赤平投影原理及讲解
赤平投影原理及讲解
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
赤平投影原理与应用简介汇总
5.岩层产状为330°∠40°，求在335°
方向剖面上该岩层的视倾角
据岩层面产状作其投影弧 EHF。 在基圆上数至335°得 D’ 点。 作D’ 点与圆心O的连线， 交EHF于H’ 点。Ｈ’ 为岩层面与NW335°方向 剖面的交线在下半球的投影。 D’ H’ 间的角距即为 335°方向上的视倾角。
（因此，倾斜岩层的倾角就等于倾斜岩 层与赤平面之间的交角）
2、 径向大圆
过圆心走向 南北、倾角 不等的一系 列倾斜平面 的赤平投影
用途：用来 度量倾斜 岩层面的
倾角
纬向小圆的投影过程＝走向东西、
不过球心、间隔相等的直立平面的投影
纬向小圆代表的平面＝锥轴为南北向、锥 顶角间隔相等（2°）的圆锥与球面的交 线所确定的直立平面
过球心倾斜平面的赤平投影 ＝弦为直径的大圆弧
上极点为发射点时，倾斜平面的 赤平投影获得方法
不过球心的平面的投影 =小圆
投影原理
直线的赤平投影 ＝赤平面上的一个点
二 、赤平投影网的构成
赤平大圆 东西向、南北向直径 径向大圆弧 纬向小圆弧 赤平面大圆中心
1 、赤平大圆
可以看作是代表大地水准面的平面
A点数经线大圆与纬线小圆的
A
交点，读出侧伏角44°（β），
标出该点C″角距γ即为直线 的倾伏角，C′的方位角则为直 线的倾伏角。
7 求两平面交线的产状
据已知的两平面产 状，在吴氏网上分别 求出其投影大圆弧 EHF和JHK。两大圆 弧的交点Ｈ即为两平 面交线与下半球面交 点的投影
圆锥侧面与赤平面的交线，将赤平面 大圆圆周分为角度间隔为2°的180份
用途：以此来表 示面、线在空间 的方位
走向 倾向 倾伏向
赤平投影网
极射赤平投影原理和基本操作方法
造面产状
在构造面：N 30°E，45 °SE 侧伏为20°S
吴氏网的使用方法
1. 线的投影 例如一直线的产状为：20°，N30°W
2. 面的投影 例如一个面的产状为： N30°E， 30 ° SE
（ 120 °∠ 30 °)
投影到赤平面上。
二、平面的投影
• 大圆投影（即通过球心的平面的投影) 1. 直立平面的投影为一直立大圆 2. 倾斜平面的投影为一倾斜大圆 3. 水平平面的投影为一水平大圆即基圆
面。
球面上的投影大圆与极射点的连线必然穿过赤平面， 在赤平面上这些穿透点的连线即为相应大圆的极射
赤平投影，简称大圆弧。
• 1. 直立大圆的赤平投影为直线； • 2. 水平大圆的赤平投影为基圆 • 3. 倾斜大圆的赤平投影为以基圆直径为弦
实习目的
• 了解极射持平投影的概念； • 掌握极射持平投影的基本原理； • 掌握简单的面、线在吴氏网上的投影方法
实习内容
一、极射赤平投影的基本原理 （一）概念
1. 极射赤平投影 简称赤平投影，是在平面图上表示三维
空间中的面、线的几何关系的一种方法。
应用范围：天文、航海、测量、地理和地质科 学研究中
（一）面状构造产状及表示方法
N
• 向限角法： 走向+倾角+倾向 （N30°E， 45 ° SE)
N??W
N??E
W
E
S??W
S??E
S
• 方位角法：
0°（N）
倾向+倾角
(120 °∠ 45 °)
270°
90°
180°
（二）线状构造的产状及表 示方法
• 倾伏：倾伏角+倾伏向
赤平投影原理经典实用
•赤平投影原理
•4
(二）、投影网：吴尔福网和施密特网
1、吴氏网的结构及成因原理
吴氏网的结构：基圆、径向大圆弧、纬向小圆弧、
东西、南北经纬线，间距2°，误差±0.5°。
（1）、基圆：赤平大圆，代表水平面，0°-
360°方位角刻度。
（2）、两条直径：EW，SN。
（3）、经向大圆弧：由一系列走向SN的，向东
•赤平投影原理
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例9: 已知平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水 平旋转30 °求旋转后的平面产状。
操作步骤： ❖ 投影平面FD； ❖ 将大圆上若干点沿其所在
纬向小圆逆时针旋转30° （箭头所示）到新位置； ❖ 将旋转后得到的新位置点 旋转到同一经向大圆上， 拟合大圆弧即为旋转后的 平面D′F′投影。
•赤平投影原理
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例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新地层水平时老地层的产状。
❖ 投影新地层DHF 、老地层 ABC 的产状;
❖ 将新地层产状恢复水平，旋 转DHF 大圆弧与SN向经向 大圆重合，将大圆弧上各点 转到基圆上。
❖ 将老地层向相同方向旋转相
同角度，使老地层ABC大圆
达到新位置，将新位置各点
拟合大圆即可。
•赤平投影原理
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作业：
P230 9、11、12、16、18
•赤平投影原理
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•赤平投影原理
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（3） 、法线的投影 关键：法线和平面垂直，倾向相反（90°），倾角互 余。 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。
•赤平投影原理
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（4）、已知真倾角求视倾角 例4:某岩层产状300°∠40°，求在
赤平投影原理
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一. 赤平投影的基本原理 (二) 平面的赤平投影解析:
一. 赤平投影的基本原理
(四) 赤平投影网:
1. 吴氏网的结构及成图原理: 2. 吴氏网与施氏网的区别:
吴氏网
施氏网
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一. 赤平投影的基本原理
(四) 赤平投影网: 1. 吴氏网的结构及成图原理: 2. 吴氏网与施氏网的区别: 吴氏网－球面上大小相等的小圆, 投影在吴氏网上直径角距是相等的，
二. 赤平投影网的使用方法
第二十二页，共39页。
二. 赤平投影网的使用方法
所需工具:
吴氏网(在实习指导书后面) 透明纸(>20×20cm) [硬纸板(>20×20cm)] 图钉一枚或大头针 橡皮擦 铅笔 透明胶带
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二. 赤平投影网的使用方法
投影前要作的准备工作: 1. 透明纸放在投影网上，用铅笔标记一个“+”
因为吴氏网上反映角距关系比较精确，且作图方便， 尤其是在旋转操作方面更显示其优越性，因此，在求解 线、面之间的角距关系方面，采用吴氏网。
在面临众多的线、面统计分析，进行线、面的变化 规律和分布规律的研究时，多用施氏网，因为施密特网 具有等面积特征，能够真实地反映球面上投影极点地分 别疏密。
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3. 把透明纸指北箭头转回原来0°方位, 此时所画大圆弧的弧凸方 向为120 °, 角距为30°。
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赤平投影原理及讲解
赤平投影原理及讲解Newly compiled on November 23, 2020一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
第十六章__赤平投影的基本原理和方法
第一节 赤平投影的基本原理
一、赤平投影的要素：
1、投射球； 2、赤平面； 3、基 圆； 4、投射点
1、投影球（投射球）：以任意长为半径作成的球。投 影球表面称为球面。 2、赤平面：过投影球球心的水平面，即赤平投影面。 3、基 圆：赤平投影平面（赤平面）与投影球面相交 所成的大圆。或称赤平大圆，内设东西和南北经线。 注意：凡是过球心的平面与球面相交所成的圆，统称 大圆。 不过球心的平面与球面相交所成的圆，统称小圆。 4、投射点（极射点） ： 球上两极的发射点。由上极 射点把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称下半球 投影。反之，称上半球投影。 我们多采用下半球投影。
二、投影原理
一切过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在 球面上形成大圆和点。面的投影为一个大圆弧，线的投影 则为一个点。
三、投影网（吴尔福网-等角距网、施密特网-等面积网）
吴氏网的结构要素 1．基圆 2、两条直径
3、经线大圆 4、纬线小圆
1．基圆 ：赤道平面与球面的交线，是网的边缘 大圆。由正北顺时针为0〫-360〬，每小格为2〬， 表示方位角。 2、两条直径 ：分别为SN走向和EW走向直立平面 的投影。自圆心向基圆为90-0〬。 3、经线大圆 ：是通过球心的一系列走向SN，向E 或W倾斜的平面的投影。自SN直径向基圆代表倾角 由陡至缓的倾斜平面（90-0〬 ）。 4、纬线小圆：是一系列不通过球心的EW走向直立 平面的投影。它们将SN 向直径、经线大圆等分， 每小格为2〬。
四、投影方法
1.平面的投影方法 (SE120〫∠30〫)
2.直线的投影方法 (NW330˚∠40º )
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 法线的投影方法(E90º ∠40º )
赤平投影原理及讲解
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
ﻫ二、极射赤平投影的基本原理(一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括:1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。
2.球面:投影球的表面称为球面。
3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。
当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。
５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。
当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。
赤平投影原理ppt课件
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二. 赤平投影网的使用方法
(四)求两平面的夹角及其等分面: 5. 在FG大圆弧上数二面角的平分角距, IH间平分为 57 °, 平分点为K, 在FI+HG间平分为33 °。 6. 转动透明纸, 使b点和K点位于同一大圆弧上, 该 大圆弧即为二平面夹角中的平分面(产状267∠85°)
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二. 赤平投影网的使用方法
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二. 赤平投影网的使用方法
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二. 赤平投影网的使用方法
所需工具:
吴氏网(在实习指导书后面) 透明纸(>20×20cm) [硬纸板(>20×20cm)] 图钉一枚或大头针 橡皮擦 铅笔 透明胶带
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二. 赤平投影网的使用方法
投影前要作的准备工作: 1. 透明纸放在投影网上，用铅笔标记一个 “+” 以注明投影网中心；再用一5×5mm的透明 胶带贴在透明纸上( 贴在投影网中心所在部位) 。 2. 将透明纸上的“+”标记与投影网对准，用 图钉或大头针沿中心扎下去并固定在桌面上，此 时透明纸能绕图钉(投影网中心)作水平方向的旋 转。 3. 用铅笔在透明纸上描下投影网的基圆(圆 周)，并在上端0°处注记一箭头，箭头指向投影 网上0°的刻度处。
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二. 赤平投影网的使用方法 (四)求两平面的交线产状: 例如: 两平面产状为70∠40°和290∠30°, 求其交线 产状 1. 按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圆弧。 2. 而大圆弧相交与一点b, 即为两平面交线的产状 (倾伏向和倾伏角为4∠13°)
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二. 赤平投影网的使用方法 (四)求两平面的夹角及其等分面: 例如: 两平面产状为70∠40°和290∠30°, 求两平面 的夹角及其等分面 1. 按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圆弧。 2. 而大圆弧相交与一点b，为二平面的交线。
构造地质实训4极射赤平投影的基本原理及应用
构造地质实训4极射赤平投影的基本原理及应用地质实训是培养学生实践能力的重要环节之一，能够帮助学生将课堂学到的地质知识应用到实际工作中。
4极射赤平投影是地质实训中常用的一种图形展示方式，下面将就其基本原理及应用进行详细讨论。
1.基本原理：4极射赤平投影是一种将地球表面的地理地貌信息以平面图形的形式展示的方法。
它基于地球表面的四个特殊点，即地球两个地轴极点、黄道平面和本初子午线来进行投影。
首先，从地球的黄道平面和本初子午线出发，通过地球的北极点和南极点，在黄道平面上确定一个点，称之为方程点。
方程点的位置取决于观察者所在的位置。
然后，从观察者所在位置引出一条射线，穿过地球的表面并与黄道平面相交。
最后，通过对地轴的绕点旋转变换，将地球的曲面信息转换为平面图形。
2.应用：4极射赤平投影在地质实训中有广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景：2.1绘制地质剖面图地质剖面图是地质学研究和实践工作中经常使用的工具，它能够以明确的方式展示地下地质结构和构造特征。
通过4极射赤平投影，可以将地球表面的地形和地质信息转换为平面图形，有利于地质学家对地质剖面进行详细分析和研究。
2.2绘制地质地图地质地图是地质学研究中的重要成果之一，它能够全面反映地球表面的地质特征和地质构造。
4极射赤平投影可以将地球表面的地理地貌信息以平面图形的形式展示，为地质学家制作地质地图提供了重要的参考依据。
2.3测量地震活动地震是地球内部活动的重要表现形式之一，对地震活动的监测和研究有助于预测地震的发生和演化。
4极射赤平投影可以帮助地震学家将地震活动的数据以平面图形的形式表示，有助于对地震活动的时空分布进行精确测量和研究。
2.4矿产资源勘探地质资源是人类社会发展的重要支撑，对地质资源的勘探和研究有助于发现新的矿产资源。
4极射赤平投影可以将地球表面的地质特征以平面图形展示，为矿产资源的勘探和开发提供了重要的参考依据。
综上所述，4极射赤平投影是地质实训中常用的一种图形展示方式，它通过对地球四个特殊点的确定和地轴的旋转变换，将地球表面的地理地貌信息转换为平面图形。
极射赤平投影原理及使用方法PPT学习教案
二. 赤平投影网的使用方法
(三)法线的赤平投影: 例如: 求一平面产状为90∠40°的法线投影。
1. 透明纸上指北箭头与投影网的0°重合, 从0° 开始, 顺时针数到投影网的90 °处, 用铅笔在该处的基 圆上注记一点。该点为平面的倾向。
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二. 赤平投影网的使用方法
大圆弧
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一. 赤平投影的基本原理 (二) 平面的赤平投影解析:
1. 过球心的平面的赤平投影: 直立大圆在赤平面的赤平投影为基圆的一条直
径(即直立大圆PSFN的投影为NS直径)；水平大圆的赤 平投影就是基圆(WNES)；倾斜大圆的赤平投影是以基 圆直径为弦的大圆弧(ASBN投影成SB’N)
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一. 赤平投影的基本原理 (二) 平面的赤平投影解析:
1. 过球心的平面的赤平投影: 设想通过球心的平面无限延伸，必定与球面相交
构成一个直径与投影球直径相对的大圆。直立平面与 投影球相交为一直立大圆(SPNF)，水平平面与投影球 相交为水平大圆或基圆(WNES)，倾斜平面与投影球相 交为一倾斜大圆(SANB) 。
方向数90 °得K点。 4. 将K点转至一经向大圆弧上, 过K点作出大圆弧FG,
FG大圆弧所代表的平面即为产状为70∠40°和290∠30° 两平面的公垂面, 因而在FG大圆弧上两交线之间的夹角为 真二面角, 其中一对为锐角, 另一对为钝角, 二者互为补角。
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二. 赤平投影网的使用方 法 (四)求两平面的夹角及其等分面:
直径上, 沿着投影网东西直径由投影网圆周向圆心方向数40°, 得一 点A, 该点即为为产状为330∠40°倾斜直线的赤平投影。
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构造地质学 实习讲义 第14章 赤平投影原理与应用简介1203
大圆图解。
圆柱状褶皱：各切面交线平行，且平行于褶皱枢纽， 这些经线大圆交于（β）点，即β轴=褶皱枢纽投影。
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D7054 Cam－O 褶 皱 岩 层 产 状 统 计 图
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D7052Cam－O褶 皱 岩 层 产 状 统 计
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1．投影平面245°∠30°；20°∠60°；340°∠40°；120°∠70°。 2．投影直线42°∠62°；130°∠45°；220°∠50°；315°∠32°。 3．投影平面NW318°∠26°的法线（即极点）。 4．投影包含直线258°∠40°及42°∠62°的平面的产状。 5．已知铁矿层产状为154°∠40°，求下列各方向剖面上的视倾角：80°、330°、290°、 240°。 6．在公路转弯处的两陡壁上，测得板状含金石英脉的视倾斜线产状分别为120°∠16°和 227°∠22°，求该板状含金石英脉的产状。 7．岩层面产状为150°∠40°，岩层面上有擦痕线，其侧伏角为30°SW，求擦痕线的倾伏 向和倾伏角。（提示：作出岩层面的大圆弧后，由大圆弧的走向SW端沿大圆弧数其被纬线小 圆弧所分割的30°，即得擦痕投影。） 8．求平面254°∠30°与145°∠48°的交线产状。 9．求平面335°∠30°与平面235∠48°的夹角及夹角平分面的产状。 10．一圆柱状背斜北西翼产状为330°∠45°，北东翼产状为65°∠35°。求：（1）东西向 直立剖面上两翼的视倾角及两翼之间的夹角；（2）横截面的产状、横截面上两翼的侧伏角及 两翼之间的翼间角。 11. 某地灰岩中发育一对共轭剪节理，一组产状为190∠76°，另一组产状为278°∠53°， 假定两组节理的锐角等分线方向为最大主压应力方向，求三个主应力轴的产状。
极射赤平投影及原理
圆心至基圆为900—00，每小格20，表示倾角、倾伏角.
3．经线大圆 经线大圆是通过球心的一系列走向南北，
向东或向西倾斜的平面投影．自南北直径向基圆代表倾角 由陡到缓的倾斜平面．
4．纬线小圆 纬线小圆是一系列不通过球心的东西走
向直立平面的投影，它们将南北向直径及经线大圆弧和基 圆等分(每小格20)
2．直线的投影 投影产状为3300 ∠ 400的直线。 (1)使透明纸上指N标记与网上N重合，以N为00，顺时针在基圆上 数至3300得A，为直线的倾伏向[图A] ;
(2)把A点转至东西直径上(也可转至南北直径上)，由基圆向圆心数 400(倾伏角)得A’点[图B]; (3)把透明纸的指N标志转至与网上正N重合，A’即为产状 3300∠400直线的投影（图C)。
2求两平面交线的产状(图12—11) (1)据巳知两平面的产状，在吴氏网上分别求出其投影大 圆弧EHF和JHK，两大圆弧的交点H为两平面交线与下半球 面交点的投影。 (2)作圆心O与H点的连线交基圆于G点，G点的方位角即两 平面交线的倾伏向，GH间的角距则为交线的倾伏角 。
极射赤平投影原理及应用
3．两直线为1200∠360和1800∠200，求所构成平面的产状及两直线间的夹角(图12-12)]
极射赤平投影原理及应用
将透明纸(或透明胶片 等)蒙在吴氏网上，描 画基圆及‘+’字中心， 固定网心,使透明纸能 旋转(或固定透明纸旋 转网)，然后在透明纸 上标出N，E，S，W．
1．平面的投影 投影产状l200∠300的平面(图12-5) (1)将透明纸上的指N标记与投影网正N重合，以N为00,在基圆上顺时针数至 1200(倾向)得一点D，为平面的倾向[图12-5(A)]。
赤平投影原理及讲解
赤平投影原理及讲解引言赤平投影是地图学中常用的一种投影方式，其最大的优点是可以充分保证地图上任意一点与赤道的角度都相等。
而赤平投影的实现原理，主要是利用了地球的旋转和中心线的垂直位置。
赤平投影原理坐标系在介绍赤平投影原理之前，我们需要先了解一下坐标系。
通常在地图制作中，我们使用的坐标系为地球坐标系。
地球坐标系是将地球上的点用三维坐标系表示的一种数学模型。
其中，地球坐标系的原点为地球质心，地球的赤道为该坐标系的 XY 平面，而该坐标系的 Z 轴即为地球北极点指向质心的连线。
在地球坐标系中，我们一般采用经度和纬度作为解释地球上位置的方式。
经度是一个定点的短圆弧与本初子午线之间的夹角，而纬度则是一个点与赤道之间的夹角。
它们的表示方式为度、分、秒，分别用符号 °、′、″ 表示。
赤平投影原理赤平投影又称为正射平面投影，需要满足投影面与地球的平面垂直，且中心点正好位于地球的北极或南极上。
投影点与赤道面的夹角都相等。
在赤平投影中，将地球的南北极作为坐标轴的原点，与水平面相交的平面即为投影面。
将该平面放在一张纸上，用垂线去描绘地球上的各个点。
这时，地球上的每一个点都可以在平面上找到一个对应的点，使得该点到点 O（即南极或北极）的距离与该点所对应的角度相等。
由于在赤平投影中，地球上的任何一点都可以延长与南北极的连线垂直于平面，这就形成了“正射平面投影”的名称。
在赤平投影中，投影长度与原长之比始终等于该点到南北极的夹角。
赤平投影的应用赤平投影具有保持等角性的特点，在工程制图、城市规划、制造业等领域得到了广泛的应用。
同时，在天文学中，赤平投影也是观测恒星时使用的一种重要工具。
赤平投影的应用广泛且其实现原理简单，只需将地球的南北极作为坐标轴的原点，与平面相交，以垂线去描绘地球上的各个点，便可以获得等角性的投影效果。
赤平投影原理与操作方法
赤平投影原理与操作方法
赤平投影是一种把三维球体表面映射到二维平面上的技术。
技术原理是从球体中心到表面上各点的线段与平面垂直，投影到平面上得到的投影坐标。
操作方法：
1. 选择一个球体，并确定其中心坐标和半径大小。
2. 确定投影平面，通常为xoy 平面或者xoz 平面，也可以自定义一个平面。
3. 将球体表面上的每个点投影到平面上得到对应的坐标点。
4. 将投影得到的坐标点按照一定的规律映射到二维平面上形成图像，通常会使用等距投影或者等面积投影等方法进行映射。
5. 根据需要作出相应的修改，例如旋转角度、缩放大小等。
赤平投影可以有效地呈现球体表面上的信息，并且具有保持距离和角度比例不变、投影区域面积相等等优点。
常用于地图制作、天文学和计算机图形学等领域。
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6.极射点:投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P)和下极射点(F)。由上极射点(Ｐ）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点(F)把上半球的几何要素投影到赤平面上
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的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。
7.极点:通过球心的直线与球面的交点称为极点,一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点)；水平直线交基圆上两点;倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B)。
赤平投影原理及讲解
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一、序言
岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GＢ50021－94)推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线(包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得,不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
（3）纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。这些小圆弧离基圆的圆心Ｏ愈远,其所代表的球面小圆的半径角距就愈小,反之离圆心Ｏ愈近,则半径角距就愈大。相邻纬向小圆弧间的角距也是2°,它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。如图六所示,ED=ＳＨ＝ＷＧ＝NＦ，角距都为３0°。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆,统称为小圆（如图一(b)、（c)中ＡB、ＣD、ＦG、PACB)。当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一(b）中ＤC);当平面水平时,与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一（b)中AＢ）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一(b)中FG或图一(c)中PＡＣB)。
（二）平面的赤平投影
平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点(P)的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。
1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化:倾斜平面的赤平投影为大圆弧(如图二中的NＢ′S);直立平面的赤平投影是基圆的一条直径(如图一(ａ）中的NＳ);水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的ＮESＷ）。
2.吴氏网的CAD图解
绘制吴氏网,其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢？在没有ＣAＤ制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制,其绘制过程很复杂。而在CAD制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。
(四）吴氏网及其CAD制作
目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网;等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的主要区别在于:球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等,但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆,但四级曲线所构成的图形面积是相等的,且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性,不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏网时,可以作出面、线的极点图或等密度图,能够真实反映球面上极点分布的疏密,有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。
（三）直线的赤平投影
直线AＢ的投影点就是其极点Ａ、B和极射点P的连线与赤平面的交点Ａ′、B′。铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径;倾斜直线的投影点有两个,一点在基圆内,另一个在基圆外，两点呈对蹼点,在赤平投影图上两点的角距相差180°(如图五）。
1.吴氏网的结构及成图原理
吴氏网(图六）由基圆、南北经向大圆弧(ＮGS）、东西纬向小圆弧（ACB)等经纬线组成。标准吴氏网的基圆
直径为2方向(N)为0°,顺时针方向刻出360°,这些刻度起着量度方位角的作用；
（2)经向大圆弧是由一系列通过球心,走向南北,分别向西和向东倾斜，倾角由0°到90°（角距间隔为2°)的许多赤平投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线EW的交点到端点（E点和W点)的距离分别代表各平面的倾角。如图六中ＧＷ表示的大圆弧NGＳ所代表的平面向西倾斜,倾角为3０°。
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二、极射赤平投影的基本原理
(一)投影要素
极射赤平投影(以下简称赤平投影)以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素,包括:
1．投影球（也称投射球)：以任意长为半径的球。
2．球面:投影球的表面称为球面。
3.赤平面(也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆（如图一（a)中AＳBN、PＳＦＮ、NESＷ),所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a)中PSFN)；当平面水平时,与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆(如图一(a)中ASBN)。