矩阵的秩及其应用

矩阵的秩及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。

首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。

对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。

关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。

它是矩阵 的一个重要性质。

在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。

由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。

1．矩阵的秩及其求法1.1矩阵的秩的定义定义1.1.1[1] 矩阵A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。

定义1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。

定义1.1.3[1] 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r +子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A 的秩为r ，记为()r A r =或秩()A r =。

零矩阵的秩规定为零。

注：由定义可以看出(1)若A 为n m ⨯矩阵，则()r A m ≤，也()r A n ≤，即()min{,}r A m n = (2) ()()T r A r A = ,()()r kA r A = ,k 为非零数 1.2 矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一 下这两种方法。

方法1 按定义例1.2.1 求矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--41311221222832的秩 解 按定义3解答，容易算出二阶子式12232-0≠，而矩阵的所有三阶子式1312122832--=0，43112122232-=0，41312212283--=0，4111222282-=0 所以()2r A =方法2 初等变换法引理1.2.1[1] 初等变换不改变矩阵的秩。

例1.2.1求矩阵23822122121314A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩 解 用“→”表示对A 作初等变换，则有A →13142122122382⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→131406440966⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→131406440000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=B ，在矩阵B 中易知,所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式1306≠0. 所以()2r B =, 可得()2r A =。

即矩阵的秩为22矩阵的秩的应用2．1矩阵的秩在解线性方程组中的应用解线性方程组常用的方法是消元法和利用矩阵的秩。

消元法多用于方程组比较简单时。

当方程组的计算量较大时运用矩阵的秩来求解时就显现出其明显的优势。

引理 2.1.1[1] 如果齐次线性方程组111122121122221122...0...0...............0n n n ns s sn n b x b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵111212122212n n s s sn b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行秩r n <，那么它有非零解。

例2.1.1 求齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解12345123451234512345202075550320x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪+---=⎪⎨+--+=⎪⎪--+-=⎩ 解 对上面方程组的系数矩阵做初等变换可以得121111211112112211110533105331175550966606900312110552205140------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由于1112033100900014---≠，可知()45rank B =<.方程组的基础解系含有一个线性无关的解向量，题目所给方程组的同解方程组为123452345232342205330 690540x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪--+=⎪⎨-+=⎪⎪-++=⎩ ，可以令22x =可推出 12131,1,,23124η'=（，），η是原方程组的一个基础解系，因此齐次线性方程组的全部解可以表示为x k η=（k 为任意常数）引理 2.1.2[2]判别线性方程组11112211211222221122.....................n n n n s s sn n sb x b x b xc b x b x b x c b x b x b x c +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）有解的条件是111212122212n n s s sn b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 与增广矩阵11121121222212n n s s sn s b b b c b b b c B b b b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有相同的秩。

这说明当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1方程组无解。

例2.1.1.1 解方程组12312312312322355723314x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩解 用上述引理，将增广矩阵化为阶梯形。

2112115711571001131501916019160102115702412001200122331401132800000000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以很显然可得123122x x x =⎧⎪=⎨⎪=-⎩例2.1.1.2 解方程组123412341234221245224x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+++=⎨⎪---+=-⎩解 对B 进行初等行变换。

B =121211212112121120122411500333001110011112214003330000000000---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以可知()()2A r B ==r 所以方程组有解。

得出同解方程组12434221x x x x x ++=⎧⎨-=⎩，取24x x ==0，则132,1x x ==。

方程组的一个解是2010λ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，原式对应的齐次方程组1242234442x x x x x x x x x =--⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩的通解为1221100101k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

所以由以上可以求得方程组的通解为()1212212100,011010x k k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意实数 2.2：矩阵的秩在求特征值中的应用。

矩阵的秩与特征值之间也有非常密切的联系，下面就讨论一下当矩阵为1时 特殊情形时，特征值的取值情况。

引理2.2.1设()ij A a =是3阶矩阵，则A 的特征多项式32112233a )E A a a s A λλλλ-=-+++-（,其中111322231112313332332122a a a a a a s a a a a a a =++，特别地，若秩()1r A =，知道特征多项式322()()ii ii E A a a λλλλλ-=-=-∑∑，则矩阵A 的特征值是31231,0ii i a λλλ====∑。

例2.2.1 求行列式的值 x z z z z z x z zz z z x z z z z z x z zzzzx解 用上述引理的相关理论知识来解答，x z zzz z x z z z z z xz z z z z x z z z zz x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ =z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =（）+00000000000000000000x zx z x z x z x z-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦（=B ）.()1r A =,因此在A 中，12,0n nz λλλ====，在B 中，1n x z λλ===-。

所以矩阵的特征值为12,n nz x z x z λλλ'''=+-===-，由以上可以求得行列式x z z z z z x z z z z z x z z z z z x z z z zz x=112()()n n nz x z x z λλλ-'''=+--=1[(1)]()n n z x x z --+-2.3：矩阵的秩在多项式中的一点应用。

在高等代数中矩阵理论的学习在多项式理论之后，为了使同学们能够把前后知识 连贯起来，融会贯通，下面给出矩阵的秩在多项式中的一点运用。

引理2.3.1[7]设(),()[]f x g x p X ∈,且它们的次数都1≥，令1110()n n n n g x c x c x c x c --=++++和1110()m m m m h x d x d x d x d --=++++，且n ≥m,则()|()h x g x 的充要条件是线性方程组()T h x C x A =有唯一解，其中1010()10(1)(1)00m m mm h x mm n m n d d d d d d C d d d ----+⨯+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =110(,,)T n n c c c c -.令H =Th x C A （）,111011000m m m m m m nn n mn m d d d d d d J d d d c c c c c -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.即()()1r H r J n m ==-+ 例2.3.1 已知43222u x x bx x dx =+++-（），22v x x x =--（），当b ，d 为何值时，v x （）能整除u x （）。

解 u x （）能被v x （）整除的充要条件是矩阵112000112012200112122v x C B bd b d --⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎢⎥-⎣⎦（）的秩，13r B n m =-+=（）。