同济大学 高等数学B 第八章习题课下.ppt

解
x t 1
直线L的参数式
:

yt3
P0

z 2t
Q(t 1, t 3,2t) L

P0Q (t 2, t 3,2t 4) (3,4,1)
Q L
(t 2, t 3,2t 4) (3,4,1) t 22 0
得到 t 22

2x 2y z 1 0
5.
求直线
L1
:
x
0
1

y 1

z 1
与直线
L2
:
x 2

y 1

z
0
2
的距离与公垂线方程.
6.
求空间圆

x 2 y2 z 2 12x 4 y 6z 24 0 的半经与圆心坐标 .

2x 2y z 1 0
f ( x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面方程为
f ( x2 z2 , y) 0
[2] 柱面 柱面方程的特征：
方程F ( x, y) 0(缺z) 是母线平行于 z 轴的柱面
圆柱面 x2 y2 R2
抛物柱面 x2 2 py ( p 0)
n,
, z0
p)
)
[3] 空间直线的参数方程
x x0 mt

y

y0

nt
x
z z0 pt
z s
L
M
M0
o
y
M0( x0 , y0 , z0 )
s (m, n, p)
[4] 两直线的夹角
直线 L1 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
[2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
Mn 0((xA0,,
y0
B,
, z0
C)
)
z c
o xa
by
[4] 平面的夹角

n1
n2
2
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
7
已知直线 L


x yz1 0 xz0
,
球面 x 12 y 2 z 2 r 2
问r 为何值时过直线 L有两个, 一个,或者没有切平面.
8. 直线 L : x 1 y z 绕 z 轴旋转一周, 求旋转曲面的方程. 0 1k
练习题解答
1.求过夹直角线为: xx的 5z平y 面4 z方0,0程且. 与平面 x 4 y 8z 12 0
与直线
L2
:
x 2

y 1

z
0
2
的距离与公垂线方程.
解 1 距离
P1
L1
公垂线的方向 :
P2


n 0,1,1 2,1,0 1,2,2
L2
P1 1,0,0 L1; P2 0,0,2 L2


P1P2 1,0,2 在 n 上投影的绝对值就是两直线的距离,
将 代入平面束方程,
得 3x y z 1 0.
所求投影直线方程为
3x

x

2
y y

z z

1 0
0 .
4.
求过点 P0(1,0,4),与直线 L
: x1 1
y 3 z 相交, 12
与平面3x 4 y z 10 0 平行的直线方程 .
2.求过点
M0
(1,1,1)
且与两直线
L1
:

y z

2 x
x
, 1
L2
:

y z

3x 2x
4 1
都相交的直线
L.
3.求直线
L
:
2x y z 1 0

x

y

z
1

0
在平面

:
x

2
y

z

0
上的投影直线的方程.
4.
求过点 P0(1,0,4),与直线 L
p1
直线 L2 :
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
[5] 直线与平面的夹角
L : x x0 y y0 z z0
4
2。
求过点
M
0
(1,1,1)
且与两直线
L1
:
y z

2 x
x
, 1
L2
:

y z

3x 2x
4 1
都相交的直线L.
解
将两已知直线方程化为参数方程
x t1
L1
:

y

2t1
,
z t1 1
x t2
L2
:

y

3t2

4
z 2t2 1
t1 0, t2 2,
A(0,0,1), B(2,2,3)
点 M0 (1,1,1) 和 B(2,2,3)或A, B同在直线 L 上,
故 L 的方程为
x 1 y 1 z 1.
1
1
2
解二
作过L1与M0的平面 1,
过L2与M0的平面 2, 则平面 1与 2的交线就是所求的直线.
椭圆柱面
x2 a2

y2 b2
1
[3] 二次曲面
a11x2 a22 y2 a33z2 a12 xy a23 yz a31zx a1x a2 y a3z a0 0
（1）椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
（2）椭圆抛物面 x2 y2 z p q ( p 与 q 同号 )
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
1
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22

B22

C
2 2
[5] 过两平面交线的平面束方程
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2 : A2 x B2 y C2z D2 0 则过1与2交线的平面束 :
（3）双曲抛物面
( 马鞍面 )
x2 y2 z pq
( p 与q 异号)
o
y
x
（4）单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
Biblioteka Baidu （5）双叶双曲面 x2 y2 z2
a2 b2 c2 1
（6）椭圆锥面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
2、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
A1 x B1 y C1z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
或
( A1 x B1 y C1z D1 ) A2 x B2 y C2 z D2 0
[6] 点到平面的距离
d

|
Ax0

By0

Cz0

D
| .
A2 B2 C 2
解
4 过已知直线的平面束方程为
x 5 y z ( x z 4) 0,
即 (1 )x 5 y (1 )z 4 0, 其法向量 n (1 ,5,1 ).
又已知平面的法向量n (1,4,8).
由题设知
n (1 ,5,1 ).
:x2yz 0
: (2 )x ( 1) y (1 )z ( 1) 0. 又垂直于平面 ,
(2 ) 1 ( 1) 2 (1 ) (1) 0.
即 4 1 0, 故 1
4
m
n
p
: Ax By Cz D 0
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
(0 )
2
练习题
1.求过直线:

x x

5 z
y
4
z
0 0,
且与平面
x

4
y

8z

12

0
夹角为
4
的平面方程.

d Pr jn P1P2 1,0,2
1,2,2
1
12 22 (2)2
为两直线的距离.
2 公垂线L
L的方向向量
L1
:
x
0
1

y 1

z 1

n 0,1,1 2,1,0 1,2,2
作过L1与L的平面 1
P1

L1
P2
3.
4
代回平面束方程为 x 20 y 7z 12 0.
(1 )x 5 y (1 )z 4 0,
经验证，未含在平面束
x 5 y z ( x z 4) 0,
中的平面
x z 4 0.
与平面 x 4 y 8z 12 0 夹角也是 。
L
L2
x y z2
L2 : 2 1 0

1的法向量n1 与直线L1 的方向向量0,1,1

即n 1,2,2垂直, 且过P11,0,0点

则 n1 1,2,2 0,1,1 4,1,1

P0Q (20,25,40) 5(4,5,8) 是直线的方向向量.
因此, 所求的直线方程为 x 1 y z 4 . 458
注: 可以先求过P0 平行于给定平面的平面 ,
求出平面 与L的交点Q,
得到过P0与点Q的直线.
5.
求直线
L1
:
x
0
1

y 1

z 1
第八章习题课 - 2
空间直角坐标系
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
1、曲面
曲面的方程：
曲面 S
方程F ( x, y, z) 0
[1] 旋转曲面
设有平面曲线L
:

f
(
x, y) z0
0
(1) 曲线L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)

y

y(t )
z z(t)
[3] 空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：
F ( x, G( x,
y, z) y, z)

0 0
消去变量z后得：H ( x, y) 0
n (1,4,8).
cos
4

n n
nn11
(1 ) 1 5 (4) (1 ) (8)

12 (4)2 (8)2 (1 )2 52 (1 )2
即 2 3 , 由此解得 2 22 27
4、空间直线
[1] 空间直线的一般方程
L
:

A1 A2
x x

B1 B2
y y

C1z C2z

D1 D2

0 0
[2] 空间直线的对称式方程 x
x x0 y y0 z z0
m
n
p
x
z
1 L
2
o
y
z s
L
M
M0
o
y
Ms 0((xm0,,
y0
: x1 1
y 3 z 相交, 12
与平面 3x 4 y z 10 0 平行的直线方程 .
5.
求直线
L1
:
x
0
1

y 1

z 1
与直线
L2
:
x 2

y 1

z
0
2
的距离与公垂线方程.
6.
求空间圆

x 2 y2 z 2 12x 4 y 6z 24 0 的半经与圆心坐标 .
3。
求直线
L
:
2x y

x

y

z
z 1 0 10
在平面
: x 2 y z 0 上的投影直线的方程.
解
过直线 L 的平面束方程为
L

(2x y z 1) ( x y z 1) 0, 即(2 )x ( 1) y (1 )z ( 1) 0.
曲线在
xoy面上的投影曲线为

H( z
x, 0
y)

0
yoz 面上的投影曲线 xoz面上的投影曲线
R( y, z) 0

x

0
T( x, z) 0

y

0
3、平面
[1] 平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
设所求直线 L 与 L1, L2 的交点分别为
A(t1,2t1, t1 1) 和 B(t2 ,3t2 4,2t2 1).
M0(1,1,1) 与 A, B 三点共线,
故 M0 A M0B ( 为实数).

A
M0

B
于是 M0 A, M0B 对应坐标成比例, 即有
t1 1 2t1 1 (t1 1) 1 ( t1 2 ) t2 1 (3t2 4) 1 (2t2 1) 1 2(t2 1)