耶鲁博弈论习题

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耶鲁大学公开课：博弈论
习题集1（第1-3 讲内容）
Ben Polak, Econ 159a/MGT522a.
由人人影视博弈论制作组Darrencui 翻译
1. 严格劣势策略与弱劣势策略：严格劣势策略的定义是什么？弱劣势策略的定义是什么？ 请用
一个包含两个参与人的博弈矩阵来举例说明，要求其中一个参与人有三个策略且三者之一为严格
劣势策略；另一个参与人有三个策略但三者之一为弱劣势策略。请指出你所举例子中的劣势策略。
2.迭代剔除（弱）劣势策略：请看下面的博弈
2
l c r
T 1,1 0,1 3,1
1 M 1,0 2,2 1,3
D 1,3 3,1 2,2
(a). 这个博弈中是否存在严格劣势策略和弱劣势策略？如果存在，请指出并说明。
(b). 剔除掉严格劣势策略和弱劣势策略之后，在简化的博弈中是否还有劣势策略呢？如果是，请
指出并说明。最后哪些策略不会被剔除呢？
(c). 回顾你第一次剔除劣势策略时哪些策略是劣势策略并给出解释。把它与第二次剔除的劣势策
略作比较。从中你能得出关于迭代剔除劣势策略的何种结论？
3. 霍特林的选址博弈（也称霍特林模型）：回顾一下课堂中所讲的选票博弈。其中有两个参与
人，每个参与人都从集合 * +中选出自己的立场。这十个立场均分全部的选票。选民
把选票投给与自己立场最接近的候选人。如果两个候选人站在同一个立场上，那么持该立场选民
的选票平均分给每个候选人。候选人想要最大化自己的得票率。举例来说， ( ) 。而
( ) [提示：回答这道题时不必画出整个矩阵]
(a).课堂中我们指出立场2严格优于立场1，而实际上还有其它的立场也是严格优于立场1的，请找
出所有优于立场1的立场并作出解释。
(b).假设现在有三名候选人。举例来说， ( ) 而 ( ) 。此时立场2是否严格
优于立场1？立场3呢？请作出解释。另外，假设我们剔除了立场1和10，但是该立场的选票依然存
在。在简化的博弈中，立场2是否严格劣于或弱劣于其它（纯）策略 ？请作出解释。
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4. “到底谁的话语权更重”：由三人组成的评审委员会要决出一场全国艺术大赛的冠军。经过激
烈的讨论之后，有三名选手进入最后的获奖候选人名单，分别是：一名画城市中的羚羊的女画家、
一名做铅盒的男工匠、一名做根雕的男雕塑家。不妨称这三个选手分别为a、d、c，三名评审委
员为1、2、3。评审委员有如下偏好：评审委员1 认为a 优于b，b 优于c；评审委员2 认为c 优
于a，a 优于b。委员3 认为b 优于c，c 优于a。比赛规则规定，如果评审委员意见不统一时，需
要进行保密投票，每

位评审委员只能投一票。如果仍出现平局，评审委员1 的投票将决定哪位选
手能够获奖。咋一看，评审委员1 似乎掌握了更多的话语权。
(a).仔细分析一下这个投票博弈。每位评审委员都有3 个策略：a、b、c。对于每一位评审委员来
说，有严格劣势策略或是弱劣势策略吗？[提示：在讨论评审委员1 的时候请仔细考虑。想要回答
本题，并不需要知道确切的收益，任何符合评审委员偏好顺序的收益都满足题意，并且你也不需
要画出整个矩阵]
(b).假设我们剔除了所有的劣势策略。请指出这种情况下，对于每位评审委员来说哪些策略是弱
劣势策略和严格劣势策略？请预测一下投票的结果，然后把它和评审委员1 的偏好进行比较，你
会发现什么？请作答。
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耶鲁大学公开课：博弈论
习题集2（第4-5 讲内容）
Ben Polak, Econ 159a/MGT522a.
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1. 回顾罚球的案例：裁判判罚给参与人1 一次点球的机会，参与人1 即将执行判罚。她有三种射
门路径：左路、中路、右路。参与人2 是门将。他可以选择防守左路、中路或者右路。两名参与
人的行为同时发出。收益（以达成目概率的十倍计算）如下：
2
l m r
L 4,6 7,3 9,1
1 M 6,4 3,7 6,4
R 9,1 7,3 4,6
(a). 对于每一个参与人来说，有哪个策略严格劣于另一个（纯）策略吗？
(b). 在对参与人1的策略存在何种信念下，参与人2会觉得策略m是最佳对策？在对参与人2的策略
存在何种信念下，参与人1会觉得策略M是最佳对策？[提示：本题不需要绘制三维图像！]
(c). 假设参与人2 站在参与人1 的立场上思考后发现，无论参与人1 存在何种信念，她都会选择
改信念下的最佳对策。在这种情况下，参与人2 是否应该选择策略m 呢？
(d). 这个博弈是否存在（纯策略）纳什均衡？
2.回顾合伙人案例（Watson 书中习题）：回顾一下我们在第四讲中提到的商业合伙人的案例。两
名律师合伙开了一家律师事务所并且平分收益。每名律师都要各自打算一下自己要为事务所付出
多少劳动。事务所的收入按照如下公式计算： ，其中 、 分别表示律师1 和
律师2 付出的劳动量。参数 反映了两人的协同效果：一名律师付出越多的辛劳，合伙人就会
获得越多的收益。假设
并且 。两名律师的收益分别是：
其中
表示劳动的成本（注意：边际成本递增）。假设这家律师事务所没有其它的开销。在课堂
上我们论证了，理性策略（即迭代剔除非最佳对策后剩余的策略）是
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(a). 假设两名律师达成一致，决定两个

人都付出一样多的劳动，并通过合同的形式规定了劳动量
的指标。如果他们想要最大化净收益（即收益减去劳动成本），他们应该在合同中规定各自付出
多大的劳动量 呢？这与课堂上得出的理性策略的劳动量相比有什么不同？[提示：为了解题方
便，可以暂时考虑b=0 的特殊情况]
(b). 假设第(a)题中的合同只对合伙人2有约束力，即合伙人2需要按照要求中的 付出等量的劳
动，而合伙人1可以任意在[0,4]的劳动量中自由选择。合伙人1会选择付出多少劳动呢？这与
和
有什么不同吗？请给出简明的解释。
(c). 回到最开始的博弈状态，假设现在
，即合伙人的辛勤劳动起到了反协同效果。求出
这种情况下的最佳对策函数，并绘制相应的函数图像，找出这种情况下对应的理性策略。把它与
(a)中的指标作比较。[提示：并不需要重做(a)的全部过程]
3. 纳什均衡与迭代剔除（Gibbons教科书上的习题）：请看下面的这个博弈：
L C R
T 2,0 1,1 4,2
M 3,4 1,2 2,3
B 1,3 0,2 3,0
(a). 哪些策略不会被迭代剔除严格劣势策略的过程剔除？
(b). 找出此博弈的（纯策略）纳什均衡
(c). 请尽可能详尽地解释说明，通常情况下（并不要局限于此博弈），组成纳什均衡的策略是否
无法被迭代剔除严格劣势策略的过程剔除？
4. 分钱计划（Gibbons 教科书中习题）：参与人1 和参与人2 因为如何分配10 美元的问题争执
不休。每个参与人都说出了一个自己预期金额 ，该金额在0 到10 之间且允许出现小数。两人需
要同时做出选择。参与人的收益就是她分得的钱款。这个博弈有两条规则。无论按哪条规则来分
钱，如果出现 的情况，每人获得自己的预期金额，剩余的钱款被销毁。
(a).第一条规则是，如果 ，那么每个参与人都一无所获并且钱会被销毁。这种情况下
的（纯策略）纳什均衡是什么？
(b).第二条规则是，如果 ，并且每个人的预期金额是不同的，那么预期金额最小的参
与人分得等值的钱款而剩余的钱款归另一个参与人。如果 ，并且 ，那么每个人
都分得5 美元。这种情况下的（纯策略）纳什均衡是什么？
(c).假如我们为前两条规则增加一个限制条件，即预期金额必须是整数。这是否会改变前两条规
则下的（纯策略）纳什均衡？

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耶鲁大学公开课：博弈论
习题集3（第6-7讲内容）
Ben Polak, Econ 159a/MGT522a.
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线性城市模型：差异产品的价格竞争：
在课堂中我们学到了两种双寡头垄断竞争模型：古诺（产量）竞争模型和伯川德（价格）竞争模型。把企业间的竞争考成价格竞争的情况

似乎更合情合理一些，然而古诺的结论却比伯川德的结论更令人信服。在这次习题集中我们来探讨一下第三种寡头竞争模型。和伯川德模型类似，这个模型中两家公司会进行价格竞争而非产能竞争。但与伯川德模型的不同之处在于，本模型中两家公司的产品并不是同质产品。用经济学的行话来说，产品之间是存在差异的。这次我就不在板书上给大家讲解如何分析这个模型了，各位不妨独自求索。大家也不必惊慌，本次习题集采用循序渐进的模式。请各位按照顺序依次回答每个问题。
首先介绍博弈
? 模型中我们假设一座城市是一条街道（一条线段）
? 有两家公司：公司1和公司2。他们分别位于街道（线段）的两端
- 两家公司同时分别制定产品价格 和
- 两家公司的边际成本是一个常数
- 每家公司都追求利润最大化
? 潜在顾客平均分布在这条街道上，在每一点上都有一个潜在顾客
- 顾客总数为1（或者可以把它理解成整个市场份额）
? 每位顾客都只购买1单位的产品，要么买公司1的，要么买公司2的。也就是说总需求是1单位产品。
? 处于位置 的顾客她与公司1的距离是 而与公司2的距离是
- 当且仅当满足下列条件时，她会选择公司1的产品
（a）
当且仅当满足下列条件时，她会选择公司2的产品
（b）
如果恰好位于两家公司正中间时，她就抛硬币决定买哪家公司的产品
对于模型的解读：顾客需要同时考虑价格和与公司的距离这两个因素。如果把线段想象成现实中的道路的话，我们可以用 距离 来表示到该公司的交通成本。或者，如果把线段想象成产品某方面的质量（比如冰激凌中的脂肪含量），那么此时 差异 就表示产品实际体验与顾客最佳预期之间的差异。从顾客的角度上看，参数 越大，那么两家公司生产的产品的差异也就越大。如果 ，那么这两种产品就是完全替代品。
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下面我们需要考虑什么呢？
1． 公司 会不会按照 来给产品定价，为什么呢？
2． 如果公司2定价为 。公司1如何定价才能垄断整个市场（也就是说给定一个 ， 为何值时所有顾客都从公司1购买产品）？
假设公司1通过定价高于问题2的答案能获得更多的收益，那么坏消息是这样做公司1必须放弃一部分市场份额；好消息是每一位公司1的顾客都会付更多的钱。
3． 假如 和 非常接近，导致两家公司分摊市场份额（不一定是平均分摊）。通过表达式（a）和（b）我们可以找到一个对于购买公司1还是公司2产品完全中立的顾客。用你的答案来说明一下，在两家公司分摊市场情况下，市场对于公司1产品的需求是：
（c）

由此我们就得到了当公司2定价为 时，计算公司1的最佳对策所需的全部数据了。市场被分摊时，公司1的利润如下：
（d）
其中 表示收入， 表示成本
4． 通过表达式(c)和(d)，运用简单的微积分知识即可发现，在 不取极端值时：
5． 绘制公司1和公司2的最佳对策图线。在图像中指出当 和 时 会发生什么样的变化？[提示：运用一下问题1和问题2的答案]并在同一个图像中绘制出 的图像。
6． 通过算术方法找出纳什均衡。
7． 当 时纳什均衡是什么？请给出你的答案。有人认为：“当产品相似度叫小而差异较大时竞争的激烈程度就会减弱。”这一点在本模型中是如何体现出来的呢？
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几个博弈论结论：
(A). 公司希望产品存在差异。这样公司可以定更高的价格和获得更高的利润。这个想法很简单，因为新进入市场的公司会终结这种高利润的情况。
(B). 考虑问题时“现实一点”就可以得出更有说服力的结论。当我们排除了完全替代品这一个极端假设后，这个模型就更具有现实意义了。
(C). 我们研究模型的方法是很典型的。这个模型是一个足够复杂的模型，因为初次遇到这个模型的时候大家并不知道结果会是怎样的。然而通过按照我们在课堂上讲的方法（找出最佳对策，然后求出交点在哪里等）进行分析后，这次习题集是不是就很容易解答了呢？

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耶鲁大学公开课：博弈论
习题集4（第8-9讲内容）
Ben Polak, Econ 159a/MGT522a.
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1. 混合策略均衡的比较静态分析：请看以下包含两个参与人的博弈：
l
r
U
12,2
3,9
D
5,8
4,2
(a). 找出所有的纳什均衡（包括纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡），并解释说明为何你所找出的就是所有的纳什均衡。
(b). 假设参与人2的收益 从8减小到6，而其他收益均不变。找出此情况下所有的纳什均衡。
(c). 比较(a)和(b)中的混合策略纳什均衡。参与人2的某一个收益降低是否影响了他的均衡混合策略呢？是否影响了参与人1的均衡混合策略呢？请解释说明。
2.女王密使：英国著名间谍001要从 四种路线中（按正常状态下的滑雪速度大小排列）选择一种路线来滑雪下山。滑雪速度越大越容易引发雪崩的危险。与此同时，臭名昭著的间谍002却在考虑是(y)否(x)要使用他的炸药来制造一次雪崩。博弈的收益如下：
002
x
y
a
12,0
0,6
001
b
11,1
1,5
c
10,2
4,2
d
9,3
6,0
(a). 表示在001的信念中002会采用策略 的概率。当 、 以及 时，001应该怎么办？
(b). 假如你是耶鲁大学训练出来的“Queue”

先生。作为英国军事情报局的顾问，你会建议001不要选择哪些路线呢？请说明你的理由。
(c). 热情的观众们现在很想知道这部大片最后的结局是什么样的。请找出一个纳什均衡，使其中一个参与人采用的是纯策略 而另一个参与人采用的是混合策略 。再找出另外一个纳什均衡使得其中策略 被赋予概率0。这个博弈还存在其他的纳什均衡吗？
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3. 我要修音响（来自Osborne的习题）：参与人1的立体音响系统出毛病了，只有一个声道有声。他不知道需要简单维修（比如说清理）还是需要彻底维修（比如更换光头）。需要更换光头的概率为 。在家附近的维修网点里，更换光头的费用是L，而清理的费用是C（其中L>C）。他认识维修专家-参与人2，参与人2的利润用 表示。她可以选择诚实（收费L为参与人1更换光头或收费C为其清理），也可以选择欺骗（收费L却偷偷地做一遍清理然后交付给参与人1）。如果选择欺骗，她能获得更高的利润 ，但她也有因此被送进监狱的风险。参与人2非常在行，她一看就知道该怎么搞定这个音响系统。
(a). 请解释一下，为什么当参与人2说需要清理时，参与人1是绝对会相信的；而当参与人2说需要更换光头时，参与人1可能会有点怀疑呢？
参与人1可以拒绝参与人2的维修方案然后去找一个绝对诚实的第三方技术顾问来修理。如果他找第三方顾问，他就必须接受顾问的方案，但是顾问的收费更高（ 且 ）。下面的矩阵体现的就是参与人1和参与人2的博弈：
诚实
欺骗
总是接受维修建议
，
，
拒绝更换光头
，
，
(b). 解释一下收益矩阵每一个格内收益表达式的含义
(c). 如果 ，请解释为何此情况下不存在纯策略纳什均衡。
(d). 请找出此博弈唯一的一个混合策略纳什均衡（用参数表示）
(e). 如果我们提高在维修专家更换光头的费用L但保持其他参数不变，那么在均衡混合策略中参与人2选择诚实的概率会有怎样的变化？参与人1拒绝更换光头的概率又有怎样的变化？请解释说明。
(f).如果我们提高了参与人2欺骗所获利润 而保持其它参数不变，那么在均衡混合策略中参与人2选择诚实的概率会有怎样的变化？参与人1拒绝更换光头的概率又有怎样的变化？请解释说明。
(g).有人说 ，在美国当人们生病了去看医生时，他们从来不觉得自己感冒了，而是认为自己是在“修音响”。请解释一下，为什么人们会认为医生经常欺骗患者不当牟利呢？[提示：可以通过分析 值对于这个模型的均衡有何影响来入手]