初二数学上学期知识点和典型例题总结

全等三角形

类型一：全等三角形性质的应用ﻫ1、如图，△AＢＤ≌△AＣＥ，AＢ=AC，写出图中的对应边和对应角. ﻫ

ﻫ思路点拨:ＡB=AC,ＡB和AC是对应边,∠A是公共角，∠A和∠A是对应角,按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.

解析:AＢ和ＡC是对应边,AＤ和ＡE、BD和CE是对应边，∠A和∠Ａ是对应角，∠B和∠C，∠AＥC和∠ADＢ是对应角.ﻫ总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边．

已知两对对应边，第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角．ﻫ举一反三:

【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么?ﻫ

ﻫ【答案】证明:由△ＡＢC≌△DBE,得ＡB=DB,BＣ=BＥ，

则AB-BE=ＤＢ－BC，即ＡE=CD。

【变式2】如右图,，。

求证：ＡＥ∥ＣFﻫ【答案】

∴AE∥CFﻫﻫ2、如图,已知ΔABC≌ΔＤEF,∠A=３0°,∠Ｂ=５

0°,ＢF＝2，求∠DFE的度数与EC的长。ﻫ思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFＥ＝∠ACB，EC+CF=BF＋FＣ,所以只需求∠ACＢ的度数与ＢＦ的长即可。ﻫ解析:在ΔABC中,ﻫ∠AC

Ｂ=1８0°-∠A-∠B,ﻫ又∠A=30°,∠

B=50°，ﻫ所以∠ACＢ=１00°．ﻫ

又因为ΔＡBC≌ΔDEＦ，

所以∠ACB=∠DFE，ﻫ BＣ=EＦ(全

等三角形对应角相等,对应边相等）。ﻫ

所以∠DFE＝100°ﻫEＣ=EF-FC＝BC-FC=FＢ＝

2。ﻫ总结升华：全等三角形的对应角相等，对应

边相等。

举一反三：ﻫ【变式１】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔＢＥF，∠AＣB=90°.

求证:(１）ＣD⊥AB；（2）EF∥A

Ｃ.ﻫ【答案】

(1)因为ΔＡCＤ≌ΔECＤ，

所以∠ＡＤC＝∠EDC(全等三角形的对应

角相等）．

因为∠ＡDＣ+∠ＥDＣ=1８０°，所以

∠ADC=∠EDC=9０°.ﻫ所以CD⊥AB.

(2)因为ΔＣEF≌ΔBEF，ﻫ所以∠

ＣFE=∠BＦE（全等三角形的对应角相等).ﻫ

因为∠CＦE+∠BＦE=１8０°,

所以∠ＣFＥ＝∠BFE=90°．ﻫ

因为∠ACB=90°，所以∠AＣB=∠BFE.ﻫ

所以EＦ∥AC．

类型二：全等三角形的证明

3、如图,AC＝ＢD,DＦ=CＥ，∠ＥCB=∠FＤA,

求证:△ADF≌△ＢCE．ﻫ思路点拨：欲证△AＤF≌△BＣＥ,由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AＣ=BD而得解析：∵AC＝BD(已知)

∴AB－BD＝AB－AC(等式性质）ﻫ即ＡＤ＝BCﻫ在△ADＦ与△ＢCＥ中ﻫﻫ∴△ＡＤF

≌△BCE(ＳAＳ)ﻫ总结升华：利用全等三角形证明线段(角）相等的一般方法和步骤如下:

(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，ﻫ(2）证明这两个三角形全等；ﻫ(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.ﻫ举一反三：ﻫ【变式１】如图，已知ＡB∥DC,AB＝DC,求证：AＤ∥BCﻫ【答案】∵AB∥CD

∴∠3＝∠4ﻫ在△ABD和△CDＢ中

ﻫ∴△AＢD≌△CDＢ(SAS)ﻫ

∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等）

∴AD∥BC(内错角相等两直线平行）ﻫ【变式２】如图，已知ＥB⊥AD于B，FＣ⊥AD于C，且EB=FC,AＢ=ＣD．ﻫ求证ＡF=ＤE.

【答案】∵EB⊥AD(已知)

∴∠EＢＤ=90°(垂直定义)ﻫ

同理可证∠ＦCＡ=90°ﻫ∴∠EBD＝∠F

ＣA

∵ＡB＝CD,ＢC=ＢC

∴AC=AB＋BCﻫ＝ＢC+ＣDﻫ

＝BＤﻫ在△AＣＦ和△DBE中ﻫ

ﻫ∴△ACF

≌△ＤＢE(S.A.S）

∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)ﻫ类型三:综合应用

4、如图，AＤ为ΔＡBC的中线。求证:AB+AC>２AD.

思路点拨:要证ＡB+ＡＣ＞2AD,由图想到:ＡB＋ＢＤ>AD,AC+CD>AD,所以AB+AC＋BC>2AD,所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于２AD,即倍长中线。ﻫ解析：延长ＡD至Ｅ，使DＥ=AD，连接ＢEﻫ因为AD为ΔABＣ的中线，ﻫ所以BD=ＣD.ﻫ在ΔACD和ΔEBD中，

ﻫ所以ΔＡＣD≌ΔEBD(SＡＳ)．

所以BＥ=CＡ.ﻫ在ΔABＥ中,AＢ＋BＥ>AE,所以AB+AC>2AD.ﻫ

总结升华：通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中。ﻫ举

一反三：

【变式1】已知:如图，在RｔΔABＣ中，AB=AC,∠BAC=9０°,∠１=∠2，C

Ｅ⊥BD的延长线于Ｅ,

求证：BＤ=２CE.ﻫ【答案】分别延长CＥ、ＢA交于F．ﻫ

因为BE⊥CＦ，所以∠ＢEF＝∠ＢEC=9０°．ﻫ在ΔＢEF和ΔBEＣ中，

ﻫﻫ

所以ΔＢEF≌ΔBEC(ASA).ﻫ所以

CE=FE=CＦ.

又因为∠BＡC=9０°,ＢE⊥CF．

所以∠BAC=∠CAF＝９0°，∠1＋∠

BDA=90°，∠１+∠BＦＣ=90°.ﻫ所

以∠BDA=∠ＢFC．

在ΔＡBD和ΔＡCF中,

ﻫ

所以ΔABD≌ΔAＣF(AAS)

所以ＢD＝ＣF．所以ＢＤ=２ＣE.

5、如图，AB=ＣD,BＥ=DF,∠B=∠Ｄ，

求证：(1)AE=CF,(2）AE∥CＦ，(３)∠AFE=∠CEF

思路点拨:（１)直接通过△ＡBE≌△CDF而得，(2）先证明∠AＥB=∠Ｃ

ＦD,(3)由(1)(2)可证明△AＥF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等,找这

两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．

解析:ﻫ (1)在△ABE与△CDF中ﻫﻫ∴

△ABE≌△CDF（SAS)ﻫ∴AＥ＝CF(全等三角形对应边相等)ﻫ(2)∵∠AEB=∠CFD(全等三角形对应角相等)ﻫ∴AE∥CF(内错角相等，两直线平