自动控制原理课后习题答案,第5章(西南科技大学)

*(-0.5)=2，系统不稳定
(c) P =1,v=0
(d) P =0,v=2
(e) P =2,v=1
(c) P =1，Nyquist图顺时针包围(-1, j0)点半圈，Z = P-2R =1-2* (-0.5)=2，系统不稳定 (d) P =0，Nyquist图逆时针包围(-1, j0)点 0 圈， Z=P-2R=0-2*0 =0，系统稳定 (e) P =2，Nyquist图逆时针包围(-1, j0)点 1 圈， Z=P-2R=2-2*1 =0，系统稳定


j)＝0 180
因此，开环频率特性的相频范围为：90
2
180
(4) 与实轴的交点，令 G(j) 的虚部为零，得
1 ＝ 0 (T3 T1 T2 ) T1T2－T （ 3 T1＋T2）
即与实轴无交点。 (5) 系统极坐标图如右图所示。 (6) 开环频率特性曲线不包围(-1, j0)点，R＝0，此时 Z = P –R = 0， 故闭环系统是稳定的。
5-5 已知最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线如图所示， L() 试确定系统的开环传递函数。
解(a) ：系统最左端直线的斜率为0dB/dec， 40 0 得 v=0，系统无积分环节。1、2 1 100 和3 分别是惯性、微分和惯性环节 -20 的转折频率，系统开环传递函数为：
10000 2
解：
由频率特性可得：
0. 4 1 20 lg 1 10 20 lg 0.4 L( ) 4 20 lg 2 10 5 20 lg 20 5 3
可见：c
K (1 2 s 1) 其中 3 10000 G( s) (1 1 s 1)(1 3 s 1) 因20lg K 40 得K 100 40 20 由 得 1 1 lg 1 lg100 100(0.001s 1)
G( s)
(f) P =0,v=2
(g) P =1,v=0
(h) P =2,v=0
(f) P =0，Nyquist图顺时针包围(-1, j0)点 1圈， Z=P-2R=0-2* (-1) =2，系统不稳定 (g) P =1，Nyquist图逆时针包围(-1, j0)点半圈， Z=P-2R=1-2*0.5 =0，系统稳定 (h) P =2，Nyquist图逆时针包围(-1, j0)点 0 圈， Z=P-2R=2-2*0= 2，系统不稳定
(4) 不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含 有一阶或二阶微分环节的系统，由于相角非单调变化，Nyquist 曲线可能出现凹凸。
K (T3s 1) G( s ) (T3 T1 T2 ) s(T1s 1)(T2 s 1)
G( j0)＝ 90

得K= 100
K (1 1 s 1) G( s ) 2 s (1 2 s 1)
-40dB/dec 20 0 -20 -20dB/dec 1 10 2

s (0.00316s 1)
解(c) ：系统最左端直线的斜率为40dB/dec，得 v = -2，系统有两 个纯微分环节。1 和n 分别是振荡和惯性环节的转折频 率，则系统开环传递函数为：
20 由 得 1 10 40 lg 1 lg10 20 (20) 由 20 得 2 100 10 lg 1 lg 2 20 lg K 100(0.316s 1) 40 由 G( s) 2 lg1 lg10



令 ()＝ 180
化成 G( j)
X () jY () 形式，
4.03 求出相角穿越频率 g＝＝
将 g 代入 A( ) ，求出
令 Y ( ) 0，可获得 g 及相应h
A(g )＝0.32
1 则幅值裕度 h 3.12 A(g )
5-10 用奈式稳定判据判断反馈系统的稳定条件，系统的开环
G( j)＝0 180

5-13 设系统的开环幅相频率特性如图所示，判断闭环系统 是否稳定。图中，P 为开环传递函数右半 s 平面的极点数， v 为其 s=0 的极点数。
(a) P =1,v=0
(b) P =1,v=0
解：(a) P =1，Nyquist图逆时针包围(-1, j0)点半圈，Z=P-2R=1-2 *0.5=0，所以系统稳定 (b) P =1，Nyquist图顺时针包围(-1, j0)点半圈， Z=P-2R=1-2
K (T3s 1) 传递函数： G( s ) (T3 T1 T2 ) s(T1s 1)(T2 s 1)
(2) 系统开环频率特性为
解： (1) 由开环传递函数知，其在右半 s 平面的极点数 P＝0。
K ( jT3 1) G ( j ) j( jT1 1)( jT2 1)
最小相位系统 Nyquist 图的结论：
(1) 开环含有v 个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为-v 90° 的无穷远处。 (2) n=m 时， Nyquist 曲线起自实轴上的某一有限远点，且止于 实轴上的某一有限远点。 (3) n>m时，Nyquist曲线终点幅值为0，而相角为-(n-m)*90°。
低频渐近线：斜率为 20 20 dB ，过点 (1, 20lg0.4)。
1, 10,5 分 别 是
一阶微分环节、振荡环节、 伯德图如下图所示：
惯性环节的交接频率。当
L( )
20
1 1 时 ， 直 线 斜 率 由 20dB/dec变为0dB/dec、当 20lg 0.4 2 10 时，直线斜率由 0dB/dec 变 为 -40dB/dec 、 当 3
0
c
g
h( dB )
-50
-100 -45
-90
Phase (deg)
-பைடு நூலகம்35

-180
-225
-270 10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
计算稳定裕度：
G ( j ) H ( j )
j (
0.4( j 1) j 2 2 j ) j 1( 1) 10 10 5
1
10 5 40

60
5 时，直线斜率由-
40dB/dec变为-20dB/dec 。
相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得，计算几个点 的值绘出大致曲线。
num=[20 20]; den=[1 7 20 50 0]; bode(num,den) grid
Bode Diagram 50
Magnitude (dB)
(T1 T2 T3 ) T1T2T3 K (1 2T12 )(1 2T22 )
3
1 T1T2 T3 (T1 T2 ) jK 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 )
2 2
(3) 起点： G ( 终点： G (
j0)＝ 90
G( s)
其中
因 因
Ks
2 2
2 n
1 ( s 2n s )( s 1) 1 1 10n 1
2 n
得 K 10 20lg K 20
20lg M r 40 20
由M
2
r

1 2 1
2
得
0.05
10s G( s) 2 (s 0.1s 1)(0.1s 1)
5-8 已知单位反馈系统开环传递函数
20( s 1) G( s)H ( s) 2 s( s 2s 10)( s 5)
试绘制开环系统的 Bode图，并确定系统的幅值裕度和相角 裕度。
解：G (
j ) H ( j )
1 0.4 1 L( ) 3 2 10 3 4 20 5
0.4
2 ( ) arctan 90 arctan arctan 5 10 2 将 c 代入 ( )


相角裕度：
(c )＋ 180 104
j (
0.4( j 1) j 2 2 j ) j 1( 1) 10 10 5
系统由比例、微分、积分、惯性、振荡五个典型环节组成。
1，K 0.4，T1 1，T2 1 10，T3 0.2 则 1 1 1 1 1 2 10 3 5 20lg K 20lg0.4dB T1 T2 T3
由
40 ( 20) 3 得 2 10 1 1000 20 lg 1 lg 2
( s 1)(0.0001s 1)
解(b) ：系统最左端直线的斜率为- 40dB/dec，得 v = 2，系统有 两个积分环节。1 和2 分别是微分和惯性环节的转折 L() 频率，则系统开环传递函数为：