数字信号的卷积运算

x [ x1 , x2 , x3 ,..., xN 1 , xN ], h [h1 , h2 , h3 ,..., hN 1 , hN ], y [ y , y , y ,..., y , y ]. 1 2 3 N 1 N
并假设
（16）
y xA y[ n] x[n]* h[n]
由（9） （12）可得
1 N
N 1
X [k ]e
k 0
j nk
, 0 n N 1
（12）
0 0 0 1 1 1 R exp j nk N 0 ( N 2) 1 0 ( N 1) 1
数字信号的卷积运算
yuanyin 2014/11/28
1 卷积概念
1.1
卷积定义
一般而言，如果有两个函数 f1(t) 和 f2(t)，积分[1]
f (t )


f1 ( ) f 2 (t ) d
（1）
叫做函数 f1(t) 和 f2(t)的卷积积分，简称卷积，记为[1]
f ( x) f1 ( x) * f 2 ( x)
（13）
由（7） （13）也可以验证（11）的结果。
3 周期序列的卷积
设 x[n],h[n]是以长度 N 为周期的序列，即
x[n] x[n kN ],(k ... 2, 1,0,1, 2...) h[ n] h[ n kN ], ( k ... 2, 1, 0,1, 2...)
那么，A 就是对应于 h 的矩阵，它是 N 阶方阵，表示如下：
（17） （18）
h1 h N A h3 h2
h2 hN 1 h1 hN 2 h4 ... h3 ... h1 hN
hN hN 1 h2 h1
数字信号的卷积
（ 2）
1.2
设 x[n]，h[n]是一个序列，n，k 为整数，那么 x[n]和 h[n]的卷积表示为

y[n] x[n]* h[n]
k
x[k ]h[n k ]
（3）
2 周期序列的 DFT
设 x[n]是以周期为 N 的序列，y[n]是 x[n]的 N 点 DFT，那么
（19）
众所周知，时域的卷积对应于频域的乘法，设 x，h，y 的 DFT 分别是 X，H，Y，那么
Y [ n ] X [ n ]H [ n ]
即
（20）
Y X diag( H )
于是得到
（21）
yF ( xF ) diag( hF )
到
（22）
其中，F 是 N 阶可逆方阵，对应于 DFT 运算，将上边等式两边同时右乘 F 的逆矩阵得
y x( F diag(hF ) F 1 )
由（17）和（23）得到
（23）
A F diag(hF ) F 1
由（11） （24）可得
（24）
A F diag( hF ) R
（25）
4 参考文献
[1] 吴大正， 《信号与线性系统分析》 （第四版） ，北京：高等教育出版社，2010:61.
（14） （15）
那么 x[n]和 h[n]的卷积 y[n]仍然是以 N 为周期的序列，在 matlab 里面可以借助 conv() 函数来计算，代码如下： 代码 1： % matlab 计算周期为 N 的 x[n]和 h[n]的卷积
temp=conv(x,h); temp(1:N-1)=temp(1:N-1)+temp(N+1:2*N-1); y=temp(1:N); 对于上述的卷积运算，可以等效于矩阵的运算，例如，设 x，h，y 是长度为 N 的行矩 阵，分别对应于 x[n]，h[n]，y[n]的一个周期，表示如下：
（ 7）
F FT
设 R 是 N 阶方阵，且 R 满足下式
（ 8）
x XR
由（6） （9）可得
（ 9）
x x( FF 1 ) ( xF ) F 1 XF 1 XR
因此
（10）
F R 1 1 R F
由 N 点 IDFT 运算法则得
（11）
x[n] IDFT( X[k] )
从（7）可以看出
0 0 1 ( N 2) 1 ( N 1) , (0 n, k N 1) ( N 2) ( N 2) ( N 2) ( N 1) ( N 1) ( N 2) ( N 1) ( N 1)
0 0 1 ( N 2) 1 ( N 1) , (0 n, k N 1) ( N 2) ( N 2) ( N 2) ( N 1) ( N 1) ( N 2) ( N 1) ( N 1)
N 1
X [k ] DFT( x[n] ) Hale Waihona Puke Baidu x[n]e jnk , 0 k N 1
n 0
（4）
其中

2 N
（5）
设 X，x 分别是 X[k]，x[n]的行矩阵，F 是 N 阶方阵，且 F 满足下式
X xF
由（4） （6）得到
（ 6）
0 0 0 1 1 F exp j nk 0 ( N 2) 1 0 ( N 1) 1