点】角平分线的性质；垂线段最短9.（8分）如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．（1）请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】（1）（2，6）（2）（0，﹣6）（3）（﹣7，3）；（3，3）；（﹣5，﹣3）．【解析】（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；（2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，并写出点B的对应点的坐标；（3）分别以AB、BC、AC为对角线，写出第四个顶点D的坐标．试题解析：解：（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；（2）所作图形如图所示：，点B'的坐标为：（0，﹣6）；（3）当以AB为对角线时，点D坐标为（﹣7，3）；当以AC为对角线时，点D坐标为（3，3）；当以BC为对角线时，点D坐标为（﹣5，﹣3）．【考点】作图-旋转变换10.（本题满分16分）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB·AF＝CB·CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点．设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2．①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．【答案】（1）详见解析；（2）y＝3x＋27（x＞0）；（3）当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝．【解析】（1）由已知条件易证△DCF∽△ABC，可得，即可得AB·AF＝CB·CD；（2）由勾股定理求得AC=12，即可得CF＝AF＝6，根据四边形BCDP的面积=△DCP的面积+△BCP的面积即可得y关于x的函数关系式；（3）由题意可知△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小，当当P、A、B三点共线时PB＋PA最小．这时求得x、y的值即可．试题解析：（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC∴AF＝CF，∠DFA＝∠DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF．∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B∴△DCF∽△ABC∴，即．∴AB·AF＝CB·CD（2）解①∵AB＝15 BC＝9 ∠ACB＝90°∴AC＝＝＝12∴CF＝AF＝6∴y=（x+9）×6＝3x＋27（x＞0）②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小．由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小．显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小．此时DP＝DE，PB＋PA＝AB．由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC．由EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝．∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10．Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．∴DE＝DF＋FE＝8＋＝．∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝【考点】三角形相似的综合题．11.在平面直角坐标系中，点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（）A．33B．﹣33C．﹣7D．7【答案】D．【解析】已知点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，关于原点对称的点的坐标特点是横坐标与纵坐标都互为相反数，根据这一规律可得a=﹣13，b=20，所以a+b=﹣13+20=7．故答案选D．【考点】关于原点对称的点的坐标特点.12.如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P的坐标为（）．A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，0）【答案】B．【解析】连接AD，CF交点为P．根据图形可知点P的坐标为（﹣1，﹣1），∴旋转中心P点的坐标为（﹣1，﹣1）．故选：B．【考点】坐标与图形变化-旋转．13.（3分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．【答案】（3，﹣4）．【解析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．【考点】关于原点对称的点的坐标．14.已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（）．A． B． C． D．【答案】A．【解析】根据题意得AP=AB，所以PB=AB﹣AP=AB，所以PB：AB=．故选：A．【考点】黄金分割．15.下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题．请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在空白处填上恰当的图形．【答案】．【解析】观察图形可得，这几个图形都是轴对称图形，并且从左到右依次是数字1至7的对称，所以第六个图形为．【考点】轴对称图形；规律题．16.下列交通标志图案是轴对称图形的是（）．【答案】B．【解析】根据轴对称图形的概念可得选项A不是轴对称图形，选项B是轴对称图形，选项C不是轴对称图形，选项D不是轴对称图形，故答案选B．【考点】轴对称图形的概念．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为4（-2，-1），B（-4，1），C（-3，3）.△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1.（1）画出△A1B1C1；（2）BC与B1C1的位置关系是________，AA1的长为________，（3）若点P（a，b）是△ABC一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为______________.【答案】BC∥B1C1，；【解析】（1）根据中心对的两个图形对应点的坐标互为相反数画出图形即可；（2）根据图形可得出BC∥B1C1，根据勾股定理得出AA1的长为；（3）根据中心对的两个图形对应点的坐标互为相反数得出P1的坐标. 试题解析：（1）如图；（2）BC∥B1C1，；（3）.【考点】平面直角坐标系；中心对称；勾股定理18.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（－2，5），B（－3，－1），C（1，－1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是．【答案】（2，5）．【解析】连接AB，BC，根据平行四边形性质可知AD∥BC，可知D点的纵坐标一定是5；又由C点相对于B点横坐标移动了1-（-3）=4，故可得点D横坐标为-2+4=2，即顶点D的坐标（2，5）．【考点】平行四边形的性质．19.一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为要使整个图案关于正方形的某条对角线对称，且正方形和圆都是轴对称图形，所以A、B、C都符合要求，D不符合要求，故选：D．【考点】作轴对称图形．20.在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有种．【答案】4【解析】根据轴对称图形的性质，实际操作一下可知：共有4种添法．【考点】轴对称图形的设计．21.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6个 B．7 个 C．8 个 D．9个【答案】C．【解析】如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选C．【考点】1．等腰三角形的判定；2．勾股定理；3．网格型．22.点P（1，2）关于y轴对称点的坐标是（）．A．（－1，2）B．（1，－2）C．（1，2）D．（－1，－2）【答案】A【解析】因为关于y轴对称的两个点的坐标中横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以点P（1，2）关于y轴对称点的坐标是（－1，2），故选：A．【考点】关于y轴对称的点的坐标特点．23.请写出两个是轴对称图形的汉字．【答案】由、丰答案不唯一【解析】根据轴对称图形的性质可知：汉字中的由、丰、田、日等等都是轴对称图形，答案不唯一．【考点】轴对称图形24.如图所示，观察规律并填空：__________．【答案】【解析】根据所给的图形可知：图形是偶数数字所构成的轴对称图形，所以空白处应该填6的轴对称图形，即：．【考点】轴对称图形25.下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）．【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念，延某条直线对折能够完全重合的图形称为轴对称图形，因此可知D为轴对称图形．故选D【考点】轴对称图形26.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，点D是BC边上的点，BD＝2，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是_______．【答案】3+【解析】连接CE，交AD于M，由沿AD折叠C和E重合，可得∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，即AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=，而当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+BD+DE=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠B=60°，DE=，∴BE=1，BD=2，即BC=+2，∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=+2+1=3+．【考点】折叠变换，勾股定理27.如图，在中，，，，，，，则的周长是（）A．15B．16C．17D．18【答案】B【解析】根据垂直平分线定理，可得到BD=CD，继而可求得的周长．解：∵，，∴BD=DC，∴的周长=AD+BD+AC=AB+AC=10+6=16．故选B．【考点】1．垂直平分线定理；2．三角形的周长．28.如图，把一个直角△ABC（∠ACB=90°，∠ABC=60°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置，F、G分别是BD、BE上的点，且BF=BG，延长CF与DG交于点H，（1）求证：CF=DG；（4分）（2）求∠FHG的度数．（4分）【答案】（1）见解析；（2）∠FHG=120°．【解析】（1）在△CBF和△DBG中，根据SAS即可证得两个三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．试题解析：（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS）．∴CF=DG．（2）∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG．又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°．∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．【考点】全等三角形的判断与性质．29.如图，在△ABC中，AB＝AC＝32cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D．E两点，BC＝21cm，连BE，则△BCE的周长是 cm．【答案】53．【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=（BE+CE）+BC=AC+BC=32+21=53cm．故答案为：53．【考点】线段垂直平分线的性质．30.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时，①找出图中一对全等三角形；②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明．【答案】（1）①证明见试题解析；②证明见试题解析；（2）①△ADC≌△CEB；②DE=AD﹣BE．【解析】（1）由余角和补角的性质易证得∠DAC=∠ECB，已知∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，由全等三角形的判定AAS即可证明△ADC≌△CEB，由各边的相等关系即可得DE=AD+BE．（2）同理可证得△ADC≌△CEB，再由各边的相等关系可得DE=AD﹣BE．试题解析：（1）①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=180°﹣90°=90°，∴∠DAC=∠ECB；在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠ECB，AC=CB，∴△ADC≌△CEB （AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴DC=EB，AD=CE，∴DE=AD+BE；（2）解：①△ADC≌△CEB．同理可得△ADC≌△CEB；②DE=AD﹣BE．理由如下：∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=AD﹣BE．【考点】全等三角形的判定与性质．31.等腰三角形的一条边长为6cm，周长为14cm，它的底边长为_________．【答案】2cm或6cm．【解析】设等腰三角形的腰长为6cm，则底边长为14-6×2=2（cm）；设等腰三角形的底边长为6cm，则腰长为（14-6）÷2=4（cm），4+4＞6，可以构成三角形，所以它的底边长为2cm或6cm．故答案为：2cm或6cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形的三边关系定理．32.在下列的图形上补一个小正方形，使它成为一个轴对称图形，并画出对称轴．【答案】见解析【解析】根据轴对称图形的定义补一个小正方形即可，答案不唯一．试题解析：如图：写出一种给2分，共6分【考点】轴对称图形33.我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图我国四大银行的商标图案中轴对称图形的有A．①②③B．②③④C．③④①D．④①②【答案】B【解析】根据轴对称图形的定义可知:①不是轴对称图形；②是轴对称图形；③是轴对称图形；④是轴对称图形；所以②③④是轴对称图形，故选：B．【考点】轴对称图形34.下列图形中，是轴对称图形的是（）．【答案】A．【解析】轴对称图形是如果一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能相互重合，这样的图形是轴对称图形，显然A选项沿着图形中间上下这条直线折叠，左右两部分能重合，B，C，D选项不符合定义，故本题选A．【考点】轴对称图形的概念．35.如图，在平面直角坐标系中，（1）描出A（－ 4，3）B（－1，0）C（－2，3）三点．（2）△ABC的面积是（3）作出△ABC关于y轴的对称图形．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析．【解析】根据平面直角坐标系中描点的方法得出各点，然后根据三角形的面积计算法则求出三角形的面积；关于x轴对称，则点的横坐标不变，纵坐标变为相反数．试题解析：（1）如图所示，（2）△ABC的面积是3 ．（3）如图所示【考点】平面直角坐标系．36.下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将图形沿着某条直线对称，如果直线两边的图形能够完全重叠，则图象就是轴对称图形．根据定义可得D是轴对称图形．【考点】轴对称图形37.如图，直线l1与l2相交，且夹角为60°，点P在角的内部，小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，…，如此继续，得到一系列的点P1，P2，…，Pn，若Pn与P重合，则n的最小值可以是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B．【解析】试题解析：作图可得：设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点P1，P2，P3，…，Pn都在以O为圆心，OP为半径的圆上，∵∠α=60°，∴每相邻两点间的角度是60°；故若Pn与P重合，则n的最小值是6．故选B．【考点】轴对称的性质．38.AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F•，则下列结论不一定正确的是（）A．DE=DF B．BD=CDC．AE=AF D．∠ADE=∠ADF【答案】B．【解析】∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴△AFD≌△AED（HL），∴DE=DF，AE=AF，∠ADE=∠ADF．故答案选B．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定及性质．39.如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选_______点（C或D）．【答案】C．【解析】此题考查了最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，∵A′B与直线a交于点C，∴点P应选C点．故答案为：C．【考点】轴对称-最短路线问题．40.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD=4cm，CD=3cm，点P是边AB上的动点，则DP长的最小值为____ ___cm．【答案】3．【解析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．先根据勾股定理求出CD的长，再过点D作DE⊥AB于点E，由垂线段最短可知当P 与E重合时DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论．解：过点D作DE⊥AB于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时DP最短，∵AD平分∠CAB交BC于D，∴DE=CD=3，即线段DP的最小值为3．故答案为：3．【考点】1．角平分线的性质；2．垂线段最短．41.到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条垂直平分线的交点【答案】D．【解析】试题解析：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选D．【考点】线段垂直平分线的性质．42.点A（2，﹣3）关于x轴的对称点A′的坐标是．【答案】（2，3）【解析】两点关于x轴对称，则两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．【考点】对称点的坐标43.若点A（4，1－2m）在x轴上，则m＝．【答案】．【解析】在x轴上纵坐标为0,1-2m=0,解得x=．【考点】平面直角坐标系．44.如图，下列图案中，其中是轴对称图形的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】轴对称图形是一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这条直线是对称轴，显然第三个图形不是轴对称图形，其它三个都是，故选C．【考点】轴对称图形概念．45.国旗上的一个五角星有__________条对称轴；【答案】5．【解析】过五角星的五个顶点中任意一个顶点，与所对的两边的交点可作一条对称轴，∴五角星有5条对称轴．【考点】轴对称概念．46.已知：如图，在∠AOB外有一点P，（1）试画出点P关于直线OA的对称点，再画出点P1关于直线OB的对称点．（2）试探索∠与∠AOB的大小关系并说明理由；（3）若点P在∠AOB的内部，上述结论还成立吗？写出此时的关系式．【答案】（1）参见解析；（2）∠POP2=2∠AOB，理由参见解析；（3）成立，理由参见解析．【解析】（1）过点作直线的垂线，然后在直线另一侧同等距离处取一点，这点就是对称点，据此作图即可；（2）连接OP1，OP2，OP，根据线段垂直平分线性质，及等腰三角形三线合一即可得出结论；（3）根据要求作出对称点连线，仍利用线段垂直平分线性质，及等腰三角形三线合一导出∠POP2=2∠AOB．试题解析：（1）过点P作OA的垂线，然后在直线另一侧同等距离处取一点，这点就是对称点P1，同理作P1垂直OB延长并截取相等得到P2，（2）P1是P关于OA的对称点，所以OA是PP1的中垂线，OP=OP1，三角形P1OP是等腰三角形，∠P1OA=∠AOP（等腰三角形三线合一），同理，∠P2OB=∠BOP1，∠AOB=∠AOP1+∠BOP1，∠POP2=∠P1OA+∠AOP+∠P2OB+∠BOP1=2（∠AOP1+∠BOP1）=2∠AOB；即∠POP2=2∠AOB．（3）若点P在∠AOB的内部，上述结论还成立，因为仍然有OA是PP1的中垂线，OP=OP1，三角形P1OP是等腰三角形，∠P1OA=∠AOP（等腰三角形三线合一），同理，∠P2OB=∠BOP1，所以∠AOB=∠BOP1-∠AOP1=∠P1OP2-∠P1OP=（∠P1OP2-∠P1OP）=∠POP2；即∠POP2=2∠AOB．结论还成立．【考点】1．轴对称作图；2．线段垂直平分线性质；3．等腰三角形性质；4．线段的和差转化．47.如图是一个围棋棋盘（局部），把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋①的坐标是（-2，-1），白棋③的坐标是（-1，-3），则黑棋②的坐标是．【答案】（1，-2）．【解析】试题解析：由用（-2，-1）表示白棋①的位置，用（-1，-3）表示白棋③的位置知，y轴为从左向数的第四条竖直直线，且向上为正方向，x轴是从下往上数第五条水平直线，这两条直线交点为坐标原点．那么黑棋②的位置为（1，-2）．【考点】坐标确定位置．48.如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-3，1），C（-6，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）写出△ABC关于x轴的对称图形△A2B2C2顶点A2、B2、C2的坐标．【答案】（1）作图见解析；（2）A2（-1，-5）、B2（-3，-1）、C2（-6，-3）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）A2（-1，-5）、B2（-3，-1）、C2（-6，-3）．【考点】作图-轴对称变换．49.如图，坐标平面内一点A（2，-1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C．【解析】试题解析：如图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．综上所述，符合条件的点P的个数共4个．故选C．【考点】1．等腰三角形的判定；2．坐标与图形性质．50. 将一张正方形纸片按如图1、图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，得到的图案是（）【答案】B ．【解析】根据题意，按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到，故答案选B ．【考点】翻折变换．51. 在平面直角坐标系中，将点P （﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（） A ．（2，4） B ．（1，5） C ．（1，-3） D ．（-5，5）【答案】B【解析】由平移规律可得将点P （﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（1，5），故选B ．【考点】点的平移．52. （2012•肥城市校级模拟）在平面直角坐标系中，点P （﹣2，x 2+1）所在的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】根据非负数的性质确定出点P 的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．解：∵x 2≥0， ∴x 2+1≥1，∴点P （﹣2，x 2+1）在第二象限．故选B ．【考点】点的坐标；非负数的性质：偶次方．53. （2015秋•无锡校级月考）如果点A （0，1），B （3，1），点C 在y 轴上，且△ABC 的面积是3，则C 点坐标．【答案】（0，﹣1）或（0，2）．【解析】根据三角形的面积公式，可得答案．解：S △ABC =AB•|y A ﹣y C |=×3|y A ﹣y C |=3，得|y A ﹣y C |=2，1﹣y C =2或1﹣C =﹣2，解得y C =﹣1，或y C =2，C 点的坐标是（0，﹣1）或（0，2）．故答案为：（0，﹣1）或（0，2）．【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．54. （2015秋•无锡校级月考）如图，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（4，8），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y轴于点E，那么点D的坐标为．【答案】（﹣，）．【解析】过D作DF⊥x轴于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=4，设OE=x，那么CE=8﹣x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=8，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．解：如图，过D作DF⊥x轴于F，∵点B的坐标为（4，8），∴AO=4，AB=8，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=4，设OE=x，那么CE=8﹣x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（8﹣x）2=x2+42，∴x=3，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=8，∴AE=CE=8﹣3=5，∴==，即，∴DF=，AF=，∴OF=﹣4=，∴D的坐标为（﹣，）．故答案是：（﹣，）．【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．55.平面坐标系内，若|a|=5，|b|=4，且点P（a，b）在第三象限，则点P的坐标为（）A．（5，4）B．（-5，4）C．（-5，-4）D．（5，-4）【答案】C．【解析】试题解析：在平面直角坐标系中点P（a，b）在第三象限，且|a|=5，|b|=4，得a=-5，b=-4，则点P的坐标是（-5，-4），故选C．【考点】点的坐标．56.下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）【答案】D．【解析】A，B，C都不是轴对称图形，D符合轴对称图形的定义，故选D．【考点】轴对称图形．57.如图，在平面直角坐标系xoy中，A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)。

浙教版八年级下册数学2019年几何压轴题培优专题(含答案)

浙教版八年级下册数学2019年浙江省杭州市几何培优卷1、在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（ B ）（第1题图）A．3 B．5 C．2.4 D．2.52、在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=m（m≠0）交于点A（2，-3）和点B（n，2）；x（1）求直线与双曲线的表达式；（2）点P是双曲线y=m（m≠0）上的点，其横、纵坐标都是整数，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，当点xP位于点Q下方时，请直接写出点P的坐标．解：（1）双曲线y=m（m≠0）经过点A（2，-3），x∴m=-6，∴反比例函数的解析式为y=-6，x∵B（n，2）在y=-6上，x∴n=-3，∴B（-3，2），2k+b=−3，则有：{−3k+b=2k=−1，解得：{b=−1∴一次函数的解析式为y=-x-1．（2）由题意点P在点B的左侧或在y轴的右侧点A的左侧，∵点P的横坐标与纵坐标为整数，∴满足条件点点P坐标为（-6，1）或（1，-6）．l321S 4S 3S 2S 13、四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 3 ．4、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 中，A （10，0），C （0，4），D 为OA 的中点，P 为BC边上一点．若△POD 为等腰三角形，则所有满足条件的点P 的坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．5、正方形ABCD 的边长为4，线段GH=AB ，将GH 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果G 点从A 点出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点H 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段GH 的中点P 所经过的路线围成的图形的面积为 16﹣4π .6、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ 4 ．第6题图7、正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别从点A 、点D 以相同速度同时出发，点E 从点A 向点D 运动，点F 从点D 向点C 运动，点E 运动到D 点时，E 、F 停止运动．连接BE 、AF 相交于点G ，连接CG ．有下列结论：①AF ⊥BE ；②点G 随着点E 、F 的运动而运动，且点G 的运动路径的长度为π；③线段DG 的最小值为252-；④当线段DG 最小时，△BCG 的面积8855S =+.其中正确的命题有 ① ② ③ ．（填序号）第3题图第4题图第5题图（第7题图）8、菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，翻折∠B，∠D，使点B，D两点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0<x<2），给出下列判断：①当x=1时，点P是菱形ABCD的中心；②当x=12时，EF+GH>AC；③当0<x<2时，六边形AEFCHG面积的最大；④当0<x<2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确结论是①④．（填序号）9、学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2）（1）A3的坐标为（8，2），A n的坐标（用n的代数式表示）为（3n﹣1，2）．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），∴A1，A2，A3，…，A n各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A1，A2，A3，…，A n各点的横坐标依次大3，∴A3（5+3，2），A n（，2），即A3（8，2），A n（3n﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．10、（如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG=90°，点F是DG的中点，连结EF与CF．（1）求证：EF=CF；（2）求证：EF⊥CF；（3）如图2，若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°，其他条件不变，请判断△CEF的形状，并证明你的结论．P F EDCBAP DCB APF E D CBA 解析：（1）证明：∵∠BEG=90°，点F 是DG 的中点，∴EF=DF=DG ，∵正方形ABCD 中，∠BCD=90°，点F 是DG 的中点，∴CF=DF=DG ， ∴EF=CF ；（2）证明：∵EF=DF ，CF=DF ，∴∠FDE=∠FED ，∠FCD=∠FDC ，∴∠EFC=∠EFG+∠CFG=∠FDE+∠FED+∠FCD+∠FDC=2∠FDE+2∠FDC=2∠BDC ，在正方形ABCD 中，∠BDC=45°，∴∠EFC=2×45°=90°，∴EF ⊥CF ；（3）解：△CEF 是等腰直角三角形．理由如下：如图，延长EF 交CD 于H ， ∵∠BEG=90°，∠BCD=90°，∴∠BEG=∠BCD ，∴EG ∥CD ，∴∠EGF=∠HDF ， ∵点F 是DG 的中点，∴DF=GF ，在△EFG 和△HFD 中，，∴△EFG ≌△HFD （ASA ），∴EG=DH ，EF=FH ，∵BE=EG ，BC=CD ，∴BC ﹣EB=CD ﹣DH ，即CE=CH ，∴EF ⊥CF （等腰三角形三线合一），CF=EF=EH ，∴△CEF 是等腰直角三角形．11、四边形ABCD 是长方形．（1）Ｐ为矩形内一点（如图a ），求证: 2222PD PB PC PA +=+;（2）探索若点P 在AD 边上(如图b ）、矩形ABCD 外(如图c ）时，结论是否仍然成立．解析：（1）过P 作AB EF ⊥于E 点交CD 于F 点，如图a ：222222222222)()()()(PD PB AE PF BE PE CF PF PE AE PC PA +=+++=+++=+(2) 如图b ：2222PD PB PC PA +=+仍然成立．（证明略）过P 作BA EF ⊥的延长线于E 点交CD 的延长线于F 点，如图c ： 2222PD PB PC PA +=+仍然成立．（证明略）12、在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，分别延长AC 至E ，BC 至F ，且CE ＝EF ，延长FE 交AD 的延长线于G ．（1）求证：AE ＝EG ；（2）如图2，分别连接BG ，BE ，若BG ＝BF ，求证：BE ＝EG ；（3）如图3，取GF 的中点M ，若AB ＝5，求EM 的长．【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD ＝∠G ，可得AE ＝EG ；（2）作辅助线，证明△BEF ≌△GEC （SAS ），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN 是平行四边形，得EM ＝DN ＝AC ，计算可得结论．【解答】证明：（1）如图1，过E 作EH ⊥CF 于H ，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如图2，连接GC，∵AC＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AG是BC的垂直平分线，∴GC＝GB，∴∠GBF＝∠BCG，∵BG＝BF，∴GC＝BE，∵CE＝EF，∴∠CEF＝180°﹣2∠F，∵BG＝BF，∴∠GBF＝180°﹣2∠F，∴∠GBF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠BCG，∵∠BCE＝∠CEF+∠F，∠BCE＝∠BCG+∠GCE，∴∠GCE＝∠F，在△BEF和△GCE中，∵，∴△BEF≌△GEC（SAS），∴BE＝EG；（3）如图3，连接DM，取AC的中点N，连接DN，由（1）得AE＝EG，∴∠GAE＝∠AGE，在Rt△ACD中，N为AC的中点，∴DN＝AC＝AN，∠DAN＝∠ADN，∴∠ADN＝∠AGE，∴DN∥GF，在Rt△GDF中，M是FG的中点，∴DM＝FG＝GM，∠GDM＝∠AGE，∴∠GDM＝∠DAN，∴DM∥AE，∴四边形DMEN是平行四边形，∴EM＝DN＝AC，∵AC＝AB＝5，∴EM＝．【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．13、已知正方形ABCD。

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